Eventos independientes

Transcripción

1 Propósito de la sesión. Definir cuáles eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan. secuencia 27 Eventos independientes Descripción del video. Se presentan diferentes ejemplos de situaciones de azar en que se dan eventos independientes. Se recomienda ver el video antes de comenzar con la actividad del libro, pues se muestran de inicio ejemplos muy sencillos en donde la independencia de los eventos es evidente y se concluye presentando situaciones en donde no es claro que lo sean. Sugerencia didáctica. Dé unos minutos para que los alumnos comenten qué es una situación de azar, cuáles conocen y qué conceptos recuerdan de los estudiados en otras secuencias que abordan el tema. Tal vez, algunos alumnos le propongan los experimentos de lanzar una moneda, lanzar un dado o lanzar un par de dados. Si esto ocurre seria conveniente que hiciera notar a los alumnos que, por ejemplo, el espacio muestral de una moneda es águila o sol (o tal vez acostumbren a decir, cara o cruz), el de un dado son los números del 1 al 6. Cuando les pida que definan algunos eventos relacionados con este último experimento, debe tener cuidado con eventos como: la suma de los números de las caras superiores de los dados es 7 y los números de las caras superiores de los dados que caen son iguales, porque estrictamente hablando cuando sumamos los números de las caras superiores de los dados, los resultados posibles pueden ser 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 y estamos obteniendo un espacio muestral distinto pero equivalente al experimento, pero se recomienda utilizar el que tiene los números que caen en cada cara como se utiliza en el problema 2 del apartado Lo que aprendimos. Pídales también que opinen sobre lo que se plantea en el Para empezar, creen que después de caer un 6 es más probable que caiga un número entre 1 y 5? Propósito de la actividad. La situación que se presenta corresponde a dos experimentos aleatorios simples que la mayoría de los alumnos conoce (lanzar un dado y lanzar una moneda). A partir de dichos experimentos se pretende introducir un concepto nuevo: al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, el resultado de uno no afecta al otro, por eso se les llama eventos independientes. Este concepto, que podría parecer sencillo, puede de hecho ser difícil de comprender para algunos alumnos, por lo que es importante que no les comente en este momento que el resultado de uno no afecta el resultado de otro. Conforme vayan resolviendo la sesión irán avanzando hacia ese sentido. SESIóN En está secuencia aprenderás a distinguir cuando dos o más eventos son independientes en una situación de azar. CUÁLES SON LOS EVENTOS INDEPENDIENTES? Para empezar Cuándo dos eventos son independientes? Tal vez cuando juegas a lanzar un dado y cae varias veces seguidas un mismo valor, por ejemplo el número 6, has escuchado decir a alguna persona que si lanzas de nuevo el dado, lo más probable es que caiga cualquier otro número entre 1 y 5. Otros dirán que volverá a caer 6. Será cierto esto? Acaso el dado tiene memoria y recuerda el último resultado? Consideremos lo siguiente Si se realiza el experimento: Sugerencia didáctica. Las preguntas de este apartado tienen la intención de ayudar al alumno a recordar qué es un experimento aleatorio, cuál es el espacio muestral del experimento y a leer de diferentes maneras los resultados. Usted puede ayudarles recordándoles los conceptos que estudiaron primer grado en la secuencia 24 Nociones de Probabilidad, en especial la sesión 2. a) Los que corresponden son aquellos en los que se muestran posibles resultados al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo. b) Hay doce posibles resultados, sin embargo, lo importante no es que los alumnos sepan exactamente cuántos son sino que empiecen a reflexionar sobre el experimento, así que permita que den resultados aproximados como "me imagino que pueden ser tantos". Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. a) Cuáles de los siguientes resultados corresponden al experimento anterior? Márquenlos con una. b) Cuántos resultados posibles hay en este experimento? Eje Manejo de la información. Tema Análisis de la información. Antecedentes Los alumnos conocen la noción de resultados equiprobables, han enumerado los resultados posibles en situaciones aleatorias y expresado su probabilidad. Ahora se pretende que determinen cuándo dos o más eventos son independientes y que calculen su probabilidad. 166 Libro para el maestro

