TIPOS DE RECTA (Primer Cuadrante) Recta vertical Recta frontal Recta de perfil

Transcripción

1 SISTEMA DIÉDRICO Es un sistema de representación de proyecciones en el diedro formado mediante dos planos, el vertical y el horizontal. El diedro está dividido en cuatro cuadrantes. II III P I I P A la hora de representar las proyecciones de una figura en sistema diédrico en un papel tenemos que abatir el plano horizontal tal como se observa en el siguiente dibujo. P P P P

2 TIPOS DE RECTA (Primer Cuadrante) Recta horizontal Recta de punta r r r r Recta vertical Recta frontal Recta de perfil r r r r r r Recta paralela a línea de tierra Recta que pasa por línea de tierra o la corta r r Recta contenida en el P Recta contenida en el P r=r r=r

3 r Recta olbicua a los plnos de proyección r r r Rectas contenidas en primer y segundo bisector (r) y paralelas a ellos (t) t =t2 t = t2 t r=r x x r=r x x t1 t1 t Recta r contenida en 1er bisector y t paralela al mismo bisector Recta de máxima inclinarción de un plano Recta r contenida en 2º bisector y t paralela al mismo bisector Recta de máxima pendiente de un plano r r r r Una recta está formada por infinitos puntos. De ese modo, cualquier punto que esté contenido en una recta, al sre proyectado conicidirá también con las proyecciones de esa recta. Las trazas de una recta se hallan prolongando las proyecciones en P y P hasta LT (línea de tierra) y uniendo ese punto con la otra proyección hasta que la corte. La intersección entre dos planos es una recta. Utilizamos rectas horizontales o verticales para incluir un punto en un plano y poder así abatir dicho plano y desabatirlo. Para hallar un paralelismo entre planos, incluímos una recta horizontal o frontal en el plano dado y, tras hacer una paralela a esa misma recta (horizontal o frontal) y hallar la traza, dibujamos el plano paralelo. Esa reca horizontal sería recta horizontal del plano y la frontal sería recta frontal del plano.

4 TIPOS DE PLANO (Primer Cuadrante) Plano oblicuo Plano de perfil Proyectante vertical, de canto o perpend. al P. Proyectante horizontal, vertical o perpend. al P Paralelo a LT Plano que pasa por LT Sus trazas están el LT ya que pasa por ahí.

5 Plano paralelo al P u horizontal Plano paralelo al P o forntal Los planos son infinitos y se representan por sus trazas, es decir, aquel corte o intersección producido en los planos de proyección (P y P, aunque también se puede ver escrito PP y PP). Son oblicuos cuando sus dos trazas son oblicuas (diagonales) en cualquier dirección. Un plano paralelo a LT tiene sus dos trazas paralelas a LT. Una figura apoyada en uno de estos planos se ve en erdadera Magnitud abriendo un plano de perfil y hallando la tercera proyección. Un plano que pasa por LT, cuando forma 45º con los planos d eproyección (P y P), se llama plano bisector y pasará por dos cuadrantes. 1er bisector si pasa por el primer y tercer cuadrante y 2º bisector si pasa por el segundo y cuarto cuadrante. Ese plano no tiene trazas puesto que no corta a ninguno de los planos de proyección (P y P). Dos planos, cuando se cruzan, se cortan en una recta, que será la recta de intersección. Los planos proyectantes (horizontal o vertical) tienen una traza perpendicular a LT, y la otra es oblicua o diagonal. Si es proyectante horizontal la traza horizontal será la oblícua y si fuese proyectante vertical su traza vertical será la oblicua o diagonal. Los planos pueden producir secciones a cualquier figura que se pida representar. Los planos pueden servir de apoyo para las figuras que se pidan representar. De ese modo un prisma pentagonal, por ejemplo, podría estar apoyado en el P (que es un plano de proyección), en el P (que es el otro plano de proyección) o en cualquier otro plano como el de perfil, oblicuo, proyectante... Los planos se nombran con letras griegas. Cuando un punto está contenido en un plano y no pertenece a su traza ocurre lo siguiente: Un punto contenido en un plano oblicuo: Sus proyecciones no tienen que conicidir con las del plano que lo contiene. Un punto contenido en un plano proyectante: Una de las proyecciones del punto concidirá con una de las del plano (trazas), en concreto con la que sea oblicua o diagonal. Un punto contenido en un plano de perfil: coinciden sus dos proyecciones con las del plano (trazas). Un punto contenido en el plano paralelo a LT: No concide ninguna de las proyecciones con las trazas del plano que lo contiene, igual que ocurre con un punto contenido en un plano oblicuo o en un plano que pasa por LT.

