1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS

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1 -- TEMA 5.- PROBABILIDAD 1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS Si lanzamos un dado y observamos el resultado obtenido. Ejercicio 1. 1 Describe el espacio muestral en los siguientes Observa que se cumple: experimentos aleatorios: - El número que obtenemos depende del azar - No podemos saber antes de lanzar el dado que resultado concreto vamos a obtener, aunque conocemos todos los posibles resultados: a) Lanzar una moneda b) Lanzar 3 monedas 1, 2, 3, 4, 5 y 6 c) Lanzar una moneda 3 veces Decimos que el experimento de lanzar un dado y anotar el resultado es un experimento aleatorio simple d) Lanzar 3 dados y anotar la suma de los puntos Experimento aleatorio simple : Es aquel cuyo resultado depende del azar: no se puede predecir de antemano qué resultado se va a e) Lanzar un dado que tiene 5 caras con un 6 y 1 cara con un 2 obtener (aunque conocemos todos los resultados posibles) Experimento aleatorio compuesto : Es el que consta de varios f) Antonio y Jorge eligen cada uno una vocal experimentos simples. Ejemplo: lanzar un dado y tirar una moneda Experimento determinista : Es aquel que no es aleatorio. g) Se pregunta a 3 personas si fuman o no Por ejemplo, calentar agua a 100 ºC ó soltar un lápiz Espacio muestral de un experimento aleatorio: Es el conjunto formado por todos los resultados que se pueden obtener al realizar el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. h) Una caja tiene 5 tornillos de los cuales 3 son defectuosos. Sacamos al azar tornillos uno tras otro hasta encontrar los defectuosos Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ACTIVIDAD PROPUESTA PARA EL ALUMNO 1 Determina el espacio muestral en los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar 2 monedas b) Tirar 3 monedas y anotar el nº de caras y de cruces c) Lanzar 2 dados y anotar la diferencia de los puntos d) Tirar un dado que tiene 1 cara roja, 2 caras verdes y 3 caras azules e) Juan y Luis eligen cada uno un número del 1 al 5 f) Preguntar a 4 personas si consumen o no un determinado producto g) Tirar 2 dados y anotar el producto de los puntos h) Sacar una carta de una baraja y observar si es oro, copa, basto o espada 2.- TÉNICAS DE RECUENTO En un experimento aleatorio a veces sólo interesa conocer el nº de resultados posibles. En estos casos, se utiliza el principio de multiplicación: "Si un experimento consta de 2 o más etapas, el nº de resultados del experimento se obtiene multiplicando el nº de resultados de cada etapa". Por ejemplo, supongamos que tenemos una urna con 10 bolas numeradas del 1 al 10. Veamos algunos casos: 1er caso: Variaciones con repetición Si sacamos de la urna 3 bolas al azar con reemplazamiento, cuántos resultados se pueden obtener? 1ª bola 2ª bola 3ª bola Nº de resultados Nº total de resultados: = Observa que importa el orden, pues por ejemplo, no es lo mismo sacar 1ª bola un 2 y 2ª bola un 6 que al contrario. - Se pueden repetir los elementos, pues las bolas se devuelven a la urna. Decimos que 10 3 es el nº de variaciones con repetición de 10 bolas tomadas de 3 en 3 y se escribe VR 10,3 = 10 3 En general, VR m,n = m n 2º º caso: Variaciones sin repetición Si sacamos de la urna 3 bolas al azar sin reemplazamiento, cuántos resultados se pueden obtener? 1ª bola 2ª bola 3ª bola Nº de resultados Nº total de resultados: = Observa que importa el orden igual que en el caso anterior - No se pueden repetir los elementos,: las bolas no se devuelven. Decimos que es el nº de variaciones sin repetición de 10 bolas tomadas de 3 en 3 y se escribe V 10,3 = En general, V m,n = m.(m 1)... n factores Nota: Si en cada resultado intervienen todos los elementos hablaremos de permutaciones sin repetición: P = V m m,m = m.(m -1) = m! (se lee m factorial) Por ejemplo, P 10 = 10! = = que son todas las posibles formas de ordenar las 10 bolas (equivale a sacar las 10 bolas sin reemplazamiento) 3er caso: Combinaciones sin repetición Si sacamos al azar 2 bolas, cuántos resultados se pueden obtener? En este caso, en los resultados del experimento no importa el orden y no se pueden repetir los elementos. El nº de resultados es el nº de combinaciones de 10 bolas tomadas de 2 en 2: C 10,2 = 10 V = 10, = = 45 2 P2 2.1 En general, C m,n = m n V = m,n P n, m se llama nº combinatorio n - 1 -

2 -- Ejercicio 2. 2 Escribe el número de resultados posibles en los siguientes experimentos aleatorios: a) Tirar 5 monedas b) Lanzar un dado 4 veces c) Extraer al azar con reemplazamiento de 2 cartas de una baraja d) Extraer al azar sin reemplazamiento de 3 cartas de una baraja e) Sortear el orden de entrada al cine de Raúl, Luisa, Héctor y Maite f) Rellenar un bloque de la lotería primitiva g) Escribir al azar un nº de 5 cifras distintas con las cifras 3, 4, 5, 6, 7 y 8 h) Formar al azar un nº de 9 cifras con las cifras del 1 al 9 i) Rellenar una columna de la quiniela de fútbol j) Elegir al azar 2 sobres de entre 5 sobres ACTIVIDAD PROPUESTA PARA EL ALUMNO 2 Escribe el número de resultados posibles en los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar un dado 3 veces b) Extraer con reemplazamiento 3 cartas de una baraja c) Sacar 4 cartas de una baraja sin reemplazamiento d) Posibles ordenaciones, en las 6 primeras posiciones de la e) Escribir al azar un nº de 5 cifras distintas con los dígitos 1,2,4,5,6,8 y 9 f) Formar un nº de 2 cifras con los dígitos 3,4,5,6 y 7 g) Elegir al azar 3 temas de 50 temas h) Con las cifras 2 y 3 formar al azar un nº de 4 cifras clasificación, de los equipos: R. Madrid, F.C. Barcelona, Atco [ Solución: a) 216 b) c) d) 720 Madrid, Valencia, Sevilla y Villareal e) 2520 f) 25 g) h) 16 ] 3.- SUCESOS ALEATORIOS Suceso aleatorio a leatorio: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, A = obtener un número par = {2,4,6} es un suceso. Si lanzamos el dado y sale un nº par diremos que se cumple el suceso A Suceso seguro: Es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el suceso A = salir cara o cruz = { C, X } = E siempre ocurre El suceso seguro es el espacio muestral, E. Suceso imposible: Es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el suceso A = salir un número mayor que 6 nunca ocurre. El suceso imposible es el conjunto "que no tiene ningún elemento", se llama conjunto vacío y se representa por Suceso elemental: Es el que tiene sólo 1 elemento. Por ejemplo, el experimento de lanzar un dado tiene 6 sucesos elementales: {1 }, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} Suceso contrario o complementario : Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A (se representa por A c ó A ) es aquel que ocurre cuando no ocurre A. