ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS LABORATORIO DE FÍSICA A

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1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS LABORATORIO DE FÍSICA A Profesor: Ing. Carlos Alberto Martínez Briones Título de la práctica: Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Realizado por: Grupo de trabajo: Fecha de práctica: Miriam Vanessa Hinojosa Ramos Gisell Litardo Vanessa Hinojosa Carlos Lecaro Jueves, 12 de agosto de 2010 Fecha de elaboración: Jueves, 19 de agosto de 2010 Fecha de entrega: Lunes, 23 de agosto de 2010 Paralelo: 13 Semestre: Primer término Año:

2 RESUMEN: En la práctica de hoy procuraremos entender el concepto de un Movimiento Armónico Simple mediante la utilización de un oscilador armónico de tal forma que este equipo relativamente nuevo para nosotros nos permita obtener datos para generar dos gráficas que nos ayudarán por medio de dos métodos a obtener la constante elástica del resorte. FIGURA 1 Esta es la gráfica de un Movimiento Armónico Simple, la misma contiene todas las características del movimiento en detalle, es decir, la amplitud, el período de oscilación, el ángulo de fase y la frecuencia angular, una constante. A más de esto se puede observar que es una función seno ya conocida por nosotros. ABSTRACT: In today s practice we will try to understand the concept of a Harmonic Simple Movement by using a harmonic oscillator in such a way that this relatively new equipment for us allows us to obtain information to generate two graphs that will help us by two methods to obtain the elastic constant of the spring. Palabras Clave: Fuerza restauradora Función periódica Oscilador armónico OBJETIVOS: Estudiar el comportamiento del oscilador armónico. Medir algunas características del Movimiento Armónico Simple. Hallar la constante elástica del resorte. 2

3 INTRODUCCIÓN: Para comprender de mejor manera la parte teórica del experimento es preciso repasar ciertos conceptos primero, como se detalla a continuación. Cuándo hablamos de fuerzas restauradoras? Una fuerza restauradora en física, es una fuerza variable que brinda equilibrio a un sistema. Si el sistema es perturbado del equilibrio, entonces la fuerza tenderá a regresarlo al equilibrio. Un ejemplo es el resorte, un resorte ideal ejerce una fuerza que es proporcional a la elongación del resorte. Halando al mismo hasta una elongación mayor causa que se ejerza una fuerza en sentido opuesto que lo hale hacia su posición de equilibrio. Qué es una función periódica? En matemática, una función es periódica si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período:, donde P es el período. En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquel en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período. En qué consiste un oscilador armónico? Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable. El ejemplo típico es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación. Ley de Hooke En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F: 3

4 siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico. Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, revelando su contenido un par de años más tarde. Función Seno Llamaremos función seno a aquella que asocia a cada ángulo el valor del seno correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = Sen x. Dominio (todos los números reales) Recorrido o Imagen Continuidad Es continua en todos los puntos Simetría Simetría impar Periodicidad Periódica con periodo T = 2 (360º) Puntos de corte con eje Y En y = 0 Puntos de corte con eje X En x = k (siendo k un número entero) Función Coseno Llamaremos función coseno a aquella que asocia a cada ángulo el valor del coseno correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = Cos x. Dominio (todos los números reales) Recorrido o Imagen Continuidad Es continua en todos los puntos Simetría Simetría par Periodicidad Periódica con periodo T = 2 (360º) Puntos de corte con eje Y En y=1 Puntos de corte con eje X En x = 90º + k (siendo k un número entero) 4

