Introducción al Cálculo Lambda
|
|
- Cristián Araya Morales
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Introducción al Cálculo Lambda Dr. Alejandro Guerra-Hernández Departamento de Inteligencia Artificial Universidad Veracruzana Facultad de Física e Inteligencia Artificial Sebastián Camacho No 5, Xalapa, Ver., México aguerra@uv.mx 9 de marzo de 2007 Puede uno resolver todos los problemas formulados en un lenguaje universal? Esta pregunta, conocida como el Entscheidungproblem, fue abordada de manera independiente (y resuelta de manera negativa) por Alan Turing y Alonzo Church. Para ello, Turing inventó una clase de máquinas (después llamadas máquinas de Turing) sobre las que definió el concepto de función computable. Church por su parte, inventó un sistema formal al que llamó cálculo lambda, con el cual definió el concepto de función computable. Las computadoras Von Neumann son conceptualmente máquinas de Turing con registros de acceso aleatorio. Los lenguajes imperativos como Fortran, Pascal, C y el código ensamblador se basan en la forma en que las máquinas de Turing son programadas: por medio de una secuencia de declaraciones (statements). Los lenguajes de programación funcional como ML, Miranda, están basados en el cálculo lambda. Lisp es un ejemplo temprano de estos lenguajes (aunque híbrido) e incluso se construyeron máquinas de reducción para este lenguaje. 1. Conceptos básicos Un programa funcional consiste de una expresión E que representa un algoritmo y su entrada. La expresión E es sujeta a una serie de reglas de reescritura. Una reducción consiste en remplazar una parte P de E por otra expresión P de acuerdo a las reglas de reescritura. En notación esquemática, esto es: E[P ] E[P ] asumiendo que P P satisface las reglas de reescritura. El proceso de reducción se repite hasta que la expresión resultante no contiene más partes que puedan ser reescritas. Esta última forma, llamada forma normal E de la expresión E, constituye la salida del programa. 1
2 Ejemplo 1 Proceso de reducción en una expresión aritmética. Las reglas de reescritura correspondientes son las tablas de suma y multiplicación entre numerales. (7 + 4) ( ) 11 ( ) 11 (8 + 15) Ejemplo 2 Proceso de reducción en una expresión simbólica. Las reglas de reescritura para append y sort pueden especificarse en pocas líneas. Las reglas como append se conocen como combinadores. firstof (sort (append (perro conejo) (sort (ratón gato)))) firstof (sort (append (perro conejo) (gato ratón))) firstof (sort (perro conejo gato ratón)) firstof (conejo gato perro ratón) conejo Los sistemas de reducción normalmente satisfacen la propiedad de Church- Rosser que indica que la forma normal obtenida es independiente de el orden de evaluación de los subtérminos. De hecho el ejemplo 1 puede reducirse como sigue: (7 + 4) ( ) (7 + 4) (8 + 15) 11 (8 + 15) o incluso evaluando varias expresiones al mismo tiempo: (7 + 4) ( ) 11 (8 + 15) 1.1. Aplicación y abstracción La primera operación básica del cálculo-λ es la aplicación. La expresión F.A o F A denotan al dato F considerado como algoritmo, aplicado al dato A considerado como su entrada. Esto tiene dos interpretaciones, tanto el proceso de computar F A, como la salida resultante del proceso. La primer interpretación captura el concepto de reducción, mientras la segunda el de modelo (semántica). Como se permiten expresiones del tipo F F, es decir F aplicada a sí misma, se dice que esta teoría es libre de tipos. Esto es útil para simular La segunda 2
3 operación básica es la abstracción. Si M M[x] es una expresión que contiene (depende de) x, entonces λx.m[x] denota la función x M[x]. La aplicación y la abstracción trabajan juntas en la siguiente fórmula intuitiva: (λx,2 x + 1)3 = = 7 esto es, λx. 2 x + 1 denota la función x 2 x + 1 aplicada al argumento 3, dando o sea 7. En general tenemos que (λx.m[x])n = M[N]. La última ecuación se escribe preferentemente como: donde x := N denota la substitución de x por N 1.2. Variables libres y acotadas (λx.m)n = M[x := N] (1) Se dice que la abstracción acota la variable libre x en M, por ejemplo, en λx.yx tenemos a x acotada e y es libre. La substitución x := N se lleva a cabo únicamente en las ocurrencias libres de x: yx(λx.x)[x := N] yn(λx.x) Por razones de higiene, se asume que siempre las variables acotadas que ocurren en una expresión son diferentes de las libres. Esto puede cumplirse renombrando las variables. Por ejemplo, λx.x se convierte en λy.y. De hecho, estas expresiones actúan de la misma forma: (λx.x)a = a = (λy.y)a y de hecho denotan al mismo algoritmo. Por lo tanto, expresiones que varían sólo en el nombre de las variables acotadas, son equivalentes Funciones de más argumentos Funciones de varios argumentos pueden obtenerse iterando la aplicación. Esta idea se debe a Schönfinkel, pero normalmente se conoce como currying, por H.B. Curry, quien lo introdujo de manera independiente. Intuitivamente, si f(x, y) depende de dos argumentos, uno puede definir: F x = λy.f(x, y), F = λx.f x. entonces: (F x)y = F x y = f(x, y) 3
4 Esta última ecuación muestra que es conveniente usar la asociación a la izquierda cuando tenemos aplicaciones iteradas: F M 1... M n denota (... ((F M 1 )M 2 )... M n ). Entonces la ecuación anterior se escribe F xy = f(x, y). La abstracción iterada, por dualidad, usa asociación a la derecha: (λx 1... x n f(x 1... x n ))x 1... x n = f(x 1,..., x n ) Usando n veces la aplicación β (Eq.??) esta última ecuación puede escribirse con notación de vector: (λ x.f[ x]) N= f[ N]. 2. Conversión En esta sección introduciremos el cálculo-λ formalmente. Def 1 El conjunto de términos-λ (denotado por Λ) se construye a partir de un conjunto infinito de variables V = {v, v, v,... } usando aplicación y abstracción funcional: x V x Λ M, N Λ (MN) Λ M Λ, x V (λxm) Λ Ejemplo 3 Las siguientes expresiones son términos-λ: v (v v) (λv(v v)) ((λv(v v))v ) (((λv(λv (v v)))v )v ) Por convención x, y, z,... denotan variables arbitrarias; M, N, L,... denotan términos-λ arbitrarios; Los paréntesis externos no se escriben. M N denota que M y N son el mismo término, o que pueden obtenerse uno a partir del otro renombrando las variables acotadas. Ejemplo 4 Equivalencia entre términos-λ: (λxy)z (λxy)z (λxx)z (λyy)z (λxx)z z (λxx)z (λxy)z 4
5 Usamos también las siguientes abreviaturas: F M 1... M n (... ((F M 1 )M 2 )... M n ) y (λx 1... x n f(x 1... x n ))x 1... x n f(x 1,..., x n ). Ahora los términos del ejemplo??, pueden escribirse como sigue: Ejemplo 5 Términos-λ escritos siguiendo nuestras convenciones: y yx λx.yx (λx.yx)z (λxy.yx)zw Def 2 El conjunto de variables libres de M, denotado por F V (M), se define inductivamente como sigue: F V (x) = {x} F V (MN) = F V (M) F V (N) F V (λx.m) = F V (M) {x} Una variable en M está acotada, si no es libre. Observen que una variable está acotada si ocurre bajo el alcanze de un operador λ. M es un término cerrado (o combinador) si F V (M) =. El conjunto de términos-λ cerrados se denota como Λ o. El resultado de substituir N por las ocurrencias libres de x en M, denotado por M[x := N], se define como sigue: x[x := N] = N y[x := N] = y, si x y (M 1 M 2 )[x := N] = (M 1 [x := N]M 2 [x := N]) (λy.m 1 )[x := N] = λy.(m 1 [x := N]) Ejemplo 6 Variables libres y acotadas. Consideren el término λxy.xyz; las variables x e y están acotadas; la variable z es libre. El término λxy.xxy está cerrado. Por convención, si M 1 y M 2 ocurren en cierto contexto matemático (una definición o una prueba), entonces todas las variables acotadas en esos términos, se eligen para que sean diferentes de las variables libres. Por lo tanto, en la cláusula 2 de la definición de substitución, no es necesario especificar x y. Ahora podemos introducir el cálculo lambda como una teoría formal. 5
6 Def 3 El esquema axiomático principal del cálculo-λ, conocido como axioma β, es: También se incluyen los axiomas de igualdad: (λx.m)n = M[x := N] (2) M = M M = N N = M M = N, N = L M = L y reglas de compatibilidad: M = M MZ = M Z M = M ZM = ZM M = M λx.m = λx.m Si M = N es demostrable en el cálculo-λ, algunas veces escribimos λ M = N. Como consecuencia de las reglas de compatibilidad, uno puede remplazar (sub) términos por términos iguales en cualquier contexto: M = N... M =... N... Por ejemplo, si λ (λy.yy)x = xx, entonces: λ λx.x((λy.yy)x)x = λx.x(xx)x Lema 1 λ (λx 1... x n.m)x 1... X n = M[x 1 := X 1 ]... [x n := X n ]. La demostración es sencilla. Por el axioma β (Ec.??) tenemos: (λx 1.M)X 1 = M[x 1 = X 1 ] luego, por inducción en n, obtenemos el resultado. Ejemplo 7 Combinadores: I λx.x K λxy.x K λxy.y S λxyz.zx(yz) 6
