REFLEXIONES SOBRE CONCEPCIONES DE COMPRENSIÓN A SER INCORPORADAS EN UN CURSO DE DIDÁCTICA EN EL MARCO DEL POSTÍTULO PARA PROFESORES DE MATEMÁTICA.

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1 REFLEXIONES SOBRE CONCEPCIONES DE COMPRENSIÓN A SER INCORPORADAS EN UN CURSO DE DIDÁCTICA EN EL MARCO DEL POSTÍTULO PARA PROFESORES DE MATEMÁTICA. Terán, Teresita; Álvarez, M. Evangelina. Facultad de Ciencias Económicas y Estadística. Universidad Nacional de Rosario. teresitateran@hotmail.com Investigación en Educación Matemática Resumen: En la Legislación Argentina se considera que una de las funciones básicas de la Universidad es la formación de profesionales, docentes y técnicos capaces de actuar con solidez, según las demandas individuales y los requerimientos nacionales y regionales. En este sentido, prevé espacios de formación a nivel de postítulo, entendiéndolos como instancias de formación superior en el área de que se trate y de actualización de conocimientos y competencias. Así, la Universidad Nacional de Rosario crea en el año 2005 un Postítulo de Formación Universitaria en Matemática y Estadística, con el objetivo de brindar formación disciplinar y pedagógica en las áreas de Matemática y Estadística. El mismo está dirigido a graduados de nivel terciario no universitario, con título de Profesor de Matemática y con desempeño docente en las áreas de matemática y estadística en los distintos niveles de la escolaridad; primaria y secundaria. La propuesta académica sistemática tiene como fin la formación superior en Matemática y la enseñanza de los contenidos de Estadística que no han sido contemplados en los programas de algunos profesorados y la actualización en temas didácticos. Por ello, una de las asignaturas de este postítulo comprende la Didáctica de la Matemática. Las investigaciones sobre el conocimiento de los docentes relativo al tema científico a enseñar y su relación con su práctica docente han sido ampliamente estudiadas. Se presenta en este trabajo el análisis de contenido de las principales posturas sobre la comprensión, en especial de la comprensión matemática, con el fin de que todo profesor que asista al curso de Didáctica en el marco del Postítulo, aplique en un proceso de investigación-acción estos conceptos y reflexione sobre ellos para desenvolverse en su propia práctica docente. Introducción En la Legislación Argentina se considera que una de las funciones básicas de la Universidad es la formación de profesionales, docentes y técnicos capaces de actuar con solidez, según las demandas individuales y los requerimientos nacionales y regionales. En este sentido, prevé espacios de formación a nivel de postítulo, entendiéndolos como instancias de formación superior. Así, la Universidad Nacional de Rosario crea en el año 2005 un Postítulo de Formación Universitaria en Matemática y Estadística, con el objetivo de brindar formación disciplinar y pedagógica en las áreas de Matemática y Estadística. El mismo está dirigido a graduados de nivel terciario no universitario, con título de Profesor de Matemática y con desempeño docente en las áreas de matemática y estadística en los distintos niveles de la escolaridad; primaria y secundaria. La propuesta académica sistemática tiene como fin la formación superior en Matemática y la enseñanza de los contenidos de Estadística que no han sido contemplados en los programas de algunos profesorados y la actualización en temas didácticos. Por ello, una de las asignaturas de este postítulo comprende la Didáctica de la Matemática. Las investigaciones sobre el conocimiento de los docentes relativas al tema científico a enseñar y su relación con su práctica docente ha sido tema de numerosas investigaciones. Los efectos de la evaluación en la práctica docente y, por consiguiente en el aprendizaje son de gran interés para los investigadores en educación matemática. Presentamos en este trabajo un análisis de contenido de las principales posturas sobre la comprensión, en especial de la comprensión matemática, con el fin de que todo profesor que asista al curso de Didáctica en el marco del Postítulo para Profesores de Matemática, vuelve en un proceso de investigación-acción estos conceptos y reflexione sobre ellos para desenvolverse en su práctica profesional logrando un aprendizaje significativo en sus alumnos. Brown y Borko (1992) recopilaron estudios sobre los conocimientos que debe tener el profesor de Matemática, y observaron bajos niveles de comprensión matemática. Es tema de un profundo debate el determinar qué tipo de conocimientos matemáticos debe poseer un profesor y cómo debe combinarse este conocimiento con su conocimiento pedagógico.