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = salir número par = {2,4,6}, entonces A c = no salir número par = salir número impar = {1,3,5} Propiedades del suceso complementario 1ª) E c = En el ejemplo anterior: E = salir un nº entre 1 y 6, E c = no salir ningún nº entre 1 y 6 = 2ª) c = E En el ejemplo anterior: = no salir ningún nº entre 1 y 6, c = salir un nº entre 1 y 6 = E 3ª) (A c ) c = A En el ejemplo anterior: A = salir número par, A c = salir número impar, (A c ) c = salir número par = A Los sucesos aleatorios se pueden representar mediante un diagrama, llamado diagrama de Venn. Ejemplo A = "salir nº par" Inclusión de sucesos: Dados dos sucesos A y B, decimos que A está incluido o contenido en B (se representa A B) si cuando ocurre A también ocurre B. En este caso, los elementos de A están "contenidos en B. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = salir un 4 = { 4 } y B = salir número par = {2,4,6}, entonces A B pues si ocurre A también ocurre B. Lo podemos representar mediante diagrama de Venn así: Se cumple que si A B B c A c. En el ejemplo anterior B c = "salir nº impar" = {1,3,5}, A c = "salir un nº distinto de 4" = {1,2,3,5,6}, luego B c A c Ejercicio 3: Se realiza el experimento de lanzar tres monedas al aire. Sean los sucesos: A = "salir exactamente 2 caras" B = Salir exactamente 1 cara C = Salir al menos 1 cruz D = salir al menos 2 cruces F = salir exactamente 3 caras G = salir 2 caras y 2 cruces H = salir menos de 4 caras. a) Indica el espacio muestral, los sucesos anteriores y sus contrarios b) Comprueba que D C y que por tanto C c D c c) Representa en diagrama de Venn el suceso A y su complementario Ejercicio 4: Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra s para la respuestas afirmativas y la n para las negativas. b) Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto. c) Describe el suceso contrario de más de una persona es partidaria de consumir el producto. (Propuesto y puesto p en Selectividad S Andalucía Junio 1999) - 2 -

3 -- 3 Se realiza el experimento de sacar sucesivamente con reemplazamiento 3 bolas de una urna que contiene 1 bola roja y 1 verde. Sean los sucesos: A = "salir exactamente 2 bolas rojas" B = Salir exactamente 1 bola roja C = Salir al menos una bola verde D = salir al menos 2 bolas verdes F = salir exactamente 3 bolas rojas ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO G = salir 3 bolas rojas y 3 verdes H = salir 3 bolas de color. a) Indica el espacio muestral, los sucesos anteriores y sus contrarios b) Comprueba que C D y que por tanto D c C c c) Representa en diagrama de Venn el suceso A y su complementario Se lanza una moneda 3 veces. Sean los sucesos: A = salir al menos 2 caras B = no salir ninguna cruz C = salir más de una cruz. Describe los sucesos A, B, C y sus contrarios. Unión de sucesos: El suceso unión de A y B es el que se cumple cuando ocurre alguno de los dos sucesos La unión de los sucesos A y B se representa por A U B Los elementos de A U B se obtienen tomando los elementos de A junto con los de B. 4.- OPERACIONES CON SUCESOS Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A = "salir nº par " = { 2, 4, 6} A B = "salir nº par no primo" = 4, 6 B = "salir nº primo" = { 2, 3, 5} B A = "salir nº primo no par " = 3,5 Intersección de sucesos: El suceso intersección de A y B es el que se cumple cuando ocurren A y B a la vez La intersección de los sucesos A y B se representa por A B Los elementos de A B se obtienen tomando los elementos comunes de A y B. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, tomamos los sucesos: A = "salir nº par" = 2, 4,6 B = "salir nº primo" = 2,3,5 A U B = "salir nº par ó primo" = 2,3, 4,5,6 A B = "salir nº par y primo" = 2 Propiedades de la unión e intersección de sucesos: c c c (A B) = A B 1) Leyes De Morgan: c c c (A B) = A B 2) Conmutativas: A B = B A A B = B A (A B) C = A (B C) 3) Asociativas: (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) 4) Distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A B = B A A B 5) Si A B entonces 6) A B = A B A B c A B A A A = A A = A A A = E 7) 8) 9) 10) A B B A A = A A = c A A = Diferenci iferencia a de dos sucesos. Dados dos sucesos A y B, se definen: A - B : Es el suceso que se cumple cuando ocurre A y no B. Es decir A - B = A B c. Los elementos de A - B se obtienen tomando los elementos de A que no estén en B. B - A: Es el suceso que se cumple cuando ocurre B y no A. Es decir B - A = B A c Los elementos de B - A se obtienen tomando los elementos de B que no estén en A Sucesos compatibles: Son los que pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, los sucesos del ejemplo anterior, son compatibles, pues si al tirar el dado sale un 2 ocurren los dos a la vez. A y B son compatibles cuando A B Sucesos incompatibles compatibles: Son los que no pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo, En el lanzamiento de un dado, los sucesos A = "salir nº menor que 3" = 1,2 B = "salir nº mayor que 4" = 5,6 son incompatibles. A y B son incompatibles cuando A B = Propiedades 1º) A y A c son incompatibles, pues A A c = 2º) A - B y A B son incompatibles y se cumple: A = (A - B) U (A B) 3º) A - B, A B y B - A son incompatibles y se cumple: A U B = (A - B) U (A B) U (B - A) Ejercicio 5: Tiramos 2 dados y anotamos la suma de los puntos. Sean los sucesos A = "obtener un número par" B = "obtener un múltiplo de 3" C = obtener un número menor que 4" D = "obtener un múltiplo de 4". a) Describe el espacio muestral y los sucesos A, B, C y D. b) Haz un diagrama de Venn con los sucesos E, A y B y determina A U B y A B c) Comprueba las leyes de Morgan con los sucesos A y B d) Determina el suceso A - C e) Los sucesos B y C, son compatibles? Ejercicio 6: 6 Sean A, B y C tres sucesos de un experimento aleatorio. Expresa en función de ellos y sus contrarios los sucesos: a) Se realizan A y B b) Se realiza A y B pero no C c) Se realiza al menos uno de los tres d) No se realiza ninguno de los tres e) Se realiza solamente uno de los tres f) Se realizan exactamente dos de ellos - 3 -