7 usando el lemma??, obtenemos las siguientes ecuaciones: IM = M KMN = M K M N = N SMNL = ML(NL) ahora podemos resolver ecuaciones simples. Teorema 1 Teorema de punto fijo. F XF X = X. Existe un combinador de punto fijo: tal que: Y λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) F F (YF ) = YF La demostración pasa por definir W λx.f (xx) y X W W. Entonces tenemos que X W W (λx.f (xx))w = F (W W ) F X. Podemos definir numerales y funciones numéricas en el cálculo-λ: Def 4 F n (M) con F Λ y n ℵ se define inductivamente como sigue: F 0 (M) M F n+1 (F (F n (M)) Los numerales de Church c 0, c 1, c 2,... se definen por: c n λfx.f n (x) Es posible definir los combinadores siguientes: A + λxypq.xp(ypq) A λxyz.x(yz) A exp λxy.yx Observen que los números de Church están definidos como funciones parciales. Cada numeral espera dos argumentos f y x. Aunque las instancias de estos argumentos son irrelevantes, es más sencillo interpretar estos números si asumimos que f es la función sucesor y x es un símbolo representando el cero. Para ejemplificar esto, asumiendo que nuestro lenguaje Λ es más expresivo que lo que hemos definido hasta el momento, definamos las siguientes funciones: S = λr.ding y aplicar r 7
8 Z = λr.dong entoces c 4 sería ding(ding(ding(ding(dong)))). Claro que si optamos por S como la función sucesor y Z por el símbolo para cero, tendríamos que c 4 sería = 4. Ahora, Porqué definimos los combinadores para suma, multiplicación y exponente de esa forma? 8
Algoritmos y programas. Algoritmos y Estructuras de Datos I
Algoritmos y programas Algoritmos y Estructuras de Datos I Primer cuatrimestre de 2012 Departamento de Computación - FCEyN - UBA Programación funcional - clase 1 Funciones Simples - Recursión - Tipos de
Más detallesEl ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales.
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3, 3 5, e,
Más detallesMétodos de Inteligencia Artificial
Métodos de Inteligencia Artificial L. Enrique Sucar (INAOE) esucar@inaoep.mx ccc.inaoep.mx/esucar Tecnologías de Información UPAEP Contenido Lógica proposicional Lógica de predicados Inferencia en lógica
Más detallesSISTEMA DE NUMEROS REALES
SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto
Más detallesMMAF: Espacios normados y espacios de Banach
MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadística R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012 Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el
Más detalles5.3 Tipos de Datos en Prolog
5.3 Tipos de Datos en Prolog Recocimiento de Tipos Se recoce el tipo de un dato por su forma sintáctica; se requiere de declaración de tipos Ejemplo: Variables se definen comienzan con primera en mayúsculas
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesClase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función
Más detallesFundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto Segundo Cuatrimestre de 2002
Departamento de Cs. e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Ejercicios Fundamentos de Ciencias de la Computación Trabajo Práctico N 2 Lenguajes Libres del Contexto y Sensibles al Contexto
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1 La lógica es
Más detallesAlgoritmos. Medios de expresión de un algoritmo. Diagrama de flujo
Algoritmos En general, no hay una definición formal de algoritmo. Muchos autores los señalan como listas de instrucciones para resolver un problema abstracto, es decir, que un número finito de pasos convierten
Más detallesBases Matemáticas para la Educación Primaria. Guía de Estudio. Tema 3: Números racionales. Parte I: Fracciones y razones Números racionales
Bases Matemáticas para la Educación Primaria Guía de Estudio Tema 3: Números racionales Parte I: Fracciones y razones Números racionales 1 Situación introductoria ANÁLISIS DE CONOCIMIENTOS PUESTOS EN JUEGO
Más detallesAnálisis Matemático I: Numeros Reales y Complejos
Contents : Numeros Reales y Complejos Universidad de Murcia Curso 2008-2009 Contents 1 Definición axiomática de R Objetivos Definición axiomática de R Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente.
