Métodos Matemáticos de la Física 2 Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Series de Potencias

Transcripción

1 Métodos Matemáticos de la Física Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Series de Potencias L. A. Núñez * Centro de Astrofísica Teórica, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela and Centro Nacional de Cálculo Científico Universidad de Los Andes CeCalCULA), Corporación Parque Tecnológico de Mérida, Mérida 5101, Venezuela Mérida, Junio 003 Versión α Índice 1. Definiciones para Comenzar 1.1. Convergencia Algebra de Series Un Ejemplo conocido Otro Ejemplo menos conocido pero importante 5 4. Método de Diferenciaciones Sucesiva 7 5. Métodos de los Coeficientes Indeterminados 8 6. Los Puntos y las Estrategias Ecuaciónes e intervalos en puntos regulares 11 * nunez@ula.ve 1

2 8. El Método de Frobenius m 1 m m 1 m N con N entero m 1 = m m 1 m m 1 m = N con N entero Definiciones para Comenzar 1.1. Convergencia Una serie de potencias a n x x 0 ) n converge en un punto x si el lím a n x x 0 ) n m existe, para x = x 0 ; para todo x o para algunos x Una serie de potencias a n x x 0 ) n convergerá absolutamente sí el lím a n x x 0 ) n = l m existe. Si a n x x 0 ) n converge a n x x 0 ) n converge, pero el inverso no es siempre verdad. Existen algunos criterios para evaluar la convergencia, los más populares son: a n+1 x x 0 ) n+1 lím n a n x x 0 ) n = l l < 1 = converge = n lím n a n x x 0 ) n l > 1 = diverge = l Ejemplo 1) n+1 n x ) n = 1) n+ n + 1) x ) n+1 lím n 1) n+1 n x ) n = x lím n + 1 n n = x lím n + 1 n n = x = converge si x < 1 = 1 < x < 3 diverge si x > 1 Si una serie converge en x = x 1, convergerá absolutamente para x x 0 < x 1 x 0 y divergerá para x x 0 > x 1 x 0 Se llama radio de convergencia, ρ, a aquella cantidad tal que la serie a n x x 0 ) n converge para x x 0 < ρ y diverge para x x 0 > ρ. Una serie a n x x 0 ) n que converge únicamente para x = x 0 tendrá un radio de convergencia ρ = 0, mientras que una que converja para todo x tendrá un radio de convergencia ρ =

3 1.. Algebra de Series Las series se suman a n x x 0 ) n + b n x x 0 ) n = a n + b n ) x x 0 ) n Las series se multiplican a n x x 0 ) n b n x x 0 ) n = con Las series se derivan c n x x 0 ) n c n = a 0 b n + a 1 b n 1 + a b n + + a j b n j + + a n b + a n 1 b 1 + a n b 0 d a n x x 0 ) n = dx Nótese como cambia el comienzo de la serie. Los índices en las series son mudos a n n x x 0 ) n 1 = a n n x x 0 ) n 1 a j j x x 0 ) j 1 = en la última sumatoria hemos hecho k = j 1, por lo cual j = k + 1. Las series se igualan b n x x 0 ) n = b n x x 0 ) n = j=1 a n n x x 0 ) n 1 a k+1 k + 1) x x 0 ) k = a k+1 k + 1) x x 0 ) k a n+1 n + 1) x x 0 ) n por lo cual si la igualdad hubiera sido b n = a n+1 n + 1) na n x x 0 ) n = a n n x x 0 ) n 1 = a n+1 n + 1) x x 0 ) n = a n+1 = a n n + 1) 3

4 . Un Ejemplo conocido. Consideremos la conocidad ecuación diferencial y = a n x n = y + y = 0 se propone encontrar una solución entorno a x = 0 por lo tanto y = na nx n y = n= n n 1) a nx n y + y = 0 = n n 1) a n x n + a n x n = 0 n= y + y = 0 = k + ) k + 1) a k+ x k + a n x n = 0 entonces y + y = 0 = k + ) k + 1) a k+ + a k x k = 0 k + ) k + 1) a k+ + a k = 0 = a k+ = a k k + ) k + 1) con k = 0, 1,, por lo que a = a 0 1 ; a 4 = a 4 3 = a 0) = a = a 0 4! ; en general a 6 = a = a = a 0 6! Similarmente, para los impares se obtiene a k = 1)k k)! a 0 a 3 = a 1 3 ; a 5 = a = a 1) 3 = a = a 1 5! ; a 7 = a = a = a 1 7! 4

5 de donde a k+1 = De este modo, la solución deseada queda como y = y = a n x n = a 0 + a 1 x + a 0)! 1)k k + 1)! a 1 x + a 1) x 3 + a 0 3! 4! x4 + a 1 5! x4 + a 0) 6! a n x n = a 0 1 x! + x4 4! x6 6! + + a }{{} 1 x x3 3! + x5 5! x7 7! + }{{} 1) k k)! xk 1) k k+1)! xk+1 x 6 + a 1) x 7 + 7! y = a n x n = a 0 1) k k)! xk + a 1 1) k k + 1)! xk+1 = a 0 cos x + a 1 sen x 3. Otro Ejemplo menos conocido pero importante Considere ecuación de Hermite 1 la cual aparece en la solución del oscilador armónico cuántico y xy + λy = 0 Para resolver esta ecuación alrededor del punto x 0 = 0, proponemos la siguiente expansión en series de potencias como solución: yx) = a j x j j=0 y x) = j=1 ja jx j 1 y x) = j= jj 1)a jx j entonces la ecuación de Hermite queda como jj 1)a j x j ja j x j + λ a j x j = 0 j= reacomodando índices queda como k + ) k + 1)a k+ x k ja j x j + λ a j x j = 0 j=1 1 Charles Hermite, ). Matemático francés, especializado en el estudio de teoría de funciones. Profesor en la Universidad de París, ofreció importantes aportaciones al álgebra, las funciones abelianas y la teoría de las formas cuadráticas. j=1 j=0 j=0 5

