Descripción General de los Sistemas Abiertos 30 de abril de 2009

Transcripción

1 CELIA GOZÁLEZ ÁGEL JIMÉEZ IGACIO LÓPEZ RAFAEL IETO Descripción General de los Sistemas Abiertos 30 de abril de 2009 Cuestiones y problemas: C5.40, C5.42, C5.44, C5.47, C5.51, C5.52, P3.14, P3.19 subrayados y en negrita para voluntarios punto de clase Índice 5 1. Punto de partida 2 2. Análisis de un sistema abierto 3 3. Balance de masa 4 4. Balance de energía: 1 er Principio para sistemas abiertos Balance de entropía: 2 o Principio para sistemas abiertos 5 6. Balance de exergía 6 7. Ecuaciones generales para un sistema abierto 6 8. Sistemas abiertos en procesos estacionarios 6 9. Balance de ímpetu como energía 7

2 Punto de partida Los sistemas abiertos se diferencian de los cerrados en que aquellos intercambian masa con su entorno. La mayor parte de los procesos industriales tienen lugar en sistemas abiertos. En los procesos técnicos se toma una serie de flujos continuos de masa que son sometidos a interacción entre sí y con su entorno. Estas interacciones producen transformaciones de tipo físico y químico dando lugar a intercambios energéticos de tipo mecánico o térmico con el exterior del sistema y a la obtención de nuevas corrientes continuas de masa como producto del proceso. Estos procesos de transformación e intercambio energético, tienen lugar, por tanto en sistemas termodinámicos abiertos. El punto de partida para la descripción que se hará de los sistemas abiertos se basa en los siguientes enunciados: El principio de equilibrio local. En un sistema abierto, no existe en general un equilibrio interno, de manera que no hay una presión y temperatura únicas definidas en todo el sistema. Sin embargo, se supondrá en lo que sigue que, en torno a todos los puntos interiores al sistema existe una región en la que se dan condiciones de equilibrio de forma que sí se encuentras definidas la presión y temperatura de modo local, econtrándose que éstas varían en el espacio de forma continua a lo largo del sistema abierto que se considera. OTA: La mayoría de procesos de interés práctico en sistemas abiertos son cuasiestáticos. Sin embargo, hay algunos como la laminación que no lo son, y por lo tanto no se puede decir que se cumpla el principio de equilibrio local en lodo el sistema. La mínima condición que ha de cumplirse para mantener la validez de las ecuaciones que se van a obtener es que exista equilibrio local en las secciones de entrada y salida de masa al sistema, y por tanto estén definidas las variables termodinámicas en dichas secciones.

3 El primer y segundo principios de la termodinámica para los sistemas cerrados. Se asume que para un sistema cerrado se tiene: 3 P1: U = Q W P2: S = J s + σ (1) Aunque no aporta información adicional puesto que se trata de una combinación de las dos ecuaciones anteriores, también recordamos el balance de exergía para un sistema cerrado por su gran utilidad: B = (Q T 0 J s ) (W P 0 V) I (2) 40 siendo el primer término entre paréntesis el contenido exergético del calor, el segundo término el contenido exergético del trabajo e I = T 0 σ la destrucción exergética. 2. Análisis de un sistema abierto Obsérvese el conjunto mostrado en la siguiente figura. Se consideran dos sistemas termodinámicos: 45 El sistema abierto SA recibe masa de la corriente 1 y la cede a la corriente 2. Sus propiedades extensivas, designadas sin subíndices, varían con el tiempo: Z = Z(t). El contorno de SA también puede ser variable con el tiempo. 50 El sistema SC es un sistema cerrado constituido por toda la masa contenida por SA en el instante t más la cantidad infinitesimal de masa

