Modelos autocorrelados: Un caso particular de los modelos de regresión lineal generalizado

Transcripción

1 Modelos autocorrelados: Un caso particular de los modelos de regresión lineal generalizado El fallo de la suposición de dependencia: El efecto del tiempo

2 Introducción al modelo de regresión generalizado En muchos problemas económicos se producen efectos sobre las perturbaciones, de tal forma que éstas tienen dispersiones distintas, como ocurre en las series financieras, y en algunos casos se producen interacciones entre ellas, como es el caso de las series temporales con información del pasado. Esto afecta al comportamiento de la regresión, pues actúa sobre dos de las suposiciones básicas del modelo lineal general: la homocedasticidad: Cuando las varianzas de las perturbaciones son distintas para cada observación. la independencia: Cuando existe relación entre dos cualesquiera observaciones diferentes.

3 Introducción al modelo de regresión generalizado (2) Las dos suposiciones anteriores obligan a que las perturbaciones se comporten todas del mismo modo y por consiguiente tienen una matriz de varianzas-covarianzas con un único parámetro desconocido, es una matiz escalar. Cuando las perturbaciones del modelo de regresión tienen matriz de varianzas-covarianzas no escalar, se dice que estamos en un modelo de regresión lineal generalizado (MRLG). A ese tipo de perturbaciones se les denomina no esféricas. Estudiamos primero el caso general y luego cada uno de los específicos.

4 Perturbaciones esféricas y no esféricas Para comprender mejor las diferencias supongamos que tenemos sólo dos observaciones Esféricas 2 2 No esféricas 1 1 Bajo normalidad, se verifica que la incorrelación es independencia, manifestándose en los ejes ortogonales. La homocedasticidad implica que ambos ejes son iguales en dimensión. Por consiguiente presentan forma esférica La forma tiene una inclinación que corresponde a la correlación entre las perturbaciones. La elipse tiene ejes diferentes que corresponden a la heterocedasticidad. Por consiguiente presentan forma no esférica

5 Modelo de regresión lineal generalizado Y=X + donde sigue una ley N(0, ). Suposiciones del MRLC con perturbaciones no esféricas 1

6 Matriz de varianzas covarianzas de las perturbaciones La matriz de varianzas-covarianzas dos elementos se descompone en, que nos mide la parte de las varianzas común a todas las observaciones, que será una matriz simétrica, cuyos elementos nos indican las relaciones entre las observaciones o la ratio de varianzas respecto a su parte común. De esta forma facilitamos la comparación con el MRLC, que será un caso particular de éste cuando =I.

7 Generaliza el MRLC Permite Heterocedasticidad. Por ejemplo medidas de la producción de diferentes empresas donde la fiabilidad de la estimación de esa producción dependa del tamaño de la empresa. Permite dependencia de las perturbaciones y por lo tanto de las observaciones. Un caso se produce cuando se estiman las ventas de una empresa y el error de esa estimación depende de las ventas del periodo anterior. El MRLC es un caso particular cuando =I.

8 Efecto sobre los estimadores MCO Sigue siendo lineal e insesgado. La varianza aumenta por lo que pierde eficiencia el estimador. La varianza estimada de los estimadores de los coeficientes, bajo las suposiciones del MRLC estará mal estimada. Los test de la regresión MCO serán inválidos, sino se cambia el estimador de la varianza. El estimador MCO de la parte de la varianza que es común a todas las observaciones s 2 es sesgado.

9 Comprobación de esos efectos Para comprobar esos efectos primero se verán las propiedades que no cambian, que son las referentes al valor esperado de la dependiente. Después las que cambian, que son las que están relacionadas con las varianzas de los estimadores.

10 Es lineal e insesgado La linealidad se deriva de la construcción pues la forma de construir el estimador no varía. Para ver la insesgadez se utiliza la forma que relaciona b y. b= +(X X) -1 X E(b)=E( +(X X) -1 X +E((X X) -1 X +(X X) -1 X E( +0=

11 El estimador deja de ser eficiente Partimos de la misma definición del estimador MCO pero ahora debemos considerar que las perturbaciones no son escalares b= +(X X) -1 X Var(b)=E((X X) -1 X (X X) -1 X E( X(X X) -1 (X X) -1 X 2 X(X X) -1 2 (X X) -1 X X(X X) -1 2 (X X) -1 Consecuentemente la varianza no coincide con la que se había estimado bajo el MRLC, de hecho se deduce de las propiedades de las formas cuadráticas que ya no es la menor, y no se puede asegurar la eficiencia. Consecuencia de lo anterior la varianza estimada en el MRLC estará mal estimada, pues no es la verdadera al cambiar las suposiciones de partida.

