UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN UTUADO. Departamento de Ciencias Naturales PRONTUARIO

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1 UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN UTUADO Departamento de Ciencias Naturales PRONTUARIO Título del Curso : Precálculo II Codificación : MATE 3172 Horas de Contacto : Tres (3) horas semanales de conferencia Créditos : Tres (3) Prerequisito : Precálculo I (MATE 3171) Descripción del Curso: Funciones trigonométricas y sus inversas, funciones exponenciales y logarítmicas y sus gráficas; números complejos; sucesiones; sistemas de ecuaciones. Texto: Algebra and Trigonometry 9 th Edition Michael Sullivan Prentice Hall, 2012 Objetivos Generales: Se espera que al finalizar el curso, los estudiantes estén capacitados para: 1. usar con precisión el vocabulario y simbolismo matemático 2. demostrar dominio de los siguientes conceptos básicos: a. funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas b. trigonometría analítica c. números complejos d. sistemas de ecuaciones e. álgebra de matrices 1

2 f. sucesiones g. inducción matemática h. Teorema del Binomio Objetivos Específicos: Al finalizar el curso el estudiante estará preparado para: 1) dada una función exponencial: a) trazar su gráfica usando transformaciones b) hallar su dominio y su campo de valores (o alcance) c) hallar su asíntota horizontal d) hallar los interceptos en los ejes (si los tiene) e) hallar su función inversa 2) dadas varias gráficas de funciones exponenciales y varias funciones exponenciales, parear cada función con su gráfica. 3) dada una tabla de valores de una función, determinar si es o no una función exponencial y si lo es, hallar la base de la función. 4) resolver ecuaciones exponenciales: a) con la misma base b) con bases distintas que se pueden igualar c) con bases distintas que no se pueden igualar d) de tipo cuadrático 5) cambiar de forma exponencial a forma logarítmica y viceversa 6) hallar el valor exacto de un logaritmo (sin usar una calculadora) 7) dada una función logarítmica: a) trazar su gráfica usando transformaciones b) hallar su dominio y su campo de valores c) hallar su asíntota vertical d) hallar los interceptos en los ejes (si los tiene) e) hallar su función inversa 8) dadas varias gráficas de funciones logarítmicas y varias funciones logarítmicas, parear cada función con su gráfica 9) resolver ecuaciones logarítmicas cambiándolas a la forma exponencial o hallando el valor del logaritmo 2

3 10) resolver ecuaciones exponenciales cambiándolas a la forma logarítmica 11) resolver problemas verbales en los cuales hay funciones exponenciales y logarítmicas a) evaluando valores en la función b) resolviendo para la variable que está en el exponente c) resolviendo una ecuación con logaritmos 12) usando las propiedades de los logaritmos: a) hallar el valor exacto de una expresión b) escribir una expresión como una suma y/o resta de logaritmos y expresar las potencias como factores c) escribir una expresión que tiene sumas y/o restas de logaritmos como una expresión con un solo logaritmo d) expresar y como función de x en una igualdad donde hay logarítmos e) resolver ecuaciones 13) usar el teorema de cambio de base para: a) cambiar la base de un logaritmo b) simplificar una expresión y hallar su valor 14) cambiar un ángulo de grados a radianes y viceversa 15) cambiar un ángulo de grados, minutos y segundos a grados y viceversa 16) usar la fórmula del largo del arco s, subtendido por un ángulo central (medido en radianes), en un círculo de radio r, para: (s = r ) a) hallar s, dados r y (en radianes) b) hallar s, dados r y (en grados) c) hallar r, dados s y (en radianes) d) hallar r, dados s y (en grados) e) hallar (en radianes), dados s y r f) hallar (en grados), dados s y r 17) usar la fórmula del área (A) de un sector formado por un ángulo central ( medido en radianes) en un círculo de radio r, para: (A = r ) a) hallar A, dados r y (en radianes) 3