4 4 55 dm 1 que cruzará la frontera entre la corriente 1 y SA entre los instantes t y t + dt. En el instante t + dt el contorno de SC ha variado y una cantidad infinitesimal de masa dm 2 ha cruzado la frontera entre SA y la corriente 2. SC se identifica con la unión de SA y dm 1 en el instante t y con la unión de SA y dm 2 en el instante t + dt 3. Balance de masa Dado que SA es un sistema cerrado, la masa contenida en él no varía con el tiempo. Por lo tanto puede establecerse: m SC (t + dt) m SC (t) = 0 (3) m(t + dt) + dm 2 m(t) dm 1 = dm + dm 2 dm 1 = 0 dm = dm 1 dm 2 (4) Esta expresión puede ser generalizada para el caso de entradas y salidas de masa del sistema, adoptando el convenio de que una masa infinitesimal entrante al sistema tiene signo positivo y una saliente del sistema signo negativo, de la siguiente manera : dm = dm i (5) 4. Balance de energía: 1 er Principio para sistemas abiertos Aplicamos el Primer Principio para sistemas cerrados a SC: U SC (t + dt) U SC (t) = dq SC dw SC (6) dq SC puede identificarse con dq SA dq. En efecto, por un lado, el calor intercambiado por los diferenciales de masa a través del elemento diferencial de carcasa será un infinitésimo de orden superior a dq. Por el otro, la sección de las conducciones es normalmente mucho menor que el área de separación de SA con el exterior. Además, los gradientes térmicos en el seno del fluido en las conducciones son en general muy pequeños, por lo que la conducción de calor también lo es. Por lo tanto, el calor transmitido a lo largo de aquellas secciones debe ser considerado despreciable frente al intercambiado a través de la envolvente externa de SA en la mayoría de las aplicaciones. RAZOAMIETO

5 El trabajo sobre SC puede obtenerse a partir del ejercido sobre SA ( dw) a causa de sus interacciones mecánicas con el exterior, añadiendo la contribución de otras fuerzas sobre SC que desplazan su punto de aplicación: se trata del trabajo debido a la presión en las corrientes de entrada y salida: dw 1 = P 1 dv 1 = P 1 v 1 dm 1 y dw 2 = +P 2 dv 2 = +P 2 v 2 dm 2. Atendiendo a esto, reescribimos (8) mediante RAZOAMIETO U (t + dt) + u 2dm 2 U (t) u 1 dm 1 = dq dw + P 1 v 1 dm 1 P 2 v 2 dm 2 du = dq dw + (u 1 + P 1 v 1 )dm 1 (u 2 + P 2 v 2 )dm 2 du = dq dw + h 1 dm 1 h 2dm 2 (7) Generalizando para el caso de entradas y salidas de masa del sistema en base al convenio de signos para las masas infinitesimales mencionado anteriormente: du = dq dw + h i dm i (8) 5. Balance de entropía: 2 o Principio para sistemas abiertos Ahora es es el turno del Segundo Principio. La aplicación del mismo a SC proporciona: S SC (t + dt) S SC (t) = d(j s ) SC + dσ SC (9) Por las mismas razones expresadas en la sección anterior, podemos identificar d(j s ) SC con d(j s ) SA dj s. Asimismo dσ SC = dσ SA dσ salvo infinitésimo de orden superior. Por lo tanto, reordenamos (11): S(t + dt) + s 2 dm 2 S(t) s 1 dm 1 = dj s + dσ ds = dj s + dσ + s 1 dm 1 s 2 dm 2 (10) Y finalmente, para el caso de entradas y salidas de masa del sistema: ds = dj s + dσ + s i dm i (11) RAZOAMIETO RAZOAMIETO

6 6 6. Balance de exergía 85 Podemos obtener un balance de exergía para un sistema abierto combinando apropiadamente las ecuaciones de balance de masa (5) y los dos principios (8) y (11). En efecto: db = d(u T 0 S + P 0 V G 0 ) = du T 0 ds + P 0 dv g 0 dm = = ( dq T 0 dj s ) ( dw P 0 dv) di + (h i T 0s i g 0 )dm i Introduciendo la exergía de flujo e y la exergía de flujo total e : e (h h 0 ) T 0 (s s 0 ) = h T 0 s (h 0 T 0 s 0 ) = h T 0 s g 0 e e c2 + gz al sustituir en la expresión anterior, se obtiene: db = ( dq T 0 dj s ) ( dw P 0 dv) di + e i dm i (12) 90 La interpretación física de los tres primeros términos es similar al caso de un sistema cerrado: contenido exergético del calor y trabajo intercambiados por el sistema abierto y exergía destruida en el seno del sistema abierto, respectivamente. El cuarto término se interpreta como la tasa de exergía introducida o extraída del sistema abierto transportada por las corrientes entrantes y salientes. 7. Ecuaciones generales para un sistema abierto El comportamiento de un sistemas abierto es descrito mediante el conjunto de ecuaciones (5), (8), (11) y (12): 95 dm = i dm i du = dq dw + i h i dm i ds = dj s + dσ + i s i dm i db = ( dq T 0 dj s ) ( dw P 0 dv) di + i e i dm i 8. Sistemas abiertos en procesos estacionarios 100 Un sistema abierto describe un proceso estacionario si en todo punto del mismo las propiedades termodinámicas intensivas son constantes en el tiempo. Esto no implica que el sistema sea uniforme, es decir, en general podrá haber una variación espacial de las propiedades. Sin embargo, en todo caso las propiedades extensivas globales del sistema permanecen

