Análisis no lineal de un pórtico traslacional de acero

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1 uacero. Una revista metálica estudiantil Análisis no lineal de un pórtico traslacional de acero Itsaso Arrayago Luquin Estudiante de Doctorado en el Departamento de Enginyería de la Construcció (DEC). Camins Barcelona-Tech RESUMEN Este artículo presenta el cálculo no lineal de un pórtico traslacional de acero mediante el empleo de dos métodos diferentes para la consideración de las imperfecciones de la estructura propuestos en la Instrucción EAE. El primero de los métodos expuestos está basado en los sistemas equivalentes de fuerzas mientras que el segundo realiza un análisis en segundo orden de la estructura a partir de una geometría inicial de partida afín a la deformadaa del modo ítico de pandeo elástico. El objetivo principal es ofrecer al lector un ejemplo a partir del cual pueda proceder al cálculo en segundo orden de problemas más complejos. Palabras clave: análisis no orden lineal, pórtico traslacional, imperfecciones, efectos de segundo 1. ITRODUCCIÓ E n la actualidad, la concepción y diseño de estructuras se orienta hacia un máximo aprovechamiento de las mismas. Esto lleva muchas veces a que las estructuras que deben ser calculadas o verificadas sean muy esbeltas. En estos casos, existen ciertos esfuerzos, denominados esfuerzos de segundo orden, que deben ser tenidos en cuenta a la hora de calcular la estructura y que de ninguna manera pueden ser obviados, ya que suponen un fuerte inemento de los esfuerzos de cálculo en comparación con los obtenidos en un análisis básico en primer orden. Estos esfuerzos de segundo orden son debidos a la gran esbeltez y deformabilidad que presentan estas estructuras, y se obtienen al imponer las condiciones de equilibrio sobre la configuraciónn deformada de la estructura. Las normativas actuales establecen diferentes iterios que permiten discernir entre aquellas estructuras que exigen un cálculo en segundo orden y aquellas en las que dicho cálculo no es necesario, aunque pueda aplicarse si el proyectista lo considera necesario.. PRESETACIÓ DEL PROBLEMA La estructura a analizar es un pórtico cuyos pilares están constituidos por perfiles laminados HEB 4 y el dintel, un IPE 5, ambos en un acero S35. Los valores de cálculo de las cargas a las que se halla sometido el pórtico y sus dimensiones se muestran en la Figura 1. A continuación se procederá a realizar la verificación de dicho pórtico empleando para ello diferentes análisis en segundo orden siguiendo lo establecido en la normativa EAE [1]. kn kn 5 kn/m 4kN I II 4m 8m Fig 1. Pórtico a analizar. uacero. Vol 1. Número 3. Año 13

2 uacero. Una revista metálica estudiantil 3. MÉTODOS DE EXISTETES Como se ha comentado al inicio de este artículo, las normativas actuales obligan al proyectista a realizar un análisis en segundo orden cuando la esbeltez de las estructuras estudiadas es considerable y los esfuerzos debidos a la deformabilidad de la estructura son importantes. Las normativas proponen iterios que permiten establecer si la estructura considerada debe considerarse como traslacionall (y por tanto, tener en cuenta los esfuerzos de segundo orden) o bien intraslacional (pudiendo obviar estos esfuerzos adicionales). Cuando una estructura es traslacional, es decir, las cargas de cálculo actuantes sobrela estructura están cerca de las cargas que provocan la inestabilidad de la misma, en general se requiere el empleo del análisis de segundo orden debido a la amplificación de los esfuerzos por las imperfecciones y la deformabilidad de la estructura. Para algunos casos sencillos, basta con realizar un análisis en primer orden de la estructura y amplificar los esfuerzos obtenidos mediante unos coeficientes que se proponen en las diferentes normativas. No obstante, en general deberá realizarse un análisis en segundo orden de