6 o equivalentemente y tendrá como solución a + λa 0 ) + a 0 = a λ j + ) j + 1)a j+ ja j + λa j x j = 0 j=1 y a j+ = λ j) j + ) j + 1) a j n 1 y x) = a 0 1 λ 4 λ) λ! x x 4 8 λ) 4 λ) λ x 6 } 4! {{ 6! } y 0 + a 1 λ) x + x 3 6 λ) λ) + x 5 10 λ) 6 λ) λ) + x 7 + } 3! 5! {{ 7! } y 1 nótese que para valores pares de λ una u otra serie se corta y genera polinomios de la forma λ Ecuación de Hermite Polinomio asociado 0 y xy = 0 y 0 x) = 1 y xy + y = 0 y 1 x) = x 4 y xy + 4y = 0 y 0 x) = 1 x 6 y xy + 6y = 0 y 1 x) = x 3 x3 8 y xy + 8y = 0 y 0 x) = 1 10x x4 También, puede ser definido a partir de una ecuación: o a través de una relación de recurrencia dλ H λ x) = 1) λ e x dx λ e x, λ = 0, 1,,... 1) H n+1 x) xh n x) + nh n 1 x) = 0 Las ecuaciones antes mencionadas son ecuaciones homogéneas. En el caso que la ecuación diferencial a resolver por series sea una ecuación inhomogéna, se procederá del mismo modo como se propuso en el caso de que los coeficientes de la ecuación diferencial fueran constantes. Esto es se resuelve, por series la homogénea y luego se propone una solución particular, en forma de serie de potencias, la cual se iguala con la expansión, también en series de potencias, del término inhomogéneo. Como ejemplo, antes de proceder a casos más generales resolvamos la ecuación de Airy, pero inhomogéna planteada George Biddell Airy ) Matemático y Astrónomo Inglés con contribuciones importantes en la solución de ecuaciones diferenciales y su utilización en Astronomía. Mejoró significativamente las estimaciones teóricas de la orbita de Venus y la Luna. Igualmente realizó estudios matemáticos de la formación del arcoiris y la densidad de la tierra. 6

7 arriba. A pesar de su simplicidad, esta ecuación admite sólo soluciones en forma de serie. ahora el caso de la ecuación homogénea de Airy y xy = 0 Luego, compruebe, siguiendo el procedimiento arriba expuesto que una posible ecuación inhomogénea de Airy y xy = exp x) tiene como solución la siguiente serie de potencias { y x) = y 0) } { 6 x3 + + y 0) x + 1 }{{} y 1 } 1 x4 + } {{ } y } {{ } y h + 1 x x x4 + }{{} y ih Nótese que los dos primeros términos corresponden a la solución de la ecuación homogénea y el último representa la serie que anula el término inhomogéneo. Hemos hecho patente la dependencia de las constantes de integracón de las condiciones iniciales. 4. Método de Diferenciaciones Sucesiva En general, dada la Ecuación diferencial a 0 x) yx) + a 1 x) y x) + + a n 1 x) y n 1 x) + a n x) y n x) = n a i x) y i) x) = Fx) ) i=o Si los coeficientes a 0 x) a n x) son funciones analíticas en x = x 0 se pueden expresar como una serie de Taylor de x x 0 ) que converge al valor de la función con un radio de convergencia de x x 0 < ρ), entonces, la ecuación diferencial tendrá como solución única, y = yx) de la ecuación homogéna una serie de potencias la cual satisface las n condiciones iniciales yx 0 ) = c 1 ; y x 0 ) = c ; y x 0 ) = c 3 ; y x 0 ) = c n Adicionalmente, se expandirá en Taylor la función inhomogénea, esto es Fx) = n F i) x 0 ) x x 0) i i! y se propondrá una solución particular de la inhomogénea, también en términos de una serie y ih x) = j=0 a jx j. Otra forma de hacerlo es proceder directamente y conservar el término inhomogéneo y a partir de la ecuación completa encontrar los coeficientes de la expansión por Taylor alrededor del punto en el cual se disponga de las condiciones iniciales. La solución en series de Taylor será Así para la siguiente ecuación diferencial y h x) = y0) + y 0)x + y 0) x! + y 0) x3 3! + y x + 1) y + x y = x; con y0) = 1; y y 0) = 1. i=o 7

8 los coeficientes de la expansión se obtienen de los valores de las derivadas en x 0 = 0, los cuales salen de las condiciones iniciales, de la ecuación diferencial esto es y0) = 1; y 0) = 1; y 0) = 0) ) y 0) 0 y0) = 1 y de las derivadas de la ecuación diferencial finalmente, la solución y x) = y x) + x + 1) y x) x yx) x y x) + 1 y 0) = y 0) ) y 0) 0) y0) 0 y 0) + 1 y 0) = = 3 y h x) = 1 + x + x + x3 + Esta solución contiene las dos soluciones la homogénea y la particular de la inhomogénea) sumadas Dado x < 1 y la ecuación diferencial y + x 1 x y 1 1 x y = exp x) ; con y0) = 1; y y 0) = 1. compruebe que tiene como solución general por series { y x) = y 0) x x x6 + } + y 0) x + y al incorporar los valores de las condiciones iniciales se obtiene { 1 x x3 + 1 } 8 x4 + y x) = 1 + x + x x x x x x x Métodos de los Coeficientes Indeterminados En general, para encontrar la solución a la ecuación antes mencionada n a i x) y i) x) = Fx) i=o Se expanden por series de potencias cada uno de los coeficientes a 0 x) a n x), la función Fx) y se expande también la serie x x 0 ) j yx) = c j j! j=0 luego de bastante transpiración se despejan los coeficiente c 0 c n veamos el ejemplo con la misma ecuación del ejemplo anterior. y x + 1) y + x y = x; con y0) = 1; y y 0) = 1. 8