6 ALGUNOS EJEMPLOS DE TRABAJOS REALIZADOS EN CLASE DONDE PODEMOS ER LA PARTE PRÁCICA DE LA TEORÍA EXPUESTA ANTERIORMENTE. LOS EJERCICIOS SON DE PAU DE AÑOS ANTERIORES.

7 a) allar las proyecciones de un prisma recto apoyado en el P de altura 100mm., que tiene como base un pentágono reguler inscrito en una circunferencia de radio 40mm de cuyo centro O se conoce su proyección horizontal, sabiendo que un lado del pentágono es paralelo a LT y está situado lo más cerca posible del P. b) allar las proyecciones ya la erdadera Magnitud de la sección al prisma producida por el plano alfa. alfa G2 2 F2 I2 J2 K2 L2 M2 N2 P2 B2 C2 A2 E2 (alfa) C1=1=L1 D1=I1=N1 (N) (L) O1 B1=G1=K1 E1=J1=P1 (P) (K) A1=F1=M1 (M) alfa 1º) Poner pistas del enunciado sabiendo que la base pentagonal está inscrita en circunferencia. 2º) Abatir puntos al P a 100mm que es la altura del prisma. Se ve en M tanto en el P como en el P.A l ver la base en M en P, las proyecciones en P estarán en LT, puesto que es la base con la que estamos trabajando. Las proyecciones de las aristas del prisma son rectas verticales. 3º) El plano alfa hace una sección al prisma. La sección en la proyección del P forma un pentágono igual al de la base. 4º) Abatimos los puntos de sección del prisma con el plano alfa. Sacar perpendiculares a alfa de cada punto de sección proyectado en P, Los puntos que están en (alfa) los bajamos perpendiculares a LT. 5ª) Unimos los puntos abatidos y tenemos la sección en erdadera Magnitud.

8 Representar las proyecciones de la pirámide recta de base cuadrada ABCD contenida en el primer cuadrante y apoyada en el plano alfa dado, sabiendo que tiene un lado de la base en el P y otro en el P. El centro de la cara de la base está situado a 150mm del borde izquierdo de la lámina y la altura de la pirámide es de 110mm. Todas las medidas en milímetros. 2 P.P. 3 alfa A2 B2 A3=B3 O2 A1=C2 B1=D2 C3=D3 O1 alfa C1 D1 1 1º) Poner pistas del enunciado.ponemos una recta a 150mm del borde donde estará el centro de la base. 2º) Abrimos un Plano de Perfil para ver en M la pirámide. 3º) Nos llevamos la tercera proyección al P y P y tenemos las proyecciones.

9 Representa una pirámide de altura 100mm cuya base ABC es un triángulo equilátero de lado 100mm. La base ABC está apoyada en el plano alfa, del que se conoce su traza abatida (alfa), sabiendo que: - La arista AC de la base está en el P. - La arista AB de la base está en el P. alfa B2 2 O2 J2 dc C2 B1 A1=A2 O1 dc J1 C =C1 O alfa=alfa B 1 (alfa) 1º) Poner pistas del enunciado. A está en LT. Como B está en P, la hallo en M en (alfa). 2º) Sacamos C puesto que veo el triángulo en M y cada lado tiene 100mm. 3º)Como AC está en el P, ya puedo sacar la traza horizontal de alfa 4º) Desabatimos (alfa) con una perpendicular a alfa hasta LT que pase por B puesto que es el punto que desabatimos. alamos C2. allamos O1 y O2 para sacar la altura. 5º) Dibujamos y tenemos la base en sus distintas proyecciones. 6º) allamos la altura. 7º) Completamos.