2 MATEMÁTICAS c) Qué tienen en común los siguientes pares de resultados que se obtienen al lanzar la moneda y el dado? Anótenlo sobre la línea de la derecha. II Respuesta. c) En el dado cae 3, en la moneda cae águila. y y Al lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, tres eventos que se pueden observar son: A: en la moneda cae águila. B: en el dado cae 1. C: en la moneda cae águila y en el dado cae 1. a) Si al realizar una vez el experimento en la moneda cae águila y en el dado cae 2, a cuál de los tres eventos es favorable este resultado? b) Cuál es un resultado favorable al evento B? c) Cuántos resultados son favorables al evento C: en la moneda cae águila y en el dado cae 1? d) Cuál es la probabilidad del evento C? e) En el experimento de lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, consideran que si en la moneda cae águila afecta el resultado que cae en el dado. Por qué? Manos a la obra Recuerden que: Para obtener la probabilidad clásica de un evento se requiere conocer el número total de resultados posibles que se pueden obtener en el experimento y el número de resultados favorables del evento. P(E) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles I. Completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a todos los resultados posibles del experimento: lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo. 151 Propósito de la actividad. Un aspecto importante que deben aprender los alumnos a lo largo de esta sesión es que están trabajando con un experimento compuesto por dos objetos, el dado y la moneda, y si bien los dos primeros eventos (A y B) se han definido a partir de uno de ellos no significa que solamente se observan los resultados de ese objeto y se olvida el otro. Por ejemplo, el evento A tiene seis resultados posibles que son favorables a él (son todos los resultados posibles en que la moneda cae águila y en el dado cae uno de los seis números de las caras). Observe que los resultados son (águila, 1), (águila, 2), etc., y no se separan. Otro ejemplo de un evento como A y B es: en el dado cae un número par, los resultados favorables son: (águila, 2), (águila,4),(águila, 6), (sol, 2), (sol, 4), (sol,6). Si sus alumnos contestaron el inciso b) del apartado Consideremos lo siguiente tomando en cuenta sólo el resultado del dado (cae 1) y olvidándose del resultado de la moneda; cuando completen el diagrama de árbol (actividad I del apartado Manos a la obra) enfatice la importancia de considerar a los dos objetos pues juntos forman el experimento. a) Al evento A. b) Que en el dado caiga 1 y en la moneda caiga sol. También que en el dado caiga 1 y en la moneda águila. c) Uno. 1 d) 12 e) No, no influye, pero tal vez algunos alumnos piensen que sí. Pídales que justifiquen sus respuestas y anote en el pizarrón los diferentes argumentos para que al final de la sesión los comparen. Propósitos de la secuencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes. Sesión Propósitos de la sesión Recursos 1 Cuáles son los eventos independientes? Determinar cuándo dos eventos son independientes y conocer la forma en que se determinan. Video Cuándo dos eventos son independientes? Propósito de la actividad. En esta actividad los alumnos utilizarán el diagrama de árbol como un recurso para enumerar los resultados del experimento. Una vez que se tiene el espacio muestral se determinan las probabilidades de los eventos. 2 Dos o más eventos independientes Determinar cuándo dos o más eventos son independientes. Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. 3 Eventos independientes y dependientes Distinguir entre eventos independientes y dependientes. Interactivo Diagrama de árbol Eventos independientes Frecuencia y probabilidad Programa integrador 22 Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol en la opción Colecciones diferentes para construir el diagrama completo. Libro para el maestro 167

3 secuencia 27 Moneda Dado Resultados posibles Águila, 1 Águila, 2 Águila, 3 Recuerden que: Lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo Todos los resultados sencillos posibles de un experimento forman el espacio muestral o espacio de resultados y se puede presentar en forma de diagrama de árbol o arreglo rectangular. Águila Sol 4 Águila, 4 5 Águila, 5 6 Águila, Sol, 1 Sol, 2 Sol, 3 4 Sol, 4 5 Sol, 5 6 Sol, 6 Cuando se considera alguno o algunos de los resultados posibles se define un evento. Por ejemplo, si se lanza un dado en el que todas sus caras tienen la misma probabilidad de caer y se observa el número que cae en la cara superior, dos eventos que se pueden definir son: cae 4 y cae un número par. Los resultados favorables de cada evento, respectivamente, son: {4} y {2,4,6}. Cuando se combinan dos eventos como los anteriores, al nuevo evento se le llama evento compuesto. Por ejemplo, el evento: cae 4 y es un número par. a) En total para este experimento, cuántos resultados posibles hay? b) En cuántos de esos resultados posibles en la moneda cae águila? Marquénlos con color rojo en el diagrama c) En este experimento, cuál es la probabilidad del evento A: en la moneda cae águila? P(A) = = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles d) En cuántos de los resultados posibles en el dado cae 1? Márquenlos con color azul en el diagrama e) Cuál es la probabilidad del evento B: en el dado cae 1? P(B) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles f) En cuántos de los resultados posibles la moneda cae en águila y el dado en 1, es decir, caen águila y 1, al mismo tiempo? = 152 a) 12 b) En 6. 6 c) 12 = 1 2 d) En dos, (águila,1) y (sol,1). 2 e) 12 = 1 6 f) En uno, (águila,1). 168 Libro para el maestro

4 MATEMÁTICAS g) Cuál es la probabilidad del evento C: en la moneda cae águila y en el dado cae 1? P(C) = h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: en la moneda cae águila y en el dado cae 1. P(A) P(B)= = i) Comparen el valor de la probabilidad del evento C: en la moneda cae águila y en el dado cae 1 con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. Son iguales o diferentes? P(en la moneda cae águila y en el dado cae 1) P(en la moneda cae águila) P(en el dado cae 1) = P(C) A lo que llegamos P(A) P(B) II Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro. Comparen sus resultados. De acuerdo con lo que leyeron en el apartado A lo que llegamos, son independientes los eventos: en la moneda cae águila y en el dado cae 1? II. Nuevamente, consideren el experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y. observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. También, utilicen el diagrama de árbol que completaron en la actividad anterior y contesten las siguientes preguntas: Uno de los eventos que se puede considerar al realizar el experimento, es: en la moneda no cae águila. g) 1 12 h) = 1 12 i) Son iguales. Posibles dificultades. Esta afirmación puede ser confusa para los alumnos. Use como ejemplo lo que acaban de hacer en el apartado Manos a la obra: En el inciso g) calcularon la probabilidad del evento caer águila y caer 1 a partir del diagrama de árbol, en el inciso h) multiplicaron la probabilidad de caer águila por la probabilidad de caer 1 y vieron que en ambos casos se obtiene Cuando la probabilidad del evento compuesto ( cae águila y cae 1 ) es igual a la que se obtiene al multiplicar la probabilidad de los eventos simples ( cae águila y cae 1 ), se dice que son esos eventos son independientes. También pueden fijarse en cuántos resultados en el diagrama de árbol están marcados de rojo y azul a la vez. Se darán cuenta de que únicamente el resultado (águila,1) tiene los dos colores. a) Cuáles son todos los resultados favorables a este evento? b) Qué tienen en común todos esos resultados que anotaron? c) Cuál es la probabilidad del evento: en la moneda no cae águila? P(en la moneda no cae águila) = número de resultados favorables del evento = número total de resultados posibles Propósito de la actividad. Ahora los alumnos trabajarán con los eventos complementarios de la actividad anterior, que también son independientes. 153 a) Son 6, todos los resultados en los que ocurre el evento cae sol. b) En la moneda cae sol. c) 6 12 o 1 2 Libro para el maestro 169