9 Como x 0 = 0, proponemos la siguiente expansión en series de potencias como solución: y x) = yx) = c j x j j=1 jc jx j 1 = j=0 y x) = j= jj 1)c jx j y al sustituir expandiendo j= jj 1)c j x j x + 1) jc j x j 1 + x c j x j = x j= jj 1)c j x j jc j x j jc j x j 1 + c j x j+ = x j=1 si hacemos j = l en el primer término, j 1 = k en el tercero y j + = m en el cuarto, tenemos l=0 j=1 j=1 j=1 j=0 j=0 l + ) l + 1) c l+ x l jc j x j k + 1) c k+1 x k + c m x m = x m= acomodando n + ) n + 1) c n+ nc n n + 1) c n+1 ) x n + c m x m = x m= por lo tanto c c 1 = 0 3 c 3 c 1 c = 1 y la relación de recurrencia para n n + ) n + 1) c n+ nc n n + 1) c n+1 c n = 0 con la cual se obtienen todos los demás coeficientes. Si la ecuación es y + sin x) y + exp x) y = 0 se expanden los coeficientes y + x 1 6 x3 + 1 ) 10 x5 + y x + 1 x x x4 + 1 ) 10 x5 + y = 0 se propone la solución en términos de series de potencias yx) = c j x j j=0 y x) = j=1 jc jx j 1 y x) = j= jj 1)c jx j 9

10 por lo cual jj 1)c j x j + j= acomodando x 1 6 x3 + ) jc j x j 1 + j=1 1 + x + 1 x + ) c j x j = 0 c + c 0 ) + 6c 3 + c 1 + c 0 ) x + 1c 4 + 3c + c 1 + c 0 ) x + 0c 5 + 4c 3 + c + c 1 + c 0 ) x 3 + = 0 j=0 c + c 0 = 0 6c 3 + c 1 + c 0 = 0 1c 4 + 3c + c 1 + c 0 = 0 0c 5 + 4c 3 + c + c 1 + c 0 = 0 Ejercicio. Utilice el mismo método para la ecuación ejercicio anterior y + x 1 x y 1 1 x y = ex ; con y0) = 1; y y 0) = Los Puntos y las Estrategias Dada una ecuación diferencial del tipo P x) y + Q x) y + R x) y = 0 y + Q x) P x) y + R x) P x) y = 0 Puntos ordinarios Un punto ordinario x = x 0 será aquel alrededor del cual px) = Qx) P x) y q x) = sean analíticas en ese punto o Rx) P x). Q x) lím px) lím x x 0 x x 0 P x) = l 1 con l 1 finito R x) lím q x) lím x x 0 x x 0 P x) = l con l finito O también, lo que es lo mismo, que px) = Qx) P x) de ese punto x = x 0. Rx) y q x) = P x) tengan una expansión en Taylor alrededor 10

11 Puntos singulares regulares Un punto x = x 0 se llamará punto singular regular si lím x x 0 ) px) lím x x 0 ) Q x) x x 0 x x 0 P x) = l 3 con l 3 finito lím x x 0 ) q x) lím x x 0 ) R x) x x 0 x x 0 P x) = l 4 con l 4 finito O también, lo que es lo mismo, que px) x x 0 ) = x x 0 ) Qx) P x) y q x) x x 0) = x x 0 ) Rx) P x) tengan una expansión en Taylor alrededor de ese punto. Puntos singulares irregulares Ninguna de las anteriores 7. Ecuaciónes e intervalos en puntos regulares La ecuación de Legendre 3 1 x ) y x y + λλ + 1) y = 0 tiene puntos regulares en x ±1 y puntos singulares regulares en x = ±1. Pero es analítica en x 1, 1) lo tanto, todos los x son ordinarios si x 1, 1). En ese intervalo se propone una solución por lo tanto yx) = a n x n 1 x ) nn 1)a n x n x n= n a n x n 1 + λλ + 1) a n x n = 0 multiplicando y acomodando j + )j + 1)a j+ x j j=0 expandiendo nn 1)a n x n n= n a n x n + λλ + 1) a n x n = 0 0 =a + λλ + 1)a 0 {λ + )λ 1)a )a 3 } x+ + {n + )n + 1)a n+ + λ + n + 1)λ n)a n } x n n= 3 Adrien Marie Legendre ). Matemático francés, encuadrado en la escuela de París, que surgió tras la revolución de Realizó una teoría general de las funciones elipticas y divulgó numerosos trabajos de investigadores jóvenes en el campo del análisis matemático. 11