4 -- ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 5 Se lanzan tres monedas simultáneamente. Sean los sucesos: A = salir al menos 2 caras B = salir al menos una cara C = No salir ninguna cara D = salir 1 cara y 2 cruces a) Describe el espacio muestral y los sucesos A, B, C y D. b) Haz un diagrama de Venn con los sucesos E, B y D y determina B U D y B D c) Comprueba las leyes de Morgan con los sucesos A y D d) Determina el suceso B - D e) Determina que pareja de sucesos son incompatibles 6 Sean A, B y C tres sucesos de un experimento aleatorio. Expresa en función de ellos y sus contrarios los sucesos: a) No se realiza ni A ni B b) Se realiza A pero no C c) Se realizan los 3 sucesos d) Se realiza al menos uno de los 3 e) Se realizan al menos 2 de los tres f) No se realiza A pero si se realizan B y C 5.- PROBABILIDAD DE UN SUCESO. REGLA DE LAPLACE Frecuencia relativa de un suceso. Lanzamos una moneda al aire y consideramos el suceso A ="salir cara" Formamos una tabla y obtenemos los siguientes resultados: n = nº de lanzamientos n A = nº de caras na fr(a) = n 0,6 0,54 0,48 0,502 0, Observa que en el ejemplo, cuando n, fr(a) 0,5. Esto no es una casualidad. Es una ley llamada ley de los grandes números que fue enunciada por Jakob Bernoulli : " La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente". Se llama probabilidad del suceso A al número al que tienden las frecuencias relativas, y se representa por. La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. Regla de Laplace: Si en un experimento todos los resultados tienen la misma posibilidad de aparecer (resultados equiprobables) entonces la probabilidad de un suceso A se calcula por la regla de Laplace: Nº de casos favorables al suceso A = Nº de casos posibles Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si Casos favorables : 2 A = salir un múltiplo de 3" = { 3, 6 } Casos posibles : 6 Casos favorables Luego = = 2 Casos posibles 6 = 1 0,333 = 33,3 % 3 Nota: Si los resultados no son equiprobables y el suceso A fuese, por ejemplo, A = {a 1, a 2, a 3 }, entonces la probabilidad de A se calcularía así: = P(a 1 ) + P(a 2 ) + P(a 3 ). Por ejemplo, si se lanza un dado que tiene 3 cara rojas, 2 caras verdes y 1 caras blanca, E = {R, V, B } Si A = salir cara de color = { R, V } entonces = P(R) + P(V) = = Ejercicio 7 : Usa la regla de Laplace para resolver los siguientes problemas: a) En una urna hay 3 bolas blancas, 2 negras y 5 azules. Se saca una bola al azar, cuál es la probabilidad de que sea negra? b) Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de la baraja española sea figura? c) Halla la probabilidad de que al lanzar 2 dados el producto de sus puntuaciones sea 6 d) En un instituto el 32,5 % de los alumnos repite curso. Si se elige un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que repita curso? e) En una clase hay 11 chicos y 26 chicas. Si se elige un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea chico? f) De todos los números de 3 cifras que se pueden formar con las cifras 2,4, 5 y 6 se elige un número. Cuál es la probabilidad de que todas sus cifras sean distintas? g) Se forman todos los números de 4 cifras distintas con los dígitos 1,2,3,4,5 y 6. Si se elige un número al azar, cuál es la probabilidad de que termine en 35? h) Entre 5 amigos, Ana, Juan, Maite, Luis y Susana se sortea el orden de entrada al cine. Cuál es la probabilidad de que las mujeres entren antes que los hombres? i) Entre los colores rojo, verde, azul, blanco y negro se eligen al azar 2 colores. Cuál es la probabilidad de que los colores elegidos sean el blanco y el negro? Ejercicio 8: 8 Se tiene un dado trucado de forma que la probabilidad de los resultados pares es 1/9 cada una y la de los resultados impares es 2/9 cada una. Si se tira el dado, cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 4? Ejercicio 9: 9 Entre las 7 bolas de una máquina de futbolín hay 2 rojas y 5 blancas; en cada partida, la máquina va sacando las bolas de una en una, de forma aleatoria, sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) La primera bola es roja. b) Las dos primeras bolas son blancas. c) Las dos primeras bolas son de colores distintos. (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) - 4 -

5 -- ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 7 Usa la regla de Laplace para resolver los siguientes problemas: a) Tienes 10 tarjetas numeradas desde 1 al 10. Sacas una al azar, cuál es la probabilidad de que salga un número primo? h) Se dispone de cinco bolas con los números 5,6,7,8 y 9. Si se eligen al azar tres de ellas para formar un número b) De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar, cuál es la probabilidad de que sea da bastos? c) Si se lanzan 3 monedas, Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y una cruz? d) Un estudiante es seleccionado al azar de entre un grupo de 5 alumnos de 3º ESO, 4 alumnos de 4º ESO, 8 alumnos de 1º Bachillerato y 3 alumnos de 2º Bachillerato. Halla la probabilidad de que sea de 2º Bachillerato e) Halla la probabilidad de que al lanzar 2 dados la suma de los puntos sea menor que 5 f) Se ha comprobado que, en una ciudad, el 40,2 % de los habitantes lee el periódico El Mensajero. Si se elige al azar una persona, cuál es la probabilidad de que lea el periódico El Mensajero? g) Un camarero descansa 2 días cualesquiera por semana. Cuál es la probabilidad de que descanse el fin de semana? - 5 -

6 -- ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 10 Se tiran 3 monedas al aire y sean los sucesos: A = salir al menos una cara B = salir al menos dos cruces C = salir dos caras y una cruz. a) Calcula la probabilidad de: A, B, C, A c, B c, A B, B U C, A c U B c, (B U C) c, A - B y B - A. b) Comprueba que C A y por tanto P(C) < c) Averigua si son incompatibles A y B d) Son incompatibles B y C? [ Solución: a) = 7/8 ; P(B) = 1/2 ; P(C) = 3/8 P(A c ) =1/8 ; P(B c ) = 1/2 ; P(A B) = 3/8 ; P(B U C) = 7/8 P(A c U B c ) = 5/8 ; P[(B U C) c ] = 1/8 ; P(A B) = 1/2 P(B - A) = 1/8 c) Son compatibles d) Sí ] Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 4 azules y 3 verdes. Halla la probabilidad de que al sacar una bola de la bolsa: a) No sea roja b) Sea azul o roja c) Sea roja, azul o verde d) Sea negra e) Son incompatibles los sucesos: sacar bola roja, sacar bola verde. [ Solución: a) 7/12 b) 3/4 c) 1 d) 0 e) Sí ] 12 Sean A y B dos sucesos asociados a un cierto experimento aleatorio. Sabiendo que = 2/3, P(B) = 1/5 y P(A U B) = 4/5. Se pide la probabilidad de que: a) Se verifiquen A y B b) No se verifique A c) No se verifique B d) No se verifique ni A ni B e) Se verifique A y no B [ Solución: a) 1/15 b) 1/3 c) 4/5 d) 1/5 e) 3/5 ] De 120 estudiantes, 60 están estudiando francés, 50 están estudiando español y 20 están estudiando francés y español. Se elige un estudiante al azar. Encuentre la probabilidad de que el estudiante esté estudiando: a) francés y español b) francés o español. c) ni francés ni español d) solamente francés e) exactamente uno de los dos idiomas. [ Solución: a) 1/6 b) 3/4 c) 1/4 d) 1/3 e) 7/12 ] Se lanzan 2 dados. Halla la probabilidad de: a) No salgan números distintos b) No salga el 6 en ninguno de ellos c) No salga el 1 doble [ Solución: a) 1/6 b) 25/36 c) 35/36 ] 7.