5 d) Son doce, todos los resultados posibles. e) = 1 f) Son diez, (águila,2), (águila,3), (águila,4), (águila,5), (águila,6), (sol,2), (sol,3), (sol,4), (sol,5), (sol,6). g) o 5 6 h) Doce, son todos los resultados posibles. i) secuencia 27 d) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: en la moneda cae águila y en la moneda no cae águila, en total, cuántos resultados tienen? e) Sumen las probabilidades de los eventos: en la moneda cae águila y en la moneda no cae águila. P(en la moneda cae águila) + P(en la moneda no cae águila)= + = Otro evento que también pueden observar al realizar el experimento, es en el dado cae un número diferente de 1 f) Cuáles y cuántos son todos los resultados favorables a este evento? g) Cuál es la probabilidad del evento: en el dado cae un número diferente de 1? P(en el dado cae un número diferente de 1) = número de resultados favorables del evento número total de resultados posibles h) Si reúnen los resultados favorables de los eventos: en el dado cae 1 y en el dado cae un número diferente de 1, en total, cuántos resultados tienen? i) Sumen las probabilidades de los eventos: en el dado cae 1 y en el dado cae un número diferente de 1. = Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuál sería el evento complementario de: Caer 5 en un dado de seis caras. No caer 5 en un dado de seis caras. Que llueva. Sacar 10 en al menos uno de los cinco exámenes. Analicen el último ejemplo porque puede ser difícil saber cuál es el evento complementario cuando dice al menos en. Pueden hacer un diagrama de árbol para averiguar cuál es el espacio muestral y obtener así el evento complementario. P(en el dado cae 1) + P(en el dado cae un número diferente de 1)= + = A lo que llegamos En el caso del experimento: Lanzar al mismo tiempo una moneda y un dado y observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. Se dice que el evento en el dado cae un número diferente de 1 es complemento del evento en el dado cae 1, porque todos los resultados favorables del primer evento son diferentes a los resultados favorables del segundo evento y al reunirlos forman el espacio muestral del experimento. Por ejemplo: Al realizar una prueba, fracaso es el complemento del evento éxito ; en el lanzamiento de una moneda, caer águila es el complemento de caer sol ; en 10 lanzamientos de una moneda, al menos una águila es el complemento de ninguna águila. Todo evento tiene un evento complementario y la suma de sus probabilidades es igual a Libro para el maestro

6 MATEMÁTICAS III. En la actividad I del apartado Manos a la obra de esta sesión, dos eventos que se observaron fueron: En la moneda cae águila y en el dado cae 1. Y encontraron que son eventos independientes. En la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesión, trabajaron con los complementos de estos dos eventos: En la moneda no cae águila y en el dado no cae 1. a) Creen que estos nuevos eventos son independientes? Por qué? El evento en la moneda no cae águila es equivalente a en la moneda cae sol y el evento en el dado no cae 1 es equivalente a en el dado cae un número diferente que 1. b) Cuál es el producto de la probabilidad del evento: en la moneda cae sol y del evento: en el dado cae un número diferente de 1? II P(en la moneda cae sol) P(en el dado cae número diferente de 1) = = c) Comparen la probabilidad del evento en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1 con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso b). P(en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1) P(en la moneda cae sol) Son iguales o diferentes? P(en el dado cae un número diferente de 1) d) Son independientes los eventos: en la moneda cae sol y en el dado cae un número diferente de 1? Lo que aprendimos 1. Considera el experimento y el diagrama de árbol que completaste en la sesión 1 de esta secuencia para contestar las siguientes preguntas. Experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, observar la figura y el número de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado. Sugerencia didáctica. Nuevamente pida a sus alumnos que se apoyen en el diagrama de árbol para identificar los resultados favorables a los eventos que se definen en estas preguntas. a) Sí son independientes porque la ocurrencia de uno de los eventos no depende de la del otro. Eso puede verificarse multiplicando las probabilidades de cada evento simple y comparando el resultado con la probabilidad del evento compuesto (que es lo que harán en seguida). Sin embargo, permita que los alumnos opinen al respecto y sigan contestando. 6 b) = = 5 12, o bien, = c) Son iguales. d) El que las probabilidades que se calcularon en el inciso c) sean iguales quiere decir que el evento en la moneda cae sol y el evento en el dado cae un número diferente de 1, son independientes. Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente pida a sus alumnos que copien el diagrama de árbol en sus cuadernos y que marquen los eventos que se señalan a continuación para que cuenten los resultados favorables y puedan determinar las probabilidades. Si ahora consideras los eventos: En la moneda cae sol. En el dado cae 1. En la moneda cae sol y en el dado cae Libro para el maestro 171