12 donde hemos utilizado por lo tanto nn 1) n + λλ + 1) = λ + n + 1)λ n) λ + 1)λ a = a 0 λ + 3)λ + 1)λλ ) a 4 = 4! a 0 n λ + n 1)λ + n 3) λ + 1)λλ ) λ n + ) a n = 1) n)! y las potencias impares serán λ + )λ 1) a 3 = a 1 3! λ + 4)λ + )λ 1)λ 3) a 5 = a 1 5! n λ + n)λ + n ) λ + )λ 1) λ n + 1) a n+1 = 1) n + 1)! y su solución general de la forma con yx) = a 0 y 0 x) + a 1 y 1 x) λ + 1)λ y 0 x) = 1 x λ + 3)λ + 1)λλ ) + x 4 + 4! λ + )λ 1) y 1 x) = x x 3 λ + 4)λ + )λ 1)λ 3) + x 5 + 3! 5! si λ = n una de las series se corta solución es un polinomio de potencias pares y si λ = n + 1 la otra se corta en uno de potencias impares λ Ecuación de Legendre Polinomio Asociado 0 1 x ) y x y = 0 y 0 x) = x ) y x y + y = 0 y 1 x) = x 1 x ) y x y + 6 y = 0 y 0 x) = 1 3x 3 1 x ) y x y + 1 y = 0 y 1 x) = x 5 3 x3 4 1 x ) y x y + 0 y = 0 y 0 x) = 1 10x x4 Los polinomios de Legendre son funciones que surgen en problemas de electrostática como solución de la ecuación de Legendre y son efectivamente polinomios para λ entero. Los Polinomios de Legendre también pueden ser generados a partir de la Fórmula de Rodrígues P n x) = 1 n! n d n dx n x 1) n, n = 0, 1,,... con P 0 x) = 1. También se dispone de una relación de recurrencia n + 1) P n+1 x) = n + 1) xp n x) np n 1 x) a 1 a 0 1

13 8. El Método de Frobenius Para la solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias alrededor de puntos singulares regulares se utiliza el método de Frobenius 4. Dada una ecuación diferencial y + F 1 x) y + F x) y = 0 y + f 1 x) x x 0 ) y + f x) x x 0 ) y = 0 3) donde F 1 x) y F x) tienen singularidades regulares enx = x 0 y por lo tanto f 1 x) y f x) son analíticas alrededor de ese punto entonces, la propuesta de solución será una serie de Frobenius yx) = x x 0 ) m a n x x 0 ) n 4) donde n es entero positivo, pero m puede ser entero positivo entonces la serie de Frobenius es una serie de Taylor) o entero negativo entonces la serie de Frobenius es una serie de Laurent), o un racional. Por lo cual una serie de Frobenius incluye a las serie de Taylor y Laurent. Para hacer las cosas más simples supongamos, sin perder generalidad, x 0 = 0. Además, como f 1 x) y f x) son analíticas entonces f 1 x) = b n x n y f x) = c n x n 5) por lo tanto x y + x f 1 x) y + f x) y = 0 x y + x b n x n y + c n x n y = 0 y con la propuesta de serie de Frobenius yx) = x m a n x n = y x) = mx m 1 a n x n + x m na n x n 1 y x) = m m 1) x m a n x n + mx m 1 na n x n 1 + x m n n 1) a n x n sustituyendo 0 = x { } m m 1) x m a n x n + mx m 1 na n x n 1 + x m n n 1) a n x n + n= n= + x { } { b n x n mx m 1 a n x n + x m na n x n 1 + c n x n x m a n x n } 4 Ferdinand Georg Frobenius ) Matemático Alemán famoso por sus contribuciones en Teoría de Grupos y métodos para resolver ecuaciones diferneciales. 13

14 acomodando { } 0 = m m 1) x m a n x n + mx m na n x n + x m n n 1) a n x n + n= o { } { + b n x n mx m a n x n + x m na n x n + c n x n x m a n x n } } 0 = x {m m m 1) a n x n + m na n x n + n n 1) a n x n + n= } { }) + b n x {m n a n x n + na n x n + c n x n a n x n Expandiendo las series tendremos 0 = x m a 0m m 1) + b 0 m + c 0 }{{} + 6) EIm) + x m+1 a 1m m + 1) + b 0 m + 1) + c 0 + a }{{} 0 b 1 m + c 1 + 7) EIm+1) + x m+ a m + ) m + 1) + b 0 m + ) + c 0 + a }{{} 1 b 1 m + 1) + c 1 + a 0 b m + c 8) EIm+) + x m+3 a 3m + 3) m + ) + b 0 m + 3) + c 0 + a }{{} b 1 m + ) + c 1 + 9) EIm+3) +a 1 b m + 1) + c + a 0 b 3 m + c 3 } +. + x m+n a nm + n) m + n 1) + b 0 m + n) + c 0 + a }{{} n 1 b 1 m + n 1) + c ) + EIm+n) + a n b m + n ) + c + a n 3 b 3 m + n 3) + c ) +a 1 b n 1 m + 1) + c n 1 + a 0 b n m + c n } 1) 14