- PROBABILIDAD CONDICIONADA.. SUCESOS INDEPENDIENTES Probabilidad condicionada: Supongamos que se ha lanzado un dado y sabemos que ha salido un número impar. Cuál es la probabilidad de que sea un nº primo?. Si llamamos A = "salir un nº primo" B = "salir un nº impar". Lo que queremos calcular es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B. Esta probabilidad se llama probabilidad de A condicionada a B y se escribe P(A/B) En general, dados dos sucesos A y B se llama probabilidad de A condicionada a B, y se representa por P(A/B), a la probabilidad de que ocurra el suceso A sabiendo que ha ocurrido el suceso B. P(A/B) solo se puede calcular cuando P(B) > 0, y se calcula por la P(A B) fórmula: P(A/B) = P(B) Observa que despejando P(A B), se obtiene: P(A B) = P(B). P(A/B) En el ejemplo anterior del lanzamiento del dado: 2 A B = salir nº primo impar = { 3,5} P(A B) = 6 B = { 1,3,5 } 3 P(B) = 6 Luego P(A/B) = = 2 3 También se puede calcular sin tener que usar la fórmula, pues observa que si sabemos que ha salido un nº impar, el nuevo espacio muestral es E = {1,3,5}, luego P(ser nº primo) = 2 3 ; es decir P(A/B) = 2 3 Otro ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 negra. Se sacan 2 bolas sin reemplazamiento. Sabiendo que la 1ª bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de que la 2ª bola sea verde?. La composición de la urna es: { 3R, 2V, 1N } A = "la 2ª bola es verde" B = "la 1ª bola es roja". Se trata de calcular P(A/B). Si la 1ª bola ha sido roja, nos queda la urna con la siguiente composición: { 2R, 2V, 1N }, luego P(A/B) = 2 5 Sucesos independientes: Dados 2 sucesos A y B, se dice que son independientes si P(A/B) = y P(B/A) = P(B) (es decir la probabilidad de que ocurra uno no depende de la del otro). Cuando A y B son independientes se cumple: P(A B) =. P(B) (Nota: Si A y B son independientes entonces también son independientes: A c y B c ; A c y B ; A y B c ) Ejercicio 14: 1 En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica P(A B) = 0,1, P(A c B c ) = 0,6 P(A/ B) = 0,5. a) Calcule P(B) b) Calcule P(A B) c) Son A y B independientes? (Propuesto y puesto selectividad Andalucía Septiembre 2007) Ejercicio 15: 1 En un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes, A y B. Se sabe que P(A B) = 0.18 y P(A/B) = a) Calcule las probabilidades de A y de B. b) Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de esos dos sucesos. Ejercicio 16: 1 Sean A y B dos sucesos del mismo experimento aleatorio tales que = 1/6, P(B) = 1/3 y P(A U B) = 1/2 a) Son A y B incompatibles? Son independientes? b) Calcule P[A/(A B)] (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) Ejercicio 17: 1 De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se conocen las probabilidades P(B) = 0.7, P(A/ B) = 0.8 y P(A B c ) = a) Calcule P(A B). b) Halle. c) Determine si A y B son independientes. Ejercicio 18: 1 Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. Se sabe que =0.3, P(B)=0.4. Calcule las siguientes probabilidades: a) P(A U B). b) P(A/ B c )

7 -- Ejercicio 19: 1 En un curso, el porcentaje de aprobados en Lengua es del 65 % y en Filosofía del 50 %. Se sabe que la probabilidad P(F/ L) = 0.7, siendo F y L los sucesos aprobar Filosofía y aprobar Lengua, respectivamente. a) Calcule P(L / F). b) Halle la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas. Ejercicio 20: En una ciudad, el 40 % de sus habitantes lee el diario A, el 25 % lee el diario B y el 50 % lee al menos uno de los dos diarios. a) Los sucesos leer el diario A leer el diario B son independientes? b) Entre los que leen el diario A, qué porcentaje lee también el diario B? c) Entre los que leen, al menos, un diario qué porcentaje lee los dos? d) Entre los que no leen el diario A, qué porcentaje lee el diario B? (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Ejercicio 21: Consideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados distintos y anotar el producto de sus puntuaciones. a) Cuál es la probabilidad de que dicho producto sea igual a 6? b) Si sabemos que el producto ha sido 4, cuál es la probabilidad de que hayan salido los dos dados con la misma puntuación? (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Ejercicio 22: Una caja contiene diez tornillos, de los que dos son defectuosos. a) Si vamos extrayendo tornillos, uno tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, cuál es la probabilidad de necesitar exactamente tres extracciones para localizarlos? b) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha resultado ser defectuoso, cuál es la probabilidad de que el primero también lo haya sido? (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) Ejercicio 23: En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999. a) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 5. b) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 55. c) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcule la probabilidad de que el número premiado hoy termine también en 5. (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía Junio 2005) Ejercicio 24: Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesos: A: Obtener al menos dos veces cara y B: Obtener cara en el segundo lanzamiento. a) Describa el espacio muestral asociado al experimento. Calcule y P(A B). b) Los sucesos A y B, son independientes?, son incompatibles? (Propuesto para selectividad Andalucía 2007) Ejercicio 25: Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son = 2/3 y P(B) = 1/2. a) Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? Por qué? b) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcule P(A B). c) Suponiendo que A B = E, calcule P(A B). (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) Ejercicio 26: En una ciudad el 60 % de sus habitantes son aficionados al fútbol, el 30 % son aficionados al baloncesto y el 25 % a ambos deportes. a) Son independientes los sucesos ser aficionado al fútbol y ser aficionado al baloncesto?. b) Si una persona no es aficionada al fútbol, cuál es la probabilidad de que no sea aficionada al baloncesto? c) Si una persona no es aficionada al baloncesto, cuál es la probabilidad de que sea aficionada al fútbol? (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) Ejercicio 27: La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada uno lanza un penalti, a) Halle la probabilidad de que marque gol uno solo de los dos jugadores. b) Halle la probabilidad de que al menos uno marque gol. (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) Ejercicio 28: Juan dispone de dos días para estudiar un examen. La probabilidad de estudiarlo solamente el primer día es del 10 %, la de estudiarlo los dos días es del 10 % y la de no hacerlo ningún día es del 25 %. Calcule la probabilidad de que Juan estudie el examen en cada uno de los siguientes casos: a) El segundo día. b) Solamente el segundo día. c) El segundo día, sabiendo que no lo ha hecho el primero. (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) Ejercicio 29: Laura tiene un dado con tres caras pintadas de azul y las otras tres de rojo. María tiene otro dado con tres caras pintadas de rojo, dos de verde y una de azul. Cada una tira su dado y observan el color. a) Describa el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales. b) Si salen los dos colores iguales gana Laura; y si sale el color verde, gana María. Calcule la probabilidad que tiene cada una de ganar. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO Sean A y B dos sucesos tales que =, P(B) = y P(A B) = Calcule: a) P(A B) y P(B A) b) P(A B) c) C P(A B) (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) Solución: a) 3/4 y 1/2 b) 7/12 c) 1/ En un espacio muestral se consideran dos sucesos A y B tales que P(A B) = 1, P(A B) = 1/6 y P(A/ B) = 1/3. Halle la probabilidad del suceso A y la del suceso B. (Propuesto Selectividad Andalucía 2007) Solución: = 2/3 P(B) = 1/2 ) 17 Sean los sucesos A y B independientes. La probabilidad de que ocurra el suceso B es 0,6. Sabemos también que P(A/B) = 0,3 a) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos. b) Calcule la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B. (Propuesto y puesto p Selectividad Andalucía Junio 2006) Solución: a) 0.72 b) 0.12 ) - 7 -