la estructura, considerando además las diversas imperfecciones que dicha estructura pueda presentar, tanto como imperfección global (desplome vertical) o local (curvaturas de los elementos). Las normativas proponen diversos métodos para poder tener en cuenta estas imperfecciones y que se estudiarán en este trabajo: sustituir las posibles imperfecciones por un sistema de cargas equivalentes que actúa sobre la estructura y partir de una deformada inicial de la estructura afín a la deformada del modo ítico de pandeo elástico, con una amplitud definida en la normativa. En ambos casos deberá realizarse un análisis en segundo orden cuando proceda. 4. CÁLCULO DEL PÓRTICO CÁLCULO Este trabajo se centrará en los dos métodos de cálculo expuestos en el apartado anterior. Tras la clasificación del pórtico como traslacional se procederá a realizar el análisis no lineal empleando el método de las fuerzas equivalentes a las imperfecciones (denominado como Método I) y el método que parte de una configuración inicial deformada afín al modo ítico de pandeo del pórtico (denominado como Método II) Clasificación del pórtico En primer lugar debe clasificarse la estructura como traslacional o intraslacional mediante los iterios establecidos en (1) y (). Si es intraslacional se puede realizar un análisis en primer orden puesto que los efectos de segundo orden sobre los esfuerzos son despreciables. En el caso que estamos tratando se realizará un análisis global elástico, por lo que la condición a comprobar es la (1). F α 1 para un análisis global elástico F F α 15 para un análisis global plástico F () Para el cálculo de α existen diferentes métodos. En caso en el que se disponga de un software que permita realizar análisis de autovalores o modos de pandeo de la estructura (denominados análisis de buckle), la obtención de α es inmediata (valor del autovalor). A continuación se muestran los autovalores correspondientes a los primeros modos de pandeo para el pórtico considerado mediante dos programas de análisis diferentes, Abaqus y SAP. Programa de cálculo Abaqus α 7,43 SAP 7,9 Tabla 1. Valores de α según diferentes programas de cálculo. La estructura considerada es una estructura traslacional, por lo que los efectos de segundo orden no son despreciables y debe realizarse un análisis en segundo orden de la estructura. (1) uacero. Vol 1. Número 3. Año 13

3 uacero. Una revista metálica estudiantil Para los casos en los que no se disponga de un programa que permita la obtención de los modos de pandeo de la estructura, la Instrucción EAE propone una expresión alternativa para la obtención de α,en el artículo 3..1, para pórticos simples con cubierta plana. F α F H, v, h p δ H, (3) En esta expresión F H, es el valor de cálculo de la fuerza horizontal, estimada en el nivel inferior de cada planta, resultante de las cargas horizontales que actúan por encima de dicho nivel, incluyendo los efectos de las imperfecciones indicadas en el Artículo º de la EAE (que se definirán en el apartado 4. de este trabajo).f v, representa el valor de cálculo de la fuerza vertical, estimada en el nivel inferior de cada planta, resultante de las cargas verticales que actúan por encima de dicho nivel. Por otra parte,h p es la altura de la planta considerada y δ H, es el desplazamiento horizontal relativo entre el nivel superior e inferior de la planta considerada, bajo la acción de las acciones exteriores, horizontales y verticales, de cálculo y de las fuerzas transversales equivalentes a las imperfecciones, establecidas en el Artículo º de la Instrucción EAE, para la combinación de acciones considerada. El cálculo de las fuerzas transversales equivalentes a las imperfecciones queda detallado en el apartado 4. de este artículo. Mediante un análisis en primer orden de la estructura considerando tanto las cargas de cálculo y como las fuerzas equivalentes, se obtienen las fuerzas en la base del pórtico (F V, 8kN), el desplazamiento horizontal (δ H, 7mm) y el valor de cálculo de la fuerza horizontal, F H, 41,6+1,843,4kN. Finalmente, se tiene: Luego la estructura puede considerarse traslacional y deberán considerarse los efectos de segundo orden, así comoo las imperfecciones geométricas equivalentes. 