7 a) La probabilidad del evento en la moneda cae sol es 1 2, la probabilidad del evento en el dado cae 1 es 6 1, la probabilidad del evento en la moneda cae sol y en el dado cae 1 es Como = 12 1 se puede afirmar que los eventos son independientes. b) La probabilidad del evento en la moneda cae águila es 1 2, la probabilidad del evento en el dado cae un número diferente de 1 es 6 5, la probabilidad del evento en la moneda cae águila y en el dado cae un número diferente de 1 es Como = 12 5 se puede afirmar que los eventos son independientes. Propósito de la sesión. Determinar cuándo dos o más eventos son independientes. Propósito de la actividad. Aparentemente distinguir si dos o más eventos son independientes es sencillo, solamente hay que multiplicar las probabilidades de cada evento simple y comparar el producto con la probabilidad del evento compuesto para ver si son iguales; sin embargo hay situaciones en las que no es tan evidente. En esta sesión los alumnos utilizarán las monedas y los dados por separado porque cuando los experimentos se realizan con una misma moneda o dado es más difícil distinguir que el resultado de cada lanzamiento es independiente del anterior. Sugerencia didáctica. Es importante que realicen los experimentos para que las actividades no consistan sólo en hacer cálculos; por otra parte, puede pedirles que anticipen sus resultados preguntándoles cosas como qué creen que va a salir al lanzar las dos monedas?, si en la primera cae águila qué creen que va a caer en la segunda?, qué resultado creen que sea más probable (águila,águila) o (águila,sol)? secuencia 27 SESIóN 2 Recuerden que: En el experimento de lanzar dos monedas al aire y observar el resultado, se están considerando dos monedas en las que sus caras tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir, son equiprobables. 156 En general, cuando en un experimento de azar ocurre lo anterior, se dice que las monedas son no trucadas o legales. a) Son independientes los eventos: en la moneda cae sol y en el dado cae 1? Si los eventos a considerar son: En la moneda cae águila. Por qué? En el dado cae un número diferente de 1. b) Son independientes los eventos: en la moneda cae águila y en el dado cae un número diferente de 1? Posibles resultados. Aunque hay sólo cuatro posibles resultados, es posible que los alumnos consideren resultados repetidos. Cuando terminen la actividad I del apartado Manos a la obra regresen a esta tabla y corrijan si fuera necesario. Por qué? DOS O más EVENTOS INDEPENDIENTES Consideremos lo siguiente Realicen el siguiente experimento y contesten las preguntas que se plantean. Lancen al mismo tiempo dos monedas al aire y observen el resultado. Anoten el resultado que obtuvieron en el siguiente recuadro: Moneda 1 Moneda 2 Comparen sus resultados con sus compañeros. a) Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron: Si definimos los eventos: Moneda 1 Moneda 2 A: Cae sol en la primera moneda. B: Cae sol en la segunda moneda. C: Cae sol en ambas monedas. 172 Libro para el maestro

8 MATEMÁTICAS II b) Consideran que si cae sol en la primera moneda, este resultado afecta la ocurrencia o no ocurrencia del resultado de la segunda moneda? Por qué? Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anote algunas respuestas en el pizarrón para recuperarlas al final de la sesión. Manos a la obra I. Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pueden obtenerse al lanzar dos monedas al aire. Moneda 1 Moneda 2 Resultados posibles Águila A 12 (A,A) Águila A 12 Sol S 12 (A, S) Lanzar dos monedas Sol S Águila A 1 2 Sol S 12 (S, A) (S, S) a) Cuatro. b) Águila o sol. c) Hay dos resultados posibles. a) En total, cuántos resultados posibles hay? b) Si en la primera moneda cae sol, qué resultados pueden caer en la segunda moneda? c) Cuántos resultados favorables hay para el evento: cae sol en la primera moneda? d) Si en la segunda moneda cae águila, qué resultados pueden caer en la primera moneda? e) Cuántos resultados favorables hay para el evento: cae sol en la segunda moneda? Recuerden que: Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro. d) Águila o sol. e) Hay dos resultados posibles. f) 2 4 = 1 2 g) 2 4 = 1 2 f) Cuál es la probabilidad del evento: caer sol en la primera moneda? P(caer sol en la primera moneda) = g) Cuál es la probabilidad de caer sol en la segunda moneda? P(caer sol en la segunda moneda) = 157 Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo. Libro para el maestro 173

9 h) Uno. i) 1 4 j) = 1 4 k) Las probabilidades son iguales, por lo tanto, el evento en la primera moneda cae sol y el evento en la segunda moneda cae sol son independientes. secuencia 27 h) Cuántos resultados favorables hay para el evento: cae sol en la primera moneda y sol en la segunda moneda, es decir, cae sol en ambas monedas? i) Cuál es la probabilidad del evento: cae sol en ambas monedas? P(cae sol en ambas monedas) = j) Multipliquen las probabilidades de los eventos: cae sol en la primera moneda y cae sol en la segunda moneda. P(cae sol en la primera moneda) P(cae sol en la segunda moneda) = = Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que lanzar dos monedas no trucadas al aire es equivalente a lanzar dos veces una misma moneda. También es importante que sepan que el evento en el primer lanzamiento cae sol es independiente del evento en el segundo lanzamiento cae sol. Con esta actividad aprenderán que en este tipo de experimentos (aleatorios que se repiten en las mismas condiciones) el producto de las probabilidades de los eventos es una potencia en la que el exponente es el número de veces que se repite el experimento o el número de objetos que se lanzan. Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, la potencia será al cuadrado por que se multiplica dos veces la probabilidad, si se lanzan tres será al cubo, etc. Si el experimento es lanzar la misma moneda dos veces también se multiplica dos veces la probabilidad de 1 2, entonces el producto será al cuadrado, si se lanza tres veces será al cubo, etcétera. Por otra parte, con el análisis y comparación de estos dos experimentos se establece un antecedente para los contenidos y habilidades que se estudiarán en tercer grado sobre simulación. 158 k) Comparen la probabilidad del evento: cae sol en ambas monedas con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. Son iguales o diferentes? Son independientes los eventos: cae sol en la primera moneda y cae sol en la segunda moneda? ii. Ahora, realicen el siguiente experimento: Lancen una moneda dos veces al aire y observen la sucesión de águila y sol que obtienen. a) Anoten el resultado que obtuvieron al realizar el experimento en el siguiente recuadro: Primer lanzamiento Segundo lanzamiento b) Comparen sus resultados con sus compañeros. Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron en su grupo. Primer lanzamiento Segundo lanzamiento 174 Libro para el maestro