8 -- 18 Sean A y B dos sucesos independientes tales que P(B) = 0.05 y P(A/ B) = a) Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? b) Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) Solución: a) b) ) Sean A y B dos sucesos independientes tales que = 0.4 y P(A B) = a) Calcule P(B). b) Calcule P(A B c ). c) Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A. (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) Solución: a) b) 0.35 c) 0,4 ) Dados los sucesos aleatorios A y B, se sabe que: P(B c ) = 3/4 y = P(A/ B) = 1/3. a) Razone si los sucesos A y B son independientes. b) Calcule P(A B) (Propuesto y puesto p en selectividad Andalucía Junio 2004) Solución: a) Son independientes b) 1/2 ) Sean A y B dos sucesos tales que = 0,4 P(B c ) = 0,7 y P(A U B) = 0,6, donde B c es el suceso contrario de B. a) Son independientes A y B? b) Calcule P(A/B c ) (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Solución: a) No son independientes b) ) Sean A y B dos sucesos tales que C ( ) P(A ) = 0.60, P(B) = 0.25 y P A B = 0.55 a) Razone si A y B son independientes b) Calcule P(A B ) C C 26 Juan y Pedro juegan a obtener la puntuación más alta lanzando sus dados. El dado de Juan tiene cuatro caras con la puntuación 5 y las otras dos caras con el 1. El dado de Pedro tiene dos caras con el 6, otras dos con el 4 y las otras dos con el 1. a) Cuál es la probabilidad de que gane Pedro? b) Cuál es la probabilidad de empatar? (Propuesto para selectividad idad Andalucía 2002) Solución: a) 4/9 b) 1/9 ) Una urna contiene tres bolas azules y cuatro rojas. Se extraen al azar tres bolas sucesivamente con reemplazamiento. a) Calcule la probabilidad de que las tres sean del mismo color. b) Calcule la probabilidad de que dos sean azules y una roja. Solución: a) 13/49 b) 108/343 ) En una ciudad, el 60 % de los niños usa zapatillas deportivas, el 50 % usa ropa deportiva y el 20 % usa ambas prendas. a) Cuál es la probabilidad de que un niño, elegido al azar, no use ninguna de las dos prendas? b) Si un niño usa zapatillas deportivas, cuál es la probabilidad de que no use ropa deportiva? (Propuesto selectividad Andalucía 2002) Solución: a) 0,1 b) 2/3 ) Las instalaciones de un club tienen una sala de medios audiovisuales y una de informática. El 60% de los socios utiliza Solución: a) son independientes b) 0,9 ) la 1ª, el 30 % la 2ª y el 20 % ambas a) Calcule la probabilidad de que un socio, elegido al azar, no 23 En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A: sacar al menos una cara y una cruz. B: sacar a lo sumo una cara. utilice ninguna de las dos salas. b) Si se sabe que un socio utiliza la sala de audiovisuales, cuál es la probabilidad de que no utilice la de informática? (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) a) Determine el espacio muestral asociado a ese experimento y los sucesos A y B. Solución: a) 0, b) 2/3 ) b) Son independientes ambos sucesos? (Propuesto y puesto selectividad Andalucía 2001) Solución: a) E = { ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx } A = {ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc } 30 De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: En el 23 % de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65 % no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30 % de los casos B = { cxx, xcx, xxc, xxx } b) Son independientes ) se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y observar el resultado. a) Escriba el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales. b) Sean los sucesos A: obtener al menos una cara, B: obtener cara en cinturón y respetaban los límites de velocidad. a) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las dos normas. b) Razone si son independientes los sucesos llevar puesto el cinturón y respetar los límites de velocidad. solo uno de los tres lanzamientos. Calcule y P(B). Son Solución: a) 0,7 b) No son independientes) independientes A y B? (Propuesto Selectividad Andalucía 2003) 31 En un determinado curso el 60 % de los estudiantes Solución: a) E = { ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx } aprueban Economía y el 45 % aprueban Matemáticas. Se sabe Son equiprobables con probabilidad 1/8 además que la probabilidad de aprobar Economía habiendo b) = 7/8, P(B) = 3/8. Son dependientes ) aprobado Matemáticas es María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana María; y en cualquier otro caso hay empate. a) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignaturas. b) Entre los que aprueban Economía qué porcentaje aprueba a) Calcule la probabilidad de que gane Laura. Matemáticas? (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) b) Calcule la probabilidad de que gane María. Solución: a) 33,75 % b) 56,25 % ) (Propuesto y puesto selectividad Andalucía Junio 2004) Solución: a) 1/6 b) 1/6 ) - 8 -

9 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y FÓRMULA DE BAYES Probabilidades a priori. Teorema de la probabilidad total: Se tira un dado, si sale un 1, 2, 3 ó 4 se saca una bola de una urna U 1 que contiene 3 bolas azules y 2 rojas; si sale un 5 ó un 6 se saca una bola de otra urna U 2 que contiene 3 bolas azules y 1 roja. Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea azul? Sean A 1 = sacar un 1,2,3 ó 4 = sacar bola de la urna U 1 A 2 = sacar un 5 ó un 6 = sacar bola de la urna U 2 A = sacar bola azul En general, si A 1, A 2 son sucesos incompatibles tales que A 1 U A 2 = E y A es un suceso de probabilidad no nula, entonces se cumplen las fórmulas de Bayes: P(A 1 /A) = P(A 1).P(A / A 1) P(A 2 /A) = P(A 2).P(A / A 2) Donde, según el teorema de la probabilidad total, = P(A 1 ). P(A/A 1 ) + P(A 2 ). P(A/A 2 ) Nota: Las fórmulas son válidas para más de 2 sucesos, por ejemplo, para 3 sucesos A 1, A 2, A 3 incompatibles 2 a 2, tales que A 1 U A 2 U A 3 = E y A un suceso cualquiera. El teorema de la probabilidad total diría: = P(A 1 ). P(A/A 1 ) + P(A 2 ). P(A/A 2 ) + P(A 3 ). P(A/A 3 ) Observa que A 1, A 2 son sucesos incompatibles tales que A 1 U A 2 = E Fíjate que A A 1, A A 2 son también incompatibles y A = (A A 1 ) U (A A 2 ), luego: = P(A A 1 ) + P(A A 2 ) = P(A 1 ). P(A/A 1 ) + P(A 2 ). P(A/A 2 ) Estas probabilidades se pueden representar mediante un diagrama de árbol de probabilidades: Las fórmulas de Bayes (si fuese > 0) serían: P(A 1).P(A / A 1) P(A 2).P(A / A 2) P(A 1 /A) = P(A 2 /A) = P(A 3).P(A / A 3) P(A 3 /A) = Para resolver problemas de cálculo de probabilidades a veces se pueden usar otras técnicas distintas a la del árbol de probabilidades. Veamos un ejemplo: En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas. a) Tomada una silla al azar, cuál es la probabilidad de que sea nueva? b) Si se coge una silla que no es nueva, cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo? (Propuesto y puesto en selectividad Andalucía Junio 2006) Sea R = la silla tiene respaldo (R c = la silla no tiene respaldo) N = la silla es nueva (N c = la silla no es nueva) P(A 1 ) = 4/6 = 2/3 ; P(A 2 ) = 2/6 = 1/3 ; P(A/A 1 ) = 3/5 ; P(A/A 2 ) = 3/4 Diagrama de Venn Luego = 3/5. 