4.. Cálculo del pórtico por el Método I Existen dos tipos de imperfecciones: las globales (desplome lateral de la estructura) y las locales (curvaturas de los elementos). Para representar cada uno de los tipos existe un sistema de fuerzas equivalente autoequilibrado que debe introducirse en la estructura además de las cargas externas a las que se ve sometida. Imperfecciones globales: Las imperfecciones globales laterales consisten en un desplome global de la estructura. Dichas imperfecciones podrán despreciarse en entramados aporticados de edificación cuando, para una cierta combinación de acciones, se verifique que, H,15 V siendo H el valor de cálculo de la resultante de las acciones horizontales totales, en la base del edificio, correspondientes a la combinación de acciones considerada y V el valor de cálculo de la resultante de las acciones verticales totales, en la base del edificio, para dicha combinación de acciones. El defecto inicial de verticalidad se obtiene en base a las siguientes expresiones: φ k h k φ k h h m 1 k m m φ 1/ (5) (6) (7) (8) (9) F H, α Fv, 43,46k 8k h p δ H, 4mm 7,98 1 7mm (4) Siendo k h un coeficiente reductor por la altura, con h en metros y k m un coeficiente reductor por el número de alineaciones m de elementos comprimidos en el plano de pandeo considerado. Debe tenerse especial cuidado en introducir estas fuerzas equivalentes como un uacero. Vol 1. Número 3. Año 13

4 uacero. Una revista metálica estudiantil sistema de cargas autoequilibradas de manera que no se transmita resultante alguna a la cimentación. Considerando que h4m y m, se obtiene un desplome Φ de 4, Las fuerzas equivalentes se calculan según (1) y se muestran a continuación para cada pilar: H td φ N N I 38kNH td I 4, ,64kN (11) N II 4kNH td II 4, ,8kN (1) Imperfecciones locales: Estas imperfecciones se definen como curvaturas iniciales en los elementos comprimidos. Deben tenerse en cuenta, según el apartado.3. de la EAE, en todos los elementos comprimidos que satisfagan las dos condiciones propuestas a continuación: -Al menos uno de los nudos extremos del elemento no puede considerarse como articulado. -La esbeltez adimensional en el plano estudiado y calculada como barra biarticulada cumpla con lo establecido en (13), donde A es el área transversal de la sección estudiada y el axil de cálculo para la combinación de acciones que corresponda. λ >,5 A f y La primera condición se debe a que si el elemento comprimido es biarticulado, una deformación del elemento producirá un inemento del momento flector a lo largo del elemento considerado, pero no se transmitirá a la estructura global, por lo que puede despreciarse en el cálculo globall de la estructura y verificarse posteriormente la inestabilidad de dicho elemento. Para la comprobación de la segunda condición, debe tenerse en cuenta lo siguiente: λ A f y π E I l (1) (13) (14) (15) q H q H Siendo l 4m (al considerarla como biapoyada), I116cm 4 y A16cm para un perfil HEB4. De esta manera se obtiene para los pilares izquierdo y derecho respectivamente: λ 491,41<, ,8 (16) λ,41<,5 1,1 (17) Atendiendo a esta segunda condición podríamos despreciar las imperfecciones locales, pero se considerarán de todas maneras en el cálculo del pórtico para ilustrar el empleo del método I. El sistema de fuerzas transversales autoequilibradas equivalentes al que se asimilan las imperfecciones locales corresponde a q H td td 8 L e 4 e L Siendo L y la longitud y el valor de cálculo del esfuerzo de compresión, respectivamente, en el elemento. El parámetro e se halla recogido