10 MATEMÁTICAS c) Completen el siguiente diagrama de árbol con los resultados diferentes que pueden obtenerse al lanzar una moneda dos veces al aire. II Primer Lanzamiento Segundo Lanzamiento Resultados posibles Águila A 12 (A,A) Lanzar una moneda dos veces Águila A 12 Sol S Sol S 12 Águila A 1 2 Sol S 12 (A, S) (S, A) (S, S) Sugerencia didáctica. Los diagramas son iguales porque los resultados de los experimentos no varían si se hacen con dos monedas o con una. Pida a los alumnos que opinen por qué creen que sucede esto. d) Son iguales. d) Comparen los resultados posibles que obtuvieron en el diagrama de árbol de este experimento con los resultados posibles del experimento de las dos monedas que realizaron en el apartado Manos a la obra. Son iguales o diferentes? e) 2 4 = 1 2 f) 2 4 = 1 2 e) Al lanzar una moneda dos veces al aire. Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en el primer lanzamiento"? P(cae sol en el primer lanzamiento) = f) Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en el segundo lanzamiento"? P(cae sol en el segundo lanzamiento) = g) Cuál es la probabilidad del evento: "caer sol en ambos lanzamientos"? P(caer sol en ambos lanzamientos) = h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: cae sol en el primer lanzamiento y cae sol en el segunda lanzamiento. Recuerden que: Una potencia es una multiplicación de un número por sí mismo varias veces. g) 1 4 h) = 4 16 = 1 4, o bien, = 1 4 i) Son iguales, por lo tanto, el evento en la primera moneda cae sol y el evento en la segunda moneda cae sol son independientes. P(cae sol en el primer lanzamiento) P(cae sol en el segundo lanzamiento) = = i) Comparen la probabilidad del evento: cae sol en ambos lanzamientos con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. Son iguales o diferentes? 159 Libro para el maestro 175

11 a) Tres veces. b) Ocho resultados diferentes. Si A es águila y S es sol, son los siguientes: SSS SSA SAS SAA ASS ASA AAS AAA c) Sol o águila en cualquiera de los casos. d) Sol o águila en cualquiera de los casos. e) Uno. f) 1 8 g) 4 8 o 1 en todos los casos. 2 h) = = 1 8 o = 1 8 i) Son iguales. j) Son eventos independientes. secuencia 27 Son independientes los eventos: cae sol en el primer lanzamiento y cae sol en el segundo lanzamiento? iii. Se lanzan tres monedas (no trucadas) al mismo tiempo y se observa la sucesión de águilas y soles que caen. a) Cuántas veces tienes que lanzar una moneda para realizar un experimento equivalente a lanzar tres monedas al mismo tiempo? b) En tu cuaderno, elabora el diagrama de árbol con los resultados diferentes que se obtienen al lanzar tres monedas al aire. En total, cuántos resultados posibles diferentes hay? c) Si en la segunda moneda cae águila, qué resultados pueden caer en la tercera moneda? Y cuáles en la primera? d) Si en la tercera moneda cae sol, qué resultados pueden caer en la segunda moneda? Y cuáles en la primera? e) Cuántos resultados favorables hay para el evento: cae sol en las tres monedas? f) Cuál es la probabilidad del evento: cae sol en las tres monedas? g) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: P(cae sol en la primera moneda) = P(cae águila en la segunda moneda) = P(cae sol en la tercera moneda) = h) Multiplica las probabilidades de los 3 eventos que calculaste en el inciso anterior. P(cae sol en la primera moneda) P(cae sol en la segunda moneda) P(cae sol en la tercera moneda) = = i) Compara la probabilidad del evento: cae sol en las tres monedas con el producto de las probabilidades de los tres eventos que obtuviste en el inciso anterior. Son iguales o diferentes? Libro para el maestro