2 Se presentan distintas posturas sobre la comprensión: Sierpinska, Artigue, Brousseau, Godino, entre otros. La definición de comprensión de Sierpinska (1994) como la experiencia mental de un sujeto por medio de la cual relaciona un objeto (signo) con otro objeto (significado) enfatiza uno de los sentidos en que es usado el término comprensión, adaptado para el estudio de los procesos psicológicos implicados. Pero en la enseñanza de la matemática el término comprensión se usa también en los procesos para evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Para Artigue y otros (1995) con respecto a la comprensión coexisten tres aproximaciones principales, complementarias entre sí y parcialmente articuladas en la actualidad. Una aproximación cognitiva que se ha desarrollado alrededor de los trabajos de Vergnaud en el área de la teoría de los campos conceptuales. Una aproximación a través de los saberes que se ha desarrollado alrededor de los trabajos de Chevallard en el área de la teoría de la transposición didáctica, en un principio, antes de extenderse a una aproximación antropológica más global del campo didáctico. Una aproximación a través de las situaciones que es finalmente la que ha tenido, sin duda, la influencia más determinante y cuyo padre fundador es Brousseau. Douady (1995) sostiene que Saber matemáticas implica dos aspectos. Por un lado, se refiere a la disponibilidad funcional de algunas nociones y teoremas matemáticos para resolver problemas e interpretar nuevas situaciones. En un funcionamiento científico, las nociones y teoremas matemáticos involucrados tienen el status de herramientas, inscriptas en un contexto, que a su vez está influido por alguien (o un grupo) en un momento determinado. Las situaciones o los problemas donde evolucionan las nociones matemáticas generan significado para esas nociones desde un punto de vista que llamaremos semántico. Por el otro, saber matemáticas también significa identificar las nociones y los teoremas como elementos de un corpus reconocido social y científicamente, es formular definiciones, enunciar los teoremas de este corpus y demostrarlos. Por esto, Douady considera que las nociones y los teoremas matemáticos en cuestión tienen un status de objeto. Según Godino (2002) el término comprensión es usado de manera diversa según los contextos institucionales, predominando el enfoque psicológico, donde se enfatiza sobre la faceta mental de la comprensión. La revolución cognitiva que reclaman autores como Vygotsky (1934), dando prioridad analítica y genética de los factores socioculturales cuando se trata de comprender los procesos psicológicos en el individuo; Bruner (1990), con su propuesta de una psicología cultural, o Chevallard (1992), quien habla de una antropología cognitiva y didáctica; plantea una reconceptualización del propio saber matemático y de la comprensión. Para analizar los fenómenos ligados a la comprensión de las abstracciones matemáticas es preciso elaborar respuestas a dos cuestiones básicas: qué comprender, y cómo lograr la comprensión. Por tanto, un modelo de la comprensión tendrá dos ejes principales: uno descriptivo, que indicará los aspectos o componentes de los objetos a comprender, y otro procesual que indicará las fases o niveles necesarios en el logro de la buena comprensión. Definir la buena comprensión y la buena enseñanza requiere definir previamente las buenas matemáticas (Godino, 2002). El problema de la comprensión está, en esta posición, íntimamente ligado a la concepción del propio conocimiento matemático. Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por comprender tales objetos. Esta explicitación requiere responder a preguntas tales como: Cuál es la estructura del objeto a comprender? Qué forma o modos posibles de comprensión existen para cada concepto? Qué aspecto o componentes de los conceptos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? Cómo se desarrollan estos componentes? Una teoría de la comprensión de las abstracciones matemáticas debe estar apoyada por una teoría previa sobre la naturaleza de tales objetos.

