1. Soluciones a la tarea.

Transcripción

1 1. Soluciones a la tarea. El primer paso a realizar para resolver los ejercicios de las sesión anterior es la identicación de las hipótesis. Debemos hacernos las preguntas: ¾Qué sabemos? (¾Cual es nuestra hipótesis? (esto en el sentido de qué parte del enunciado proporcionado es una verdad) y ¾Cuál es su relevancia?. Veamos por ejemplo el enunciado del inciso b) de los ejercicios: Los lunes Luis va a trabajar. Si sabemos que mañana Luis irá a trabajar, ¾podemos decir qué día es mañana?. Ahora, si sabemos que mañana Luis no va a trabajar, ¾podemos decir algo sobre el día que será mañana? ¾por qué? Ahora bien, ¾Cuál es la única información que el enunciado nos da como verdad? La respuesta a esta pregunta es que: Los lunes Luis va a trabajar. Ahora bien, de esta información lo único cierto que podemos concluir es que Los lunes Luis trabaja. Notemos que ésta es una proposición compuesta. Las proposiciones simples que la componen son: p: Es lunes. q: Luis trabaja. De aquí podemos ver que lo que tenemos es una implicación, ya que Si es lunes entonces Luis trabaja (pues si es cierto que es lunes, entonces también es cierto que Luis trabajará). Es decir: p q Ahora, podemos distinguir un par de proposiciones más en las preguntas: r: Sabemos que día es mañana. s: Sabemos algo acerca del día de mañana. Ahora, pasemos a responder a las preguntas: ¾ q r? Si q es cierto, no podemos decir nada acerca del día que es mañana, puesto que la información ofrecida no nos indica que Luis sólo trabaje los lunes. Por lo tanto, no podemos concluir una verdad a partir de suponer cierto q. 1

2 ¾ q s? Supongamos que Luis no irá a trabajar mañana. Ahora, recordemos que nuestro propósito es hacer razonamientos válidos. Por lo tanto, no podemos hacer especulaciones acerca de los días de todos los días de la semana. Lo único cierto que podemos concluir es que no es lunes (el contrarrecíproco). En resumen, esto es: q p Similarmente podemos, realizar los demás ejercicios (Ya no pondré los enunciados, chéquenlos en la sesión anterior). 1. Podemos reducir el tercer enunciado en tres preposiciones importantes (el resto de la información es irrelevante para la resolución del problema): p: La pluma es roja. q: La pluma es azul. r: La pluma es su favorita. s: La pluma le gusta. Ahora bien, sabemos que q r y que r s. Ahora bien, Sofía dice que q s. Lo cual es un razonamiento inválido puesto que no tenemos información acerca de q que nos permita hacer una conclusión. Por ésta razón no podemos decir si es cierta o no la armación de Sofía. 2. En el último inciso podemos identicar las siguientes proposiciones: p: X es número primo. q: X 2 r: X es impar. Ahora, la hipótesis nos dice que: (p q) r A partir de esto, ¾podemos decir que q r? La respuesta es que no (en la tutoría discutimos el por qué, es bueno que lo repasen otra vez por su cuenta). Por último, ¾ ( r p) o ( r p)? No podemos responder a ésta pregunta con certeza, puesto que para asegurar algo necesitariamos saber si q es o no cierta. 2

3 Ahora, presentaremos la solución a la tarea. Supongamos que φ es un miembro del club. En las reglas del club podemos distinguir las siguientes proposiciones: p 1 : φ es escocés. p 2 : φ usa medias rojas. p 3 : φ usa kilt. p 4 : φ es casado. p 5 : φ sale los sábados. Luego, podemos escribir las reglas como sigue: 1. p 1 p 2 2. p 2 p 3 3. p 4 p 5 4. p 5 p 1 5. p 3 (p 1 p 4 ) 6. p 1 p 3 Ahora, pasemos a responder a las preguntas. Presten atención porque durante la tutoría estuvieron de acuerdo todos en que sí se podía entrar. Supongamos. como dice la sugerencia, que p 2 es cierto. Entonces, tiene que cumplirse la regla 2, pero esto nos dice que también debe cumplirse la regla 5, que a su vez, nos dice que se tienen que satisfacer las reglas 6 y 3. Ahora bien, observemos que la regla 5 nos dice que p 1 debe ser cierta, es decir, ϕ es escocés. Luego, si escocés, entonces debe salir los sábados (por la regla 4). Entonces ϕ entrará al club si 1. (p 2 p 3 p 1 p 4 p 5 ) p 5 De dónde podemos concluir que nadie entra al club. A continuación lo haremos como lo hicimos en la tutoría y haremos la observación que nos faltó para poder concluir que nadie puede entrar. Como lo hicimos en la tutoría quedó así: p 2 p 3 p 1 p 4 p 5 3

