PROCESOS PARTICULARES DE UN GAS PERFECTO. En el Capítulo 2.09, dedicado a las propiedades de un gas perfecto, se estableció que

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1 Representación gráfica de la ecuación de estado de un gas perfecto En el Capítulo 209, dedicado a las propiedades de un gas perfecto, se estableció que existe una relación de dependencia entre las variables termodinámicas, P, V y T de un gas perfecto que se denomina ecuación de estado, y que, para un gas perfecto, dicha ecuación es PV = nrt Esta relación de dependencia se puede representar en un diagrama tridimensional de coordenadas cartesianas, tomando los valores de cada una de las variables termodinámicas, P, V y T, a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas De esta forma, si se representan los diferentes estados de equilibrio termodinámico de un gas perfecto, determinados por valores particulares de su presión, volumen y temperatura, se obtiene una única superficie en tres dimensiones, como muestra la figura 210-1, que corresponde, por tanto, al lugar geométrico de todos los estados de equilibrio termodinámico de dicho gas perfecto Cualquier punto de dicha superficie representa un estado de equilibrio termodinámico y, recíprocamente, cualquier estado de equilibrio termodinámico del sistema quedará representado por un punto de dicha superficie P P A O A 1 P A 2 V A FIG 1 V A 3 A V T A 4 T A El punto A de la figura corresponde a un estado de equilibrio termodinámico Los valores particulares de su presión, volumen y temperatura son P A, V A y T A Si se traza por el punto A el plano horizontal AA 1 P A P, perpendicular al eje OP, se obtiene la isobara AA 1, que es una recta que está contenida en la superficie PVT De igual forma, si se traza por el punto A el plano vertical AA 2 V A V, perpendicular al eje OV, se obtiene la isocora AA 2, que es una recta contenida igualmente en la superficie PVT Por último, si se traza por el punto A un plano vertical, pe r p endicular, po r tanto, al eje OT, se obtiene la isoterma A 3 AA 4 que es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes OP y OV, y está contenida igualmente en la superficie PVT Debido a la complejidad de la figura no están representados los procesos adiabáticos, que se verán más adelante con más claridad en un diagrama plano PV Un gas perfecto puede seguir un proceso totalmente arbitrario y evolucionar de una forma cualquiera Ahora bien, solamente en el caso de que dicho proceso sea cuasi-estático se podrá representar su evolución por medio de una linea de trazo continuo que estará contenida en la superficie que representa la ecuación de estado en un diagrama tridimensional P, V,T En la práctica, no es cómoda la representación gráfica de un proceso termodinámico cuasi-estático de un gas perfecto en un diagrama tridimensional como el de la figura 1 En su lugar se utilizan las proyecciones de la gráfica de dicho proceso sobre los planos coordenados, P-V, P-T y T-V La elección del eje de ordenadas y del eje de abscisas en un diagrama plano de coordenadas termodinámicas se realiza atendiendo al carácter intensivo o extensivo de dicha variable: Si imaginamos dividida, idealmente, en dos partes iguales, una masa de gas que se encuentra en equilibrio termodinámico, hay magnitudes cuyo valor sigue siendo el mismo en cada una de dichas mitades que el que tenía antes de la supuesta división, como son la presión y la temperatura, y otra, el volumen, cuyo valor queda dividido por dos Las dos primeras magnitudes, o variables, P y T, reciben el nombre de variables intensivas y la tercera, V, el de variable extensiva