15 la cual puede ser reacomodada aún más, y toma la forma elegante y compacta de { } i 1 0 = x m {a 0 EI m)} + a i EI m + i) + a k m + k) b i k + c i k x m+i 13) i=1 donde hemos identificadoei m) = m m 1) + b 0 m + c 0. Como es de esperarse, este polinomio se anula si los coeficientes de x m x m+i se anulan. La primera de las ecuaciones que surge es la ecuación indicadora o índice a 0 0 = EI m) = m m 1) + b 0 m + c 0 = 0 14) que no es otra cosa que un polinomio de segundo grado en m. Al anular el coeficiente de x m+i { } i 1 a i EI m + i) + a k m + k) b i k + c i k = 0 15) obtendremos la relación de recurrencia para la serie de Frobenius, correspondientes a cada raíz de la ecuación indicadora 14). Dato que la ecuación indicadora es un polinomio de segundo grado para m, entonces de allí se derivan dos raíces m 1 y m. Dependiendo de como sean estas raíces distinguiremos tres casos: 1. m 1 m m 1 m N con N entero. En este caso, la solución en términos de la serie de Frobenius para la ecuación diferencial será yx) = C 1 x m a n m 1 ) x n + C x m 1 + a n m ) x n 16) } {{ } y 1 x) } {{ } y x). m 1 = m En este caso, la solución en términos de la serie de Frobenius para la ecuación diferencial será yx) = C 1 x 1 m + a n m) x n } {{ } y 1 x) + C x 1 m + a n m) x n ln x + x m B n m) x n }{{} y 1 x) } {{ } y x) 17) 15

16 3. m 1 m m 1 m = N con N entero positivo. En este caso, la solución en términos de la serie de Frobenius para la ecuación diferencial será yx) = C 1 x m a n m 1 ) x n } {{ } y 1 x) + C f x m a n m 1 ) x n ln x + x m a n m ) x n }{{} y 1 x) } {{ } y x) Donde las constantes a n m 1 ), a n m ), B n m 1 ) y f, surgen de sustituir estas soluciones en la ecuación diferencial y resolver por el método de los coeficientes indeterminados. Nótese que hemos indicado explícitamente que los coeficientes a n = a n m 1 ) ; a n = a n m ) ; B n = B n m ) corresponden a las series de cada una de las raíces de la ecuacion indicadora. En resumen, si una ecuación diferencial y + F 1 x) y + F x) y = 0 presenta puntos sigulares regulares para F 1 x) y F x) en x = x 0. Lo que se traduce en que y + f 1 x) x x 0 ) y + f x) x x 0 ) y = 0 con f 1 x) = b n x x 0 ) n f x) = c n x x 0 ) n es decir, que f 1 x) y f x) sean analíticas en torno a x = x 0. Entonces se aplica el método de Frobenius. Para ello, 1. se propone una solución en series de potencias de Frobenius: con m R n N, yx) = x m. se sustituye en la ecuación diferencial y se aisla el término independiente de orden cero en n). El coeficiente de este término se anula e implica la ecuación la indicadora o índice a n x n a 0 0 = EI m) = m m 1) + b 0 m + c 0 = 0 que no es otra cosa que un polinomio de segundo grado en m. De esta ecuación emergen dos raíces m m 1,en función de estas raíces, procedemos de distinto modo a) si m 1 m m 1 m N con N entero entonces tendremos dos series de Frobenius yx) = C 1 x m 1 a n m 1 ) x n + C x m a n m ) x n 18) 16

17 b) si m 1 = m tenemos que insertar un logaritmo { } yx) = x m 1 C 1 + C ln x) a n m) x n + C B n m) x n c) m 1 m m 1 m = N con N entero positivo, entoces, como por arte de magia { } yx) = x m 1 C 1 + f ln x) a n m 1 ) x n + C x m a n m ) x n 3. Seguidamente se determina, según el caso, se determinan las relaciones de recurrecias para los distintos coeficientes a n = a n m 1 ) ; a n = a n m ) ; B n = B n m ) ; G n = G n m ) a partir de la ecuación 15) { } n 1 a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k = 0 tomando en cuenta los coeficientes de los desarrollos en series de potencias de las funciones f 1 x) = si anulamos los coeficientes de x m+n b n x n y f x) = c n x n n 1 n 1 a n EI m + n)+ a k m + k) b n k + c n k = 0 a n = a k m + k) b n k + c n k EI m + n) entonces se obtiene la relación de recurrencia, al menos para los casos 16) y 17) en los cuales EI m + n) 0. El caso EI m + n) = 0, vale decir m 1 m m 1 m = N con N será analizado en detalle más adelante m 1 m m 1 m N con N entero. En ese caso es claro que la resolver la ecuación indicadora y sustituir m 1 en el resto de los coeficientes, se va despejando todos los coeficientes a 0 a n en términos de a 0. Igualmente al sustituir m encontramos la otra solución y ambas son linealmente independientes y la solución será yx) = C 1 x m 1 a n x n + C x m a n x n Ejemplo, encuentre la solución en términos de series de Frobenius de la siguiente ecuación x y + x x + 1 ) y x + 1 ) y = 0 17

18 al dividir por x identificamos que a x = 0 es un punto singular regular. Proponemos por lo tanto una serie de Frobenius yx) = x m a nx n como posible solución. La ecuación indicadora EI m) = m m 1) + b 0 m + c 0 = 0 queda ahora, como b 0 = 1 = f 1 x) = 1 + x b 1 = 1 m = 1 m = 1 = m m 1) + 1 m 1 = 0 = c 0 = 1 c 1 = 0 = f x) = 1 x c = 1 los demás coeficientes b = b 3 = = b n = = 0 y c 3 = c 4 = = c n = = 0. El primer término del coeficiente de x m+n, puede ser escrito en términos de genéricos, como EI m + n) = m + n) m + n 1)+ 1 m + n)+ 1 ) = m +mn 1 }{{} m+n 1 n 1 19) }{{} b 0 c 0 El segundo término de ese mismo coeficiente, es una sumatoria en la cual inervienen los coeficientes de las expansiones de f 1 x) y f x) ecuación 5)). Como de esta expansión sobrevive b 1 = 1 significa que sólo aparecen el coeficiente para el cual n k = 1 k = n 1 y como también sobrevive c = 1, tendremos que n k = k = n,también estará presente. Esto es + a n a n 1 m + n 1) 1 }{{} b 1 1) 0) }{{} c En definitiva el coeficiente completo se escribe como a n m + mn 1 m + n 1 n 1 + a n 1 m + n 1 a n = 0 1) con lo cual la relación de recurrencia general será a n = a n a n 1 m + n 1 m + mn 1 m + n 1 n 1 para n ) Dependiendo del valor de m tendremos una relación de recurrencia para la primera de las series m = 1 o para la segunda, m = 1. Analicemos cado por caso. Para el caso particular m = 1, se obtiene la relación de recurrencia: a n = a n na n 1 ) n + 3n para n 18