12 MATEMÁTICAS II j) Son independientes los eventos: cae sol en la primera moneda, cae sol en la segunda moneda y cae sol en la tercera moneda? Comparen sus respuestas y comenten: a) Si se lanzan las tres monedas al mismo tiempo, cuál es la probabilidad de caer sol en la primera moneda, águila en la segunda y sol en la tercera? a) y b) La probabilidad es la misma en ambos casos, = 8 1 porque caer sol en x lanzamiento es un evento independiente de anteriores o posteriores lanzamientos, ya sea que se realicen con una moneda o con varias. b) Si se lanzan tres monedas, los eventos: cae sol en la primera moneda, cae águila en la segunda moneda y cae sol en la tercera moneda, son independientes? Por qué? A lo que llegamos Cuando un mismo experimento se repite dos o más veces, y los eventos que se observan tienen probabilidades iguales y son independientes, entonces el producto de las probabilidades es una potencia. Lo que aprendimos 1. Se lanza una moneda (no trucada) cinco veces consecutivamente, cuál de las siguientes sucesiones es más posible que resulte? (A = águila y S = sol) a) SSSAA b) ASSAS c) ASAAA d) SASAS e) Las cuatro sucesiones son igual de posibles. Por qué crees que sucede eso? Sugerencia didáctica. Comenten esta información en grupo. Explique que el cálculo de la probabilidad de los eventos anteriores también pueden expresarlo como una potencia, en este caso ( 1 2 )3. Plantee varios ejercicios en los que expresen el cálculo de la probabilidad como una potencia, por ejemplo: La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga siempre 5. La probabilidad de que al lanzar tres veces un dado de seis caras salga 1, 2 y 3 en ese orden. La probabilidad de que llueva el sábado y llueva el domingo. La probabilidad de que al lanzar cuatro monedas al mismo tiempo en todas caiga águila. 2. Se lanzan dos dados (no trucados) de seis caras cada uno, al mismo tiempo. Completa el siguiente arreglo rectangular con los resultados diferentes que pueden obtenerse al lanzar dos dados. Respuesta. Cualquiera de las cuatro sucesiones puede ocurrir con la misma probabilidad de 1 2 elevado a la quinta potencia. 161 Otra manera de interpretarlo es que cada sucesión de águilas y soles es única, como decir que caigan 5 soles o 5 águilas. Propósito de la actividad. Ahora se les recomienda que utilicen el arreglo rectangular como otro recurso para analizar qué sucede al lanzar dos dados al mismo tiempo. También puede preguntarles qué sucede al lanzar tres dados y cómo se haría el experimento si se tiene únicamente un dado. Posibles dificultades. Quizá los alumnos antepongan intuiciones al cálculo de probabilidades, por ejemplo, supuestas rachas en las que cae una moneda. Son importantes la justificaciones que den, así que pídales que expliquen sus creencias y coméntenlas en grupo. Libro para el maestro 177

13 secuencia 27 Segundo dado ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6 a) 36 resultados posibles. b) 6 36 = c) 36 = 1 6 d) 1 36 e) Sí son independientes porque la probabilidad del evento obtener seis en el primer dado multiplicada por la probabilidad del evento obtener seis en el segundo dado es igual a la probabilidad del evento compuesto obtener seis en el primer dado y obtener seis en el segundo dado. Propósito de la sesión. Distinguir entre eventos independientes y dependientes. Primer dado 3 3,1 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,5 5,6 6 6,1 6,2 a) En total, cuántos resultados posibles hay? b) Cuál es la probabilidad del evento: obtener un seis en el primer dado? P(obtener un seis en el primer dado) = c) Cuál es la probabilidad del evento: obtener un seis en el segundo dado? P(obtener un seis en el segundo dado) = d) Cuál es la probabilidad del evento: obtener seis en ambos dados al lanzarlos al mismo tiempo? e) Al lanzar dos dados, los eventos, obtener un seis en el primer dado y obtener un seis en el segundo dado, son independientes? Por qué? Propósito de la actividad. Las situaciones A y B plantean dos experimentos aleatorios distintos debido a que al regresar o no regresar la primera pluma a la bolsa, el número de resultados posibles cambia por lo que se obtienen dos espacios de resultados diferentes. Los alumnos verán que cambiando las condiciones en las que se realiza un experimento los eventos pueden ser independientes o dependientes. SESIóN EVENTOS INDEPENDIENTES y DEPENDIENTES Consideremos lo siguiente Un profesor tiene una bolsa con cinco plumas iguales, dos de las cuales ya no pintan. Saca una pluma al azar y se la presta a un alumno; luego éste la regresa a la bolsa. Momentos después, otro alumno también le pide una pluma, luego la regresa a la bolsa. Cuáles son los resultados posibles en esta situación? Sugerencia didáctica. Traten de simular esta situación porque quizá no sea sencillo para los alumnos determinar el espacio muestral. Si se extrae una pluma y se regresa a la bolsa, en cada extracción hay 5 resultados posibles, y en las dos extracciones hay 5 5 resultados posibles. Esta situación también está relacionada con la sesión anterior porque es equivalente a Libro para el maestro

14 MATEMÁTICAS Situación A Si se consideran los eventos: En la primera extracción al azar la pluma no pinta. En la segunda extracción al azar la pluma no pinta. En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan. Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos. a) En la primera extracción al azar la pluma no pinta. II a) Para este evento hay 10 resultados favorables de 25 resultados posibles, por lo que la probabilidad es = 2 5. b) = 2 5 c) Hay cuatro resultados favorables, por lo tanto la probabilidad es d) Sí son independientes. b) En la segunda extracción al azar la pluma no pinta. c) En la primera y en la segunda extracción al azar las plumas no pintan. d) Los eventos: en la primera extracción al azar la pluma no pinta y en la segunda Situación B extracción al azar la pluma no pinta, son independientes? Si ahora al realizar la primera extracción, el profesor no regresa la pluma a la bolsa. e) Cuáles son los resultados posibles que hay? f) Cuál es la probabilidad del evento en la primera extracción la pluma no pinta? g) Cuál es la probabilidad del evento en la segunda extracción la pluma no pinta? h) Y cuál es la probabilidad del evento en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan? i) Si en la primera extracción al azar, la pluma no pinta y no se regresa a la bolsa, afecta la probabilidad de que en la segunda extracción la pluma que se saque ya no sirva? Por qué? Manos a la obra I. En su cuaderno, elaboren el diagrama de árbol para la situación A, como muestra en la siguiente figura, y utilicenlo para contestar las siguientes preguntas. Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol, Opciones iguales para construir el diagrama completo. 163 Posibles dificultades. Con esta condición los resultados posibles cambian porque en la segunda extracción hay una pluma menos. Tal vez algunos alumnos tengan problemas al enumerar todos los resultados y traten de distinguir cada pluma. Permítales utilizar cualquier recurso del que dispongan para determinar el espacio muestral. Sugerencia didáctica. Es importante que permita a los alumnos explorar la situación y llegar a sus propias conclusiones, aunque sean erróneas. En el apartado Manos a la obra tendrán oportunidad de verificar sus resultados. e) Si no se regresa la pluma a la bolsa después de cada extracción, entonces para la segunda extracción habrá cuatro resultados posibles (en vez de cinco). Entonces en las dos extracciones habrá 5 4 resultados posibles. f) La probabilidad del evento en la primera extracción la pluma no pinta es 8 20 = 2 5. g) La probabilidad del evento en la segunda extracción la pluma no pinta es 8 20 = 2 5. h) La probabilidad del evento en la primera y en la segunda extracción la pluma no pinta es 20 2 = i) Si después de la primera extracción la pluma no se regresa a la bolsa sí afecta los resultados de la segunda extracción porque hay un resultado posible menos. Libro para el maestro 179

