Gilberto Marrufo. (2 de marzo) Tarea

Transcripción

1 Material Didáctico. Gilberto Marrufo. (2 de marzo) Juego de las Estacas: El juego da las estacas puede conciderarse un rompecabezas y requiere ingenio para su solución. Se les prestó un juego de estacas a cada profesor para que lo resolviera, se les explicó que para resolver un problema complicado, es mejor resolver primero casos mas sencillos del mismo problema. Se mostraron los posibles movimientos, y se observó cuál era la solución. Torres de Hanoi: Las torres de Hanoi tambien pueden considerarse rompecabezas que deben ser armados soguiendo ciertas reglas. Se les prestó una torre para que resolvieran el juego de mover la torre de lugar según las reglas. Se contaron los pasos en los que se resuelve y se predijo la fórmula para contar los pasos. Rompecabezas para demostrar el Teorema de Pitágoras: Se mostró a los profesores el rompecabezas, y al frente se armó para demostrar el Teorema de Pitágoras. Tangram: Se le prestó a cada profesor un tangram para armar una figura, al final uno de los profesores pasó a mostrar la solución. Geoplano: Se le prestó un Geoplano a cada profesor, con ligas vieron como multiplicar usando el geoplano, y calcularon los lados de algunas figuras. Tarea. Resolver los juegos de la página y justificar la solución. 2. Calcular en cuantos años se resolveria la torre de Hanoi de 64 discos si cada movimiento se hace en segundo. 3. Llenar la siguiente tabla de como sería el área de las figuras del tangram si tenemos como unidad la que se indica en la tabla. Triángulo Grande Triángulo Mediano Triángulo Pequeño Cuadrado Rombo 4. Llenar la siguiente tabla, ahora para el perimetro tomando como unidad la que se indica. Unidad Triáng. Gde. Triáng. Med. Triáng. Peq. Cuadrado Rombo Cateto del T. Gde. Cateto del T. Med. Cateto del T. Peq. Cuadrado(lado) Rombo(lado)

2 Uso de Paréntesis y Términos Semejantes Alfredo. (4 de marzo) Notación. * denonta multiplicación y ˆ denota potencia. En matemáticas se suelen usar los paréntesis tanto para denotar multiplicación, como para indicar el orden en que deben efectuarse las operaciones, dando prioridad a las operaciones que se encuentran dentro del parentesis, y para un uso mas adecuado del álgebra, las operaciones se realizan por pares. Por ejemplo (((5 2) 4) + (3 2)) se opera en el siguiente orden: (((5 2) 4) + (3 2)) = ((3 4) + (3 2)) = (2 + (3 2)) = (2 + 6) = 8 Problema. Agrega paréntesis donde sea necesario para que el resultado sea cierto, por ejemplo: para que 3 + ˆ = 32 sea cierto, los paréntesis pueden ir así: ((3 + )ˆ (4 2)) 2, luego acomoda los paréntesis de forma distinta y calcula el resultado. a) = 3 b) = 9 c) = 36 d) = 24 e) 6 3ˆ = 30 f) 4 ˆ 2 3 = 24 Problema 2. Agrupa los terminos semejantes y justifica cada paso con propiedades aritméticas a) 4x x + 8 ([(4x + 5) + 3x] + 8) Acomodo correcto de nuestros paréntesis, es el orden en que debe efectuarse la suma. ([4x + (5 + 3x)] + 8) Propiedad asociativa aplicada a [4x + (5 + 3x)]. ([4x + (3x + 5)] + 8) Propiedad conmutativa aplicada a 5 + 3x ([(4x + 3x) + 5] + 8) Propiedad asociativa aplicada a [4x + (3x + 5)] ([((4 + 3)x) + 5] + 8) Propiedad distributiva aplicada a (4x + 3x) ([7x + 5] + 8) Suma de números naturales. aqui tambien eliminamos varios paréntesis que ya no necesitabamos. (7x + (5 + 8)) Propiedad distributiva aplicada a ([7x + 5] + 8) (7x + 3) Suma de naturales. b) 2x + 7y y + + 3z c) ax + 4y + 2x + cy d) ax + by + 2x b e) 3x 2 + 6x + 2y + 3x + x 2 Problema 3. Desarrolla las siguientes expresiones, justificando cada paso con propiedades aritméticas: 2