4 b) hallar A, dados r y (en grados) c) hallar r, dados A y (en radianes) d) hallar r, dados A y (en grados) e) hallar (en radianes), dados A y r f) hallar (en grados), dados A y r 18) dados dos lados de un triángulo rectángulo, hallar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo 19) dado el valor de una o de dos funciones trigonométricas, hallar el valor de las otras funciones 20) usar el teorema de los ángulos complementarios y las cofunciones para: a) hallar el valor exacto de una expresión b) junto a las identidades fundamentales, hallar las funciones trigonométricas de un ángulo 21) usar las funciones trigonométricas (tanto en grados como en radianes) de los ángulos especiales ( 30,60,45 ) y de los ángulos cuadrantales (0,90,180,270,360 ), para hallar el valor exacto de una expresión 22) hallar las seis funciones trigonométricas de un ángulo en posición estándar, si nos dan un punto (x,y) (0,0) en su lado terminal 23) hallar el cuadrante donde está, si nos dan los signos de dos funciones trigonométricas de 24) hallar el ángulo de referencia para un ángulo en posición estándar 25) hallar el valor exacto de las funciones trigonométricas de ángulos mayores de 360 o 2, usando ángulos coterminales 26) usar el ángulo de referencia y las funciones trigonométricas de los ángulos especiales y cuadrantales para hallar el valor exacto de una expresión 27) hallar las demás funciones trigonométricas de un ángulo en posición estándar si se conoce una función trigonométrica de y el cuadrante donde está o si se conoce una función trigonométrica de y el signo de otra de sus funciones trigonométricas 4

5 28) dada una función definida por f x( ) asen bx( c) d ó f x( ) acos(bx c) d a) evaluar la función f en valores dados. b) determinar: 1) amplitud 2) período 3) desplazamientos a) horizontal (c 0) b) vertical (d 0) 4) dominio 5) campo de valores (recorrido o alcance) 6) los valores extremos de f (máximo, mínimo). 7) cambio de fase 29) dada la gráfica de una función seno o coseno, determinar a) período b) amplitud c) desplazamientos d) la fórmula que define la función 30) dada la amplitud y el período de una función seno o coseno, hallar la ecuación que define la función. 31) dada una función definida por: f x( ) tan x, f x( ) secx, f x( ) cot x ó f x( ) cscx a) determinar: 1) período 2) dominio 3) campo de valores 4) asíntotas verticales b) trazar la gráfica de f. 1) un ciclo 2) dos ciclos o más 32) dada una función trigonométrica inversa básica, a) determinar: 1) el dominio de la función. 2) el campo de valores de la función. b) evaluar la función para valores especiales. 33) evaluar expresiones que contengan composiciones entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. 5

6 34) simplificar expresiones trigonométricas. 35) demostrar identidades trigonométricas. 36) aplicar el concepto par o impar de las funciones trigonométricas para: a) evaluar expresiones. b) verificar identidades. 37) utilizar las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia de ángulos para: a) evaluar expresiones. b) simplificar expresiones. c) verificar identidades. 38) utilizar las fórmulas trigonométricas del doble o la mitad de un ángulo para: a) evaluar expresiones. b) simplificar expresiones. c) verificar identidades. 39) utilizar las fórmulas trigonométricas del doble y la mitad de un ángulo o de la suma o diferencia de ángulos para evaluar expresiones que contengan funciones trigonométricas inversas. 40) hallar el conjunto general de soluciones o el conjunto de soluciones en un intervalo en particular de una ecuación trigonométrica. a) de tipo lineal que involucran funciones trigonométricas. b) de tipo cuadrático que involucran funciones trigonométricas. c) que se resuelvan usando identidades trigonométricas. 41) resolver triángulos rectángulos donde se conoce: a) uno de los lados y uno de los ángulos agudos b) dos lados 42) resolver problemas verbales usando triángulos rectángulos 43) utilizar la ley de los senos para resolver triángulos a) dada la medida de un lado y de dos ángulos. b) dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (caso ambiguo de la ley de los senos), determinando si se forma un triángulo, dos ó ninguno. 44) utilizar la ley de los cosenos para resolver triángulos a) dada la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. b) dada la medida de los tres lados. 45) resolver problemas de aplicación utilizando la ley de senos o de cosenos. 6