7 constantes para todo instante: Z(t) = Z = cte. dz = 0. En particular, esto es cierto para Z = m, U, S, B, V; y por tanto las ecuaciones anteriores se reducen a: 7 0 = dm i (13) i 0 = dq dw + h i dm i (14) i 0 = dj s + dσ + s i dm i (15) i 0 = ( dq T 0 dj s ) dw di + e i dm i (16) i 105 En el caso particular de un sistema con sólo una entrada y una salida de masa, aplicando (13) se obtiene dm 1 = dm 2 dm. Introduciendo q dq dm, w dw dm, j s dj s dσ dm, ˆσ dm e i di dm, las ec. (14), (15) y (16) se reducen a: q w = h 2 h 1 (17) j s + ˆσ = s 2 s 1 (18) q T 0 j s w i = e 2 e 1 (19) OTA: Es de interés destacar que, para el caso de sistemas abiertos que acumulan muy poca cantidad de masa en su interior: m(t), m(t + dt) 0 dm 0 U (t), U (t + dt) 0 du 0 S(t), S(t + dt) 0 ds 0 B (t), db (t + dt) 0 db 0 por lo que, aunque el sistema describa un proceso no estacionario se obtienen ecuaciones equivalentes a las del caso estacionario. 9. Balance de ímpetu como energía 110 Consideremos un sistema abierto que describe un proceso estacionario con una única corriente de entrada y otra de salida. A continuación aplicamos las ecuaciones del primer y segundo principio a un subsistema abierto infinitesimal comprendido entre dos secciones infinitamente próximas A y A'. Se supone nulo o despreciable el flujo de calor en el interior del fluido en la dirección de avance del mismo. Escribimos las ecuaciones (17) y (18) en forma diferencial:

8 ( ) 1 dq dw = dh = dh + d 2 c2 + gz 8 (20) dj s + dˆσ = ds (21) T Consideramos como hipótesis de trabajo adicional que existe un equilibrio interno dentro de la toda sección de espesor infinitesimal que se considera, de modo que existe una única temperatura en toda ella y se cumple dj s = dq. La diferencia entre la ecuación (20) y (21) multiplicada por T resulta ser: vdp {}}{ ( ) 1 dw T dˆσ = dh Tds +d 2 c2 + gz ( ) 1 dw = vdp d 2 c2 + gz d ˆψ (22) Integrando esta ecuación entre las secciones de entrada y salida del sistema abierto, se tiene: 2 w = vdp (c2 2 c 2 1 ) g(z 2 z 1 ) ˆψ (23) 115 OTA: Aunque la ecuación (23) ha sido deducida para el caso de un sistema que realiza un proceso estacionario, es igualmente válida para el caso de un sistema abierto en el que prácticamente no hay acumulación de masa y que describa un proceso no estacionario. Una aplicación interesante de la ecuación del balance de ímpetu como energía es el caso del movimiento reversible de un líquido (v cte.) en un conducto. Para este caso (23) se reduce a 0 = v(p 2 P 1 ) 1 2 (c2 2 c2 1 ) g(z 2 z 1 ). Como esto es válido para cualesquiera dos puntos 1 y 2 del conducto, se obtiene: Pv c2 + gz = cte. (24) expresión a la que se da el nombre de ecuación de Bernouilli.