3 a) (a + b) 2 (a + b)(a + b) definición de potencia a(a + b) + b(a + b) Propiedad distributiva. a(a) + a(b) + b(a + b) Propiedad distributiva. a(a) + a(b) + b(a) + b(b) Propiedad distributiva. a 2 + a(b) + b(a) + b(b) Definición de potencia. a 2 + ab + ba + b 2 Definición de potencia, y eliminar paréntesis que no nos sirven. a 2 + ab + ab + b 2 Propiedad conmutativa. a 2 + (ab) + (ab) + b 2 Propiedad de identidad multiplicativa(notar que la aplique 2 veces). a 2 + ( + )(ab) + b 2 Propiedad distributiva. a 2 + 2(ab) + b 2 Suma de naturales. b) (a + b) 3 Suma, multiplicación y potencia de Naturales Para una mayor formalidad de la suma de naturales, cada número natural está definido de la siguiente manera: primero comenzamos dando el, asi como teniamos nuestros axiomas, el está dado. 2 = +, 3 = 2 +, 4 = 3 +,..., etc. de esta forma podemos efectuar una suma con mayor formalidad de la siguiente manera: = = = = 6 + = 7, de esta manera ya podemos decir que nuestra suma es formal, sin embargo no tienen que hacer esto, es solo para que vean que si tiene cierta formalidad una suma y vean de donde se deriva, que es el mismo mecanismo que usamos para sumar, asociamos el 4 con 4 dedos y el 3 con 3 dedos, los juntamos y contamos. Una multiplicación como 3(2) se define como 3 veces la suma de 2, es decir 2+2+2, como la suma ya la tenemos entonces tambien podemos decir que nuestra multiplicación es formal, pues ya sabemos como se debe proceder la operación = = = 3+++ = 4++ = 5+ = 6, en este caso lo que usamos es usar las tablas de multiplicar, esto esta bien, ya que las tablas están hechas bajo este procedimiento, en multimplicaciónes mas grandes tenemos un método, mas adelante veremos la formalidad de este método, el por que si funciona. Con la potencia ocurre lo mismo, 2 3 se define como multiplicar 3 veces el 2, es decir 3(3)(3), pero como nuestra multiplicaci on ya es formal, entonces ya tenemos formalidad en nuestra potencia, pues ya sabemos exactamente como continuar la operación. Una vez entendido esto, suma multiplicación y potencia de numeros naturales ya pueden efectuarla sin necesidad de propiedades, solo es importante que esto se haya entendido. Comentarios para los profesores En el problema se pide acomodar los paréntesis de tal forma que de el resultado indicado, sin embargo, para estas expresiones sin paréntesis hay una notación que se sigue, donde se da prioridad a potencias, luego a productos, y luego a suma, por ejemplo: la expresión 4xˆ3 + 3y + corresponde al acomodo de paréntesis 4(xˆ3) + (3y) + La propiedad conmutativa(la de suma y la de multiplicación) que dimos es sólo para intercambiar el lugar de dos cosas que están juntas, podemos decir que abcde = ebdca por la propiedad conmutativa, pero hay que observar que es por la propiedad conmutativa aplicada varias veces. Lo mismo pasa para x(a + b + c + d) = xa + xb + xc + xd, podemos decir que es por la propiedad distributiva, pero es por la propiedad distributiva aplicada varias veces. El desafío no es parte de la tarea, solo es por si lo quieren intentar, no es muy complicado. 3

4 Algunos ya notaron la importancia de tener en cuenta estas propiedades, si las seguimos al pie de la letra, no nos equivocaremos. Algunos notaron que algunas cosas que hacian no podian justificarlas con las propiedades, y de hecho varias estaban mal. Antes las habrian tomado como ciertas, pero despues de conocer las propiedades, notaron que no debian tomarlas como ciertas sin justificarlas antes con las propiedades. En las próximas sesiones ya no será necesario describir las propiedades que se están utilizando, pero deben asegurarse de que cada paso que hagan es consecuencia de las propiedades, para tener siempre un conocimiento verdadero y no llegar a cosas erroneas. Hacen varias cosas en equipo con sus compañeros, está muy bien que intercambien ideas, sin embargo, en ocasiones solo algunos resuelven los problemas y los demás ven las soluciónes, es preferible que nos pregunten a nosotros, así podemos ayudarlos a que ustedes logren resorverlos sin darles nosotros la solución. Vamos super bien, sin embargo solo estoy tomando en cuenta a los que me hicieron preguntas en la clase, muchos preguntaron, pero varios no lo hicieron, donde más van a aprender es a la hora de hacer los ejercicios, ya sea la tarea o los ejercicios en clase, de nada sirve ver cuando pasan a dar la solución si no hicimos un buen intento del problema, con buen intento me refiero a que lograron saber como se hacia y tal vez solo se equivocaron un poco, se confuncieron en algo. No solo pregunten cuando creen que están bien, si no saben que hacer, o creen que están mal es cuando mas deben preguntar. Es importante distinguir 3 tipos de conocimientoen matemáticas: el que les queda clarisimo, por que es super obvio o saben exactamente por que funciona así, por ejemplo todo lo que ustedes pueden deducir de las propiedades. El que es muy confiable, que no pueden demostrar y no es muy obvio por que es cierto, pero hay una fuente muy confiable que lo dice, y el que de plano solo nos han dicho por ahi, o creemos que es cierto, pero no hay nada que lo asegure. En las clases de los viernes trataremos de que todo el conocimiento de secundaria les quede clarisimo, que todo lo puedan demostrar(saber exactamente por que es cierto). En las clases de los miercoles, verán varias cosas que deben tomar como conocimiento confiable, los investigadores van en ocasiones muy rápido y en ocasiones las clases requieren conocimiento previo, así que pregunten siempre que tengan dudas, tratando de saber exactamente por que funcionan así las cosas. Proposiciones Filomeno. (4 de marzo) Determinar la falsedad o verdad de una afirmación es tarea de la ciencia en general. La lógica no está interesada en determinar la verdad o falsedad de las proposiciones sino en las relaciones lógicas entre ellas, es decir, la validez de los argumentos en que pueden aparecer. La lógica nos da los elementos para afirmar sobre la validez de un argumento. Definición. Una proposición es un enunciado afirmativo al cual se le asocia el concepto de verdadero o falso, pero no ambos. A menudo una proposición es representada por una letra. Ejemplos: A: La luna es cuadrada. 4