12 Los test de la regresión MCO serán inválidos Por consiguiente para que los test de los coeficientes de regresión estimados bajo MCO sean válidos es necesario que cambiemos las varianzas estimadas. Los que salen por defecto en la ejecución de los programas serán inválidos En SHAZAM debemos hacer uso de una opción del OLS que depende si suponemos heterocedasticidad (HETCOV) o autocorrelación (AUTCOV). No obstante la salido es similar.

13 Comparación entre ambas salidas _ols y x x2/resid=e Predict=ye noanova REQUIRED MEMORY IS PAR= 1 CURRENT PAR= OLS ESTIMATION 7 OBSERVATIONS DEPENDENT VARIABLE= Y...NOTE..SAMPLE RANGE SET TO: 1, 7 R-SQUARE = R-SQUARE ADJUSTED = VARIANCE OF THE ESTIMATE-SIGMA2 = STANDARD ERROR OF THE ESTIMATE-SIGMA = SUM OF SQUARED ERRORS-SSE= MEAN OF DEPENDENT VARIABLE = LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION = _ols y x x2/resid=e Predict=ye hetcov noanova REQUIRED MEMORY IS PAR= 1 CURRENT PAR= OLS ESTIMATION 7 OBSERVATIONS DEPENDENT VARIABLE= Y...NOTE..SAMPLE RANGE SET TO: 1, 7 USING HETEROSKEDASTICITY-CONSISTENT COVARIANCE MATRIX R-SQUARE = R-SQUARE ADJUSTED = VARIANCE OF THE ESTIMATE-SIGMA2 = STANDARD ERROR OF THE ESTIMATE-SIGMA = SUM OF SQUARED ERRORS-SSE= MEAN OF DEPENDENT VARIABLE = LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION = VARIABLE ESTIMATED STANDARD T-RATIO PARTIAL NAME COEFFICIENT ERROR 4 DF P-VALUE CORR. X X CONSTANT VARIABLE ESTIMATED STANDARD T-RATIO PARTIAL NAME COEFFICIENT ERROR 4 DF P-VALUE CORR. X X CONSTANT Test inválido Test asintótico válido

14 El estimador MCO de 2 es sesgado El estimador de la parte común de la varianza 2, era insesgado en el caso el MRLC. Ahora va a ser sesgado por ser diferente la varianza de las perturbaciones. Para verlo consideramos la varianza de los residuos MCO que vendrá dada por Var(e)=var(M var = Luego, partiendo de la definición de la varianza residual La esperanza de ese estimador sería De donde se sigue que no tiene porque verificarse la insesgadez del estimador. S 2 T e e k 1 2 E( trz( e e)) E( trz( ee')) E( S ) T k 1 T k 1 2 trze( ee') trz var( e) trz M M T k 1 T k 1 T k 1 2 trz MM 2 trz M 2 T k 1 T k 1

15 Casos particulares del MRLG Fundamentalmente se estudian dos casos particulares: La autocorrelación La heterocedasticidad. En este capítulo estudiaremos la primera. Para comprenderla es necesario analizar el concepto de independencia al que está asociado. La independencia indica que ninguna observación nos da información pertinente sobre las demás salvo en cuanto a la relación entre las variables analizadas. Por tanto la variable dependiente condicionada a la información que las independientes dan sobre ella, en una determinada observación no aporta información adicional sobre la misma variable condicionada en otra observación.

16 Modelos dependientes La dependencia en modelos de regresión lineal Modelos autocorrelados: El efecto del pasado de forma lineal

17 La independencia El hecho de suponer que las observaciones son independientes nos permite analizar las perturbaciones como si fueran un conjunto de variables igualmente distribuidas y, por lo tanto, nos permite suponer que cada observación agota la información que esa observación puede dar sobre la variable dependiente. Este hecho nos permite suponer que todas las perturbaciones provienen de la misma población y, por consiguiente analizar lso residuos como si todos ellos fueran observaciones de una misma variable En caso contrario existe dependencia. Eso implicaría que la matriz de varianzas covarianzas ya no va ser escalar, es decir, la identidad por un escalar, sino que los elementos de fuera de la diagonal pueden ser distintos de 0.

