El Universo a gran escala como un movimiento armónico

Transcripción

1 El Universo a gran escala como un movimiento armónico Juan J. Salamanca Departamento de Matemáticas Universidad de Córdoba Córdoba jjsalamanca@uco.es J.J. Salamanca (U. Córdoba) 1 / 46

2 Índice 1 Relatividad Especial 2 Notas de Geometría Riemanniana 3 Fundamentos de la Relatividad General 4 Solución material dust 5 Tests a la Relatividad General J.J. Salamanca (U. Córdoba) 2 / 46

3 Índice 1 Relatividad Especial 2 Notas de Geometría Riemanniana 3 Fundamentos de la Relatividad General 4 Solución material dust 5 Tests a la Relatividad General J.J. Salamanca (U. Córdoba) 3 / 46

4 Antecedentes a Einstein A principios del siglo XX la Mecánica de Newton presenta algunos problemas teóricos y experimentales: Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes frente al grupo de transformaciones de dicha Mecánica. Experimentos de Michelson-Morley sugieren la constancia de la velocidad de la luz para cualquier observador. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 4 / 46

5 Postulados de Einstein para la Relatividad Especial Einstein propone dos postulados donde basar una nueva Mecánica, Principio de Relatividad: las leyes de la Mecánica y el Electromagnetismo deben de ser iguales para todo sistema inercial. La velocidad de la luz, c, es constante Tomaremos unidades donde c = 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 5 / 46

6 Postulados de Einstein para la Relatividad Especial Einstein propone dos postulados donde basar una nueva Mecánica, Principio de Relatividad: las leyes de la Mecánica y el Electromagnetismo deben de ser iguales para todo sistema inercial. La velocidad de la luz, c, es constante Tomaremos unidades donde c = 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 5 / 46

7 Postulados de Einstein para la Relatividad Especial Einstein propone dos postulados donde basar una nueva Mecánica, Principio de Relatividad: las leyes de la Mecánica y el Electromagnetismo deben de ser iguales para todo sistema inercial. La velocidad de la luz, c, es constante Tomaremos unidades donde c = 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 5 / 46

8 Postulados de Einstein para la Relatividad Especial Einstein propone dos postulados donde basar una nueva Mecánica, Principio de Relatividad: las leyes de la Mecánica y el Electromagnetismo deben de ser iguales para todo sistema inercial. La velocidad de la luz, c, es constante Tomaremos unidades donde c = 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 5 / 46

9 Un nuevo escenario Esta nueva teoría se desarrolla en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski: L 4 = R R 3, g = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2. Notemos que posee estructura de espacio vectorial. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 6 / 46

10 Un nuevo escenario Esta nueva teoría se desarrolla en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski: L 4 = R R 3, g = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2. Notemos que posee estructura de espacio vectorial. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 6 / 46

11 Un vector v L 4 puede ser: espacial, si g(v, v) 0. luminoso, si g(v, v) = 0 y v 0. temporal, si g(v, v) < 0. causal = luminoso ó temporal. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 7 / 46

12 Un observador instantáneo consiste en un par (p, Z), con p L 4 y Z un vector unitario temporal futuro. Un observador inercial es una recta parametrizada por arco cuyo vector tangente es temporal futuro. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 8 / 46

13 Un observador instantáneo consiste en un par (p, Z), con p L 4 y Z un vector unitario temporal futuro. Un observador inercial es una recta parametrizada por arco cuyo vector tangente es temporal futuro. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 8 / 46

14 Un observador instantáneo consiste en un par (p, Z), con p L 4 y Z un vector unitario temporal futuro. Un observador inercial es una recta parametrizada por arco cuyo vector tangente es temporal futuro. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 8 / 46

15 Una partícula de masa m R + es una curva cuyo vector tangente T en todo punto apunta al futuro y satisface g(t, T ) = m 2. Una partícula luminosa es una curva cuyo vector tangente T es luminoso y apunta al futuro. Para cada punto de la trayectoria de una partícula, un observador instantáneo Z situado allí observa con respecto a él una energía e y una velocidad (Newtoniana) relativa V de dicha partícula en ese instante dadas por: T = e (Z + V ) con g(z, V ) = 0. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 9 / 46