7 46) hallar el área de un triángulo a) dado dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. b) dado las medidas de sus tres lados (Ley de Heron). 47) localizar puntos en coordenadas polares. 48) convertir coordenadas de forma polar a forma rectangular y viceversa. 49) convertir un número complejo de forma rectangular a forma polar y viceversa. 50) localizar puntos en el plano complejo. 51) hallar otras representaciones de un punto en coordenadas polares. 52) hallar productos y cocientes de números complejos en forma polar y escribir la respuesta tanto en forma polar como rectangular. 53) hallar potencias enteras positivas de un número complejo utilizando el teorema de De Moivre y escribir la respuesta tanto en forma polar como rectangular. 54) determinar las n raíces enésimas de un número complejo y escribir éstas tanto en forma polar como rectangular. 55) localizar en el plano complejo las raíces de un número complejo. 56) determinar si un sistema de ecuaciones en dos desconocidas es consistente o inconsistente y dependiente o independiente. 57) resolver sistemas de ecuaciones en dos desconocidas usando el método gráfico. 58) dados dos números reales α y β y dos matrices A y B, determinar cuáles de las siguientes expresiones están definidas y hallar aquellas que lo están: a) A B b) A c) αa βb d) AB e) BA 59) dada una matriz, determinar: a) el menor de una posición dada, si existe b) el cofactor de una posición dada, si existe. c) su determinante, si existe. 7

8 60) resolver sistemas de ecuaciones (con dos o tres ecuaciones y dos o tres desconocidas) usando los métodos de: a) eliminación. b) sustitución. c) reducción de Gauss-Jordan (matriz aumentada) o matrices d) la regla de Cramer. 61) dada la fórmula para el enésimo término de una sucesión: a) hallar los primeros k términos b) hallar un término específico c) determinar si la sucesión es aritmética, y si lo es, hallar su diferencia común. d) determinar si la sucesión es geométrica, y si lo es, hallar su razón común. 62) dados los primeros términos de una sucesión: a) determinar si la sucesión es aritmética o no. b) determinar si la sucesión es geométrica o no. 63) dados los primeros términos de una sucesión aritmética, hallar la fórmula para su enésimo término. 64) dados los primeros términos de una sucesión geométrica, hallar la fórmula para su enésimo término. 65) encontrar términos de una sucesión infinita definida por recursión. 66) sabiendo que una sucesión es aritmética, hallar la fórmula para su enésimo término si se conoce: a) dos términos cualesquiera de la misma b) su primer término y la diferencia común 67) sabiendo que una sucesión es geométrica, hallar la fórmula para su enésimo término si se conoce: a) dos términos cualesquiera de la misma b) su primer término y la razón común 68) evaluar n j, donde n y j son enteros y o j n. 69) desarrollar una potencia de un binomio usando el Teorema del Binomio y el Triángulo de Pascal. 8

9 70) hacer demostraciones sencillas utilizando inducción matemática. Bosquejo General del Curso: I. Logaritmos A. Definición B. Propiedades C. Evaluación D. Cambio de base E. Ecuaciones II. III. IV. Funciones Exponenciales y Logarítmicas A. Definición B. Dominio, campo de valores, interceptos, asíntotas, gráficas C. Aplicaciones Funciones Trigonométricas A. Funciones trigonométricas de cualquier ángulo B. Ángulos de referencia C. Gráficas de funciones trigonométricas funciones de la forma 1. f(x) = a sen (bx + c) 2. f(x) = a cos (bx + c) D. Funciones trigonométricas inversas Trigonometría Analítica A. Identidades 1. Simplificación 2. Verificación 3. Fórmulas de suma, resta, doble y medio ángulo B. Ecuaciones trigonométricas C. Leyes de seno y coseno V. Números Complejos A. Representación gráfica B. Forma trigonométrica C. Operaciones de producto y división D. Teorema de De Moivre E. Raíces de números complejos F. Raíces de la unidad VI. Sistemas de Ecuaciones A. Método gráfico B. Método de sustitución 9

