MOVIMIENTO AMORTIGUADO (PÉNDULO SIMPLE)

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1 MOVIMIENTO AMORTIGUADO (PÉNDULO SIMPLE) MOVEMENT DAMPED (SIMPLE PENDULUM) Cristhian Celeita 1 y Efraín Rivera 1 (1) Universidad de los Llanos, Facultad de ciencias humanas y de la educación, Licenciatura en matemáticas y física, vereda Barcelona, Villavicencio-Colombia. RESUMEN Este informe busca por medio del movimiento armónico amortiguado (péndulo simple) dar a conocer el coeficiente de resistencia experimentado en la realización de esta práctica. Es de resaltar que para efectos de la misma se tomó la aproximación lineal, encontrándonos así en un modelo ideal donde las oscilaciones son subamortiguadas y el movimiento es una línea en vez de un arco. El coeficiente nombrado hace referencia a la fuerza de fricción del medio donde se encontraba la experiencia, hallándose esta en los laboratorios de la universidad de los llanos y tomada de la forma simple f= bv. La metodología con la cual se procede a hallar este coeficiente es la aplicación del decremento logarítmico el cual dice que las amplitudes amortiguan con una rapidez de cambio igual a e nγt. ABSTRAC This inform search for the way of the movement harmonic damped (simple pendulum) gift to know the coefficient of resistance experienced in the realization of this practice. Is of stand out what for effects of the same take the lineal approach, finding there a model ideal where the oscillations are undampened and the movement is a line instead of an arch. The coefficient called has reference to the force of friction of the way where is finded the experience, being situated this at the laboratories of the university of the llanos and taked of the simple way f= bv. The methodology with the which is be to find this coefficient is the app of the decrement logarithmic it which say what the amplitude damp with a speedy of change is same to e nγt. Palabras clave: Amortiguamiento; Decremento Logarítmico; Periodo; Frecuencia; Modelo Ideal; Frecuencia angular. Keywords: Damping; Logarithmic Decrement; Period; Frequency; Ideal Model; Angular Frequency. INTRODUCCIÓN. El movimiento amortiguado es uno de los movimientos más experimentados en la vida real. Este movimiento se observa en el mover de una hoja por efecto del viento, en las puertas de establecimientos públicos, etc. Además si se realiza una comparación con el movimiento Armónico Simple, se encuentra que En un movimiento armónico amortiguado la frecuencia angular ω, el período T, la frecuencia f y la constante de fase φ o, tienen el mismo significado que en el movimiento armónico simple, pero, la amplitud A disminuye al transcurrir el tiempo. 1 Es de resaltar que la ecuación de este movimiento sale de la ecuación diferencial resultante de la sumatoria de las fuerzas, quedando simplificada como sigue;. 2 3 Sin embargo para encontrar la ecuación de solución se debe hacer ciertos cálculos aplicando teoría de ecuaciones diferenciales, con cual se encuentran los tres tipos de movimiento amortiguado. Aquí solo utilizaremos el movimiento armónico subamortiguado. Por otra parte se tiene que en el péndulo simple subamortiguado la frecuencia de oscilación viene dada como una combinación entre la frecuencia propia del sistema y la fuerza de resistencia en donde se tiene que la frecuencia 1 Rodríguez Puertas, Fidel L. Oscilaciones mecánicas, pág Raymond, Serway. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1, Edición 6. Capítulo 15. Pág Ecuación aterrizada al péndulo simple ya que en el libro figura para un Sistema Masa Resorte horizontal.

