Introducción a la noción de esfuerzo. El tensor de esfuerzos.

Transcripción

1 Introducción a la noción de esfuerzo. El tensor de esfuerzos.

2 Porqué pueden efectuar el rescate los rescatistas sin romper el hielo?

3 Existen dos tipos principales de fuerzas en un contínuo: 1. Fuerzas de cuerpo. Actúan en cualquier parte del cuerpo y son proporcionales al volúmen o a la masa. 2. Fuerzas de superficie. Si imaginamos que quitamos el material que está afuera del volúmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son proporcionales a cada elemento de superficie

4 El concepto de Tracción F = fuerza ejercida por el material que se encuentra afuera de V n = normal al elemento de superficie ds

5 La tracción sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por u. de área) con la que las partículas de un lado de una superficie actúan en las partículas del otro lado. Ojo: En un sólido, T no necesariamente es paralela a n La tracción se define entonces como: Notar que la tracción tiene la misma orientación que la Fuerza y es función de la normal que define la superficie

6 Ahora consideremos estos casos O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto dependiendo del plano de interacción. En general tenemos un número infinito de tracciones una para cada posibilidad de plano. Entonces qué hacemos?

7 T j (i) ; i = normal al plano donde actúa T j = componente de T Tracciones en las caras de un paralelepípedo orientado con los ejes coordenados. es el vector tracción actuando en la superficie cuya normal es positiva en la dirección ê j El tensor de esfuerzos σ ji Las filas del tensor son los tres vectores de tracción. El esfuerzo entonces es la fuerza por unidad de área que el material afuera (hacia adonde apunta ň) de la superficie ejerce en el material adentro.

8 Tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con los ejes coordenados. La tracción no necesariamente es perpendicular (ortogonal) al plano en que actúa. Por medio del balance de tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con tres caras ortogonales en las direcciones de los ejes coordenados podemos encontrar la tracción en un plano con una inclinación arbitraria. Notar que las tracciones en las caras ortogonales, compensan a la tracción en la cara inclinada.

9 Consideremos la geometría del siguiente tetrahedro orientado con los ejes coordenados para hacer un balance de fuerzas. Las cantidades relevantes son las siguientes: ρ = densidad F i = fuerza de cuerpo por unidad de masa en la dirección i a i = aceleración en la dirección i h = altura del tetrahedro (perpendicular al triángulo ABC), o sea distancia on. ΔS = área de la superdicie oblicua ABC T I = la componente del vector tracción en la superdicie oblícua en dirección i

10 Balance de Fuerzas Consideremos el balance en la dirección 1 Las barras sobre la variable indican promedio sobre la superdicie o el volumen. Las caras ortogonales son las proyecciones de la cara oblicua sobre cada uno de los planos coordenados (multiplicando por los componentes de la normal).

11 Dividimos sobre ΔS Permitimos que h tienda a cero en tal manera que las superdicies y volumen del tetrahedro tiendan a cero manteniendo su orientación. Las fuerzas de cuerpo y la masa tienden a cero, quedando: Haciendo el mismo procediemiento en las otras dos direcciones obtenemos la ecuación de Cauchy

12 Esta ecuación se puede escribir con diferentes notaciones: Pero en todos los casos lo importante es notar que podemos encontrar la tracción (sus componentes) en cualquier superdicie multiplicando un operador de valores de esfuerzo para los planos coordenados (el tensor de esfuerzos) con la normal a la superdicie (que nos da la orientación).

13 El Tensor de esfuerzos está definido como: Tener cuidado con la notación en los textos, T (1) T 1 El tensor de esfuerzos es simétrico: σ ij = σ ji

14 El Tensor de esfuerzos nos da la Tracción que actúa en cualquier superficie dentro del medio que nos interesa. Por ejemplo, los componentes de la Tracción en un elemento arbitrario de superficie ds cuya normal n no es paralela a ningún eje, se encuentra multiplicando los elementos correspondientes del tensor de esfuerzos por los cosenos directores de la normal al área donde actúa y sumando el resultado. Esto nos da cada componente de T, i = 1 3 Notar que es la transpuesta de σ ij, pero como es simétrico, no importa

15 Esfuerzos normales: σ 11, σ 22, σ 33 Esfuerzos de corte o cizalla: σ 12, σ 21, σ 13, σ 31, σ 23, σ 32 o también τ 12, τ 21, τ 13, τ 31, τ 23, τ 32

16 Sobre la convención de signos en los componentes del tensor de esfuerzos Esfuerzos normales: Los que producen tensión son positivos. Esfuerzos de corte: Si pensamos en un elemento cúbico, la dirección positiva de los esfuerzos de corte corresponde a la dirección positiva del eje si el esfuerzo de tensión que actúa en la cara está en la dirección positiva del eje coordenado (cara positiva). Si el esfuerzo de tensión tiene una dirección opuesta a la dirección positiva del eje coordenado entonces la dirección positiva del esfuerzo de corte es opuesta.

17 Sobre la convención de signos en los componentes del tensor de esfuerzos NOTA: En el caso del círculo de Mohr la convención puede ser diferente. La dirección positiva de los esfuerzos de corte corresponde a aquellos esfuerzos que tienden a crear una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.