3 En el análisis sobre la naturaleza de los objetos matemáticos y sus significados Godino y Batanero (1994; 1996), se basan en las siguientes hipótesis cognitivas y epistemológicas sobre las matemáticas: a) La matemática es una actividad humana que implica la solución de situaciones problemáticas. En la búsqueda de respuestas o soluciones a estos problemas externos o internos emergen y evolucionan progresivamente los objetivos matemáticos. De acuerdo con las teorías constructivistas piagetianas, los actos de las personas deben ser considerados como fuente genética de las conceptualizaciones matemáticas. b) Los problemas matemáticos y sus soluciones son compartidos en el seno de las instituciones o colectivos específicos implicados en el estudio de tales problemas. En consecuencia, los objetos matemáticos son entidades culturales socialmente compartidas. c) La matemática es un lenguaje en el que se expresan las situaciones problemas y las soluciones encontradas. Los sistemas de símbolos matemáticos tienen una función comunicativa e instrumental. d) La matemática es un sistema lógico organizado. Cuando un objeto matemático ha sido aceptado como parte del sistema puede considerarse como una realidad textual y un componente de la estructura global. Puede ser manipulado como un todo para crear nuevos objetos matemáticos, ampliando el rango de herramientas matemáticas y, al mismo tiempo, introduciendo nuevas restricciones al lenguaje y el trabajo matemáticos. El trabajo matemático puede hacerse tanto sobre las herramientas en el marco de un problema, como sobre los objetos para expandir en ellos el hecho de haberlos traído a escena sin una finalidad precisa o por placer estético. En este caso se necesita respetar un conjunto de reglas internas de las matemáticas y diferentes modos de expresión. Esto se refiere a una componente sintáctica del significado. Para un profesor, enseñar matemática es crear condiciones que puedan llegar a producir la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes. Para un estudiante, aprender esa asignatura significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble status de herramientas y de objetos. Para que haya aprendizaje y enseñanza, es necesario que el conocimiento sea concebido como un objeto importante, casi esencial desde la interpretación entre el profesor y sus alumnos, es decir, que el conocimiento sea una manifestación importante de los juegos de la escuela. (Douady, 1995) Godino y Batanero (1996), introducen dos unidades de análisis primarias, que denominan prácticas significativas y significado de un objeto, para las cuales postulan dos dimensiones interdependientes: personal e institucional. Una práctica es significativa para una persona o para una institución, si desempeña una función en la resolución del problema, o si es útil para comunicar, validar o extender la solución a otros contextos o problemas. Esta noción se usa para conceptualizar los objetos matemáticos, tanto en el aspecto psicológico como epistemológico (objetos personales e institucionales). Los objetos matemáticos, abstracciones o generalizaciones empírico-operatorias, son considerados como emergentes de los sistemas de prácticas personales o institucionales realizadas por una persona o en el seno de una institución comprometida con las situaciones-problemas. El sistema de estas prácticas prototípicas significativas, o sea, el sistema de prácticas eficientes para alcanzar el fin pretendido, se define como el significado personal o institucional del objeto. Se considera que es el origen genético de los objetos personales u objetos institucionales, ligado al campo de problemas del que este objeto emerge en un momento dado y concebido como una entidad compuesta. Su naturaleza se opone al carácter intencional del objeto, permitiendo enfocar desde otro punto de vista las cuestiones de diseño de situaciones de enseñanza y la evaluación del conocimiento de los sujetos. En síntesis, se postula una relatividad de los objetos emergentes, intrínseca a las diferentes personas e instituciones involucradas en los campos de problemas correspondientes, dependientes también de las formas expresivas disponibles. Como consecuencia de este planteamiento teórico expuesto por Godino y Batanero (1996), surgen los siguientes elementos