2/3 + 3/4. 1/3 = 2/5 + 1/4 = 13/20 En general, se cumple el Teorema de la probabilidad total: Si A 1, A 2 son sucesos incompatibles con A 1 U A 2 = E y A es un suceso cualquiera = P(A 1 ). P(A/A 1 ) + P(A 2 ). P(A/A 2 ) Probabilidades a posteriori. Fórmulas de Bayes En la misma situación del ejemplo anterior: Si la bola extraída es azul, a) Cuál es la probabilidad de que se haya sacado la bola de la urna U 1? b) Cuál es la probabilidad de que se haya sacado la bola de la urna U 2? (Nota: Según el teorema de la probabilidad total: = P(A 1 ). P(A/A 1 ) + P(A 2 ). P(A/A 2 ) = 13/20 ) a) Nos piden P(A 1 /A) = b) Nos piden P(A 2 /A)= P(A 1 A) P(A 2 A) P(A 1).P(A / A 1) = P(A 2).P(A / A 2) = = 2. 3 = = 8 13 = a) P(N) = = 0,25 b) P(Rc /N c ) = 7 30 = 0, Tabla de contingencia N N c Total R R c Total a) P(N) = = 0,25 b) P(Rc /N c 7 ) = 30 = 0,

10 -- Ejercicio 30: 3 En los Juegos Mediterráneos Almería 2005 se sabe que el 5 % de los atletas son asiáticos, el 25 % son africanos y el resto son europeos. También se sabe que el 10 % de los atletas asiáticos, el 20 % de los atletas africanos y el 25 % de los atletas europeos hablan español. a) Calcule la probabilidad de que un atleta, elegido al azar, hable español. b) Si nos encontramos con un atleta que no habla español, cuál es la probabilidad de que sea africano? (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) Ejercicio 31: 3 El 55 % de la población española son mujeres, de las cuales un 23 % usa el coche para ir al trabajo. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, vaya al trabajo en coche es 0,52. a) Elegido un hombre, al azar, cuál es la probabilidad de que utilice el coche para desplazarse al trabajo? b) Si se elige una persona, al azar, y resulta que no usa el coche para ir al trabajo, calcule la probabilidad de que sea una mujer. Ejercicio 32: 3 Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tiene la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas. B: 4 blancas y 6 negras. También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado a) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca? b) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) La bola ha resultado ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? (Puesto en selectividad Andalucía Junio 2001) Ejercicio 36: 3 Disponemos de tres dados, uno de los cuales está trucado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es 0.25, siendo los otros resultados equiprobables. Se elige un dado al azar y se realiza un lanzamiento con él. a) Determine la probabilidad de obtener un 2. b) Dado que ha salido un 2, cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado? (Propuesto Selectividad Andalucía 2001) Ejercicio 37 3 Se dispone de una baraja española de 40 cartas (10 de oros, 10 de copas, 10 de espadas y 10 de bastos). Se saca una carta, al azar, y, sin devolverla, se saca otra, al azar. a) Calcule la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de oros. b) Sabiendo que la 2ª carta extraída ha sido de copas, calcule la probabilidad de que también lo fuera la primera. (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) Ejercicio 38: De una bolsa que contiene 4 monedas de 2 euros, 5 de 1 euro y 3 de 0.20 euros, se extraen dos monedas, al azar, sucesivamente y sin devolverlas a la bolsa. a) Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: A = la suma de las dos monedas es inferior a 2.20 euros. B = al menos una de las dos monedas es de 0.20 euros. b) Razone si esos dos sucesos son independientes. (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) Ejercicio 39: En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna. a) Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas. b) Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja. (Propuesto y puesto selectividad Andalucía Junio 2007) Ejercicio 33: 3 Una urna A contiene diez bolas numeradas del 1 al 10, y otra urna B contiene ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se escoge una urna al azar y se saca una bola. a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga el número 2? b) Si el número de la bola extraída es impar, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B. Ejercicio 40: Una bolsa contiene tres cartas: una es roja por las dos caras, una tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de las caras. a) Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja? b) Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea blanca? c) Si la cara mostrada es blanca, cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja? (Propuesto y puesto p en selectividad Andalucía Junio 2005) Ejercicio 34: 3 Una urna contiene 15 bolas, de las cuales 6 son azules y 9 son rojas. Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento, 3 bolas, al azar. a) Describa el espacio muestral asociado al experimento. b) Determine la probabilidad de que se extraiga, al menos, una bola azul. c) Halle la probabilidad de que la tercera bola extraída sea roja. (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) Ejercicio 35: 3 El despertador de un trabajador suena en el 80 % de los casos. Si suena, la probabilidad de que llegue puntual al trabajo es 0,9; si no suena, llega tarde el 50 % de las veces. a) Cuál es la probabilidad de que llegue puntual? b) Si llega tarde, cuál es la probabilidad de que no haya sonado el despertador? (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Ejercicio 41: En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son varones y, de éstos, 21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recién nacido entre los 200 citados. a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. b) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, cuál es la probabilidad de que sea un varón? Ejercicio 42: En una residencia hay 212 ancianos de los que 44 tienen afecciones pulmonares. Del total de ancianos, 78 son fumadores, y solo hay 8 que tienen enfermedad de pulmón y no fuman. a) Cuál es la probabilidad de que un anciano de esa residencia, elegido al azar, no fume y tampoco tenga afección pulmonar? b) Qué porcentaje de enfermos de pulmón son fumadores?