10 allar alturas o distancias. El sistiema que hemos utilizado es el del triángulo de la distancia de cota (dc) o distancia de alejamiento (da). En el caso de una figura puede darse el caso de que esté apoyada en un plano oblicuo y que la altura no la podamos ver en verdadera magnitud. Si recuerdas una figura recta apoyada en P, en P en Plano de perfil... nos proporciona el poder ver la altura en verdadera magnitud proyectada en alguno de los planos de proyección. Pero en el caso de estar apoyada en un plano oblicuo no ocurre así. Cuando tenemos que hallar la distancia entre dos puntos vamos a utilizar el mismo sistema. Se halla la distancia entre dos puntos cuando nos piden, por ejemplo, hallar la distancia que hay entre dos planos (su distancia mínima será la que hay entre dos puntos, un de cada plano, unidos por una recta perpendicular a ellos que pasa por dichos puntos) o entre recta y plano, punto y plano, resolviéndose de la misma manera. Al final siempre habrá que hallas la distancia entre dos puntos. En el caso de una figura. Una pirámide recta por ejemplo: Trabajando con la distancia de cota (dc), es decir, en la proyección vertical: Se hace una perpendicular a LT por el centro de la base O. Al ser una pirámide recta apoyada en un plano oblicuo, su altura será perpendicular a las trazas del plano donde esté apoyada, y dicha altura saldrá desde O. Se traza una recta perpendicular a las trazas y le ponemos nombre. Elegimos cualquier punto de esa recta a la paralela a LT (y le ponemos un nombre, X por ejemplo) hecha anteriormente, de modo que queda un triángulo. Esa perpendicular a LT resultante es la dc. Se busca X1 que pertenecerá a la perpendicular a la traza horizontal del plano donde está apoyado y a partir de él (X1) se pone la dc en perpendicular. Desde O1 y pasando por el extremo libre de dc tenemos una recta en erdadera Magnitud, sobre la que podremos poner la altura. En el caso de que tengamos que hallar la distancia entre dos puntos es lo mismo que lo descrito anteriormente, sólo que en vez de invertarnos un punto (X1) utilizamos la proyección del punto más alta si estamos en P o la más baja si estamos en P (y usamos la distantia de alejamiento). A continuación podemos ver ejemplos trabajados en clase donde se halla una altura, distancia entre plano y plano y distancia entre punto y plano.

11 Conocido el plano alfa dado, representa las proyecciones horizontales y verticales de: a) Un hexágono regular contenido en alfa que está inscrito en una circunferencia de radio 40mm tangente a l P y al P, sabiendo que un vértice está en el P y otro en el P. b) Representa la pirámidede altura 80mm siendo su base el hexágono regular w2 2 alfa X2 dc O2 O1 1 X1 dc w1 alfa acemos una recta perpendicular desde O1 y O2 las trazas del plano alfa para hallar la altura. Pasamos una paralelta a LT por O1 y O2 y elegimos cualquier punto (X) de la recta perpendicular w2 para obtener una distancia de cota (dc). Llevamos la distancia de cota (dc) a la proyección horizontal y la ponemos perpendicular a la recta w (w1) desde X1. La recta que une el final de dc y O1 está en M. Marcamos ahí los 80mm de la altura y la llevamos a w1. Tenemos asi. Marcamos el resultado final.

12 La recta r dada por los puntos A y B es una recta de máxima inclinación del plano alfa. Se pide: - representar dicho plano alfa. - allar la mínima distancia entre el punto P y el plano alfa. alfa da P2 vbeta dc X2 r A2 s2 B2 A1 B1 s1 =vbeta r da P1 dc X1 19mm alfa 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) allamos el plano alfa a partir de las trazas de la recta r. r es de máxima inclinación, por eso es perpendicular a alfa. 3º) acemos una recta s perpendicular a las trazas de alfa y que pase por P, 4º) acemos un plano beta que contenga a s. Para ello hacemos un plano proyectante horizontal aprovechando s1. 5º) Alfa y beta se cortan en la recta de intersección. 6º) De cualquier punto de la proyección s2 (en este caso desde P2) bajamos a la paralela a LT que hacemos desde X2 y formamos el triángulo. Tenemos así las dc (distancia de cota) que llevaremos al P y que pondremos perpendicular a s1 desde P1. 7º) La unión del extremo de dc con X1 es la distancia mínima entre P y alfa. 8º) De cualquier punto de la proyección s1 (en este caso desde P1) bajamos a la paralela a LT que hacemos desde X1 y formamos el triángulo. Tenemos así las da (distancia de alejamiento) que llevaremos al P y que pondremos perpendicular a s2 desde P2.