18 Simetrías por las cuales podemos no tomar en cuenta todos los componentes. El torque de este par Pero todas estas tracciones son positivas! Queda contrarrestado por el torque de este par

19 Siguiendo la convención de signos los esfuerzos de corte positivos en las caras visibles del cubo de la figura coinciden con la dirección de los ejes coordenados. Pero en las caras ocultas estarían al revés. El equilibrio de momentos (torques) se usa para reducir el número de componentes independientes del esfuerzo, de manera que sólo nos quedan 6.

20 Trataremos ahora de ver cómo podemos manipular estas ecuaciones. En algunos casos lo que vamos a requerir es el esfuerzo normal y el de cizalla en un plano dado, conociendo el tensor de esfuerzos. Lo que teníamos se conoce como la Ecuación de Cauchy, nos da los componentes del vector tracción:

21 Componente Normal de la Tracción Si escribimos el vector tracción como La tracción (pensemos: esfuerzo) normal al plano de interés está dada por la proyección del vector tracción a la normal al plano (es decir el producto punto): Lo que nos resulta en:

22 Expandiendo y considerando la simetría del tensor de esfuerzos: El esfuerzo de corte sobre el plano se puede encontrar simplemente por trigonometría : Lo que resulta en:

23 Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema coordenado en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser expresados en otro sistema coordenado por medio de la transformación: De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la transformación matricial:

24 Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x 1 y x 2 sometido a sólo esfuerzos normales σ 1 y σ 2, de forma que el tensor es diagonal: Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos de forma que Por ejemplo, si σ 1 = 1 y σ 2 = -1 y θ = 45 :

25 Es decir, el estado de esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo esfuerzos normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos de corte: Notar que lo que hicimos fue únicamente rotar el sistema de ejes coordenados, 45 en este caso.

26 Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar un sistema de ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales ( eliminamos los esfuerzos de corte!). A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama ejes de esfuerzos principales. Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del álgebra vectorial (búsqueda de valores y vectores principales). Para este caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las normales de las caras definidas por los ejes coordenados del sistema que buscamos, esto lo podemos expresar como: (Fijarse que sólo varían por un factor de escala):

27 Esta ecuación se puede re-escribir como: Para que esta ecuación se pueda satisfacer para el caso no-trivial (de que los valores sean cero) se requiere que el siguiente determinante sea igualado a cero (esto nos va a dar la ecuación normal que define los valores característicos):

28 Las componentes de son los vectores principales del tensor de esfuerzos (ejes de esfuerzos principales) y los valores λ, asociados a cada eje, nos dan las magnitudes de los esfuerzos principales. La ecuación (determinante igualado a cero) para encontrar estos valores puede escribirse como: donde las I s son los llamados invariantes del tensor de esfuerzos. Se llaman así porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema de referencia.

29 Los Invariantes están definidos por:

30 Los esfuerzos principales tienen una magnitud dada por los valores principales y se pueden encontrar las tres superficies perpendiculares en las cuales NO HAY ESFUERZOS DE CORTE. En el nuevo sistema el estado de esfuerzos queda definido como = 0

31 Ejercicio: Si los invariantes están dados por: Cuáles serían los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?

32 Se pueden encontrar las direcciones de un plano para el cual existe el máximo esfuerzo de corte (problema de máximos y mínimos entre el esfuerzo de corte contra el ángulo del plano). Para dicho plano el valor del esfuerzo máximo de corte (notar que no depende de σ 2 ) es: Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45º de las direcciones (ejes) de los esfuerzos principales máximo y mínimo. Si las direcciones de los ejes del máximo y mínimo esfuerzo principal son (1,0,0) y (0,0,1), los planos del máximo esfuerzo de corte serían: Es decir, los cosenos directores de un plano a 45º de i y j, siendo i y j las direcciones de los esfuerzos principales.

33 Sin embargo, debido a la cohesión de los materiales geológicos, la ruptura ocurre generalmente a planos más cercanos a las dirección del eje σ 1. Aproximadamente a 25º La fractura ocurriría aquí

34 El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el plano de máximo esfuerzo de corte es a 45º de los esf principales. Falla normal Falla inversa Vista de lado Vista de planta Falla de rumbo

35 Definimos el Esfuerzo Promedio como: Y el Esfuerzo desviador o deviatórico: Condición Litostática:

36 Para una prueba triaxial de laboratorio tendríamos Por lo que el esfuerzo desviador nos queda: Lo cual explica porqué se usa la diferencia σ 1 σ 3 como parámetro de esfuerzo

37 Al esfuerzo deviatórico (o desviador) también se le pueden obtener sus valores y vectores característicos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma orientación que los del tensor original Si tenemos esfuerzos litostáticos (igual al peso de la columna de roca) recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kpa = 1 bar (por ejemplo una llanta se infla a ~ 200 kpa que son 2 bar). Entonces a una profundidad de 3 km en la corteza tenemos: P = - ρ g z = -(3 x 10 3 kg m -3 )(9.80 m seg -2 )(3 x 10 3 m) -90 x 10 6 Pa = -90 MPa ( o sea 0.9 kbar) O sea que a 3 km llegamos prácticamente a un kbar de presión

38 Tarea. Correr las rutinas de matlab tomadas del libro de Pollard y Fletcher (cap.6). : stresshole.m (cálculo de esfuerzos alrededor de un agujero circular) y stressdisk.m (cálculo de esfuerzos en un disco de cierto grosor cargado en las orillas por tracciones compresivas puntuales) y analizar las ecuaciones utilizadas.