16 Una partícula de masa m R + es una curva cuyo vector tangente T en todo punto apunta al futuro y satisface g(t, T ) = m 2. Una partícula luminosa es una curva cuyo vector tangente T es luminoso y apunta al futuro. Para cada punto de la trayectoria de una partícula, un observador instantáneo Z situado allí observa con respecto a él una energía e y una velocidad (Newtoniana) relativa V de dicha partícula en ese instante dadas por: T = e (Z + V ) con g(z, V ) = 0. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 9 / 46

17 Una partícula de masa m R + es una curva cuyo vector tangente T en todo punto apunta al futuro y satisface g(t, T ) = m 2. Una partícula luminosa es una curva cuyo vector tangente T es luminoso y apunta al futuro. Para cada punto de la trayectoria de una partícula, un observador instantáneo Z situado allí observa con respecto a él una energía e y una velocidad (Newtoniana) relativa V de dicha partícula en ese instante dadas por: T = e (Z + V ) con g(z, V ) = 0. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 9 / 46

18 Una partícula de masa m R + es una curva cuyo vector tangente T en todo punto apunta al futuro y satisface g(t, T ) = m 2. Una partícula luminosa es una curva cuyo vector tangente T es luminoso y apunta al futuro. Para cada punto de la trayectoria de una partícula, un observador instantáneo Z situado allí observa con respecto a él una energía e y una velocidad (Newtoniana) relativa V de dicha partícula en ese instante dadas por: T = e (Z + V ) con g(z, V ) = 0. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 9 / 46

19 Para una partícula de masa m 0, tomando normas: e = m 1 V 2. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 10 / 46

20 Efectos relativistas Se recupera la Mecánica de Newton para V << c. Sin embargo, numerosos conceptos de allí han de ser revisados, y surgen otros nuevos: Simultaneidad Contracción espacial Dilatación temporal J.J. Salamanca (U. Córdoba) 11 / 46

21 Efectos relativistas Se recupera la Mecánica de Newton para V << c. Sin embargo, numerosos conceptos de allí han de ser revisados, y surgen otros nuevos: Simultaneidad Contracción espacial Dilatación temporal J.J. Salamanca (U. Córdoba) 11 / 46

22 Índice 1 Relatividad Especial 2 Notas de Geometría Riemanniana 3 Fundamentos de la Relatividad General 4 Solución material dust 5 Tests a la Relatividad General J.J. Salamanca (U. Córdoba) 12 / 46

23 Sea M n una variedad diferenciable, esto es, un objeto geométrico que, localmente, es R n, y que le dotaremos de un tensor 2-covariante no degenerado llamado métrica. Tomaremos M = R 4 * El tensor métrico permite calcular longitudes, área, volúmenes, etc. * Otras construcciones pueden ser R R 2 S 1, o R S 1 S 1 S 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 13 / 46

24 Sea M n una variedad diferenciable, esto es, un objeto geométrico que, localmente, es R n, y que le dotaremos de un tensor 2-covariante no degenerado llamado métrica. Tomaremos M = R 4 * El tensor métrico permite calcular longitudes, área, volúmenes, etc. * Otras construcciones pueden ser R R 2 S 1, o R S 1 S 1 S 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 13 / 46

25 Sea M n una variedad diferenciable, esto es, un objeto geométrico que, localmente, es R n, y que le dotaremos de un tensor 2-covariante no degenerado llamado métrica. Tomaremos M = R 4 * El tensor métrico permite calcular longitudes, área, volúmenes, etc. * Otras construcciones pueden ser R R 2 S 1, o R S 1 S 1 S 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 13 / 46

26 Sea M n una variedad diferenciable, esto es, un objeto geométrico que, localmente, es R n, y que le dotaremos de un tensor 2-covariante no degenerado llamado métrica. Tomaremos M = R 4 * El tensor métrico permite calcular longitudes, área, volúmenes, etc. * Otras construcciones pueden ser R R 2 S 1, o R S 1 S 1 S 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 13 / 46