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesClase 1: Primalidad. Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló. P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 5: Teoría de números 1 / 32
Capítulo 5: Teoría de Números Clase 1: Primalidad Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 5: Teoría de números 1 / 32 Teoría de números En esta parte
Más detallesExpresiones regulares, gramáticas regulares
Expresiones regulares, gramáticas regulares Los LR en la jerarquía de Chomsky La clasificación de lenguajes en clases de lenguajes se debe a N. Chomsky, quien propuso una jerarquía de lenguajes, donde
Más detallesMatemáticas Universitarias
Matemáticas Universitarias 1 Sesión No. 5 Nombre: Desigualdades lineales, cuadráticas y valor absoluto Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante conocerá las características y métodos de
Más detalles5 Autómatas de pila 5.1 Descripción informal. 5.2 Definiciones
1 Curso Básico de Computación 5 Autómatas de pila 5.1 Descripción informal Un autómata de pila es esencialmente un autómata finito que controla una cinta de entrada provista de una cabeza de lectura y
Más detallesIntroducción. El uso de los símbolos en matemáticas.
Introducción El uso de los símbolos en matemáticas. En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre
Más detallesUnidad II. Conjuntos. 2.1 Características de los conjuntos.
Unidad II Conjuntos 2.1 Características de los conjuntos. Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y
Más detallesLógica proposicional. Ivan Olmos Pineda
Lógica proposicional Ivan Olmos Pineda Introducción Originalmente, la lógica trataba con argumentos en el lenguaje natural es el siguiente argumento válido? Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre
Más detallesIntroducción a los números reales
Grado en Matemáticas Curso 2010-2011 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 4 Objetivos Objetivos
Más detallesAlejandro Díaz-Caro. 16 de diciembre de 2007
(de André van Tonder [vt04]) Departamento de Ciencias de la Computación Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Universidad Nacional de Rosario 16 de diciembre de 2007 Contenido de la presentación
Más detallesUNIDAD 2. Logaritmos DEFINICION DE LOGARITMO. Definiciones:
Matemática UNIDAD. Logaritmos Medio GUÍA N 1 DEFINICION DE LOGARITMO Qué valor de x satisface la ecuación x = 7? Fácilmente podemos verificar que x = es una solución para esta ecuación, pues = 7. Pero
Más detallesMétodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Más detallesTema 2 Conceptos básicos de programación. Fundamentos de Informática
Tema 2 Conceptos básicos de programación Fundamentos de Informática Índice Metodología de la programación Programación estructurada 2 Pasos a seguir para el desarrollo de un programa (fases): Análisis
Más detallesNúmeros reales Conceptos básicos Algunas propiedades
Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que
Más detallesConjunto R 3 y operaciones lineales en R 3
Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Objetivos. Definir el conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las operaciones aritméticas en
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detalles2. El conjunto de los números complejos
Números complejos 1 Introducción El nacimiento de los números complejos se debió a la necesidad de dar solución a un problema: no todas las ecuaciones polinómicas poseen una solución real El ejemplo más
Más detallesTEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES
TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I En este tema comenzaremos el estudio de los objetos que nos interesarán en esta asignatura: los espacios vectoriales. Estos son estructuras básicas
Más detallesForma binomial de números complejos (ejercicios)
Forma binomial de números complejos (ejercicios) Objetivos. Mostrar que los números reales x se pueden identificar con números complejos de la forma (x, 0), y cada número complejo (x, y) se puede escribir
Más detallesParte II CALCULO DIFERENCIAL.