5 Marco Teórico de la Práctica Oscilador armónico Si sobre un cuerpo de masa m se aplica una fuerza resultante proporcional a la distancia a la posición de equilibrio de x y siempre dirigida hacia esa posición, se dice que está bajo la influencia de una fuerza restauradora de la forma: Ec. 1 Donde F es la fuerza resultante y K es una constante de proporcionalidad, el signo indica la orientación de la fuerza hacia la posición de equilibrio. Al sistema mecánico así constituido se denomina un Oscilador armónico. El movimiento libre de un sistema mecánico, como el descrito en el párrafo anterior, es una oscilación periódica alrededor de la posición de equilibrio. La importancia del estudio de este sistema reside en que oscilaciones de sistemas más complejos pueden ser modelados como una combinación de oscilaciones elementales de un oscilador armónico. Un bloque de masa m acoplado a un resorte de constante elástica K, como el indicado en la figura, es un Oscilador armónico. La ecuación #1 puede ser escrita también de acuerdo a la Segunda Ley de Newton, como: Ec. 2 La solución de la ecuación diferencial Ec. 2 es una función armónica. Ec. 3 En donde es el ángulo de fase. A0 es la amplitud de oscilación, es una constante ( =2 /T), donde T es el período de oscilación, que es el tiempo de una oscilación completa. Ec. 4 Derivando la Ec. 3 se obtiene la velocidad. Ec. 5 La velocidad máxima de acuerdo a la Ec. 5 será: Ec. 6 La aceleración del sistema se obtiene derivando la Ec. 5: Ec. 7 La aceleración máxima se da en los extremos de la oscilación y es una magnitud de acuerdo a la Ec 7: 5

6 Ec. 8 La aceleración mínima es cero en el centro de oscilación y corresponde a la posición de equilibrio mecánico, en esta posición también es cero la fuerza sobre la masa. Determinación de la constante del resorte (k) Para calcular la constante del resorte, se suspende sucesivamente del resorte indicado en el esquema de masas conocidas M y se mide la elongación x del resorte correspondiente a cada masa, utilizando las cifras significativas que indique la escala. De acuerdo a la Ley de Hooke la constante para cada valor medido de la fuerza y masa será k= F/x. El valor que se tomará será todo el promedio de las constantes calculadas. Materiales: PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: El equipo de ensamblaje consta: Equipos de MAS (Driven Harmonic Motion Analizer Reglas de madera o flexómetros Arandelas y pesas Balanza mecánica FIGURA 2 6

7 Experimento: Procedimiento Experimental 1 1. Arme el oscilador, según lo indicado para nuestra práctica este paso no fue necesario porque el equipo ya estaba listo. 2. Conecte el contador digital para mediciones de tiempo con preselección de impulso. 3. La barrera de luz debe ser interrumpida por la masa que oscila. 4. Mida el período de oscilación del oscilador aplicando la misma fuerza para cada medición. 5. Cambie la masa suspendida y tome las mediciones de los períodos de oscilación correspondiente a cada masa. 6. Complete la tabla de datos. Procedimiento Experimental 2 1. Establezca un nivel de referencia para a partir del mismo cuanto se ha estirado el resorte. 2. Suspenda las masas conocidas sucesivamente del resorte indicado. 3. Mida la elongación del resorte correspondiente a cada masa. 4. Calcule usando la Ley de Hooke la constante elástica. 5. Determine el valor promedio de las constantes obtenidas. Fotos del Experimento Experimento en Imágenes Procedimientos 1 y 2 Escuchando atentamente las indicaciones de nuestro profesor. Colocando correctamente el nivel de referencia cuando se prende el foco rojo 7

8 Aplicando una fuerza pequeña e igual para cada una de las masas (vibración del sistema que experimenta MAS). Colocando masas gradualmente para ir anotando las diferentes elongaciones del resorte. Pesando las masas y la platina usadas en el experimento. FIGURA 3 RESULTADOS: Abreviaciones: Juego de Masas Platina Pt Anillo 1 A1 Anillo 2 A2 Anillo 3 A3 Anillo 4 A4 Anillo 5 A5 Anillo 6 A6 8

9 Tablas de Datos Experimentales: Procedimiento Experimental 1 Tabla 1.- Mediciones Directas Registradas: Masa colocada M (kg) M = ± (kg) Período de Oscilación T (s) T = ± 0.01 (s) *Estas mediciones fueron obtenidas directamente del equipo para MAS y la balanza. Cálculos para tablas: Pesaje de juego de masas Pesaje de masas colocadas en el resorte 9