27 Sea M n una variedad diferenciable, esto es, un objeto geométrico que, localmente, es R n, y que le dotaremos de un tensor 2-covariante no degenerado llamado métrica. Tomaremos M = R 4 * El tensor métrico permite calcular longitudes, área, volúmenes, etc. * Otras construcciones pueden ser R R 2 S 1, o R S 1 S 1 S 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 13 / 46

28 Sea M n una variedad diferenciable, esto es, un objeto geométrico que, localmente, es R n, y que le dotaremos de un tensor 2-covariante no degenerado llamado métrica. Tomaremos M = R 4 * El tensor métrico permite calcular longitudes, área, volúmenes, etc. * Otras construcciones pueden ser R R 2 S 1, o R S 1 S 1 S 1. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 13 / 46

29 En cada punto p de la variedad R 4 existe una versión infinitesimal de la misma, el espacio tangente, que consiste en el espacio vectorial R 4 dotado de producto interior g(p). Cada elemento de este espacio tangente es un vector tangente en p. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 14 / 46

30 En cada punto p de la variedad R 4 existe una versión infinitesimal de la misma, el espacio tangente, que consiste en el espacio vectorial R 4 dotado de producto interior g(p). Cada elemento de este espacio tangente es un vector tangente en p. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 14 / 46

31 Un campo vectorial es una asignación diferenciable que asocia a cada punto de la variedad un vector de su espacio tangente. Sobre un espacio vectorial V, un tensor T de tipo (r, s) es una aplicación multilineal donde V es el dual de V. T : } V {{... V } } V {{ V } R, r s Un campo tensorial de tipo (r, s) es una asignación diferenciable que asocia a cada punto de la variedad un tensor de tipo (r, s) (que se construye sobre el espacio tangente en cada punto). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 15 / 46

32 Un campo vectorial es una asignación diferenciable que asocia a cada punto de la variedad un vector de su espacio tangente. Sobre un espacio vectorial V, un tensor T de tipo (r, s) es una aplicación multilineal donde V es el dual de V. T : } V {{... V } } V {{ V } R, r s Un campo tensorial de tipo (r, s) es una asignación diferenciable que asocia a cada punto de la variedad un tensor de tipo (r, s) (que se construye sobre el espacio tangente en cada punto). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 15 / 46

33 Un campo vectorial es una asignación diferenciable que asocia a cada punto de la variedad un vector de su espacio tangente. Sobre un espacio vectorial V, un tensor T de tipo (r, s) es una aplicación multilineal donde V es el dual de V. T : } V {{... V } } V {{ V } R, r s Un campo tensorial de tipo (r, s) es una asignación diferenciable que asocia a cada punto de la variedad un tensor de tipo (r, s) (que se construye sobre el espacio tangente en cada punto). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 15 / 46

34 La curvatura de una variedad viene descrita por el tensor de curvatura de Riemann, R, R(X, Y, Z, ω) := ω ( Y X Z X Y Z + [X,Y ] Z ). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 16 / 46

35 Sin embargo, el tensor anterior demasiada información. Una contracción provee el tensor de Ricci, Ric := C 4 1 R. El tensor de Ricci puede ser contraído métricamente para obtener la curvatura escalar, S, S := n ɛ i Ric(E i, E i ). i=1 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 17 / 46

36 Sin embargo, el tensor anterior demasiada información. Una contracción provee el tensor de Ricci, Ric := C 4 1 R. El tensor de Ricci puede ser contraído métricamente para obtener la curvatura escalar, S, S := n ɛ i Ric(E i, E i ). i=1 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 17 / 46

37 Sin embargo, el tensor anterior demasiada información. Una contracción provee el tensor de Ricci, Ric := C 4 1 R. El tensor de Ricci puede ser contraído métricamente para obtener la curvatura escalar, S, S := n ɛ i Ric(E i, E i ). i=1 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 17 / 46

38 Índice 1 Relatividad Especial 2 Notas de Geometría Riemanniana 3 Fundamentos de la Relatividad General 4 Solución material dust 5 Tests a la Relatividad General J.J. Salamanca (U. Córdoba) 18 / 46