5 B: 7 es un número primo. C: Las arañas son mamíferos. Las proposiciones compuestas se traducen utilizando los conectivos (y,o, entonces, no). Ejemplos:. Si esta nublado, entonce hay nubes en el cielo (A B) 2. Vamos al cine hoy o hacemos tarea. (A o B) = 6 y 6 es par (A y B) 4. 6 no es impar. ( A) A implica B En la lógica se quiere estudiar la noción de consecuencia: Si (ocurre, se sabe que, etc.) A es verdadero, entonces (ocurre que, se puede probar que, se sabe que, etc.) B es verdadero: a) Si llueve entonces truena. b) Si esta nublado entonces hay nubes en el cielo. De manera general se pueden escribir las proposiciones anteriores de la forma A B. Un error común es creer que si tenemos A B entonces podemos concluir que B A. Observación. Tenemos que justificar la validez de nuestros razonamientos: Un razonamiento es válido si siempre que las hipótesis es verdadera, la conclusión es verdadera. Cuándo vamos a considerar inválido un razonamiento? Cuando permita obtener conclusiones falsas a partir de hipótesis verdaderas. Cuando estudiamos por primera vez este tipo de proposiciones lógicas, puede haber múltiples ejemplos en los que la falta de razonamiento verbal y la experiencia en el trato de éste nos lleven a una confusión casi natural en los primeros encuentros. Para disminuir este tipo de errores debemos tener bien identificado quién juega el papel de A quien el de B y recordar que si A B entonces no podemos concluir que B A. También debemos tener presente que, si es cierto que A B, entonces también es cierto que B A. A continuación presentaremos una serie de enunciados que nos servirán como ejercicios para fortalecer nuestro trato con la proposición A B. Se recomienda fuertemente que no se trate de resolver estos ejercicios añadiendo un truco o añadiendo hipótesis a los resultados. a) Un papá que nunca dice mentiras promete a su hijo que si saca 0 en su examen del viernes entonces le regalará un carro BMW. El mismo viernes el padre sabe la calificación real del examen de su hijo. El lunes siguiente el hijo llega a clases en un BMW nuevo. Qué podemos concluir? Por qué? b) Los lunes Luis va a trabajar. Si sabemos que mañana Luis irá a trabajar, podemos decir qué día es mañana?. Ahora, si sabemos que mañana Luis no va a trabajar, podemos decir algo sobre el día que será mañana? por qué? c) Juan tiene una pluma roja y sofía le regala una pluma azul en su cumpleaños. Juan dice a sofía que la pluma roja es su favorita. Inmediatamente después Sofía le cuenta en secreto a sus amigas que a Juan no le gustó la pluma que le regaló por lo que él le dijo. Es cierta la afirmación de sofía? Por qué? d) Todos los números primos diferentes de 2 son impares. Le pregunto a Gustavo un número al azar y el me dice un número impar. Podemos decir que el número es primo? Ahora pido otro número a Gustavo y me dice uno que es par. Podemos decir que el número es o no primo? Por qué? 5

6 TAREA. REGLAS DEL CLUB ESCOCÉS Hay un prestigioso club en el mundo conocido como el Club Escocés. Aquellos que pertenecen al club deben cumplir con ciertos requisitos para poder ingresar a las instalaciones del club: a) Todo miembro no escocés deberá usar medias rojas. b) Todo miembro que use medias rojas deberá usar un kilt (la falda típica de Escocia). c) Los miembros casados no podrán salir los sábados. d) Los miembros saldrán los sábados si y sólo si son escoceses. e) Todo miembro que use kilt deberá ser escocés y casado. f) Todo miembro escocés deberá usar un kilt. Usted fue contratado recientemente como portero del club y llega una persona a la puerta. Bajo que condiciones dejaría usted pasar a esa persona?. Del conjunto de reglas, se deduce que: Un escocés entra??un escocés no entra? Nadie entra? Sugerencia: Si viene alguién con medias rojas Qué debe usar? cuál debe ser su estado civil? Sale los sábados?. Y si no trae medias rojas?. 2. En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da la situación siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica. El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. Qué es lo que dijo el reo? Comentarios para los profesores Muchos respondieron bien las preguntas, sin embargo, hubo problemas a la hora de cambiar el problema al lenguaje lógico que dimos, seguiremos trabajando con esto. En la taréa tambien hay que indicar cuáles son las proposiciones y traducir el problema al lenguaje lógico que dimos. En problemas más complicados es importante la traducción al lenguaje lógico, ya que simplifica el problema. No hay mucha gente en las asesorias en linea, asi que supongo que la mayoria(los que no la usan) ya lo tienen todo claro. 6