2 2 aletos Pues bien, la elección de los ejes de ordenadas y de abscisas se realiza de acuerdo con el siguiente criterio: Cuando el diagrama elegido para la representación gráfica está formado por una variable intensiva y otra extensiva, se toma como eje de abscisas el correspondiente a la variable extensiva y como eje de ordenadas el correspondiente a la variable intensiva Por consiguiente, en los diagramas planos P-V y T-V, se tomará como eje de abscisas el eje de los volúmenes, y como ejes de ordenadas los correspondientes a la presión y temperatura, respectivamente Si las magnitudes o variables elegidas como ejes de coordenadas son las dos intensivas, como en el caso de la presión y temperatura, es costumbre elegir la temperatura como eje de abscisas y la presión como eje de ordenadas El diagrama P-T es particularmente interesante para representar y explicar los diferentes cambios de fase de un gas real, cuyo estudio queda fuera del alcance de estas páginas Procesos particulares de un gas perfecto Entre los diferentes procesos que puede experimentar un gas perfecto merece mencionar los siguientes: Proceso isobaro Es aquél que tiene lugar a presión constante La gráfica de este proceso se denomina isobara La ecuación de un proceso isobaro es: P = cte Proceso isocoro Es el que tiene lugar a volumen constante La gráfica de este proceso se denomina isocora, o isóstera La ecuación de un proceso isobaro es: V = cte Proceso isotermo Es el que tiene lugar a temperatura constante La gráfica de este proceso se denomina isoterma La proyección de esta curva sobre el plano P-V es una hipérbola equilátera que tiene por asíntotas los ejes coordenados P y V, como justificaremos más adelante La ecuación de un proceso isotermo es: T = cte que, teniendo en cuenta la ecuación de estado PV = nrt y, puesto que n y R son asimismo constantes, se puede expresar también en la forma: PV = Cte lo que significa que el producto de la presión por el volumen, en cualquier estado de un proceso isotermo, permanece constante Por consiguiente, el valor constante de dicho producto se puede expresar de la siguiente forma: PV = nrt = P i V i = P f = cte donde, P i,v i, y P f, son los valores iniciales y finales, respectivamente, de la presión y el volumen durante dicho proceso La expresión anterior será útil más adelante para calcular el trabajo realizado a lo largo de un proceso isotermo Proceso adiabático Es un proceso durante el cual el gas no intercambia calor con el medio exterior Para ello, las paredes del recipiente en el que está contenido el gas deben ser perfectamente aislantes, es decir, adiabáticas Se debe evitar la interpretación de que un proceso adiabático es un proceso a calor constante Tal afirmación no tiene ningún sentido puesto que No tiene significado físico hablar del calor almacenado por el gas Un gas no almacena trabajo ni calor Solamente tienen sentido estos conceptos desde el siguiente punto de vista: El trabajo es realizado por el medio sobre el gas, como ocurre en una compresión, o por el gas sobre el medio, como sucede en una expansión El calor es intercambiado entre el gas y el medio exterior

3 3 En ambos procesos se produce un intercambio de energía entre el gas y el medio que dan lugar a una variación de la energía interna del gas, que describiremos más adelante Aceptaremos, por ahora, que la ecuación de un proceso adiabático se puede expresar de cualquiera de las siguientes formas: PV = cte = P i V i = P f TV 1 = cte =T i V i 1 =T f T P = cte =T i P i =T f donde representa el llamado índice adiabático, que se define como: siendo, = c P c V c P : calor específico a presión constante c V : calor específico a volumen constante c P > c V y, por lo tanto > 1 Todas estas relaciones las justificaremos más adelante, a partir de la energía interna de un gas perfecto y del primer principio de termodinámica Los procesos descritos anteriormente, isobaro, isocoro, isotermo y adiabático, son procesos particularmente importantes por sus propiedades Diagrama P-V De los diagramas mencionados, el que se utiliza más frecuentemente, por las importantes propiedades gráficas que tiene, es el diagrama P-V o diagrama de Clapeyron Hay que advertir que, en contra de lo que es costumbre en matemáticas, por lo que respecta al orden en que se nombran las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas, en termodinámica es costumbre nombrar primero la ordenada y después la abscisa Así, si una masa de gas ocupa un volumen V 1 y su presión es P 1, diremos que sus coordenadas en un diagrama P-V son (P 1, V 1 ) Es interesante, especialmente para la resolución de problemas, calcular la pendiente que tienen en este diagrama P-V, una isobara, una isocora, una isoterma y una adiabática que pasan por un determinado punto La pendiente, en general, de la gráfica de cualquier función real de variable real, y = f(x), o F(x, y) = 0, en un diagrama X-Y, es, como se recordará: Δy m = lim Δx 0 Δx = dy dx = tgθ siendo θ el ángulo formado por la tangente a la gráfica de la función en cada punto, con el semieje positivo de abscisas Por lo tanto, la pendiente de la gráfica en un punto dado, de coordenadas (x 0, y 0 ), es: Por consiguiente, en un diagrama P-V: y en un punto de coordenadas,, m = dy dx x 0,y 0 ΔP m = lim ΔV 0 ΔV = dp dv m = dp donde los subíndices indican que, una vez calculada la expresión general de la pendiente, se deben sustituir P y V por los valores, y, de las coordenadas de dicho punto,