18 Modelo lineal con dependencia El modelo es similar Y=X + siendo una Pero la matriz de covarianzas varía: Representa la varianza de todas las perturbaciones Mantiene la diagonal principal constante, es decir, las varianzas son las mismas para todas las perturbaciones T T T Representa la matriz de correlaciones entre cada par de perturbaciones

19 Ejemplos de dependencia Se quiere estudiar la rentabilidad en función del numero de clientes en una red de sucursales de banca, cuyos sistemas de organización están relacionados y es posible que las perturbaciones entre oficinas estén relacionadas. (correlación) Estudio de las ventas de una compañía en diferentes zonas que posiblemente esté afectado por al distancia a los centros de venta (correlación espacial) Evolución de las ventas de una empresa en función de su publicidad y sus ventas pasadas. (correlación temporal)

20 Modelos autocorrelados Aunque la dependencia se puede dar por múltiples causas, lo mas habitual es que tenga que ver con el tiempo, pues existe en las variables económicas un efecto temporal consecuencia de recordar efectos del pasado. Por ese motivo, vamos a estudiar un caso particular, los modelos autocorrelados, que significan que existe influencia del pasado, y esta influencia se recoge mediante un efecto lineal, es decir es siempre constante independientemente del periodo, pero depende del retardo. Si el efecto del pasado desaparece a partir de un determinado retardo se dice que la serie tiene memoria finita. En el caso siguiente tiene memoria de orden m si alcanza hasta el retardo m.

21 Modelo lineal con autocorrelación Existe dependencia del pasado en las perturbaciones, por consiguiente, estas no son independientes. La forma general será Y X t t t.. t 1 t 1 m t m t sigue N I 2 (0, )

22 Modelos autocorrelados de orden 1 Vamos a estudiar fundamentalmente un caso particular, los modelos autocorrelados de orden 1, que significan que solo existe influencia del pasado mas reciente, es decir la información del pasado esta toda contenida en el periodo anterior. Esto, como veremos posteriormente, indica que existe influencia en cualquier pasado, si bien de una forma determinada. Sin embargo comentaremos el efecto sobre los otros modelos autocorrelados, pues es muy similar en sus efectos y en su forma de detectarlo.

23 Modelo lineal con autocorrelación de orden 1 Existe dependencia del pasado en las perturbaciones, por consiguiente, estas no son independientes. Para determinar bien un modelo debemos llegar a especificar las perturbaciones como ruido blanco, puesto que en ese instante no dan información adicional sobre el modelo. Por consiguiente, la forma general será Y X t t t t 1 t 1 t sigue N I 2 (0, )

24 Por consiguiente estaríamos en un caso particular del modelo de regresión lineal generalizado. Sus efectos serán consecuencia de ello. Forma matricial del modelo lineal con autocorrelación Escribiendo en forma matricial lo anterior tendríamos que Y=X + siendo una 1... n n 2... n

25 Efectos de la autocorrelación Falla la independencia de las observaciones Los estimadores OLS son centrados pero ineficientes. Las varianzas obtenidas por OLS, bajo las suposiciones del MRLC, son falsas por tanto los test obtenidos a partir de ellas serán sesgados. Las predicciones son ineficientes.

26 Identificación de la autocorrelación Gráficos Algunos coinciden con los ya definidos y sólo cambia su interpretación. Otros son específicos de este análisis Tests de hipótesis Son específicos de la hipótesis alternativa de autocorrelación Pueden ser de orden 1 o de orden mayor que 1.

27 Gráficos para detectar la autocorrelación 1. Residuos respecto al tiempo Representamos los residuos respecto al tiempo 2. Residuos respecto a valores retardados. Representamos los residuos respecto a los residuos retardados uno o mas periodos.

28 Gráficos de residuos respecto al tiempo Representamos los residuos respecto al tiempo. Si son ruido blanco siempre se espera las tres características enunciadas en el tema 1: media nula constante, varianza constante e independencia. Cuando existe autocorrelación positiva los residuos cortan pocas veces el eje. Cuando es negativa lo cortan muchas. En caso de no correlación deberían comportarse como un ruido blanco. e t e t tiempo Autocorrelación positiva Autocorrelación negativa tiempo

29 Gráficos de la evolución temporal de las variables

30 No se ve clara ninguna estructura, aunque tampoco parecen un ruido blanco Grafico respecto a valores predichos

31 Gráfico de residuos respecto al tiempo Hay pocos cortes, pero no se ve claro del todo

32 Gráficos de residuos respecto a valores retardados Representamos los residuos respecto a sus valores retardados. Depende del orden que se quiera estudiar para hacer uso de él en la representación. Lo normal será estudiar autocorrelación de primer orden por lo que haremos uso de los residuos retardados una vez. Para órdenes superiores al primero se haría de la misma forma haciendo uso de residuos de orden superiores

33 Gráficos de residuos respecto a valores retardados Al estudiar autocorrelación de primer orden debería tener una forma similar a la lineal. Si la autocorrelación es positiva dicha forma será creciente Si la autocorrelación es negativa dicha forma será decreciente. En caso de no correlación deberían comportarse como un ruido blanco. e t Creciente e t e t-1 Decreciente e t-1