2 de oscilación es ( ), en donde es la aceleración gravitatoria, es la longitud del hilo, es el coeficiente de fricción y es la masa del cuerpo oscilante. 4 MATERIALES Y MÉTODOS. -Hilo de 2m. -Nuez Gancho. -Esfera (67g). -Cámara. -Regla. -Cronómetro Grafico 1 Sistema Oscilante Al comenzar la práctica se procede a realizar el montaje colocando la nuez gancho en un lugar alto y colgando la esfera por medio de un hilo de dos metros de longitud. Seguidamente se procede a ubicar una cámara de tal forma que se registre las oscilaciones del sistema con sus respectivas amplitudes. Se contaran las oscilaciones cuando haya llegado a la mitad de su máxima elongación, para con ello hallar las graficas y coeficiente de amortiguamiento. Luego se pondrá a oscilar el sistema contando diez oscilaciones y registrando los tiempos para hallar la aceleración de la gravedad con la cual se trabajó. Para este último proceso se tiene en cuenta que un péndulo simple se comporta como movimiento armónico simple para las primeras oscilaciones pues su amortiguamiento es tan pequeño que se puede despreciar. Es de resaltar que nuestra amplitud para toda la práctica fue de 0,14m para garantizar ángulos menor a cuatro (4) grados sexagesimales, para garantizar la medida de este ángulo nos basamos en la trigonometría tomando el que. Y para finalizar encontrar cada el coeficiente de resistencia con su respectiva incertidumbre aplicando la teoría de error lo mismo se hará para encontrar la aceleración de la gravedad. - Resumen teórico 5 RESULTADOS Y DISCUSIÓN. En la tabla N 1 se muestra los datos obtenidos en la práctica para encontrar la aceleración gravitacional. Además esta tabla tiene las desviaciones estándar y media del tiempo, el periodo y la incertidumbre de la aceleración gravitacional a la cual se le halló dos incertidumbre a partir de las desviaciones del tiempo, nuestra cuerpo oscilante para toda la práctica cuenta con una masa de 0,067 Kg, ver anexo; Tabla N 1 Tiempo (s) para 10 oscilaciones Periodo (s) Periodo² (s²) g ± Δg 27,96 28,00 27,74 27,95 27,99 28,02 9,84 ± 0,47 2,80 7,82 27,95 28,13 27,97 Promedio 27,97 Desviación M 0,060 0,060 0,34 9,84 ± 0,77 Desviación E 0,102 0,102 0,57 Tabla de datos con número de oscilaciones de 10 4 Raymond, Serway. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1, Edición 6. Capítulo 15. Pág Ver anexo.

3 Máxima enlongacion en metros En la tabla N 2 se encuentran los tiempos para cada 10 oscilaciones con el fin de determinar un periodo confiable y asegurar su correspondiente intervalo de incertidumbre. Tabla 2 Número de osc. tiempo T Número de osc. tiempo T Número de osc. tiempo T Número de osc. tiempo T , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,864 Promedio 2,864 ± 0,001 Desviación Media 0,0004 Desviación Estándar 0,001 Tabla de oscilaciones y periodos para determinar el Periodo del Sistema Después tener el tiempo de cada oscilación se procede a hallar el coeficiente de fricción por medio del decremento logarítmico, esto queda de la siguiente forma. δ=ln(x 1 /x 2 )=nγt ( )( ) ( )( )( ) Tenemos s -1, x10-4 ±0,094kg/s y la frecuencia es ω= ( ). Como el movimiento subamortiguado cumple con la ecuación x=ae - t cos(ωt φ o) pero, como nuestras observaciones empezaron en el máximo derecho φ o =0 y al reemplazar valores obtenemos que, x=0,14e -0,001t cos(2,194t). La gráfica del decremento y las posiciones queda como sigue (ver las gráficas N 1 y 2). Gráfica N 1 Gráfica N 2 0,16 0,14 0,12 0,1 Amplitudes vs Tiempo Posición vs Tiempo x10-4 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Máxima Elongación Linea de Tendencia y = 0,1395e -0,001x R² = 0, Tiempo en 400segundos Amplitudes para cada 10 oscilaciones Oscilaciones del sistema amortiguado --- Amplitudes si fuera un M.A.S. Puesto que la aceleración de la gravedad nos dio un poco alta en comparación a los resultados de otros trabajos 6, decidimos hallarla con el periodo del sistema amortiguado. Debido a que el periodo no cambia y se mantiene aproximadamente constante para las primeras n oscilaciones, y además, para las primeras 5 oscilaciones se tiene en primer acercamiento un movimiento armónico simple entonces, y teniendo en mente el anterior pensamiento, procedemos a hallar la aceleración gravitacional con ese periodo, la cual será nuestra aceleración de reporte. Por lo que g con su incertidumbre queda: g=(9,63±0,026)m/s 2. 6 Se presenta cierta desconfianza en la aceleración gravitacional puesto que sucedió un accidente en el manejo del material.