15 secuencia 27 Primera extracción Segunda extracción Resultados posibles No pinta la pluma (No pinta, no pinta) No pinta la pluma No pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma No pinta la pluma No pinta la pluma Extraer de una bolsa dos plumas regresando la primera pluma que se extrae Sí pinta la pluma No pinta la pluma No pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma (Sí pinta, no pinta) Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma a) 25. b) En 10. c) La probabilidad es = 2 5. d) En 10, la probabilidad es = 2 5. a) En la situación A, cuántos resultados posibles diferentes hay? b) En cuántos de esos resultados posibles en la primera extracción la pluma no pinta? c) En la situación A, cuál es la probabilidad del evento: en la primera extracción la pluma no pinta? d) En cuántos resultados en la segunda extracción la pluma no pinta? Libro para el maestro

16 Cuál es la probabilidad de ese evento? MATEMÁTICAS e) Cuál es la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan? f) Comparen la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan con el producto de la probabilidad del evento: "en la primera extracción al azar, la pluma no pinta" y la probabilidad del evento: "en la segunda extracción al azar, la pluma no pinta". Son iguales o diferentes? g) En la situación A, los eventos "en la primera extracción al azar la pluma no pinta" y "en la segunda extracción al azar la pluma no pinta", son independientes esos eventos? II. Ahora, completen el siguiente diagrama de árbol que corresponde a la situación B cuando no se regresa la pluma en la primera extracción. II 4 e) 25 f) Son iguales. g) Sí son independientes. Primera extracción Segunda extracción Resultados posibles No pinta la pluma (No pinta, no pinta) No pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma No pinta la pluma Extraer de una bolsa dos plumas sin regresar la primera pluma que se extrae Sí pinta la pluma No pinta la pluma Sí pinta la pluma (Sí pinta, no pinta) Sí pinta la pluma Sí pinta la pluma 165 Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas. Sugerencia didáctica. Si lo considera oportuno puede ocupar el interactivo Diagrama de árbol en la opción Muchos recorridos, para construir el diagrama completo. Libro para el maestro 181

17 a) 8 de 20 resultados posibles. b) La probabilidad es 8 20 o 2 5. c) En ocho. d) La probabilidad es 8 20 o 2 5. e) En dos. f) La probabilidad es 2 20 = g) No son independientes porque el resultado de multiplicar la probabilidad del evento en la primera extracción no pinta por la probabilidad del evento en la segunda extracción no pinta ( = 25), 4 no es igual a la probabilidad del evento compuesto en la primera y en la segunda extracción no pinta ( 10 1 ). secuencia 27 a) En cuántos de estos resultados posibles en la primera extracción al azar la pluma no pinta? b) En la situación B, cuál es la probabilidad del evento: en la primera extracción al azar la pluma no pinta? c) En cuántos de los resultados posibles en la segunda extracción la pluma no pinta? d) Cuál es la probabilidad del evento: en la segunda extracción la pluma no pinta? e) En cuántos resultados posibles en ambas extracciones las plumas no pintan? f) Cuál es la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extracción las plumas no pintan? g) En esta nueva situación, en la que no se regresa la primera pluma que se extrae, los eventos: en la primera extracción la pluma no pinta y en la segunda extracción la pluma no pinta, son independientes? Por qué? Sugerencia didáctica. Puede ser útil que los alumnos elaboren un arreglo rectangular o un diagrama de árbol para encontrar las respuestas. a) 4 de 16 resultados posibles, así que la probabilidad es 4 16 = 1 4. b) Sí son independientes. c) 6 de 12 resultados posibles, así que la probabilidad es 6 12 = 1 2. iii. En una caja hay 2 chicles de sabor menta y 2 de sabor canela, se saca sin ver un chicle, se anota su sabor y luego, se regresa. Otra vez se saca un chicle y se anota su sabor. Los eventos que se observan son: El primer chicle que se saca es de sabor canela. El segundo chicle que se saca es de sabor menta. El primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo chicles es de sabor menta. a) Cuál es la probabilidad del evento: el primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo es de sabor menta? b) Son independientes los dos primeros eventos? Por qué? Si al sacar el primer chicle, no lo regresan a la caja y sacan otro chicle. c) Cuál es la probabilidad de que el primer chicle que se saca es de sabor canela? Libro para el maestro