34 Grafico respecto a residuos retardados Cierta relación lineal positiva

35 Gráficos de residuos respecto a residuos retardados en orden superior al primero Si la autocorrelación se sospecha que sólo se da en un orden superior al primero Por ejemplo en datos trimestrales cada año, y por tanto con retardo 4 Entonces se representa los residuos actuales respecto a los residuos retardados s veces En el caso anterior s=4 La interpretación es similar al caso de s=1 e t Creciente e t Decreciente e t-1 e t-1

36 Test de hipótesis para comprobar la autocorrelación Test de autocorrelación individuales y conjuntos. De primer orden o de orden superior

37 Tests de hipótesis para la identificación de la autocorrelación Para identificar la autocorrelación en un modelo, se parte de suponer que ésta no existe. Se realiza la estimación como si no la hubiese Se analizan los residuos para ver si el comportamiento que presentan es el esperado bajo no correlación, o aparecen situaciones inesperadas que, en algunos casos serán síntomas de autocorrelación.

38 Test de autocorrelación (1) Los test para comprobar la existencia de autocorrelación, van a ser muy similares en su construcción a los test enunciados para la otras suposiciones, si bien algunos tienen especiales características. La hipótesis nula, en todos ellos va a ser la de no existencia de autocorrelación. La alternativa cambia según se sospeche autocorrelación de primer orden o de orden superior. Estudiaremos en primer lugar la autocorrelación de orden uno.

39 Test de autocorrelación Los test de autocorrelación de orden 1 se consideran todos ellos Individuales, pues únicamente se contrasta un parámetro Pueden ser Paramétricos Test de Durbin-Watson Test de la Razón de Von-Neuman Test LM de autocorrelación Test de Wald No paramétricos Test de Wald-Wolfowitz o de las rachas No generalizables a orden superior Generalizables a orden superior En realidad se pueden generalizar pero sus leyes de distribución necesitan tablas alternativas de difícil cálculo

40 Modelo de test de autocorrelación de orden 1 En todos los test paramétricos de autocorrelación de orden 1, el modelo es el mismo, pues se considera el modelo mas general y se comprueba si la restricción de que el coeficiente de autocorrelacion se a nulo se verifica. El modelo general con las suposiciones del MRLG será Y X t t t t 1 t 1 t sigue N I 2 (0, ) La hipótesis nula será normalmente que 1=0, por lo que el modelo quedará convertido en un MRLC, puesto que y coinciden.

41 Residuos OLS en modelos autocorrelados Para desarrollar los diferentes test de hipótesis de autocorrelación de orden 1 es conveniente analizar el comportamiento de los residuos OLS bajo autocorrelación. e t =re t-1 +u t La esperanza del residuo de orden t condicionada al de orden t-1 depende del signo de r E(e t /e t-1 )=re t-1 Si r es negativo el residuo se espera con el signo diferente del anterior, mientras que si es positivo el signo es igual. Por lo tanto E(e t /e t-1 )-e t-1 = r-1 Si r es negativo la diferencia tiende a ser mayor que 1, mientras que si es positivo tiende a ser cercano a cero. Por tanto las distancias entre dos residuos consecutivos se incrementará cuando ambos tienen diferente signo

42 Test de Durbin-Watson Contrasta la autocorrelación de orden 1 bajo el modelo de regresión lineal con autocorrelación. Las hipótesis a contrastar serán las siguientes: H 0 : =0, lo que significa incorrelación H 1 : orden 1, lo que significa que existe autocorrelación lineal de

43 Idea del Test de Durbin-Watson La idea de este test es comprobar si las diferencias entre los residuos observados consecutivamente es muy grande o muy pequeña. Si es muy grande es síntoma de que cambia de signo, y entonces la autocorrelación es negativa. Si es muy pequeña es que están muy seguidos y normalmente no cambiará de signo por lo que la relación entre ellos es positiva e t e t Diferencias muy pequeñas Autocorrelación positiva Diferencias muy grandes Autocorrelación negativa tiempo tiempo

44 Test de Durbin-Watson (2) Bajo las suposiciones del MRLC, que es bajo la hipótesis nula, se construye el estadístico DW t T 2 ( e t T t 1 e e 2 t t 2 1) Se puede observar como dicho estadístico se obtiene como diferencia entre dos residuos consecutivos al cuadrado, normalizado por la suma de todos ellos al cuadrado.

45 Test de Durbin-Watson (3) Intuitivamente, ese estadístico nos dice que si un residuo está muy cercano al anterior entonces la correlación es positiva, ya que la diferencia será cercana a 0. Si está muy alejado, significa que irá pegando saltos de un lado al otro del 0 y por tanto la correlación en negativa. Cuando es un número intermedio el estimador sería aproximadamente el promedio entre 0 y el límite superior del estadístico.