4 Y todos estuvieron de acuerdo. Si embargo, no notaron que p5 p 1, que es el cotrarecíproco de la regla 4. Entonces debe cumplirse lo que dijimos y, además, cumplirse p 1. Es decir: (p 2 p 3 p 1 p 4 p 5 ) p 1 Entonces, ϕ tiene que ser escocés y no ser escocés al mismo tiempo. Lo cual no es posible, por lo tanto nadie puede entrar. Por último, el reo dijo: Me van a matar en la silla eléctrica (o en la horca, para el caso da lo mismo). 2. Conectivos En el lenguaje común, hay cierta ambigüedad con los conectivos pues cada uno de ellos tiene uno o más signicados. Daremos unos ejemplos: 1. Juan hizo su tarea y salió a jugar. 2. Juan salió a jugar e hizo su tarea. 3. Si abro la ventana entonces tendremos aire fresco. 4. Si abro la ventana entonces 1+3=4. 5. Si 1+2=4 entonces tendremos aire fresco. 6. Juan está trabajando o está en su casa. 7. Euclides fue griego o fue matemático. De 1y 2 concluimos que τ" puede tener una función de orden en el tiempo. No como en matemáticas; "π es irracional y 5 es positivo" simplemente signica que ambas partes son el caso. El tiempo no juega un rol en las matemáticas formales. En los ejemplos del 3 5 consideramos la implicación. El ejemplo 3 será generalmente aceptado, muestra una característica que aceptamos como algo inherente a la implicación: hay una relación entre la premisa y la conclusión. Las proposiciones 4 y 5 carecen de esta característica. Sin embargo aceptaremos casos como 4 y 5 en matemáticas. Hay varias razones para hacer esto. Una es la consideración de que el signicado debe quedar fuera de consideraciones sintácticas. De otra manera la sintaxis se volvería muy pesada y entrariamos en practicas esotéricas de casos excepcionales. Esta implicación 4

5 general, usada en matemáticas, es llamada implicación material. Nosotros simplemente la llamaremos implicación. Finalmente 6 y 7 muestran el uso de o. En general, tendemos a aceptar 6 y rechazar 7. A menudo uno piensa a o como algo exclusivo. En 6 más o menos esperamos que Juan no trabaje en su casa, mientras que 7 es inusual en el sentido de que no usamos o cuando bien podríamos haber usado y. También, nosotros normalmente dudamos al usar una disyunción si ya sabemos cual de las dos partes es el caso. Por ejemplo 32 es primo o 32 no es primo será considerado articial por la mayoría de nosotros, pues ya sabemos que 32 no es primo. Aún asi, en matemáticas usamos libremente disyunciones tan superuas, por ejemplo 2 2 (lo cual signica 2 > 2 o 2 = 2). 3. Negaciones 3.1. Negación de una conjunción ¾Cómo negamos la siguiente oración?: x es par y x divide a 30 p: x es par. q: x divide a 30. La negación de la oración es: (p q) equivale a p q 3.2. Negación de una disyunción ¾Cómo negamos la siguiente oración?: x es multiplo de 4 o x < 4 p: x es multiplo de 4. q: x < 4. La negación de la oración es: (p q) equivale a p q 5

6 3.3. Negación de una condicional La negación de ¾Cómo negamos la siguiente oración?: Si x 0 entonces tiene inverso. p: x 0. q: x tiene inverso. La negación de la oración es: (p q) equivale a p q 4. Deduciendo falsedades y verdades 4.1. ¾Podemos deducir una verdad de una falsedad? 2 = 3 5 = 5 Si 2 = 3 entonces podemos escribir 3 = 2. Luego, 2 = 3 (1) 3 = 2 (2) Sumando tenemos que: = (3) 5 = 5. (4) 4.2. ¾Podemos deducir una falsedad de otra falsedad 2 = 3 4 = 6 Si 2 = 3 entonces multiplicando por 2 tenemos: 2 2 = 3 2 (5) 4 = 6. (6) 6