39 Cimentando la Relatividad General La Relatividad Especial no puede describir la iteracción gravitatoria. La gravedad queda codificada en elementos geométricos del espaciotiempo, que deja de ser L 4. Espaciotiempo: Variedad diferenciable 4-dimensional dotada de métrica Lorentziana (signatura ( + ++)). El Principio de Relatividad debe de ser extendido: todas las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores inerciales. Son aquellos que siguen geodésicas. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 19 / 46

40 Cimentando la Relatividad General La Relatividad Especial no puede describir la iteracción gravitatoria. La gravedad queda codificada en elementos geométricos del espaciotiempo, que deja de ser L 4. Espaciotiempo: Variedad diferenciable 4-dimensional dotada de métrica Lorentziana (signatura ( + ++)). El Principio de Relatividad debe de ser extendido: todas las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores inerciales. Son aquellos que siguen geodésicas. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 19 / 46

41 Cimentando la Relatividad General La Relatividad Especial no puede describir la iteracción gravitatoria. La gravedad queda codificada en elementos geométricos del espaciotiempo, que deja de ser L 4. Espaciotiempo: Variedad diferenciable 4-dimensional dotada de métrica Lorentziana (signatura ( + ++)). El Principio de Relatividad debe de ser extendido: todas las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores inerciales. Son aquellos que siguen geodésicas. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 19 / 46

42 Cimentando la Relatividad General La Relatividad Especial no puede describir la iteracción gravitatoria. La gravedad queda codificada en elementos geométricos del espaciotiempo, que deja de ser L 4. Espaciotiempo: Variedad diferenciable 4-dimensional dotada de métrica Lorentziana (signatura ( + ++)). El Principio de Relatividad debe de ser extendido: todas las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores inerciales. Son aquellos que siguen geodésicas. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 19 / 46

43 Cimentando la Relatividad General La Relatividad Especial no puede describir la iteracción gravitatoria. La gravedad queda codificada en elementos geométricos del espaciotiempo, que deja de ser L 4. Espaciotiempo: Variedad diferenciable 4-dimensional dotada de métrica Lorentziana (signatura ( + ++)). El Principio de Relatividad debe de ser extendido: todas las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores inerciales. Son aquellos que siguen geodésicas. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 19 / 46

44 Un observador instantáneo es un vector tangente unitario temporal en un punto de un espaciotiempo. Una curva (en un espaciotiempo) se dice que es temporal, luminosa o espacial, si su vector tangente es temporal, luminoso o espacial, respectivamente. Una partícula de masa m R + (resp. partícula luminosa) es una curva γ, temporal (resp. luminosa), apuntando al futuro tal que su vector tangente γ satisface g(γ, γ ) = m 2 (resp. g(γ, γ ) = 0). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 20 / 46

45 Un observador instantáneo es un vector tangente unitario temporal en un punto de un espaciotiempo. Una curva (en un espaciotiempo) se dice que es temporal, luminosa o espacial, si su vector tangente es temporal, luminoso o espacial, respectivamente. Una partícula de masa m R + (resp. partícula luminosa) es una curva γ, temporal (resp. luminosa), apuntando al futuro tal que su vector tangente γ satisface g(γ, γ ) = m 2 (resp. g(γ, γ ) = 0). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 20 / 46

46 Un observador instantáneo es un vector tangente unitario temporal en un punto de un espaciotiempo. Una curva (en un espaciotiempo) se dice que es temporal, luminosa o espacial, si su vector tangente es temporal, luminoso o espacial, respectivamente. Una partícula de masa m R + (resp. partícula luminosa) es una curva γ, temporal (resp. luminosa), apuntando al futuro tal que su vector tangente γ satisface g(γ, γ ) = m 2 (resp. g(γ, γ ) = 0). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 20 / 46

47 Una curva γ se llama geodésica si no presenta aceleración γ γ = 0. Un observador (resp. partícula) en caída libre es una geodésica γ tal que g(γ, γ ) = 1 (resp. = m 2 ). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 21 / 46