13 Representar el cubo ABCDEFG situado en el primer cuadrante que tiene como arista AE la distancia del punto E al plano alfa. En el plano alfa dado está contenida la cara ABCD del cubo, situándose B en el plano horizontal. alfa beta E2 dc X2 =beta i2 X1 i1 E1 beta (alfa) beta alfa (E) 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Abatimos alfa para dibujar la base del cubo ABCD 3º) allamos la mínima distancia entre E y alfa para poder tener el tamaño de la arista del cubo. Acemos una rect r perpendicular a las dos trazas de alfa y que pase por E. Luego la inluímos en un plano beta proyectante. allamos la recta de intersección i el punto de corte con r, X. 4º) La distancia entre X y E será lo que mida la arista el cubo, que sólo podremos utilizar con esa medida en M porque en los planos de proyección las medidas son irreales. 5º) acemos un plano paralelo a alfa que contenga la cara EFG del cubo.

14 Para hallar la altura de un tetraedro: C h 2/3 O 1/3 A B Con radio C-A se corta a la parela al segmento A-B que pasa por O Desde O hasta el corte producido tienes la altura de tetraedro.

15 RECUERDA: - Limpia las herramientas de trabajo. - Pregunta todas las dudas que tengas. - Lee muy bien el enunciado. - Se limpio en el ejercicio. - En el ejercicio de Diédrico tratar de visualizar la figura en 3D. Utiliza la mesa como P y un folio o plano imaginario delante como P. La escuadra o cartabón te sirven de ayuda para visualizar el plano que pida el ejercicio, si es que lo pide, ya sea oblicicuo, proyectante... - Utiliza recta frontal o recta horizontal para abatir una figura que pertenezca a un plano oblicuo, y luego desabatirlo, siempre que sea necesario (los casos más comunes para ello son aquellos en que la base de una figura está apoyada en dicho plano oblicuo). Utiliza también la recta horizontal o frontal para hacer un paralelismo entre planos oblicuos. Recuerda que en estos casos las trazas del plano a dibujar serán paralelas al plano dado pero una de ellas tendrá que pasar por la traza horizontal o vertical de la recta (horizontal o frontal) que hayas utilizado para resolver el paralelismo. Si una recta horizontal o frontal pertenece a un plano, cualquier punto de esa recta pertenecerá, por lógica, al mismo plano. - Un punto pertenece a una recta. Por ejemplo el Punto P y la recta r: Si P2 está en, P1 tiene que estar en y viceversa. Si en una figura (prisma, cubo, pirámide, tetraedro...) una sección corta a las aristas (que son rectas), los cortes se verán en la proyección vertical y en la horizontal. Por ejemplo: Si en P el corte 1 está en la recta A2-2 también lo estará en P en A A la hora de resolver algún problema o ejercicio en el que haya que crear un plano proyectante, los pasos a seguir son: incluir a un punto en una recta y a esa recta en al plano. Por ejemplo a la hora de hallar una intersección entre recta y plano (que será un punto) o la distancia entre dos planos (que serálo mismo que hallar la distancia entre dos puntos que pertenecen uno a cada plano), etc. - Si no te acuerdas de cómo resolver un ejercicio pero sabes lo que quieres hacer, escríbelo en un lateral del papel, porque nunca se sabe si al corrector le conmoverá el corazón y podrás ganar algunas décimas. Si no, pues por lo menos lo has intentado. - Las figuras que aparecen apoyadas en el P o P se ven tal cual. Por ejemplo, una pirámide recta apoyada en el P, la base se ve en erdadera Magnitud en el P, y su altura en erdadera Magnitu en el P. Si está apoyada en el P su base se verá en erdadera Magnitud en el P... - Por favor, y como algo personal, haz bien las paralelas y perpendiculares. - Afila el lápiz y trata de ser fino con el compás. - Ponle nombre a las cosas. Las proyecciones horizontales tienen un 1 y las verticales un 2. Si hubiese que abrir un plano de perfil, llevarán un 3 (es lo que se conoce como la tercera proyección). - PP es lo mismo que P (Plano orizontal de Proyección), y PP es lo mismo que P (Plano ertical de Proyección). No lo suelen escribir así en PAU, pero nunca se sabe. - El mundo no se acaba con esta prueba. Cuantos genios no terminaron sus estudios.

16 UN EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO. ay muchas maneras. Ésta es una de ellas que he sacado de internet.

17 UN EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE UN EPTÁGONO. ay muchas maneras,. Ésta es una de ellas que he sacado de internet.