Parte II CALCULO DIFERENCIAL. 165 En esta parte veremos el Cálculo diferencial en forma precisa. 167 168 Capítulo 1 Axiomas Para los Números Reales. En este capítulo daremos las bases en las cuales se
Más detallesMateria: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer. Marco Teórico
Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer Marco Teórico El determinante se define de una manera aparentemente arbitraria, sin embargo, cuando se mira a la solución general de una matriz, el razonamiento
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesCapítulo 4. Lógica matemática. Continuar
Capítulo 4. Lógica matemática Continuar Introducción La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un teorema es falso o verdadero, además
Más detallesCURSO DE NIVELACIÓN EN QUÍMICA INTRODUCCIÓN A LA QUÍMICA
U.N.P.S.J.B. FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES SEDE TRELEW CURSO DE NIVELACIÓN EN QUÍMICA INTRODUCCIÓN A LA QUÍMICA AÑO 2016 Lic. Maite L. Domínguez Ing. Sebastián Polacco Ing. Ruth Salomón MEDICIONES Magnitud,
Más detallesPropiedades de las operaciones lineales con matrices
Propiedades de las operaciones lineales con matrices Ejercicios Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en M m n (R). Requisitos. Operaciones lineales en R n, definición
Más detallesLenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos
Lenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas C.P.S. Universidad de Zaragoza Última revisión: Febrero. 2004 11/02/2004 1 Índice Alfabetos, palabras y
Más detallesGrupos y Subgrupos El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G
Capítulo 1 Grupos y Subgrupos 001. El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G una operación interna en G para la cual denotaremos a la imagen de un par (x, y) mediante xy. Supongamos que
Más detallesSobre la Construcción Axiomática de los Números Naturales
Sobre la Construcción Axiomática de los Números Naturales Dr. Rafael Labarca Briones Profesor de Matemáticas. Universidad de Santiago de Chile. Charla dictadas en las EMALCAS de Arequipa, La Paz y Quito.
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 1: Lunes 11 Viernes 16 de Marzo. Contenidos
Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 1: Lunes 11 Viernes 16 de Marzo Complementos Contenidos Clase 1: Elementos de lógica: Conectivos, tablas de verdad, tautologías y contingencias.
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesInteligencia en Redes de Comunicaciones. Razonamiento lógico. Julio Villena Román.
Inteligencia en Redes de Comunicaciones Razonamiento lógico Julio Villena Román jvillena@it.uc3m.es Índice La programación lógica Lógica de predicados de primer orden Sistemas inferenciales IRC 2009 -
Más detallesAlgebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21
Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)
Más detallesMay 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN
May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p
Más detallesUNIDAD 8 INECUACIONES. Objetivo general.
8. 1 UNIDAD 8 INECUACIONES Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás inecuaciones lineales y cuadráticas e inecuaciones que incluyan valores absolutos, identificarás sus conjuntos solución en
Más detallesSumario: Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Capítulo 2: Lenguajes Formales. Capítulo 2: Lenguajes Formales
Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Capítulo 2: Lenguajes Formales Holger Billhardt holger.billhardt@urjc.es Sumario: Capítulo 2: Lenguajes Formales 1. Concepto de Lenguaje Formal 2. Operaciones sobre
Más detallesMATE IV Serie Álgebra 2015/01/26 NOMENCLATURA ALGEBRAICA
NOMENCLATURA ALGEBRAICA Definición (Término). Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Por ejemplo a, 3b, xy, son términos.
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesLenguajes No Regulares
Lenguajes No Regulares Problemas que los Autómatas No Resuelven. Universidad de Cantabria Esquema Lema del Bombeo 1 Lema del Bombeo 2 3 Introducción Todos los lenguajes no son regulares, simplemente hay
Más detallesConjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.
NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida
Más detallesEjercicios de Lógica Proposicional *
Ejercicios de Lógica Proposicional * FernandoRVelazquezQ@gmail.com Notación. El lenguaje proposicional que hemos definido, aquel que utiliza los cinco conectivos,,, y, se denota como L {,,,, }. Los términos
Más detallesIIC2213. IIC2213 Teorías 1 / 42
Teorías IIC2213 IIC2213 Teorías 1 / 42 Qué es una teoría? Una teoría es un cúmulo de información. Debe estar libre de contradicciones. Debe ser cerrada con respecto a lo que se puede deducir de ella. Inicialmente
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES AUTÓNOMAS Y ESTABILIDAD DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO Complemento sobre Ecuaciones Diferenciales para los cursos de Cálculo
ECUACIONES DIFERENCIALES AUTÓNOMAS Y ESTABILIDAD DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO Complemento sobre Ecuaciones Diferenciales para los cursos de Cálculo Eleonora Catsigeras * 17 de Noviembre 2013 Notas para
Más detalles13.3. MT para reconocer lenguajes
13.3. MT para reconocer lenguajes Gramática equivalente a una MT Sea M=(Γ,Σ,,Q,q 0,f,F) una Máquina de Turing. L(M) es el lenguaje aceptado por la máquina M. A partir de M se puede crear una gramática
Más detallesCapítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica
Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 1: Fundamentos:
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detallesTipos de datos en S. Lógica y Computabilidad. Codificación de variables y etiquetas de S. Codificación de programas en S
Tipos de datos en S Lógica y Computabilidad Verano 2011 Departamento de Computación - FCEyN - UBA Computabilidad - clase 5 Codificación de programas, Halting problem, diagonalización, tesis de Church,
Más detallesTEMA 1: SISTEMAS MODELADOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA QUÍMICA. CLASIFICACIÓN. GENERALIDADES.
TEMA 1: SISTEMAS MODELADOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA QUÍMICA. CLASIFICACIÓN. GENERALIDADES. 1. INTRODUCCIÓN. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EN INGENIERÍA QUÍMICA 2. PROBLEMAS EXPRESADOS MEDIANTE
Más detallesALGEBRA DE BOOLE George Boole C. E. Shannon E. V. Hungtington [6]
ALGEBRA DE BOOLE El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número de axiomas no probados o postulados.
Más detallesCurso de Inducción de Matemáticas
Curso de Inducción de Matemáticas CAPÍTULO 1 Funciones y sus gráficas M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO Programa del Curso 1. Funciones y sus gráficas. 2. Límites. 3. Cálculo Analítico de Límites. 4. Derivación.
Más detallesSlide 1 / 107. Resolviendo Ecuaciones
Slide 1 / 107 Resolviendo Ecuaciones Slide 2 / 107 Tabla de Contenidos Operaciones Inversas Ecuaciones de un paso Click on a topic to go to that section. Ecuaciones de dos pasos Ecuaciones de Multi-pasos
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesAnillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo
Capítulo 2 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo En el conjunto Z se ha visto cómo la relación ser congruente módulo m para un entero m > 1, es compatible con las operaciones suma y producto.
Más detallesMatriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases
Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Objetivos Definir la matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases y estudiar la representación matricial
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detalles2. SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO. Una señal puede ser definida como una portadora física de información. Por ejemplo,
2. SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO Una señal puede ser definida como una portadora física de información. Por ejemplo, las señales de audio son variaciones en la presión del aire llevando consigo
Más detallesInducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS. Números naturales. Inducción matemática
Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS Francisco Hernández Quiroz Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM E-mail: fhq@ciencias.unam.mx
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesAlgebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.
Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email:
Más detallesÓrdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple
Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko.
Más detallesTema 3.- Predicados y sentencias condicionales
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE CÓRDOBA DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Y ANÁLISIS NUMÉRICO PROGRAMACIÓN DECLARATIVA INGENIERÍA INFORMÁTICA ESPECIALIDAD DE COMPUTACIÓN CUARTO CURSO PRIMER
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesÁlgebra Lineal VII: Independencia Lineal.
Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx
Más detallesCIRCUITOS LÓGICOS. Lógica FCE 1. ALGEBRA DE BOOLE
Lógica FE IRUITOS LÓGIOS 1. LGER DE OOLE 1.1 Introducción Tanto la teoría de conjuntos como la lógica de enunciados tienen propiedades similares. Tales propiedades se utilizan para definir una estructura
Más detallesCaracterización de los números reales
Grado 11 Matematicas - Unidad 1 Operando en el conjunto de los números reales Tema Caracterización de los números reales Nombre: Curso: Breve historia de los reales A continuación se da una brevísima historia
Más detallesGUÍA BÁSICA DE SCHEME v.4
Esta guía básica pretende ser una introducción elemental al lenguaje de programación Scheme. Se presenta como una guía de comienzo rápido de tal forma que permita conocer de una forma muy esquemática los
Más detallesEl lenguaje C. 1. Identificadores, constantes y variables
Principios de Programación El lenguaje C 1. Identificadores, constantes y variables 1.1. Conceptos de memoria Los nombres de variable como x, y, suma corresponden a localizaciones o posiciones en la memoria
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesTEMA 3 ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
TEMA 3 ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN TEMA 3: Álgebra de Boole ÍNDICE. POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN 2. ÁLGEBRA DE BOOLE BIVALENTE O ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN 2. Teoremas del álgebra de conmutación 3. VARIABLES
Más detallesCAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS
TEORÍ DE ONJUNTOS 25 PÍTULO II TEORÍ DE ONJUNTOS 2.2 INTRODUIÓN Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, si un elemento p pertenece a un conjunto escribiremos
Más detallesOLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT. Teoría de Números. II Nivel I Eliminatoria
OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT Teoría de Números II Nivel I Eliminatoria Abril, 2015 Índice 1. Presentación 2 2. Temario 2 3. Divisibilidad 2 4. Algoritmo de
Más detallesCombinatoria Básica: Conteo
Capítulo III Combinatoria Básica: Conteo En este capítulo continuamos determinando la cardinalidad de varios conjuntos interesantes, en particular, permutaciones y combinaciones. Como parte de esto encontramos
Más detallesEl espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : 8. 1(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : n = {(x 1,x,, x n ) / x 1,x,, x n } A cada uno de los números reales x 1,x,, x n que conforman la
Más detallesDESARROLLO D) 4. para a = 1 y b = 2 (a 2 + b 2 )(2a 3b 2 ) es:
ENCUENTRO # 10 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. Multiplicación de polinomios. 2. Productos notables. DESARROLLO Ejercicio Reto x 2 1. Al racionalizar el denominador de la fracción 3 + se
Más detallesDOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Más detallesPrincipios de Computadoras II
Departamento de Ingeniería Electrónica y Computadoras Operadores y Expresiones rcoppo@uns.edu.ar Primer programa en Java 2 Comentarios en Java Comentario tradicional (multi-línea) Comentario de línea Comentario
Más detallesMatemáticas Aplicadas a los Negocios
LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:
Más detallesMétodo de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II)
Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas (Parte II) Métodos numéricos para sistemas lineales Solución numérica de EDPs requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA DE LOS COMPUTADORES I. TEMA 4 Algebra booleana y puertas lógicas
ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA DE LOS COMPUTADORES I TEMA 4 Algebra booleana y puertas lógicas TEMA 4. Algebra booleana y puertas lógicas 4.1 Definición de álgebra de Boole 4.2 Teoremas del álgebra de Boole 4.3
Más detallesLas operaciones aritméticas básicas en MATLAB son las más sencillas que se pueden
CAPÍTULO 5 TEMAS 5.1 Aritmética 5.1.1 Variables y Operaciones Básicas Las operaciones aritméticas básicas en MATLAB son las más sencillas que se pueden realizar en este programa. Si asignamos valores a
Más detallesTema 6: Teoría Semántica
Tema 6: Teoría Semántica Sintáxis Lenguaje de de las las proposiciones Lenguaje de de los los predicados Semántica Valores Valores de de verdad verdad Tablas Tablas de de verdad verdad Tautologías Satisfacibilidad
Más detallesCapítulo 4. Inecuaciones. M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática
1 Capítulo 4 Inecuaciones M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
Más detallesConectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática II Año PAI VII Grado
Actualizado en febrero del 2013 Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática II Año PAI VII Grado CONTENIDOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS HABILIDADES CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesax 2 + bx + c = 0, con a 0
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: a + bx + c = 0, con a 0 1. Identificación de coeficientes: Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta
Más detallesOperaciones con monomios y polinomios
Operaciones con monomios y polinomios Para las operaciones algebraicas se debe de tener en cuenta que existen dos formas para representar cantidades las cuales son números o letras. Al representar una
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS
NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN La ecuación x + 1 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales R ya que no existe un número real x tal que x 1. Necesitamos un conjunto que contenga a R, que
Más detalles