11 -- Ejercicio 43: El 30 % de los clientes de una tienda de música b) Sabiendo que una persona ha aprobado, cuál es la probabilidad solicita la colaboración de los dependientes y el 20 % realiza una de que sea varón? (Propuesto y puesto selectividad Andalucía 2002) compra antes de abandonar la tienda. El 15 % de los clientes piden la colaboración de los dependientes y hacen una compra. Ejercicio 48: En un tribunal se han examinado 140 alumnos de un a) Calcule la probabilidad de que un cliente ni compre, ni Instituto A y 150 de otro Instituto B. Aprobaron el 80 % de los solicite la colaboración de los dependientes. alumnos del A y el 72 % del B. b) Sabiendo que un cliente ha realizado una compra, cuál es la a) Determine el tanto por ciento de alumnos aprobados por ese probabilidad de que no haya solicitado colaboración a los tribunal. dependientes? (Propuesto para selectividad Andalucía 2007) b) Un alumno, elegido al azar, no ha aprobado, cuál es la probabilidad de que pertenezca al Instituto B? Ejercicio 44: El 35 % de los estudiantes de un centro docente (Propuesto para selectividad Andalucía 2007) practica el fútbol. El 70 % de los que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25 % de los que no practican el fútbol. Calcule la probabilidad de que al elegir, al azar, un estudiante Ejercicio 49: La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de ese centro: a) Estudie Matemáticas. de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. b) Practique el fútbol, sabiendo que no es alumno de Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las Matemáticas. (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos: a) Si se extraen las cartas con reemplazamiento. Ejercicio 45: En una universidad española el 30 % de los b) Si se extraen las cartas sin reemplazamiento. estudiantes son extranjeros y, de éstos, el 15 % están becados. (Propuesto y puesto selectividad Andalucía Junio 2007) De los estudiantes españoles, sólo el 8 % tienen beca. Si se elige, al azar, un alumno de esa universidad: Ejercicio 50: En una urna hay 1 bola blanca, 3 rojas y 4 verdes. a) Cuál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca? Se considera el experimento que consiste en sacar primero una bola, b) Calcule la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que si es blanca se deja fuera, y si no lo es se vuelve a introducir en la tiene beca. (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) urna; a continuación se extrae una segunda bola y se observa su color. Ejercicio 46: En una clínica médica se ha organizado un archivo a) Cuál es la probabilidad de que salgan 2 bolas del mismo color? de los pacientes por sexo y por tipo de hepatitis. Son 45 b) Cuál es la probabilidad de que la bola blanca salga en la 2ª varones de los cuales 25 tienen hepatitis tipo A y 20, tipo B. Son extracción? (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) 35 mujeres con hepatitis tipo A y 20 con hepatitis tipo B. Si se selecciona una de las fichas del archivo al azar, determinar la probabilidad de sacar: a) Una correspondiente al sexo femenino. Ejercicio 51: En un concurso se dispone de cinco sobres; dos de ellos b) Una correspondiente a un caso de hepatitis tipo B. contienen premio y los otros tres no. Se pide a un primer c) Una correspondiente al sexo masculino y con hepatitis tipo A. concursante que escoja un sobre y observe si tiene premio, y a un segundo concursante que elija otro de los restantes y observe si tiene premio. Ejercicio io 47: Según la estadística de los resultados en las a) Escriba el conjunto de resultados posibles asociado a este Pruebas de Acceso en una provincia andaluza, en septiembre de experimento e indique la probabilidad de cada uno de ellos. 2001, el número de alumnas presentadas es 840, de las que b) Qué probabilidad tiene el segundo concursante de obtener han aprobado un 70 %, mientras que el número de alumnos premio? presentados es 668, habiendo aprobado un 75 % de éstos. c) Cuál es la probabilidad de que ambos concursantes obtengan a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado? premio? (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO 32 Se tienen dos dados, uno (A) con dos caras rojas y cuatro verdes, y otro (B) con dos caras verdes y cuatro rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja el dado A y si sale cruz el dado B. a) Halle la probabilidad de obtener una cara de color rojo. b) Si sabemos que ha salido una cara de color verde en el dado, cuál es la probabilidad de que en la moneda haya salido cara? (Propuesto para selectividad Andalucía 2007) Solución: a) 1/2 b) 2/3 ) Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) Si la bola extraída resulta ser azul, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? (Propuesto y puesto selectividad Andalucía Septiembre 2007) Solución: a) 19/42 b) 7/16 ) 34 Se dispone de dos urnas A y B. En la urna A hay diez bolas, numeradas del 1 al 10 y en la urna B hay 3 bolas, numeradas del 1 al 3. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna A y si sale cruz se extrae de la B. a) Calcule la probabilidad de obtener cara y un 5. b) Halle la probabilidad de obtener un 6. c) Calcule la probabilidad de obtener un 3. Solución: a) 1/20 b) 1/20 c) 13/60 ) Tenemos 3 estuches de lápices A, B y C. El estuche A tiene 9 lápices, de los cuales 3 son negros; el B contiene 7 lápices, de los cuales 2 son negros; el C contiene 5 lápices de los que 1 es negro. a) Si tomamos, al azar, un lápiz del estuche B, cuál es la probabilidad de que sea negro? b) Si elegimos, al azar, uno de los 3 estuches y de éste tomamos, al azar, un lápiz, cuál es la probabilidad de que no sea negro? (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) Solución: a) 2/7 b) 229/315 )

12 -- 36 Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienen la Consume No consume siguiente composición: Hombre A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas. B: 4 blancas y 6 negras. Mujer También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la Se elige en ese grupo una persona al azar. Calcule la probabilidad de letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos que: a) Sea mujer. b) Habiendo consumido el producto, se trate una bola al azar de la urna que indica el dado. de una mujer. c) Sea mujer y no consuma el producto. a) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca? b) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? Solución: a) 0,4805 b) 0,7143 c) 0,1558 ) c) La bola extraída ha resultado ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? 42 En un Instituto se pueden practicar dos deportes: fútbol y (Propuesto y puesto selectividad Andalucía 2001) baloncesto. Se sabe que el 48 % de los alumnos practica fútbol pero Solución: a) 5/9 b) 2/15 c) 2/5 ) no baloncesto, que el 15 % practica baloncesto pero no fútbol y que el 28 % no practica ninguno de los dos. Si se toma, al azar, un 37 Dos cajas, A y B, tienen el siguiente contenido: alumno de ese Instituto, calcule la probabilidad de que: A: 5 monedas de 1 euro y 3 de 10 pesetas. a) Practique fútbol. b) Practique alguno de los dos deportes. B: 4 monedas de 1 euro, 4 de 10 pesetas y 2 de 25 pesetas. c) No practique fútbol, sabiendo que practica baloncesto. De una de las cajas elegida al azar, se extrae una moneda. (Propuesto para selectividad Andalucía 2007) a) Cuál es la probabilidad de que sea de 1 euro? Solución: a) 0,57 b) 0,72 c) 0,625 ) b) Si la moneda extraída resulta ser de 10 pesetas, cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B? 43 En una agrupación musical el 60 % de sus componentes son (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) mujeres. El 20 % de las mujeres y el 30 % de los hombres de la citada Solución: a) 41/80 b) 16/31 ) agrupación están jubilados a) Cuál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, 38 Disponemos de dos urnas A y B conteniendo bolas de elegido al azar, esté jubilado? colores. La urna A tiene 4 bolas blancas y 3 rojas, y la B tiene 5 b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, blancas, 2 rojas y 1 negra. Lanzamos un dado, si sale 1, 2, 3 ó 4 está jubilado cuál es la probabilidad de que sea mujer? extraemos una bola de A y si sale 5 ó 6 la extraemos de B. (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja. Solución: a) 0,24 b) 0,5 ) b) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea negra c) Sabiendo que la bola extraída ha sido blanca, calcule la 44 En una