19 y se encuentra a 1 al utilizar el coeficiente de x m+1 ecuación 7)) a ) ) 1 + a = 0 = a 1 = 5 a 0 con lo cual n = = a = 1 7 a 1 + a 0 ) = a 0 + a 0 ) = 9 35 a 0 = a = 9 35 a 0 n = 3 = a 3 = 7 3a + a 1 ) = a 0 5 a ) 0 = a 0 = a 3 = a 0 n = 4 = a 4 = 1 4a 3 + a ) = a a ) 0 = a 0 = a 4 = a 0. Así la primera solución será y 1 x) = a 0 x 1 5 x x x ) 0790 x4 + Del mismo modo se construye la segunda solución linealmente independiente a partir de m = 1. Así, la relación de recurrencia para los coficientes de la serie de Frobenius m = 1 será: a n = a n n 3 ) ) a n 1 n para n 3n y por lo cual a ) + 1 ) ) a 0 1 = 0 = a 1 = a 0 n = = a = 1 a 1 + a 0 = 1 a 0 + a 0 = 3 a 0 = a = 3 a 0 n = 3 = a 3 = 9 3 a ) + a 1 = a ) 0 a 0 = a 0 = a 3 = a 0 n = 4 = a 4 = a ) 3 + a = a a ) 0 = a 0 = a 4 = a 0. Por lo cual, la solución general será yx) = C 1 x 1 5 x x x ) 0790 x4 + + C x 1 1 x + 3 x x ) 360 x4 + Nótese que esta solución vale para 0 < x < por cuanto para x < 0, la segunda solución se hace imaginaria pero se puede resolver haciendo C = i C 3 Como ejercicio resuelva x y x y x + 1) y =

20 8.. m 1 = m. Del mismo modo, si tenemos una ecuación diferencial x y + x x F 1 x) y + x F }{{} x) y = 0 L {y} = x y + x f 1 x) y + f x) y = 0 3) }{{} f 1 x) f x) donde en la cual F 1 x) y F x) tienen singularidades regulares en x = 0 pero f 1 x) y f x) son analíticas para ese punto, vale decir f 1 x) = b n x n y f x) = c n x n se aplica el Método de Frobenius. Pero antes de proceder a ilustrar este caso en al cual ambas raíces coinciden, veamos, un poco de dónde surge la forma general de la solución 17). Para ello reacomodemos la ecuación diferencial 3) de la forma x y + x f 1 x) y + f x) y = {x d dx + x f 1 x) } d dx + f x) y L {y} = 0 donde L { } está concebido como un operador lineal. Es ilustrador mostrar de dónde sale la forma curiosa de la solución de la ecuación diferencial 17). Para ello, recordamos que { } n 1 L {y} = x m {a 0 EI m)} + a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k x m+n si anulamos los coeficientes de x m+n entonces n 1 a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k = 0 a n = n 1 a k m + k) b n k + c n k EI m + n) considerando EI m + n) 0 por lo tanto, para los a n seleccionados que anulen el coeficiente x m+n ) y considerando el caso m 1 = m L {y} m, x) = {a 0 EI m)} x m = a 0 m m 1 ) x m Nótese que estamos considerando L {y} m, x) como una función de m, y x. Por lo cual evaluando en m = m 1 L {y} m, x) m=m1 = a 0 m m 1 ) x m m=m 1 = 0 pero además podemos intentar derivar respecto a la constante m {L {y} m, x)} = } {x d m m dx + x f d 1 x) dx + f x) y = {x d dx + x f 1 x) { } y L m, x) = m a 0 m m 1 ) x m) = a 0 m m 1 ) x m ln x + m m 1 ) x m m } d y dx + f x) m 0

21 y comprobamos que también se anula al evaluarla en m = m 1 { } y L m, x) m = a 0 m m 1 ) x m ln x + m m 1 ) x m m=m1 = 0 m=m1 por lo tanto { } y m m, x) también es solución, con lo cual la segunda toma la forma m=m1 { } y L m, x) m = m=m1 { x m m a 0 + a n m) x n} m=m1 = x m 1 ln x) a 0 + a n m 1 ) x n + x m 1 a n m) m x n m=m1 y la solución general tendrá la forma yx) = C 1 x m a n m 1 ) x n } {{ } y 1 x) + C x m a n m 1 ) x n ln x + x m 1 b n m 1 ) x n }{{} y 1 x) } {{ } y x) Analicemos, como ejemplo un caso particular de la ecuación de Bessel 5 x y + x y + x + ν ) y = 0 Una vez más, la ecuación viene parametrizada por ν y dependiendo de su valor tendremos una familia de soluciones. Consideremos el caso ν = 0 x y + x y + x y = 0 5 Fredrich Wilhel Bessel ). Astrónomo y matemático alemán. Aportó notables contribuciones a la astronomía posicional, la geodesia y la mecánica celeste. Particularmente, se dedicó a aumentar la exactitud de las mediciones de la posición y el movimiento de los astros. La precisión de sus mediciones hizo posible que determinara pequeñas irregularidades en los movimientos de Urano lo condujo a predecir la existencia de Neptuno. Análogos razonamientos lo llevaron a especular sobre la presencia de estrellas compañeras en Sirio y Procyon. A partir de datos registrados en el siglo XVII, calculó la órbita del cometa Halley 1