4 que deben tenerse en cuenta al elaborar una teoría sobre la comprensión en Matemáticas: dimensión personal e institucional, carácter sistémico y evaluación de la comprensión. En cuanto a la dimensión personal e institucional, una teoría de la comprensión matemática que sea útil y eficaz para explicar los fenómenos de enseñanza y aprendizaje, debe reconocer la dualidad dialéctica entre la faceta personal e institucional del conocimiento. La institución escolar pretende que los sujetos se apropien de unos objetos fijados culturalmente y asigna al profesor la tarea de ayudar a los estudiantes a establecer las relaciones convenidas entre los términos y expresiones matemáticas y las abstracciones y técnicas correspondientes. En este caso, la comprensión deja de ser meramente un proceso mental y se convierte en un proceso social, donde se puede enunciar que un alumno comprende suficientemente el concepto de función desde el punto de vista de la enseñanza secundaria y asegurar que no lo comprende, si el juicio se realiza desde una institución universitaria. En estas primeras definiciones teóricas se evidencia una relación con la teoría de los saberes de Chevallard (1992). Para Godino (1996), la matemática es un sistema conceptual lógicamente estructurado y socialmente compartido. En consecuencia, el eje procesual para la comprensión personal debe contener las siguientes categorías de niveles: intuitivo (operatorio), declarativo (comunicativo), argumentativo (validativo), estructural (institucionalizado). El logro de estos niveles o formas de comprensión para un concepto o un campo conceptual precisará la organización de situaciones o momentos didácticos específicos, que podrían ser descritos como propone Brousseau (1986) en su teoría de situaciones didácticas, como situación de acción, situación de formulación, situación de validación o situación de institucionalización. El constructo propuesto por Godino (2002): significado de un objeto, en su vertiente personal e institucional, puede ser considerado una herramienta conceptual útil para estudiar los procesos de evaluación y el logro de la buena comprensión y de los factores institucionales y evolutivos condicionantes de la misma. La naturaleza sistémica del significado y la comprensión permite reconocer el carácter muestral de las situaciones de enseñanza y de evaluación, así como los problemas inferenciales ligados a su estudio. En consecuencia, Godino y Batanero proponen la caracterización de los significados personales e institucionales de los distintos objetos matemáticos, así como su mutua interdependencia y desarrollo como una agenda de investigación prioritaria para la Didáctica de las Matemáticas (Godino y Batanero, 1996). La Didáctica de las Matemáticas según estos autores, estudia los procesos de enseñanza y aprendizaje de los saberes matemáticos, en los aspectos teórico-conceptuales y de resolución de problemas tratando de caracterizar los factores que condicionan dichos procesos. También se interesa por determinar el significado que los alumnos atribuyen a los términos y símbolos matemáticos, a los conceptos y proposiciones, y a la construcción de estos significados como consecuencia de la instrucción. Balacheff (1990) habla del significado como palabra clave dentro de la problemática de investigación de la Didáctica de la Matemática: Un problema pertenece a una problemática de investigación sobre la enseñanza de la matemática si está específicamente relacionado con el significado matemático de las conductas de los alumnos en la clase de matemáticas. Menciona las siguientes cuestiones centrales para la Didáctica de la Matemática formulándolas como interrogantes a plantearse: Qué significado matemático de las concepciones de los alumnos podemos inferir a partir de una observación de su conducta? Qué clase de significado pueden construir los alumnos en el contexto de la enseñanza de las matemáticas? Cuál es la relación entre el significado del contenido a enseñar y el del conocimiento matemático elegido como referencia? Cómo podemos caracterizar el significado de los conceptos matemáticos? Sierpinska (1990) a su vez, conecta el término íntimamente con la comprensión: Comprender el concepto será entonces concebido como el acto de captar su significado y Dummett (1991) relaciona, asimismo, el significado y la comprensión desde una perspectiva más general: una

5 teoría del significado es una teoría de la comprensión; esto es, aquello de que una teoría del significado tiene que dar cuenta es aquello de que alguien conoce cuando conoce el lenguaje, esto es, cuando conoce los significados de las expresiones y oraciones del lenguaje. La preocupación por el significado de los términos y conceptos matemáticos lleva directamente a la indagación sobre la naturaleza de los objetos matemáticos y a la reflexión epistemológica sobre la génesis personal y cultural del conocimiento matemático y su mutua interdependencia. Recíprocamente, detrás de toda teoría sobre la formación de conceptos, o más general, de toda teoría del aprendizaje hay unos presupuestos epistemológicos sobre la naturaleza de los conceptos, y por tanto, una teoría más o menos explícita del