46 Test de Durbin-Watson (4) A la vista del estadístico anterior, se demuestra que es aproximadamente igual a DW 2(1-r) Siendo r un estimador de Cuando DW es pequeño será cercano a 0, pues r es aproximadamente 1. Cuando DW es grande será cercano a 4 pues r es aproximadamente 1. Cuando es un número intermedio el estimador sería aproximadamente 2, que es el promedio entre 0 y 4.

47 Regla de decisión en el test de Durbin- Watson El estadístico DW sigue una ley tabulada por D-W. Dicha ley tiene una particularidad que hay una zona donde el test no permite decidir Las decisiones pueden ser de indecisión, según el siguiente gráfico Autocorrelación positiva No Autocorrelación Autocorrelación negativa 0 d 2 L d 4-d 4- U U d L 4 Zonas de indecisión

48 Valores críticos del contraste de Durbin- Watson

49 Test DW para las telas _g elag=lag(e)..note.lag VALUE IN UNDEFINED OBSERVATIONS SET TO ZERO _g de2=(e-elag)2 _g e2=ee _stat e2/sum=se2 beg=1 end=40 NAME N MEAN ST. DEV VARIANCE MINIMUM MAXIMUM E E E E E _stat de2/sum=sde2 beg=2 end=40 NAME N MEAN ST. DEV VARIANCE MINIMUM MAXIMUM DE E E E E _gen1 dw=sde2/se2 _p dw DW Media de las diferencias muy pequeña lo que indica que las diferencias tienden a ser pequeñas

50 Calculo con SHAZAM del estadístico de Durbin-Watson GEN1 T=$N GEN1 SCE=$SSE GENR ER1=LAG(E) GENR DEER12=(E-ER1)2?STAT DEER12 / SUMS=SDEER12 BEG=2 END=T GEN1 DWC1=SDEER12/SCE PRINT SDEER12 SCE DWC1 sample read Y X1 X ?ols y x1 x2/resid=e predict=ye rstat dwpvalue noanova GEN1 T=$N GEN1 SCE=$SSE GENR ER1=LAG(E) GENR DEER12=(E-ER1)2?STAT DEER12 / SUMS=SDEER12 BEG=2 END=T GEN1 DWC1=SDEER12/SCE PRINT SDEER12 SCE DWC1

51 Regla de decisión en el test de Durbin- Watson anterior Autocorrelación positiva DW=0,66 No Autocorrelación Autocorrelación negativa 0 1,39 1,60 2 2,40 2,61 4 Zonas de indecisión

52 Test de la Razón de Von-Neuman Similar al anterior pero intenta corregir el efecto del número de observaciones en los dos términos del cociente. Su idea intuitiva es similar a la de DurbinWatson Por consiguiente las hipótesis a contrastar son: H 0 : =0, lo que significa incorrelación H 1 : lo que significa que existe autocorrelación lineal de orden 1

53 Estadístico de la Razón de Von-Neuman La ratio de Von Neumann corrige el tamaño muestral, para lo cual se calcula dividiendo cada término por el número de observaciones que intervienen en él. El estadístico que se obtiene es RVN 1 T 1 1 T T t 2 T t 1 ( e ( e t t e t e) 2 1 ) 2

54 Distribución de la Razón de Von-Neuman La ley de distribución en muestras pequeñas está tabulada, además se puede determinar su distribución asintótica, bajo independencia de las perturbaciones, que viene dada por una ley normal. RVN es AN 4( T ( 2, 2 T 2) 1 ) A esto se añade la ventaja de que esta ley no depende del comportamiento estocástico de los regresores, como ocurría en DW. Tampoco necesita la normalidad estricta de las perturbaciones.

55 sample 1 40 read Y X1 X ?ols y x1 x2/resid=e predict=ye rstat dwpvalue noanova GEN1 T=$N GEN1 DWC1=SDEER12/SCE Test de la Razón de Von-Neuman La interpretación del estadístico es muy similar a la de DW, pero ahora se puede determinar su distribución asintótica, bajo independencia de las perturbaciones, que viene dada por una ley normal. Tomando entonces el t-estadístico lo compararíamos con las tablas de la normal tipificada t RVN RVN 4( T 2 T 2 2) 1 La regla de decisión será rechazar si t RVN > GEN1 SCE=$SSE GENR ER1=LAG(E) GENR DEER12=(E-ER1)2?STAT DEER12 / SUMS=SDEER12 BEG=2 END=T gen1 rvn=(t/(t-1))dwc1 p rvn gen1 tvn=(rvn-2)/sqrt(4(t-2)/(t2-1)) distrib tvn/ gen1 rvn=(t/(t-1))dw p rvn gen1 tvn=(rvn-2)/sqrt(4(t-2)/(t2-1)) distrib tvn/