en la tabla.3. de la Instrucción EAE y depende de la curva de pandeo que se considere. Debe destacarse también que se proporcionan diferentes valores de e en función de si se va a realizar un cálculo elástico o plástico de la estructura, puesto que el nivel de incertidumbre que implica cada uno de ellos no es el mismo, siendo más conservadores para el caso del estudio global plástico de la estructura. Los pilares comprimidos tienen sección HEB4, que corresponde a la curva de pandeo b, según 35.1., luego la flecha máxima a considerar para los elementos comprimidos afectados es tal quee L/5. Por consiguiente: 8 I e , 4 k / m L 5 4 (a) 4 I e ,8k I L 5 (b) 8 II e , 36k / m L 5 4 (1a) 4 II e k II L 5 (1b) tdi 4 td 6 tdii, td 6 (18) (19) uacero. Vol 1. Número 3. Año 13

5 uacero. Una revista metálica estudiantil Las cargas aquí calculadas deben disponerse de manera que produzcan una mayor amplificación de los esfuerzos, es decir, siguiendo la deformada que determina el modo de pandeo de la estructura que se esté considerando. Así, el sistema de cargas final que debe ser considerado se muestra en la Figura. 35,56kN 3,4kN/m 7,7kN kn 5 kn/m kn Fig.. Esquema de cargasexternas y cargascorrespondientes a las imperfecciones globales y locales. 4,9kN 3,36kN/ 8,54kN Realizando un análisis en segundo orden de dicha estructura, se obtienen los siguientes esfuerzos: Fig. 5. Ley de axiles según Método I. Al haber considerado la influencia de las imperfecciones locales de los elementos comprimidos en la determinación de los esfuerzos a los que se ve sometida la estructura, tan sólo hace falta comprobar la estructura frente al estado límite último de resistencia de las secciones transversales, ya que las verificaciones frente a inestabilidad ya han sido consideradas intrínsecamente. Así, puede procederse a la comprobación de los elementos más solicitados: Verificación del dintel: La capacidad resistente a flexión del perfil IPE 5 es de M c,rd 453,1kNm y como ya se ha visto anteriormente, sólo debe tenerse en cuenta la interacción con el cortante si el cortante de cálculo es superior a 46,7kN, por lo que en este caso no es necesaria la reducción de la capacidad resistente de la sección. Así, puede concluirse que la sección no presenta problemas de resistencia ni por flexión ni por cortante, por lo que el dintel está bien dimensionado. Fig. 3. Ley de momentos flectores según Método I. Verificación de los pilares: Los esfuerzos a los que está sometido el pilar más solicitado son los siguientes: M 5,4kNm (a) N 44,7kN (b) Las capacidades resistentes para un perfil HEB 4 son las siguientes: Fig. 4. Ley de cortantes según Método I. M c,rd 47,5kNm N pl,rd 491kN (3a) (3b) uacero. Vol 1. Número 3. Año 13

6 uacero. Una revista metálica estudiantil Las comprobaciones frente a axil y flexión no presentan problemas. Como en el caso anterior, debe considerarse la interacción entre ambos esfuerzos. En este caso, la capacidad resistente reducida es la siguiente: M N,Rd 3kNm, por lo que sigue cumpliendo las condiciones de resistencia. Por lo tanto, se comprueba que la sección ítica del pilar más solicitado resiste los esfuerzos a los que se ve sometido Cálculo del pórtico por el Método II Es posible determinar una deformada inicial de la estructura que sea afín a la deformada del modo ítico de pandeo elástico de la estructura, para la combinación de acciones y plano de pandeo considerados, con una amplitud dada por (4): η inic e' η e ' e EIη '',max M Rk ( λ ) kγ e α, Rk Donde η es la deformada del modo ítico de pandeo elástico de la estructura, siendo EIη,max el momento flector en la sección trasversal ítica bajo la deformada η. αes el coeficiente de imperfección de la curva de pandeo correspondiente a la sección transversal ítica y λ la esbeltez adimensional reducida de la estructura, obtenida según se establece en.3.5 de la Instrucción EAE. El máximo