significado de los mismos. Según Godino en el trabajo matemático, los símbolos (significantes) remiten o están en lugar de las entidades conceptuales (significados). El punto crucial en los procesos de instrucción matemática no está, sin embargo, en el dominio de la sintaxis del lenguaje simbólico matemático, aunque ésta sea también importante, sino en la comprensión de su semántica. En otros términos se otorga importancia a la naturaleza de los propios conceptos y proposiciones matemáticas y su relación con los contextos y situaciones-problemas de cuya resolución provienen. Además, es necesario elaborar modelos teóricos que traten de articular las dimensiones semiótica (en sus aspectos sintácticos, semánticos y pragmáticos), epistemológica, psicológica y sociocultural en educación matemática. Esta modelización requiere tener en cuenta, entre otros: Diversidad de objetos puestos en juego en la actividad matemática, tanto en el plano de la expresión como en el del contenido. Diversidad de actos y procesos de semiosis (interpretación) entre los distintos tipos de objetos y de los modos de producción de signos. Diversidad de contextos y circunstancias espacio-temporales y psicosociales que determinan y relativizan los procesos de semiosis. Siguiendo con la concepción de Godino, se considera como objeto o entidad matemática todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo cual puede hacerse referencia, cuando se hace, comunica o aprende matemáticas. En la descripción de la actividad matemática se hace referencia a muchos y diversos objetos, los cuales se pueden agrupar según distintos criterios, formando categorías o tipos diversos. No parece posible encontrar una relación exhaustiva de tales objetos, ni proponer una clasificación única válida para cualquier propósito, pero los intentos de clasificación de los objetos estudiados en una ciencia son, sin embargo, propios y característicos de la actividad científica. Godino propone las siguientes categorías o tipos de entidades matemáticas, basándose en los diversos papeles o funciones desempeñadas por estas entidades en el trabajo matemático: situaciones, acciones, lenguaje, conceptos, reglas, propiedades, argumentaciones. Considera estos tipos como entidades primarias, las cuales se pueden a su vez agrupar en entidades secundarias como: praxis, logos, praxeologías, conceptos-sistema, campos conceptuales, teoría de grupos, aritmética, geometría, etc. Se indican a continuación los objetos que incluyen en cada categoría y las funciones específicas de cada categoría en el trabajo matemático: Lenguaje: términos, expresiones, notaciones, gráficos. En un texto vienen dados en forma escrita o gráfica pero en el trabajo matemático pueden usarse otros registros como el oral, o el gestual. Mediante el lenguaje ordinario y específico matemático se describen otros objetos no lingüísticos. Situaciones: problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramatemáticas o intramatemáticas, ejercicios, etc.; son las tareas que inducen la actividad matemática. Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos). Conceptos: definiciones o descripciones (número, punto, recta, media, función). Propiedades o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como enunciados o proposiciones.

6 Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones (sean deductivas o de otro tipo). Godino (2002) presenta un modelo teórico sobre la cognición matemática que proporciona herramientas conceptuales y metodológicas para plantear y abordar problemas de investigación en Didáctica de las matemáticas. Entre los rasgos característicos de su enfoque se destacan la articulación de las facetas institucionales y personales del conocimiento matemático, la atribución de un papel clave a los recursos expresivos y la asunción coherente de supuestos pragmáticos y realistas sobre el significado de los objetos matemáticos. Godino elabora el constructo significado (institucional y personal) de los objetos matemáticos, interpretándolo como un sistema de prácticas operativas y discursivas, ligado a un campo de problemas matemáticos apto para facilitar el análisis macroscópico de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Desarrolla la noción de función semiótica y de una ontología matemática basada en cinco tipos de entidades primarias, elementos que facilitan el análisis microscópico de la realización de tareas matemáticas y de los actos de comunicación en la interacción didáctica y esboza una teoría de la instrucción matemática significativa basada en el modelo ontológico semiótico de la cognición matemática, los supuestos del interaccionismo simbólico y la teoría de las situaciones didácticas. Este modelo ontológico-semiótico de la cognición