56 Test RVN para las telas _gen1 rvn=(n/(n-1))dw RVN _gen1 tvn=(rvn-2)/sqrt(4(n-2)/(n2-1)) _distrib tvn/ NORMAL DISTRIBUTION - MEAN= VARIANCE= DATA Z PDF CDF 1-CDF TVN Muy significativo. Se rechaza H 0

57 Test de Wald-Wolfowitz o de las rachas El test contrasta la existencia o no de autocorrelación de modo no paramétrico, es decir sin necesidad de conocer exactamente los parámetros que caracterizan el modelo. Analiza si entre los residuos existe independencia o asociación de orden 1, es decir, relación entre una observación y la anterior o la siguiente. Por consiguiente las hipótesis van a ser: H 0 : Existe independencia entre los residuos H 1 : Existe relación de orden 1 entre los residuos Para calcularlo es necesario hacer uso de las rachas.

58 Calculo de las rachas Se define una racha como e una sucesión de símbolos t iguales, entre dos distintos. Se calculan respecto a la mediana. Para ello: 1. Se consideran como 1 los valores mayores que la mediana, y 0 los menores. Se eliminan los iguales 2. Se cuenta el número de rachas. R a c h a 2 R a c h a 1 M e R a c h

59 Idea intuitiva del test de las rachas Para interpretar el sentido de las rachas es conveniente analizar el comportamiento de los residuos OLS bajo autocorrelación. e t =re t-1 +u t La esperanza del residuo de orden t condicionada al de orden t-1 depende del signo de r E(e t /e t-1 )=re t-1 Si r es negativo el residuo se espera con el signo diferente del anterior, mientras que si es positivo el signo es igual. En consecuencia, si hay muchas rachas significa que se corta el eje muchas veces, por consiguiente un residuo y el siguiente tienen diferente signo, lo que implica la existencia de autocorrelación negativa. si hay pocas, es síntoma de que los resiudos tienden a tener el miso signo por lo que la autocorrelación es positiva. El caso intermedio es cuando no hay autocorrelación. Por tanto usamos como estadístico el número de rachas.

60 Estadístico de las rachas y ley de distribución Sea w= nº de rachas, que está tabulado para muestras pequeñas. Para muestras grandes se puede suponer asintóticamente normal, pues es una suma de variables aleatorias, por tanto tomaríamos el t-estadístico y lo compararíamos con la normal tipificada, por tanto, el t-estadístico t RVNM w E( w) sd( w) 2m( T m) w 1 t T RVNM 2m( T m)(2m( T m) T) T 2 ( T 1) La regla de decisión será rechazar si es mayor que la normal tipificada Cuando m es la mitad de T entonces esta cantidad vale T/2+1

61 E sample 1 40 read Y X1 X ?ols y x1 x2/resid=e predict=ye rstat dwpvalue noanova GEN1 T=$N GENR pos=(e.gt.0) GENR neg=(e.lt.0) GENR poslag=lag(pos) GENR racha1=(pos-poslag.ne.0) STAT racha1/sum=nracha1 GENR NEGlag=lag(NEG) GENR racha2=(neg-neglag.ne.0) STAT racha2/sum=nracha2 PRINT POS NEG RACHA1 RACHA2 SAMPLE 1 1 GENR NRACHAS=MAX(NRACHA1,NRACHA2) SAMPLE 1 40 STAT POS/sum=N1 STAT NEG/sum=N2 PRINT nrachas Valor esperado. GEN1 ENRACHAS=((2N1N2)/(N1+N2))+1 PRINT ENRACHAS Varianza. GEN1 VNRACHAS=((2N1N2(2N1N2-N1-N2))/((N1+N2)2(N1+N2-1))) GEN1 SNRACHAS=SQRT(VNRACHAS) PRINT VNRACHAS SNRACHAS Estadístico normal. GEN1 TRACHAS=(NRACHAS-ENRACHAS)/SNRACHAS PRINT TRACHAS?DISTRIB TRACHAS / TYPE=NORMAL Gráfico de residuos respecto al tiempo en las telas GENR pos=(e.gt.0) GENR neg=(e.lt.0) GENR poslag=lag(pos) GENR racha1=(pos-poslag.ne.0) STAT racha1/sum=nracha1 GENR NEGlag=lag(NEG) GENR racha2=(neg-neglag.ne.0) STAT racha2/sum=nracha2 PRINT POS NEG RACHA1 RACHA2 SAMPLE 1 1 GENR NRACHAS=MAX(NRACHA1,NRACHA2) SAMPLE 1 40 STAT POS/sum=N1 STAT NEG/sum=N2 PRINT nrachas Valor esperado. GEN1 ENRACHAS=((2N1N2)/(N1+N2))+1 PRINT ENRACHAS Varianza. GEN1 VNRACHAS=((2N1N2(2N1N2- N1-N2))/((N1+N2)2(N1+N2-1))) GEN1 SNRACHAS=SQRT(VNRACHAS) PRINT VNRACHAS SNRACHAS Estadístico normal. GEN1 TRACHAS=(NRACHAS- ENRACHAS)/SNRACHAS PRINT TRACHAS?DISTRIB TRACHAS / TYPE=NORMAL SHAZAM PLOT 0.6 E TIME rachas