10 C. Método de adición D. Sistemas de ecuaciones lineales n x n (n 3) 1. Método de reducción de Gauss E. Resolución de sistemas n x n por triangulación de la matriz aumentada F. Operaciones con matrices 1. Suma y Resta 2. Producto escalar 3. Producto de matrices G. Determinante de una matriz n x n H. Regla de Cramer I. Aplicaciones VII. VIII. IX. Sucesiones A. Sucesiones en general, Término enésimo, Recurrencia. B. Sucesiones aritméticas. C. Sucesiones geométricas Teorema del Binomio A. Factoriales B. Teorema del binomio C. Triángulo de Pascal D. Cálculo del término enésimo en el Teorema del Binomio Inducción Matemática A. Principio de Inducción DISTRIBUCIÓN DE CONTENIDO MATE 3172 TEXTO: ALGEBRA AND TRIGONOMETRY AUTOR: MICHAEL SULLIVAN, NOVENA EDICIÓN, 2012 Lección/ Horas Capítulo Artículo Tema Introducción al curso. Funciones Exponenciales, Dominio, Campo de Valores, Propiedades, Gráficas. Transformaciones Lineales. Función exponencial común y natural. Teorema 11, Ecuaciones exponenciales Funciones Logarítmicas, Dominio, Campo de Valores, Evaluación, Propiedades, Gráficas. Transformaciones Lineales. Ecuaciones con una sola expresión logarítmica Problemas Asignados (impares) Páginas

11 Propiedades de los Logaritmos, Fórmula de Cambio de Base. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Aplicaciones: Crecimiento y Decrecimiento (desinhibido) Ángulos. Medidas: grados y radianes, conversiones. Largo de arco. Área de un sector de círculo. Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo. Independencia de Triángulo. Identidades de Reciprocidad. Identidades Pitagóricas. Ángulos Complementarios y Co-funciones. Razones Trigonométricas para los ángulos 30, 45, 60 y cuadrantales. Las Razones Trigonométricas de cualquier ángulo. Ángulos co-terminales y ángulos de referencia Examen I (Profesor lo notifica) Círculo Unitario. Definición de funciones trigonométricas. Dominio y Campo de Valores. Funciones Periódicas. Funciones pares e impares. Gráficas de las Funciones Seno y Coseno. Transformaciones Lineales: Amplitud, Período y Desfase. Gráficas de las otras funciones Trigonométricas Se coordina horario (2 horas) Lección/ Horas Capítulo Artículo Tema Funciones Trigonométricas Inversas de seno, coseno, tangente y secante. Dominios y campos de valores. Gráficas de las funciones inversas. Determinar valores exactos de las trigonométricas inversas. Composición de funciones inversas. Problemas Asignados ,41, Páginas Ecuaciones Trigonométricas. Soluciones generales, soluciones restringidas a un intervalo, soluciones de ángulos alterados. Ecuaciones tipo cuadrático Verificación de Identidades Trigonométricas

12 Fórmulas de suma y diferencia de ángulos. Determinar valores exactos. Verificación de identidades. Composición con funciones inversas. Fórmulas para ángulo doble y ángulo medio. Determinar valores exactos. Verificación de identidades Aplicaciones usando el Triángulo Rectángulo Examen II (Profesor lo notifica) Ley de senos, Problemas tipo ángulo, ángulo, lado y tipo lado, lado, ángulo. Caso ambiguo. Problemas de aplicación Ley de cosenos, problemas de aplicación, 9.4 área de triángulos Coordenadas Polares. Conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa El Plano Complejo. Magnitud y conjugado de un número complejo. Forma polar, 10.3 conversión del plano complejo al rectangular. Productos y cocientes de números complejos en forma polar. El Teorema de De Moivre, Raíces de Números Complejos Sistemas de Ecuaciones Lineales: Sistemas consistentes e inconsistentes, independientes y dependientes. Métodos: Gráficos, Sustitución: Sistemas No Lineales.y Eliminación. Método de Matrices Determinantes, Regla de Cramer Se coordina horario (2 horas) Lección /Horas Capítulo Artículo Tema Problemas Asignados Examen III Se coordina (Profesor lo notifica) horario (2 horas) 13.1 Sucesiones. Término enésimo Sucesiones Aritméticas Sucesiones Geométricas Recurrencia Teorema del Binomio. Triángulo de Pascal Páginas