10 Masa colocada M (kg) M = ± (kg) Procedimiento Experimental 2 Tabla 2.- Mediciones Directas e Indirectas Registradas: Fuerza Aplicada Elongación del F (N) resorte N = ± 0.01 x (m) (N) x = ± 0.01 (m) Constante del Resorte K=F/x (N/m) K = ± 0.01 (s) K promedio 7.15 *Estas mediciones fueron obtenidas directamente del equipo para MAS y la balanza. Cálculos para tablas: Fuerza aplicada por masas colocadas en el resorte 10

11 Elongación del resorte Constante Elástica del resorte 11

12 Constante Elástica Promedio del Resorte 12

13 Gráficos.- Gráfico 1.- Período de Oscilación vs. Masa del Sistema. Gráfico 2.- Fuerza aplicada (Peso) vs. Elongación del Resorte. (Ver anexos) Cálculos de los gráficos.- Gráfico 1.- Período de Oscilación vs Masa del Sistema << T vs M >> Papel Logarítmico (Log-Log) Cálculo Experimental de la Pendiente: Consideramos al numerador como una función x/y y al denominador igual hallando el valor promedio y la incertidumbre para numerador y denominador respectivamente y con estas mediciones adquiridas, aplicamos el mismo proceso de manera global para hallar el valor de la pendiente y su incertidumbre absoluta. 13

14 Incertidumbre Absoluta de la Pendiente: Valor Experimental de la pendiente (n): Cálculo Teórico de (pendiente): Partiendo de las ecuaciones tenemos la expresión del período de oscilación que comparándola con la ecuación para papel log-log, se observa lo siguiente. 14

15 Diferencia Relativa entre el valor teórico y experimental de la pendiente: Cálculo Experimental del Intercepto: Cálculo Dinámico de la constante del resorte: Fuerza aplicada (Peso) vs. Elongación del Resorte << F vs x >> Cálculo Experimental de la Pendiente: Incertidumbre Absoluta de la Pendiente: 15

16 Valor Experimental de la pendiente (K): Diferencia Relativa entre el valor teórico y práctico para la Ley de Hooke de la constante del resorte: CÁLCULO GENERAL Diferencia Relativa entre el valor dinámico (MAS) y estático (Hooke) de la constante del resorte: 16

17 DISCUSIÓN: Análisis de la Práctica A cerca del conocimiento adquirido del oscilador armónico podemos indicar que el mismo nos permitió entender con mayor claridad este tipo de movimiento nuevo para nosotros, cumpliendo con el primer objetivo de la práctica. Para este caso se analizarán cuatro parámetros incluidos y debidamente repartidos en dos gráficas esenciales, el primero << T vs M >> y el segundo << F vs x >>. Hasta ahora la mayoría de gráficas que se nos han presentado han tenido una tendencia lineal o han presentado proporcionalidad directa. Para la primera gráfica es necesario notar que ya no estamos frente a la común forma Y= mx+b, sino que tiene la forma de Y = Y 0 X n, por lo que el papel logarítmico entra en uso. Si volvemos a la parte de las ecuaciones y observamos en detalle la Ec. 4 es preciso usar otro tipo de papel para su graficación. Esto se deduce si hacemos la comparación respectiva, teniendo en cuenta que para nosotros el período de oscilación y la masa del sistema serán nuestras respectivas ordenadas y abscisas. También está el intercepto que no caracteriza algún rasgo conocido del Movimiento Armónico Simple pero que de todas formas es de gran ayuda al momento de determinar la constante elástica del resorte que depende directamente del número y del mismo intercepto que se lo obtiene de nuestra gráfica aplicando Y 0 = Y/X n Esto por cuanto, no podemos dejar a libertad el realizar un aproximado de esta medición ya que esto conduciría a más errores. Para evitar mayores contratiempos es preferible reemplazar datos no experimentales en la ecuación antes mencionada y despejar el intercepto. No hay que perder de vista que en el experimento, esta gráfica se le atribuye al procedimiento dinámico. Para el caso de la segunda gráfica tendremos el método estático, es decir el mismo que se deriva de la Ley de Hooke, como fuerza restauradora en el oscilador armónico. En esta ecuación ya manejada varias veces por nosotros resulta sencillo indicar nuestro eje de coordenadas. Analizando los errores que se cometieron en la práctica, los porcentajes estuvieron entre el 0% y el 15%. Esto nos indica que hubieron aspectos en los que no se colocó la debida atención pero igual nos encontramos en un rango aceptable para la práctica ya que la misma tiende a ser una en la que más se genera error por parte de los estudiantes.