62 Test de rachas para la telas RUNS TEST: 12 RUNS, 22 POS, 0 ZERO, 18 NEG gen1 resp=(22218/40)-1 p resp RESP gen1 varr=sqrt(22218( )/((402)39)) p varr VARR NORMAL STATISTIC = Autocorrelación positiva

63 Test de Wald El test de Wald es un test paramétrico que se realiza para contrastar la existencia de autocorrelación. Por tanto sigue el modelo explicitado previamente, y las hipótesis son: H 0 : =0, lo que significa incorrelación H 1 : lo que significa que existe autocorrelación lineal de orden 1 La idea de este test consiste en comprobar directamente si un estimador consistente de la autocorrelacion se puede considerar nulo (hipótesis nula) o no. Al ser un estimador consistente, es decir que converge en probabilidad al parámetro en grandes muestras, se espera que dicho estimador esté cercano al parámetro y por consiguiente si este está cerca de cero el parámetro teórico también se puede suponer igual a cero.

64 Estadístico y regla de decisión del test de Wald Utilizamos como estimador del parámetro el coeficiente de correlación simple r. Dicho coeficiente sigue bajo la hipótesis nula una ley de distribución asintóticamente normal de media 0 y varianza 1/T (AN(0, 1/T)), luego el estadístico como estadístico del test tomamos el valor tipificado de r que será asintóticamente N(0,1), es decir r t W 1 La regla de decisión será rechazar la hipótesis nula si t W > T

65 Extensión del test de Wald a orden superior Si se quiere contrastar la existencia de autocorrelación de orden superior al orden 1, el test se generaliza fácilmente, pero cambian las hipótesis a contrastar. Por ejemplo suponiendo un orden m cualquiera, el modelo ahora será el siguiente: Ahora las hipótesis a contrastar serían: H 0 : m =0, lo que significa incorrelación de orden m H 1 : m orden m Y X t t t t m t m t sigue N I 2 (0, ), lo que significa que existe autocorrelación lineal de

66 Estadístico y regla de decisión del test de Wald de orden superior Sigueindo la misma idea intuitiva del caso de orden 1 y utilizando tambien de modo similar a ese caso como estimador del parámetro el coeficiente de correlación simple de orden m r m. Dicho coeficiente también sigue bajo la hipótesis nula una ley de distribución asintóticamente normal de media 0 y varianza 1/T (AN(0, 1/T)), luego el estadístico como estadístico del test tomamos el valor tipificado de r m que será asintóticamente N(0,1), es decir rm tw 1 T La regla de decisión será rechazar la hipótesis nula si t W >

67 Test de Wald para las telas LAG RHO STD ERR T-STAT Se rechaza autocorrelación nula

68 Test LM de autocorrelación El test LM de autocorrelación es un test paramétrico que se realiza para contrastar la existencia de autocorrelación de cualquier orden. Empezamos explicando el de orden 1, peor se generaliza fácilmente a ordenes superiores. Por tanto sigue el modelo explicitado previamente, y las hipótesis son: H 0 : =0, lo que significa incorrelación H 1 : lo que significa que existe autocorrelación lineal de orden 1 La idea de este test es comprobar que no existe relación lineal entre los residuos y los residuos retardados basándonos en el gráfico de residuos y residuos retardados.

69 Idea del Test LM de autocorrelación En dicho gráfico se observa si existe algún tipo de relación lineal entre los residuos y los e t residuos retardados, para comprobar si existe o no, se debe hacer una regresión de los residuos sobre los residuos retardados. Una vez hecho eso, se busca un estadístico que mida el grado de relación lineal existente entre las dos variables. Dado que es una regresión simple parece lógico hacer uso del coeficiente de determinación. Cuanto mayor sea este mas relación lineal existe independientemente del signo de la relación. Se demuestra que el estadístico LM=TR2 sigue asintóticamente una con 1 grado de libertad. Por consiguiente ese será el estadístico que elijamos. La regla de decisión será rechazar la hipótesis nula si 2 LM En la práctica se utiliza la raíz cuadrada de LM y se compara con una normal, pero el estadístico no indica el signo de la relación. e t-1