18 MATEMÁTICAS II d) Cuál es la probabilidad de que el segundo chicle que se saca es de sabor menta? d) 6 12 = 1 2 e) Cuál es la probabilidad del evento: el primer chicle que se saca es de sabor canela y el segundo es de sabor menta? e) 4 12 = 1 3 f) No son independientes. f) En este experimento, son independientes los dos primeros eventos? Por qué? A lo que llegamos Se dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de los eventos afecta el valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultáneamente es diferente que el producto de la probabilidad de un evento por la del otro. Lo que aprendimos 1. Escribe en la línea de la derecha si los eventos son independientes o dependientes en cada inciso, y justifica tu respuesta. a) Se lanzan un par de dados de seis caras. Los eventos son: número par en el primer dado y número impar en el segundo dado. b) Se escogen dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas azules, con reemplazo. Los eventos son: la primera canica es roja y la segunda canica es azul. 2. Para conocer más ejemplos de situaciones de azar y eventos dependientes e independientes pueden ver el programa Probabilidad y eventos independientes. Para saber más Sobre otros ejemplos de problemas de eventos independientes, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. El azar y el triángulo de Pascal en Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. México: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincón, Explora las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos independientes y Frecuencia y probabilidad con Logo. 167 Sugerencia didáctica. Es importante hacer notar a los alumnos que para calcular la probabilidad de la situación A y la de la situación B de las actividades I y II, (y las que aparecen en la actividad III), se multiplican las probabilidades de los eventos. Si el resultado de esa multiplicación es igual a la probabilidad de la intersección, es decir, cuando ocurren a la vez los eventos considerados, puede afirmarse que son independientes. Si no son iguales, los eventos son dependientes. Integrar al portafolios. Incluya esta actividad y pida a los alumnos que en la copia que le entreguen se incluyan los procedimientos utilizados. a) Son independientes. Los resultados posibles son 36, los resultados favorables del primer evento son 12 y también del segundo evento son 12, los resultados favorables del evento compuesto son 9 de 36 resultados posibles. La probabilidad del evento compuesto es 1 4 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples. b) Son independientes. Los resultados posibles son 100, los resultados favorables del primer evento son 50, los resultados favorables del segundo evento son 50, los resultados favorables del evento compuesto son 25. Propósito del programa integrador 22. Mostrar ejemplos de situaciones de azar y distinguir si varios eventos son independientes o no. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión. Propósito del interactivo. Ampliar los conceptos de probabilidad abordados en la secuencia. La probabilidad del evento compuesto es 1 4 y es igual al producto de probabilidades de los eventos simples. Recuerde que. Los experimentos de azar con reemplazo son aquellos en los que, sin importar el número de repeticiones del experimento, siempre hay el mismo número de resultados posibles. En este caso, significa que después de sacar una canica de la urna hay que devolverla antes de hacer la segunda extracción. Libro para el maestro 183

19 Propósito de la sesión. Interpretar y relacionar diferentes gráficas de línea que representan la variación en el tiempo de uno o más elementos de una situación. secuencia 28 Gráficas de línea Descripción del video. Se da un panorama general de la importancia del turismo para nuestro país. El video es de introducción al tema y su objetivo es presentar el contexto a partir de datos y gráficas que muestran la evolución y el crecimiento de esta actividad en las principales plazas turísticas de México. Sugerencia didáctica. Sin duda, el turismo es una de las principales actividades económicas del país. Pregunte a sus alumnos si en su localidad hay algún sitio o actividad que atraiga al turismo local o extranjero. SESIóN 1 En esta secuencia aprenderás a interpretar y utilizar gráficas de línea que representan características de un fenómeno para obtener información y tomar decisiones. TURISMO, EMPLEOS Y GRÁFICAS DE LÍNEA Para empezar El turismo: una ocupación interesante México ofrece al mundo una diversidad de atractivos turísticos: playas, zonas arqueológicas, eventos recreativos y culturales, etc. La Secretaría de Turismo pone a disposición de todos información sobre las cifras de dinero que se recauda mensualmente por la actividad turística y el número de empleos que se generan. Por ejemplo, en el año 2005, cerca de dos millones de personas tuvieron un empleo relacionado directamente con la atención al turismo nacional e internacional. Propósito de la actividad. Hasta este momento, en el eje horizontal de las gráficas estadísticas los alumnos habían representado intervalos, en su mayoría iguales (del mismo tamaño). En esta secuencia los alumnos verán que cuando en el eje horizontal se gráfica alguna unidad de tiempo (días, meses, años, etc.) corresponde a una gráfica de línea. a) empleos en enero y en febrero. b) empleos. c) Mayo y junio. Consideremos lo siguiente La siguiente gráfica presenta la variación que se dio en el número de empleos relacionados con la actividad turística en nuestro país en el año Número de empleos (en miles) Número de empleos relacionados con el turismo en el año 2005 ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic Meses 168 Eje Manejo de la información. Tema Representación de la información. Antecedentes Propósito de la secuencia Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones. Sesión Propósitos de la sesión Recursos 1 Turismo, empleos y gráficas de línea Interpretar y relacionar diferentes gráficas de línea que representan la variación en el tiempo de uno o más elementos de una situación. Video El turismo: una ocupación interesante Interactivo Gráficas de línea en la estadística Los alumnos ya conocen distintas formas de representación de la información como los polígonos de frecuencias, las gráficas de barras y circulares tanto de frecuencia absoluta como de frecuencia relativa. En esta secuencia aprenderán a interpretar y utilizar las gráficas de línea. 2 3 Sabes cuántas personas visitan el estado en que vives? Interpretar y elaborar gráficas de línea en un mismo plano. Cuántos extranjeros nos visitaron? Interpretar y utilizar dos gráficas de línea que corresponden a aspectos diferentes de la misma situación. Interactivo Gráficas de línea en la estadística Programa integrador Libro para el maestro