22 la ecuación indicadora EI m) = m m 1) + b 0 m + c 0 = 0 nos queda como b 0 = 1 = f 1 x) = 1 c 0 = 0 m = 0 = m m 1) + m = 0 = c 1 = 0 = f x) = x c = 1 los demás coeficientes b 1 = b = b 3 = = b n = 0 y c 3 = c 4 = = c n = 0. Con lo cual EI n) = n n 1) + n = n, Por lo tanto, la relación de recurrencia se obtiene del coeficiente de x m+n n 1 a n = a k m + k) b n k + c n k b 1 0 n k = 1 k = n 1 dado que EI m + n) c 0 n k = k = n a n m) = tomando m = 0, se tiene con lo cual n 1 a k m) m + k) b n k + c n k = a n 1 m) m + n 1) + a n m) m + n) m + n 1) + m + n) m + n) n 1 a n 0) = a k 0) kb n k + c n k n con b 1 0 n k = 1 k = n 1 c 0 n k = k = n a n 0) = a n 0) c + a n 1 0) n 1) b 1 n = a n 0) + a n 1 0) n 1) n para n Otra vez, al anular el coeficiente para x m+1 ecuación 7)) se obtiene a ) ) a = 0 a 1 = 0. Con lo cual es claro que se anulan todos los coeficientes impares, y así con lo cual a n 0) = a n 0) n) para n = 1,, 3, n = 1 = a 0) = 1 4 a 0 0) = a 0) = 1 4 a 0 0) n = = a 4 0) = 1 ) a 0) = 1 ) a 0 0) = a 4 0) = n = 3 = a 6 0) = 1 3) a 4 0) = 1 1 3) ) a 0 0). = a 6 0) =. 1 ) a 0 0) 1 3) 3 a 0 0) n = l = a l 0) = a l 0) l) = 1)l l l!) a 0 0) = a l 0) = 1)l l l!) a 0 0)

23 por lo tanto la primera de las soluciones será 1) y 1 x) = a 0 1 n + n n!) xn }{{} J 0 x) Donde J 0 x) se conoce como la función de Bessel de primera especie de orden cero. Para calcular la segunda solución de la ecuación de Bessel se sustituye y x) = J 0 x) ln x + B n x n en la ecuación x y + x y + x y = 0 para ello se requieren sus derivadas y x) = J 0 x) ln x + B n x n entonces y x) = J 0 x) ln x + J 0 x) J 0 x) x x + 0 = x y x) = J 0 x) ln x + J 0 x) x B n n n 1) x n J 0 x) ln x + J 0 x) J 0 x) x x + + B n 0) nx n 1 B n n n 1) x n + n= y + x J 0 x) ln x + J 0 x) x + B n nx n 1 + x J 0 x) ln x + B n x n con lo cual 0 = x J 0 x) + x J 0 x) + Jx 0 x) ln x+ J 0 x) x+ B }{{} n n n 1) x n + B n nx n + B n x n+ n= =0 y finalmente B 1 x + B x + Bn n ) + B n x n = n=3 1) n n n n!) xn es claro que para los coeficientes impares se obtiene b 1 = b 3 = b 5 = = b n+1 = 0 ya que B 1 x + B x + 3 B 3 + B 1 ) x B 4 + B ) x B 5 + B 3 ) x 5 + = mientras que para las potencias pares tendremos la relación de recurrencia B n = 1 1) n+1 n n) n 1) n!) b n 3 1) n n n n!) xn

24 entonces 1 B = 1!) 1 B 4 = ) 4 )!) 1 1!) B 6 = 1 3 6) 4 3!) b 4 = 16 = ) 3 4 3!) ) = ) 3. B k = 1)k+1 1 k k!) k + 1 k k = 1)k+1 }{{} k k!) H k H k Así la segunda solución puede tomar la forma de y x) = J 0 x) ln x + y por lo tanto la solución general tendrá la forma 1) n+1 n n!) H n x n y x) = A 1 J 0 x) + A J 0 x) ln x + 1) n+1 n n!) H n x n es costumbre en Física reacomodar la segunda solución de la forma y x) Y 0 x) = x )) 1) n+1 γ + ln J 0 x) + π n n!) H n x n donde γ se conoce como la constante de Euler-Mascheroni 6 y tiene un valor 1 γ = lím n n + 1 n n ) + 1 ln n) = 0,577 y así, finalmente y x) = C 1 J 0 x) + C Y 0 x) 6 Lorenzo Mascheroni ) Monje Italiano, nacido en Bergamo, Lombardo-Veneto. Profesor de Algebra y Geometría en la Universidad de Pavia y luego Rector de la misma. Además de poeta, se destaco por sus contribuciones al Cálculo y a la Mecánica. 4