4 4 aletos Se recordará, igualmente, que una derivada se puede interpretar como un verdadero cociente de diferenciales de la función y de la variable independiente, de forma que en algunos casos bastará diferenciar una determinada expresión para que aparezcan dp y dv, y, despejando, convenientemente, obtener el cociente, dp/dv, y, por lo tanto, la pendiente Supongamos que las coordenadas del punto A en el diagrama P-V de la figura son,, Dichos valores satisfacen la ecuación de estado: = nrt 0 siendo T 0 la temperatura correspondiente al estado representado por dicho punto P Las gráficas de los procesos mencionados que pasan por el punto A aparecen representados en la figura Veamos cuáles son sus pendientes isocora A FIG 2 isobara isoterma adiabática T 0 V Proceso isobaro La ecuación de la isobara que pasa por el punto A es: P = = cte Su gráfica es la recta horizontal que pasa por dicho punto La pendiente de dicha recta es, evidentemente, nula, ya que si P = = cte, es dp = 0, y por lo tanto la pendiente es nula Proceso isocoro La ecuación de la isocora que pasa por el punto A es: V= = cte Su gráfica es la recta vertical que pasa por dicho punto Su pendiente no está definida porque si V = = cte, es dv = 0 Proceso isotermo La ecuación de la isoterma que pasa por el punto A es T = T 0 = cte Y, puesto que en cualquier estado intermedio de dicho proceso se cumple la ecuación de estado, = nrt 0 = cte su gráfica es una hipérbola equilátera que pasa por el punto,, y tiene como asíntotas los ejes de coordenadas La pendiente de esta gráfica en cualquier punto se obtiene diferenciando los dos miembros de su ecuación, de donde, agrupando términos, se obtiene PV = cte PdV+VdP = 0 dp dv = P V Los valores de P y V en cualquier estado son números esencialmente positivos Por consiguiente, la pendiente de cualquier isoterma, en cualquier punto del diagrama P-V, será siempre negativa, como corresponde a la rama de una hipérbola equilátera que está situada en el primer cuadrante del sistema de coordenadas En el punto de coordenadas, : Proceso adiabático = P0,V0 La ecuación de la adiabática que pasa por el punto A se puede expresar de tres formas diferentes, según se indicó anteriormente, en función de P y V, o de T y V, o de P y T Puesto que estamos interesados en obtener la derivada de P respecto de V, nos interesa escoger la ecuación de la adiabática en función de P y V:

5 5 Diferenciando los dos miembros: simplificando y despejando VdP, de donde PV = cte PV 1 dv +V dp = 0 VdP = PdV dp dv = P V Los valores de P y V en cualquier estado son números esencialmente positivos, y es una constante para cada gas, que es siempre un número real positivo mayor que la unidad Por consiguiente, la pendiente de cualquier adiabática en cualquier punto del diagrama P-V será siempre negativa En el punto de coordenadas,, =, De forma que los valores absolutos de las pendientes de la isoterma y de la adiabática que pasan por el punto A son, respectivamente, para la isoterma, y para la adiabática, = = V P0,V0 0 = = V, 0 De modo que si se comparan dichas pendientes se deduce que: El valor absoluto de la pendiente de la isoterma que pasa por un determinado punto es menor que el valor absoluto de la pendiente de la adiabática que pasa por el mismo punto Esta propiedad queda reflejada en el diagrama P-V de la figura 210-1, donde puede verse que la gráfica de la isoterma que pasa por el punto A tiende menos a la vertical que la de la adiabática que pasa por ese mismo punto Suele expresarse esta propiedad diciendo que la pendiente de la isoterma que pasa por un determinado punto es menor que la de la adiabática que pasa por el mismo punto, sin embargo, tal afirmación no es correcta desde el punto de vista estrictamente analítico, puesto que la pendiente de la isoterma es un número negativo menor en valor absoluto que el del número, asimismo negativo, que corresponde a la pendiente de la adiabática, y por tanto, matemáti - camente, La pendiente de la isoterma que pasa por un determinado punto es mayor que la de la adiabática que pasa por el mismo punto P Por último, queda por reseñar que las diferentes isotermas correspondientes a distintos procesos realizados a las temperaturas constantes,, T 2, T 3, T 4, etc, representadas en un diagrama P-V, constituyen una familia de hipérbolas equiláteras, cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas, que se alejan del origen a medida que la temperatura correspondiente aumenta, como indica la figura 209-3, en la que < T 2 < T 3 < T 4 FIG 3 V T 4 T 3 T 2 Se comprende fácilmente esta propiedad si se recuerda que esta figura es, en realidad, la proyección sobre el plano P-V de las isotermas contenidas en la superficie PV = nrt Estas isotermas, puesto que son las intersecciones de dicha superficie con los diferentes planos trazados perpendicularmente al eje de las temperaturas, van quedando desplazadas hacia la derecha en el sentido de las temperaturas crecientes y, por tanto, situadas a mayor altura sobre dicha superficie a medida que aumenta la temperatura