18 Para la primera gráfica se tuvo un porcentaje de error del 14.00% entre los valores teóricos y experimentales. En cuanto a la segunda gráfica, se realizó la comparación entre el valor de la constante del resorte obtenida mediante el método dinámico y la obtenida mediante el estático, el porcentaje para la pendiente del segundo gráfico fue 0.84%. Esta práctica suma demasiados errores ya que el ojo electrónico, es decir, el sensor de luz y su correcta ubicación en comparación al resorte de acuerdo al sistema de medición está sujeto a la mano de cualquier estudiante y como se sabe estamos sujetos a cometer errores. Al momento de que un estudiante aplica la fuerza mínima para que experimente el oscilador un movimiento armónico, existe otra fuente de errores por lo que nada me respalda que la magnitud de la fuerza aplicada sea la misma para cada medición. A esto se le suma obviamente los errores de los equipos y el sistema de medición. Al analizar los gráficos fueron despreciados los datos: #2 y 3 de la primera gráfica ya que su perpendicularidad hacia la recta era notable comparada a la del resto de datos y del segundo no fue necesario ya que todos los puntos tenían una misma tendencia lineal y la mayoría coincide con la línea de mayor ajuste. En cuanto a los otros aspectos se intentó mantener como objetivo único la precisión pero también sabemos que llegar a ella es un camino bien complicado y siempre tratamos de acercarnos con aproximaciones en algunos casos pequeñas y en otros casos, como ahora, un tanto más grandes. 18

19 CONCLUSIÓN: El oscilador armónico fue estudiado mediante el análisis gráfico del comportamiento de la fuerza restauradora actuante vs la elongación del mismo, mediante la gráfica pudimos notar que la pendiente era la constante elástica del resorte. Se lograron establecer ciertas características del Movimiento Armónico Simple, en las deducciones para las ecuaciones de las cuales se derivan las gráficas en las mismas se indicó lo que son ángulos de fase, frecuencia angular, amplitud, período de oscilación, etc. Se pudo establecer el valor numérico de la constante elástica, esta la obtuvimos mediante un análisis de las dos gráficas realizadas. El primer método es el dinámico por medio del MAS, cuyo intercepto fue reemplazado en la Ec. 4 por el período de oscilación para el cálculo de la constante. El segundo método es el estático, aplicando la Ley de Hooke evidenciamos una relación lineal y directamente proporcional entre la fuerza aplicada y los pesos. Por lo que, se realizó en hojas de papel milimetrado. Como recomendación se puede indicar que la experiencia fue la misma debido a que se utilizaron los mismos equipos pero que mediante el método estático, es decir, Ley de Hooke se obtuvo el porcentaje de error menor por lo que se deduce que el mismo es más confiable que el otro procedimiento. BIBLIOGRAFÍA: Recursos Web: Textos Consultados: Guía de Laboratorio de Física A, Escuela Superior Politécnica del Litoral, ICF, Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta Microsoft Corporation. Halliday D., R. Resnick Fundamentos de física: versión ampliada. Editorial Continental, S.A. México DF. 1000p. 19

20 PREGUNTAS: 1.) Procedimiento Dinámico 1.2) Encuentre el valor de la constante K a partir del gráfico logarítmico. Cálculo Dinámico de la constante del resorte: 2.) Procedimiento Estático 2.1) Calcule la constante promedio del resorte. 2.2) Encuentre la diferencia porcentual entre los valores de K hallados por MAS y por Ley de Hooke. Diferencia Relativa entre el valor dinámico (MAS) y estático (Hooke) de la constante del resorte: 20

21 Diagrama V DE GOWIN: 21

22 . ANEXOS: BORRADOR DE LA PRÁCTICA 22

23 ANEXOS: GRÁFICOS DE LA PRÁCTICA 23