25 Comportamiento de las funciones de Bessel de orden cero. De primera especie J 0 x) y de segunda especiey 0 x) Nótese que tanto la función de Bessel de orden cero, de primera especie, J 0 x), como la función de Bessel de orden cero, de segunda especie, Y 0 x),tienen un comportamiento oscilatorio cuando x, que J 0 0) = 1, mientras que Y 0 x) se comporta como π ln x cuando x m 1 m m 1 m = N con N entero. En general, la ecuación indicadora para este caso, m 1 m = N m 1 = N + m, con m 1 > m. Este caso nos lleva a la ecuación 13) { } N 1 n 1 0 = x m {a 0 EI m)} + a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k x m+n 4) + + { a N EI m + N) + n=n+1 N 1 a k m + k) b N k + c N k } x m+n + 5) { } n 1 a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k x m+n 6) donde esta m es la menor de las raíces y m + N la mayor. Anulando el término {a 0 EI m)} coeficiente de x m nos lleva a la ecuación indicadora: EI m + N) = m + N) m + N 1) + b 0 m + N) + c 0 = EI m) = m) m 1) + b 0 m) + c 0 = 0. por lo tanto EI m + N) = 0 anula al coeficiente del término a n para n = N, esto es la ecuación 1), consecuentemente eso significa que se derivan dos casos 5

26 EI m + N) = 0 N 1 a k m + N + k) b n k + c n k = 0 En este caso la solución en serie de Frobenius, partiendo de la raíz mayor de la ecuación indicadora, m + N, quedará en términos de a 0 y no será linealmente independiente a la solución provista por la raíz menor, por consiguiente la solución proveniente de esta raíz menor, m, será la solución general. Esto quiere decir que en 18) la constante f = 0 y por consiguiente la solución será yx) = a 0 x 1 m + a n m) x n + a N x m a n m + N) x n 7) } {{ } y 1 x) } {{ } y x) EI m + N) = 0 N 1 a k m + N + k) b n k + c n k 0 En este caso la raíz mayor de la ecuación indicadora m + N determinará una de las soluciones, la constante f 0 y la solución general tendrá la forma de yx) = C 1 x m a n m 1 ) x n } {{ } y 1 x) + C f x m a n m 1 ) x n ln x + x m a n m ) x n }{{} y 1 x) } {{ } y x) La ecuación de Bessel de orden fraccionario puede ilustrar el primero de estos casos, resolvámosla x y + x y + x 1 ) y = 0 4 una vez más, le expansión en serie de Frobenius de y x) nos lleva a una ecuación indicadora del tipo b 0 = 1 = f 1 x) = 1 m = 1 = m m 1) + m 1 c 0 = 1 m = 1 4 = 0 = 4 c 1 = 0 = f x) = x 1 4 c = 1 los demás coeficientes b 1 = b = b 3 = = b n = 0 y c 3 = c 4 = = c n = 0. Dado que N = 1 se tiene que la ecuación 1) a 1m + 1) m + 1 1) + b 0 m + 1) + c 0 + a }{{} 0 b 1 m + 1 1) + c 1 + = 0 8) EIm+N) 6

27 a 1 1 ) ) )) + 1 ) ) a 0 0 = 0 a a 0 0 = 0 9) 4 }{{} 1 ) ) EI +1 con lo cual cualquier valor de a 1 y a 0 estarán permitidos. La relación de recurrencia proviene de anular el coeficiente de x m+n, para m = 1. Vale decir a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k = 0 30) a n 1 ) ) + n 1 ) ) + n ) ) + n 1 + a n a n 1 = 0 31) 4 los coeficientes serán a n n n ) = a n 3) n = = a = 1 a 0 n = 3 = a 3 = 1 6 a 1 n = 4 = a 4 = 1 1 a = 1 4 a 0 n = 5 = a 5 = 1 0 a 3 = 1 10 a 1 n = 6 = a 4 = 1 30 a 4 = 1 70 a 0 n = 7 = a 7 == 1 4 a 5 = a 1.. Por lo cual, la solución general será yx) = a 0 x x x4 1 ) 70 x6 + + a 1 x x x5 1 ) 5040 x7 + Para considerar el segundo caso, EI m + N) = 0 N 1 a k m + N + k) b n k + c n k 0 analicemos la ecuación diferencial x y + x x) y + x ) y = 0 7

28 una vez más, la expansión en serie de Frobenius de y x) nos lleva a una ecuación indicadora del tipo b 0 = = f 1 x) = + x b 1 = 1 m = = m m 1) m + = 0 = c 0 = m = 1 c 1 = 0 = f x) = x + c = 1 los demás coeficientes b = b 3 = = b n = 0 y c 3 = c 4 = = c n = 0. Dado que N = 1 se tiene que la ecuación 1) para m = 1 a 1 m + 1) m m + 1) + + a 0 m = a a 0 = a a 0 1 = 0 33) y no conduce a nada por cuanto a 0 = 0, mientras que, para m = se obtiene a 1 m + 1) m m + 1) + + a 0 m = a a 0 1 = a a 0 1 = 0 34) por lo cual la relación de recurrencia para m = nos queda a n EI m + n) + a k m + k) b n k + c n k = 0 35) a n + n) + n 1) + n) + + a n n + a n 1 = 0 36) los coeficientes serán a n n + n ) + a n 1 n + 1) = a n 37) n = = 6a = 3a 1 a 0 = 3a 0 a 0 = a = 1 3 a 0 n = 3 = 1a 3 = 4a a 1 = 4 3 a 0 + a 0 = a 3 = 1 36 a 0.. Por lo cual, la solución general será y 1 x) = a 0 x 1 x x 1 ) 36 x3 + y la segunda solución linealmente independiente será y x) = u x) B 1 y 1 x) ln x 38) y queda como ejercicio demostrar la relación de recurrencia para los coeficientes B n de la serie que describe ) u x) = x B i x i 39) i=0 8