13 Distribución de Tiempo: 45 horas conferencia/discusión 6 horas exámenes parciales (coordinados) 51 horas Total Estrategias Instruccionales: Los profesores (a discreción) que ofrecen el curso utilizan las siguientes actividades para promover el proceso enseñanza-aprendizaje: 1. Conferencias 2. Discusión 3. Trabajos en grupos 4. Repasos 5. Uso de tecnología 6. Asignaciones individuales 7. Estudio independiente 8. Materiales Audiovisuales 9. Tutorías (Laboratorio) 10. Módulos instrucciones 11. Exámenes de práctica Recursos de Aprendizaje: 1. Calculadora científica (opcional/a discreción del profesor) 2. Plataforma Black Board 3. Libros de referencia en la Biblioteca en el área de Reserva 13

14 4. La Biblioteca posee computadoras con acceso al internert disponible para que el estudiante pueda hacer búsqueda sobre tópicos relacionados a las matemáticas. 5. Centro de Tutorías y Laboratorio de matemáticas (A303), donde el estudiante puede acudir por iniciativa propia o referida por el instructor. Materiales Requeridos: Opcional: Calculadora gráfica con capacidad de TRACE y ZOOM, gráficas en coordenadas rectangulares y polares como TI-85, TI-86, TI-83, TI-82, HP 48 G y HP 48 GX. Criterios Generales de Evaluación: Referencias: 1. Se usará una escala de 0 a Se administrarán tres (3) exámenes parciales coordinados que serán fuera de hora y un examen final coordinado, e incluirá todo el material del curso. Los exámenes parciales se ofrecerán fuera del horario de clase. Distribución de notas: A B C D 59-0 F 3. El profesor podrá incluir pruebas cortas, asignaciones individuales u otras actividades en su evaluación. Blitzer, R. (2007). Algebra and Trigonometry. 3rd Edition. Upper Saddle River, NJ. Prentice Hall. Blitzer, R. (2007). Precalculus. 3rd Edition. Upper Saddle River, NJ. Prentice Hall. Dugopolski, M. (2007). Precalculus. 4th Edition. Boston. Addison Wesley. Larson, R., Hostetler, R. (2007). Precalculus. Séptima Edición. Boston. Houghton Mifflin. 14

15 Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. Upper Saddle River, NJ. Pearson-Prentice Hall. Referencias Electrónicas Dawkins, P. (2007). Tutorial. Fife, E.D., Husch, L. (1999). Hosted on SUNSITE. Johansen, I. (2006). Graficador. Versión Sin autor. (1995). MathMedics. Universidad de Puerto Rico en Bayamón. Página Título V. Weisstein, E. (2007). Mathworld. Revisado por: Prof. Esteban Hernández Enero de 2012 UPR-B Modificado por: Prof. José A. Toro Clarke Prof. José J. Moreno Cordero Prof. José D. Padin Jiménez Noviembre de 2013 UPR-U Gracias a la Universidad de Puerto Rico Recinto de Bayamón Departamento de Matemática por su colaboración en facilitarnos este prontuario para así ir creando equidad en los cursos del sistema de la Universidad de Puerto Rico. La UPRU cumple con las leyes ADA (Americans with Disabilities Act) y 51 (Servicios Educativos Integrales para Personas con Impedimentos y de Rehabilitación Vocacional) para garantizar igualdad en el acceso a la educación y servicios. Después de informar a la institución y al profesor los estudiantes con necesidades especiales recibirán acomodo razonable en sus cursos y evaluaciones. Los estudiantes pueden ponerse en contacto con la oficina de Servicios Médicos o en el Centro de Asistencia Tecnológica (CAT): el número telefónico de la Oficina de Servicios Médicos es: (787) ; ext y Se guardará confidencialidad. 15