matemática, que se designa brevemente como Teoría de las Funciones Semióticas proporciona un marco unificado para el estudio de las diversas formas de conocimiento matemático y sus respectivas interacciones en el seno de los sistemas didácticos. Según Godino (2002) el fin específico de la Didáctica de la Matemática como campo de investigación es el estudio de los factores que condicionan los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y el desarrollo de programas de mejora de dichos procesos. Para lograr este objetivo, la didáctica de las matemáticas debe considerar las contribuciones de diversas disciplinas como la psicología, pedagogía, filosofía, sociología, etc. Además, debe tener en cuenta un análisis de la naturaleza de los contenidos matemáticos, sobre los que se debe basarse y a los que se ha de problematizar, su desarrollo cultural y personal, particularmente en el seno de los sistemas didácticos. Este análisis ontológico y epistemológico es esencial para la didáctica de las matemáticas ya que difícilmente se podrían estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de objetos difusos o indefinidos. Así pues, la investigación en Didáctica de la Matemática no puede ignorar cuestiones filosóficas tales como: Cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos? Qué papel juegan la actividad humana y los procesos socioculturales en el desarrollo de las ideas matemáticas? Agotan las definiciones formales y los enunciados de las proposiciones el significado integral de los conceptos? Cuál es el papel que juegan en el significado de los objetos matemáticos, sus relaciones con otros objetos, las situaciones problemáticas en las cuales se usan como herramientas, y las diversas representaciones simbólicas? Reiteramos que en Didáctica de la Matemática se adoptan modelos cognitivos no centrados exclusivamente en la psicología cognitiva, ya que en el estudio de las matemáticas en las instituciones escolares se propone, como uno de sus fines esenciales que el sujeto se apropie de los conocimientos matemáticos a los que se les atribuye una realidad cultural (Vygotsky, 1934). Asimismo, es necesario tratar de articular de manera coherente las diversas facetas implicadas, entre las que se debe citar la faceta ontológica (tipos de objetos y su naturaleza), epistemológica

7 (acceso al conocimiento), sociocultural e instruccional (enseñanza y aprendizaje organizado en el La antropología se ocupa del estudio de los seres humanos desde una perspectiva biológica, social y humanista. Al considerar las matemáticas como un aspecto o dimensión de la cultura humana, el estudio de su desarrollo en las distintas sociedades puede ser abordado como una faceta específica de la antropología cultural. La manera de considerar la matemática por parte de Wittgenstein (Bloor,1983) se suele presentar como antropológica ya que este filósofo del lenguaje postula que los hombres en diferentes épocas y culturas, tienen educaciones, intereses y preocupaciones diversas y que también son variadas las relaciones humanas y relaciones con la naturaleza y el mundo, por lo cual constituyen distintas formas de vida. Debido a ello tales culturas forman diferentes estructuras conceptuales y adoptan diversas formas y normas de representación. Este planteamiento cognitivo general puede aplicarse también a las matemáticas, lo que implica atribuir a dicho conocimiento una relatividad institucional donde la necesidad lógica de las proposiciones matemáticas se justifica mediante la aceptación de convenciones en el uso del lenguaje que describe el mundo que nos rodea y el propio mundo de las matemáticas. Otro uso del enfoque antropológico en didáctica de las matemáticas es el propuesto por Chevallard (1992) cuyo supuesto clave es considerar la matemática como una actividad humana que se desarrolla en el seno de ciertas instituciones con el concurso de determinados instrumentos, principalmente lingüísticos y que aporta técnicas para realizar determinado tipo de tareas. Como consecuencia, también aquí se asume que todo conocimiento es relativo a una institución. Los matemáticos profesionales constituyen una institución, al igual que la escuela, o las diversas profesiones y es en el seno de estas instituciones donde se realizan prácticas matemáticas específicas que generan conocimientos matemáticos específicos. Según Godino (2002) en la práctica se usan con frecuencia los términos comprensión y competencia para describir los conocimientos del sujeto. En el modelo cognitivo que propone, la comprensión responde al componente discursivo/relacional del significado sistémico de un objeto (dominio de conceptos, propiedades y argumentos), mientras que la competencia se relaciona con el componente práctico (dominio