momento flector EIη,max que se obtiene en la deformada para el modo de pandeo estudiado es de,989 knm, lo que permitirá la determinación de la amplitud de imperfección a emplear en el posterior análisis de segundo orden. El axil ítico que se obtiene es de N 7, ,8kN, por lo que puede determinarse la amplitud e : e 314,8 ' e e '' 1, EIη e (4) (5) (6) (7) El valor de e puede obtenerse de la expresión (). Dado que para un perfil HEB 4 flectando alrededor de su eje fuerte y-y debe considerarse una curva de pandeo b, α,34. Además, de la EAE se obtiene: Rk α ult 5,93 y Rk A f y 491k (8) α λ 7,43 α α ult,89 Así, puede determinarse e, y por consiguiente, e. Para dicho cálculo se ha considerado el valor de M Rk M el,rk ya que se ha escogido realizar un estudio elástico de la estructura, empleando una imperfección e L/5 para los pilares.,6 e,34 (,89,) e 1,45,86 1, 8mm (9) (3),86mm (31) (3) Ciertos programas de cálculo (como Abaqus) permiten la obtención directa de los momentos flectores para las deformadas de los modos de pandeo, pero existen programas menos complejos que no permiten la obtención de dichos esfuerzos. Esto hace que no se pueda obtener el valor de la amplitud e definida en (5) a imponer en el análisiss de segundo orden. Para los casos en los que esto ocurra, existe una manera alternativa a partir de la cual pueden obtenerse dichos momentos flectores. El método a emplear es el siguiente: 1) Debe realizarse un análisis en primer orden de la estructura, considerando como geometría inicial de partida la geometría deformada proporcionadaa por el análisis de autovalores anterior, sometiendo a la estructura a las cargas íticas que provocan dicha inestabilidad. ) Los esfuerzos que proporciona el análisis anterior corresponden a los esfuerzos por lo que puede obtenerse el valor del momento máximo. 3) Determinación de la amplitud de imperfección e a emplear en el análisis de segundo orden a realizarr con las cargas de uacero. Vol 1. Número 3. Año 13

7 uacero. Una revista metálica estudiantil cálculo de la combinación de acciones pertinente, para la obtención de los esfuerzos reales con los que deberá verificarse la estructura. 6. REFERECIAS [1] Instrucción de acero estructural (EAE). Ministerio de fomento 1. Realizando un análisis en segundo orden partiendo de la deformada inicial proporcionada por (4), se obtienen los siguientes esfuerzos para la verificación de la sección ítica del pórtico, que es la sección del hombro del pórtico perteneciente al pilar II: N E 41,38kN y M 5,9kN m. Como en el caso anterior, se han considerado tanto las imperfecciones locales y globales en la geometría inicial del problema por lo que la única verificación que debe realizarse en la estructura es la resistente. De esta manera, considerandoo la interacción entre el axil y el momento flector, se obtiene: 41,3 5,9 +,169 +,83,99 < 1, ,5 (33) Dicha interacción puede realizarse a través del parámetro M c,n,rd 3,35kNm obteniéndose resultados más ajustados que en el caso anterior. 5,9 3,35,88 < 1, Como puede verse, realizando un análisis global en segundo orden de la estructura a partir de una geometría inicial deformada afín al primer modo de pandeo de la estructura, se obtiene que el predimensionamiento propuesto para dicha estructura es correcto. 5. COCLUSIOES (34) Este trabajo presenta el cálculo no lineal de un pórtico traslacional de acero en el que el inemento de esfuerzos debido a la deformabilidad de la estructura no es despreciable. Se han estudiado diversas maneras de determinar el grado de traslacionalidad del pórtico y se han presentado dos maneras de considerar las imperfecciones globales y locales de la estructura según lo establecido en la Instrucción EAE. La realización de un cálculo en segundo orden a partir de ambos métodos ha permitido asegurar que el predimensionamiento de la estructura era correcto. uacero. Vol 1. Número 3. Año 13