70 Test LM para telas RESIDUAL CORRELOGRAM LM-TEST FOR HJ:RHO(J)=0, STATISTIC IS STANDARD NORMAL LAG RHO sample 2 40 ols e elag R-SQUARE = R-SQUARE ADJUSTED = VARIANCE OF THE ESTIMATE-SIGMA2 = E-01 STANDARD ERROR OF THE ESTIMATE-SIGMA = SUM OF SQUARED ERRORS-SSE= MEAN OF DEPENDENT VARIABLE = E-02 LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION = VARIABLE ESTIMATED STANDARD T-RATIO PARTIAL STANDARDIZED ELASTICITY NAME COEFFICIENT ERROR 37 DF P-VALUE CORR. COEFFICIENT AT MEANS ELAG CONSTANT E E gen1 LM=$n$r2..NOTE..CURRENT VALUE OF $N = NOTE..CURRENT VALUE OF $R2 = distrib lm / type=chi df=1 CHI-SQUARE PARAMETERS- DF= MEAN= VARIANCE= MODE= DATA PDF CDF 1-CDF LM E E-04

71 Test LM de autocorrelación de orden superior El test LM de autocorrelación de orden superior generaliza el de orden 1. El modelo es como el del test de Wald de orden superior y sus hipótesis son similares, es decir H 0 : m =0, lo que significa incorrelación de orden m H 1 :, lo que significa que existe autocorrelación lineal de orden m El método de cálculo es una generalización del de orden 1, por tanto primero se debe hacer una regresión de los residuos sobre los residuos retardados de orden m y luego se debe tomar el estadístico LM=TR 2 de forma similar a como se vio en el caso 2 anterior. Seguirá asintóticamente una con 1 grado LMde libertad. La regla de decisión será rechazar la hipótesis nula si En la práctica se utiliza la raíz cuadrada de LM y se compara con una normal, pero el estadístico no indica el signo de la relación.

72 Salida del Diagnos LM-TEST FOR HJ:RHO(J)=0, STATISTIC IS STANDARD NORMAL LAG RHO LM-STAT Se rechaza autocorrelación nula

73 Tests conjuntos de autocorrelación Contrastan si existe autocorrelación de orden 1 hasta m conjuntamente. Por consiguiente el modelo que se contrasta ahora es diferente de los anteriores. Ahora se debe considerar que existe mas de un retardo por consiguiente tendremos que Y X Ahora las hipótesis que se contrastan son: H 0 : 1 = H 1 : j t t t t 1 t 1 m t m t sigue N I 2 (0, ) = m =0, lo que significa incorrelación de orden 1 hasta el m para algún j =1 m, lo que significa que existe autocorrelación lineal de algún orden entre 1 y m Estudiaremos dos tipos de test que son dos versiones del mismo Test de Box-Pierce Test de Ljung-Box-Pierce

74 Test de Box-Pierce Como ambos son versiones del mismo test estudiamos el test de Box-Pierce y únicamente indicaremos en el otro caso el estadístico correspondiente. La idea de ambos test consiste en comprobar si conjuntamente los estimadores de las autocorrelaciones de orden 1 hasta el m son todos nulos o no. Para ello, calculamos los coeficientes de autocorrelación hasta el orden m. r k i T k 1 e e i Definimos como estadístico la suma de las m correlaciones primeras al cuadrado por el número de observaciones m 2 BP T i Como vimos que cada autocorrelación seguía asintóticamente una N(0,1) dicho estadístico seguirá asintóticamente una ji cuadrado con m grados de libertad. Por tanto la regla de decisión será rechazar si BP> 2 k i T 1 e 2 i k 1 r k

75 Test de Ljung-Box Corrige en parte el anterior para muestras pequeñas y sigue la misma ley de distribución asintótica. El estadístico es Q T r m 2 k 2 ( T 2) A m k 1 T k Que también sigue asintóticamente una ji cuadrado con m grados de libertad Por tanto la regla de decisión será como antes rechazamos la hipótesis nula si Q> 2

76 Test de autocorrelación para telas RESIDUAL CORRELOGRAM LM-TEST FOR HJ:RHO(J)=0, STATISTIC IS STANDARD NORMAL LAG RHO STD ERR T-STAT LM-STAT DW-TEST BOX-PIERCE-LJUNG LM CHI-SQUARE STATISTIC WITH 12 D.F. IS

77 Tratamiento de la autocorrelación El proceso que seguiremos se denomina de mínimos cuadrados generalizados factibles (MCGF) Primero se ve cual es el modelo teórico de estimación, generalizando MCO, al caso de matrices de covarianzas no escalares Después se estudia la estimación factible Este proceso necesita que analicemos previamente las características de la estimación por mínimos cuadrados generalizados, al que dedicamos el tema siguiente.