6 6 aletos Al proyectar estas isotermas sobre el plano P-V, se obtienen las líneas de color azul de la figura Esta propiedad es sumamente útil para la representación gráfica de ciertos procesos en la resolución de algunos problemas Las líneas de color amarillo son líneas que corresponden a procesos adiabáticos Diagrama P-T P 4 P 3 P 2 P 1 V 1 V 2 V 3 V 4 T 2 T 3 T 4 FIG4 Las isobaras son rectas horizontales de ecuación, P = cte La ecuación de las isocoras se obtiene despejando P a partir de la ecuación de estado P = nr V T Por consiguiente las isocoras son más pendientes cuanto menor es el volumen Son las rectas de color verde, siendo V 1 <V 2 <V 3 <V 4 Las isotermas son rectas verticales de ecuación, T = cte Las adiabáticas son curvas de ecuación 1 T P = cte No están representadas en la figura Diagrama T-V T 4 La ecuación de las isobaras se obtiene despejando T a partir de la ecuación de estado T = P nr V T 3 P 4 P 3 Por consiguiente las isobaras son más pendientes cuanto mayor es la presión Son las rectas de color rojo, siendo P 1 <P 2 <P 3 <P 4 Las isocoras son rectas verticales de ecuación V = cte Las isotermas son rectas horizontales de ecuación, T = cte Las adiabáticas son curvas de ecuación No están representadas en la figura Procesos no cuasi-estáticos TV 1 = cte T 2 P 3 P 1 V 1 V 2 V 3 V 4 FIG5 Si una masa de un gas, partiendo de un estado inicial de equilibrio, i, experimenta un proceso no cuasi-estático, dicho proceso no se puede representar en ningún diagrama termodinámico por medio de una línea de trazo continuo, ya que los estados intermedios por los que pasa el gas no son estados de equilibrio Consideremos, por ejemplo, una masa gaseosa contenida en el interior de un cilindro provisto de un pistón, en un estado inicial de equilibrio en el que la presión es P i y el volumen que ocupa es V i Si sometemos al gas a una compresión brusca, debida a un desplazamiento rápido del pistón, hasta un volumen final, la presión no está definida durante dicho proceso porque en cualquier instante no tiene el mismo valor en los diferentes elementos de volumen dv ocupados por el gas Si, una vez detenido el pistón, dejamos transcurrir un tiempo suficientemente grande, la distribución de moléculas gaseosas será uniforme en todo el volumen y el estado final, f, del gas será un nuevo estado de equilibrio termodinámico, en el que la presión tendrá un valor P f La evolución desde el estado inicial i, hasta el estado final f, no se puede representar por medio de una linea de trazo continuo

7 7 P f P i i f En todo caso, se representa simbólicamente por una linea discontinua, o por una sucesión de pequeños trazos, como indica la figura 6 Con esta representación se quiere dar a entender que mientras el gas experimenta una variación infinitesimal de volumen, dv, durante la compresión rápida desde V i hasta, la presión del gas no es uniforme en todo el volumen, sino que su valor fluctúa en los distintos elementos de volumen dv dentro de un intervalo de valores V i FIG 6