4 - Análisis de resultados. Al observar la tabla N 1 encontramos un valor de aceleración gravitatoria un poco alto, lo que se debe a que al realizar el experimento y utilizar una mechera para cortar el hilo por accidente se quemo el hilo y por ende la longitud del péndulo cambio dando así un valor incomparable con los valores antes medidos por otros estudiantes. Los valores de gravedad tomando una desviación media es de g=(9,84±0,47)m/s 2 y tomando un desviación estándar es de g=(9,84±0,77)m/s 2. Por lo que al tomar las primeras 5 oscilaciones del sistema amortiguado con un T=2,864s se hallo un valor para la aceleración gravitatorio de g=(9,63±0,026)m/s 2, valor que damos por más confiable y que representa una incertidumbre menor. En la tabla N 2 referenciamos el tiempo para cada diez oscilaciones con el fin de mostrar que sucede con el periodo a medida que el sistema va disminuyendo sus amplitudes y van creciendo las oscilaciones. Esto se hizo a partir de la grabación del sistema oscilante, sin embargo, se observa que cuando pasó un número de 210 oscilaciones, el periodo tendió a cambiar por milésimas, cosa que hace el proceso más exigente en la determinar de los periodos. Además se observa que al pasar cierto valor, parece que el periodo tiende a cambiar, aunque también se aprecia una estabiliza entre las primeras cien oscilaciones. En general para las 240 oscilaciones trabajadas aquí el periodo se mantuvo constante. En las gráficas N 1 y 2 apreciamos el movimiento amortiguado del sistema trabajado en la práctica. En este sistema y a partir de los cálculos se encontró un gamma de 0,001s -1 que en comparación con la frecuencia propia del sistema es casi que despreciable quedando así la frecuencia natural del sistema. Que el gamma sea más pequeño que la frecuencia propia del sistema indica que la resistencia del medio en el que está el sistema oscilante tiende a detenerlo muy lentamente lo que corroboran las grafica antes nombradas. Con ello tenemos que al mirar la gráfica N 2 en donde se grafican las primeras oscilaciones, y detenernos en la línea roja, vemos que la distancia que hay entre las amplitudes de las primeras 5 o 10 oscilaciones y las líneas son pequeñas (La línea roja representa la amplitud si el sistema fuera un M.A.S.) lo que dice que el sistema para las primera 5 o 10 oscilaciones se comporta casi como un movimiento armónico simple. CONCLUSIONES El valor de la aceleración encontrado en esta práctica es de g=(9,63±0,026)m/s 2, valor producto del periodo de las oscilaciones amortiguadas. Además de esto se encontró que el coeficiente de fricción fue bastante pequeño siendo este de x10-4 Kg/s, fricción que se tomo de la forma f=-bv y que representa las fuerzas no conservativas o disipativas que actúan sobre el sistemas oscilante. De otra parte se tiene que la ecuación que representa las posiciones del cuerpo oscilante es la siguiente; x=0,14e -0,001t cos(2,194t), donde ω s -1, t= tiempo, A=0.14m, = 0,001s -1. Otro aspecto a resaltar son las gráficas N 1 y 2 en donde se muestran las oscilaciones amortiguadas. En la gráfica N 1 se observa el decrecimiento de las amplitudes para cada diez oscilaciones pero, en la gráfica N 2 se observa como las amplitudes disminuyen comparando con el caso de que fuera un sistema armónico simple y no un amortiguado (línea roja gráfica N 2), concluyendo que para las primeras 5 o 10 oscilaciones las amplitudes decrecen tan poco que se puede apreciar como un M.A.S. Para terminar vemos que la frecuencia de oscilación del sistema amortiguado es similar a la propia del sistema, y se debe a que el gamma es bastante pequeño pero lo suficiente para darse un movimiento subamortiguado. REFERENCIAS - Rodríguez Puertas, Fidel L. Oscilaciones mecánicas, pág Universidad de los llanos. Laboratorios de física. Guía de laboratorio para péndulo simple. - RAYMON, Serway. Física para ciencias e ingeniería. Ediciones 4 y 6, volumen 1. Capítulos 15.

5 Anexos Para encontrar la incertidumbre de la aceleración de la gravedad se utilizaron los métodos de diferencial total y teoría de error que son: Al derivar se obtiene si se tomo a d como Δ se obtiene al despejar Δg se tiene que ( ) pero como los errores no se pueden restar se tiene que el valor de la incertidumbre es ( ) De otra parte se tiene por cálculo multivariado que el diferencial total es: Puesto que los errores no se pueden restar se llega a Con estos dos métodos se encontró la incertidumbre de la aceleración gravitacional llegando a los mismos resultados. Para encontrar las incertidumbres de los demás datos indirectos se aplico el mismo método para la aceleración. Sin embargo el tiempo y el periodo se aplico dispersión media como dispersión estándar.