biblioteca sólo hay libros de física y de matemáticas, que probabilidad de que en el dado haya salido 5 ó 6. están escritos en inglés o en español. Se sabe que el 70 % de los libros son de física, el 80 % de los libros están escritos en español y Solución: a) 31/84 b) 1/24 c) 35/99 ) el 10 % son libros de matemáticas escritos en inglés a) Calcule qué tanto por ciento de los libros son de física y escritos 39 Una enfermedad afecta a un 5 % de la población. Se aplica en español. una prueba diagnóstica para detectar dicha enfermedad, b) Si cogemos un libro de física, cuál es la probabilidad de que esté obteniéndose el siguiente resultado: Aplicada a personas que escrito en español? padecen la enfermedad se obtiene un 96 % de resultados Solución: a) 60 % b) 0,8571 ) positivos, y aplicada a personas que no la padecen se obtiene un 2 % de resultados positivos. Elegida una persona, al azar, y 45 En tres cursos de un mismo nivel hay 65 alumnos entre chicos y aplicada la prueba: chicas. En una evaluación los aprobados fueron los siguientes: a) Cuál es la probabilidad de que se obtenga un resultado de las 40 chicas, 20 aprobaron y de los 25 chicos, 15 aprobaron. positivo? Organice los datos en una tabla de contingencia y calcule las b) Si se obtiene un resultado positivo, cuál es la probabilidad probabilidades de que: de que esta persona no padezca la enfermedad? a) Un estudiante sea chica y esté aprobada. b) Un estudiante sea chico y esté aprobado. Solución: a) 0,067 b) 0,2836 ) c) Un estudiante esté aprobado d) Sabiendo que el estudiante elegido está aprobado, sea chica. 40 El despertador de Pedro no funciona bien, pues el 20 % de e) Sabiendo que el estudiante está aprobado, sea chico. las veces no suena. Cuando suena, Pedro llega tarde a clase con probabilidad 0.2; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0.9. a) Calcule la probabilidad de que Pedro llegue a tiempo. b) Determine la probabilidad de que el despertador haya funcionado bien, si sabemos que Pedro ha llegado tarde a clase. (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) Solución: a) 0,66 b) 0,4706 ) Se conocen los siguientes datos de un grupo de personas, relativos al consumo de un determinado producto: Solución: a) 20/65 b) 3/13 c) 7/13 d) 4/7 e) 3/7 ) En cierto barrio hay dos panaderías. El 40 % de la población compra en la panadería A, el 25 % en la B, y el 15 % en ambas. Se escoge una persona al azar: a) Cuál es la probabilidad de que esta persona compre en A y no compre en B? b) Si esta persona es cliente de A, cuál es la probabilidad de que también sea cliente de B? c) Cuál es la probabilidad de que no sea cliente de A ni de B? d) Son independientes los sucesos ser cliente de A y ser cliente de B? (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Solución: a) 0,25 b) 0,375 c) 0,5 d) No son independientes )

13 -- 47 En un colectivo de personas, el 80 % tiene más de 35 años. De los mayores de 35 años, el 40 % son mujeres. De los que no han superado los 35 años, el 45 % son hombres. Se elige una persona, al azar, de ese colectivo. a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Cuál es la probabilidad de que no haya superado los 35 años sabiendo que se ha elegido un hombre? (Propuesto para selectividad Andalucía 2002) Solución: a) 0,43 b) 0,1579 ) En una población, el porcentaje de personas que ven un determinado programa de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tiene estudios superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tiene estudios superiores. a) Calcule la probabilidad de que una persona vea dicho programa y tenga estudios superiores. b) Halle la probabilidad de que una persona que tiene estudios superiores vea el citado programa. (Propuesto para selectividad Andalucía 2007) Solución: a) 0,24 b) 0,3636 ) Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20 % de A, un 30 % de B y el resto de C. El 80 % de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.El 50 % de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60 % de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de 2º? b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? (Propuesto y puesto selectividad Andalucía 2002) Solución: a) 0,39 b) 0,2459 ) En una empresa, el 65 % de la plantilla son hombres; de ellos, el 80 % usan el ordenador. Se sabe que el 83,5 % de la plantilla de la empresa usa el ordenador. a) Calcule la probabilidad de que una persona de esa empresa, elegida al azar, sea un hombre que no utiliza el ordenador. b) Seleccionada una mujer de esa empresa, al azar, calcule la probabilidad de que utilice el ordenador. Solución: a) 0,13 b) 0,9 ) En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, A, B y C, y dos idiomas excluyentes, inglés y francés. La modalidad A es elegida por un 50 % de los alumnos, la B por un 30 % y la C por un 20 %. También se conoce que han elegido inglés el 80 % de los alumnos de la modalidad A, el 90 % de la modalidad B y el 75 % de la C, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad A? (Propuesto y puesto selectividad Andalucía 2000) Solución: a) 18 % b) 0,5556 ) b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer. (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Solución: a) 0,455 b) 0,7065 ) En un centro de Bachillerato, los alumnos de 1º son el 60 % del total, y los de 2º el 40 % restante. De todos ellos, el 46 % posee móvil y el 18 % son de 1º y tienen móvil. a) Calcule la probabilidad de que un alumno de 1º, elegido al azar, posea móvil. b) Elegido un alumno, al azar, resulta que tiene móvil, cuál es la probabilidad de que sea de 2º? (Propuesto para selectividad Andalucía 2004) Solución: a) 0,3 b) 0,6087 ) El 70 % de los alumnos de un Instituto son de Bachillerato y el resto de E.S.O. De los alumnos de Bachillerato, el 60 % estudia más de 3 horas al día, y sólo el 30 % de los de E.S.O., estudia más de 3 horas al día. a) Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho Instituto, elegido al azar, estudie más de 3 horas al día. b) Sabiendo que un alumno de este instituto, elegido al azar, estudia más de 3 horas al día, cuál es la probabilidad de que sea de Bachillerato? (Propuesto y pues p uesto selectividad Andalucía Junio 2003) Solución: a) 0,51 b) 0,8235 ) Una máquina A fabrica 100 piezas al día, de las cuales un 6 % son defectuosas. Otra máquina B fabrica 50 piezas al día, con un porcentaje de defectuosas del 2 %. Mezclamos las piezas fabricadas por ambas máquinas en un día y extraemos una al azar. a) Cuál es la probabilidad de que la pieza extraída sea defectuosa? b) Sabiendo que la pieza extraída es defectuosa, cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina B? Solución: a) 0,0467 b) 0,1429 ) Un estudiante se presenta a un examen en el que debe responder a dos temas, elegidos al azar, de un temario de 80, de los que se sabe 60. a) Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a los dos? b) Cuál es la probabilidad de que responda correctamente al menos a uno de los dos? (Propuesto para selectividad Andalucía 2005) Solución: a) 177/316 b) 297/316 ) Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 bolas del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Calcule: a) La probabilidad de que la segunda bola sea verde. b) La probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja.(propuesto selectividad Andaluc. 2004) Solución: a) 31/72 b) 20/41 ) Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de plata, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plata y un tercer cofre C con 2 monedas de oro. Elegimos un cofre al azar y sacamos una moneda. a) Calcule la probabilidad de que sea de oro. b) Sabiendo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A. (Propuesto selectividad Andalucía 2001) Solución: a) 88/135 b) 27/47 ) Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60 % son mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73 %. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 0, En un cineclub hay 80 películas; 60 son de acción y 20 de terror. Susana elige una película al azar y se la lleva. A continuación Luis elige otra película al azar. a) Cuál es la probabilidad de que tanto Susana como Luis elijan películas de acción? b) Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de a) Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, acción? (Propuesto para selectividad Andalucía 2001) prefiera vivir en la ciudad. Solución: a) 0,5601 b) 0,75 )

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