de las maneras de actuar ante las situaciones-problemas o tareas). Al respecto es necesario considerar que en las prácticas matemáticas intervienen objetivos materiales (símbolos, gráficos, etc.) y abstractos (que evocamos al hacer matemáticas) y que son representados en forma textual, oral, gráfica o incluso gestual y que las prácticas de una persona al resolver un problema pueden ser observables (por ejemplo, cuando un alumno escribe su solución a un problema o relata al profesor sus acciones para resolverlo), aunque en otros casos, algunas de estas prácticas son acciones interiorizadas no observables directamente. Pero en el estudio de las matemáticas, más que una práctica particular ante el problema concreto, interesa considerar los sistemas de prácticas puestas de manifiesto por las personas en su actuación ante este tipo de situaciones problemáticas. La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) constituye el núcleo de lo que se llama aproximación epistemológica a la didáctica de las matemáticas, en la cual se entra al estudio de los problemas didáctico-matemáticos desde el polo del saber matemático, problematizando la naturaleza de dicho saber y haciendo depender las restantes facetas del estudio (psicológica, sociológica, etc.) de los resultados del análisis epistemológico. Godino y Batanero (1996) proponen nuevos constructos para modelizar la actividad matemática y didáctica cuya utilidad para describir y explicar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas debe ser analizada, con el fin de ir construyendo progresivamente el núcleo firme de un programa de investigación para la didáctica de las matemáticas. Para Godino (2000) la actividad matemática no es sólo enfrentarse a problemas, sino conocer las

8 técnicas y teorías elaboradas por otros colegas matemáticos y tratar de aplicarlas y generalizarlas. La teoría de Godino (2000) y la de Godino y Batanero (1996) junto con los aportes de Brosseau (1986), Chevallard (1992) y Douady (1995) aportan elementos que consideramos deben ser tenidas en cuenta para iniciar un curso de Didáctica de Matemática para permitir que el docente de matemática se apropie de los conceptos surgidos de estas teorías para aplicarlos en su propia práctica docente. Estas reflexiones sobre las diferentes posturas sobre la comprensión matemática son analizadas y en el marco de un proceso de investigación-acción los profesores asistentes al curso de Didáctica recrean en sus prácticas docentes lo aprehendido con el objeto de apropiarse de estos conceptos. Todos estos aportes surgidos de un análisis de contenido de diferentes autores son parte de un trabajo de investigación sobre el mejoramiento de la calidad educativa en Matemática a través de la implementación de un curso de Didáctica de la Matemática en el marco del Postítulo para profesores de Matemática. Referencias Bibliográficas Artigue, M.; Douady, R. y Gómez, P. (Eds.). (1995). Una empresa docente. En: Ingeniería didáctica en educación matemática. pp México: Grupo Editorial Iberoamericana. Balacheff, N. (1990). Towards a problematique for research on mathematics teaching. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 21(4). pp Bloor, D. (1983). Wittgenstein. A social theory of knowledge. London: The MacMillan Press. Brousseau, G. (1986). Théorisation des phénomenes d'enseignement des Mathématiques. Thése - d'état. Université de Bordeaux 1: Bordeaux. Brown, C.A. y Borko, H. (1992). Becoming Ma thematics Teacher. En D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. pp New York: Mcmillan Bruner, J. (1990). Acts of meaning. Cambridge. MA: Hardware University Press. Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathematiques. Vol. 12(1). pp Douady, R. (1995). La ingeniería Didáctica y la Evolución de su Relación con el Conocimiento. En Artigue, M., Douady, R., Moreno, I. y Gómez, P. Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. pp ; Bogotá: Grupo editorial Iberoamericano. Dummett, M. A. E. (1991). Qué es una teoría del significado? En Valdés, L. M. (Ed.), La búsqueda del significado. Madrid: Tecnos. Godino, J. D. (1996). Mathematical concepts, their meaning and understanding. En L. Puig y A. Gutiérrez (Eds.), Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 2. pp Valencia: Universidad de Valencia. Godino, J. D. (1999). Implicaciones metodológicas de un enfoque semiótico-antropológico para la investigación en didáctica de la matemática. En T. Ortega (Ed.), Actas del III Simposio de la SEIEM. pp Valladolid. Godino, J. D. (2000). Problemas de investigación basados en el enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. En Documento de trabajo del curso de doctorado Teoría de la

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