48 Una curva γ se llama geodésica si no presenta aceleración γ γ = 0. Un observador (resp. partícula) en caída libre es una geodésica γ tal que g(γ, γ ) = 1 (resp. = m 2 ). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 21 / 46

49 Tensor impulso-energía I El contenido físico de un espaciotiempo (materia, energía, campo electromagnético,... ) viene descrito por el tensor impulso-energía, T. Tomemos un sistema de coordenadas local {x 0, x 1, x 2, x 3 } con g 00 < 0. Entonces, en un punto p, e 0 p es un observador instantáneo, O. Entonces, en p, O observa una densidad de energía dada por T 00. densidad de momento T 0i, i = 1, 2, 3. presiones T ii, i = 1, 2, 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 22 / 46

50 Tensor impulso-energía I El contenido físico de un espaciotiempo (materia, energía, campo electromagnético,... ) viene descrito por el tensor impulso-energía, T. Tomemos un sistema de coordenadas local {x 0, x 1, x 2, x 3 } con g 00 < 0. Entonces, en un punto p, e 0 p es un observador instantáneo, O. Entonces, en p, O observa una densidad de energía dada por T 00. densidad de momento T 0i, i = 1, 2, 3. presiones T ii, i = 1, 2, 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 22 / 46

51 Tensor impulso-energía I El contenido físico de un espaciotiempo (materia, energía, campo electromagnético,... ) viene descrito por el tensor impulso-energía, T. Tomemos un sistema de coordenadas local {x 0, x 1, x 2, x 3 } con g 00 < 0. Entonces, en un punto p, e 0 p es un observador instantáneo, O. Entonces, en p, O observa una densidad de energía dada por T 00. densidad de momento T 0i, i = 1, 2, 3. presiones T ii, i = 1, 2, 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 22 / 46

52 Tensor impulso-energía I El contenido físico de un espaciotiempo (materia, energía, campo electromagnético,... ) viene descrito por el tensor impulso-energía, T. Tomemos un sistema de coordenadas local {x 0, x 1, x 2, x 3 } con g 00 < 0. Entonces, en un punto p, e 0 p es un observador instantáneo, O. Entonces, en p, O observa una densidad de energía dada por T 00. densidad de momento T 0i, i = 1, 2, 3. presiones T ii, i = 1, 2, 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 22 / 46

53 Tensor impulso-energía II Un fluido perfecto es un contenido material en un espaciotiempo (R 4, g) que se mueve mediante una tetravelocidad U, tiene una densidad de energía ρ y una presión isótropa. Su tensor impulso-energía debe de presentar la forma T = (ρ + p)u U + pg. Dicho fluido es no viscoso. El caso p = 0 se llama dust (nube de polvo, en español). Las curvas integrales de U representan líneas de universo moléculas-galaxia. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 23 / 46

54 Tensor impulso-energía II Un fluido perfecto es un contenido material en un espaciotiempo (R 4, g) que se mueve mediante una tetravelocidad U, tiene una densidad de energía ρ y una presión isótropa. Su tensor impulso-energía debe de presentar la forma T = (ρ + p)u U + pg. Dicho fluido es no viscoso. El caso p = 0 se llama dust (nube de polvo, en español). Las curvas integrales de U representan líneas de universo moléculas-galaxia. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 23 / 46

55 Tensor impulso-energía II Un fluido perfecto es un contenido material en un espaciotiempo (R 4, g) que se mueve mediante una tetravelocidad U, tiene una densidad de energía ρ y una presión isótropa. Su tensor impulso-energía debe de presentar la forma T = (ρ + p)u U + pg. Dicho fluido es no viscoso. El caso p = 0 se llama dust (nube de polvo, en español). Las curvas integrales de U representan líneas de universo moléculas-galaxia. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 23 / 46

56 Tensor impulso-energía II Un fluido perfecto es un contenido material en un espaciotiempo (R 4, g) que se mueve mediante una tetravelocidad U, tiene una densidad de energía ρ y una presión isótropa. Su tensor impulso-energía debe de presentar la forma T = (ρ + p)u U + pg. Dicho fluido es no viscoso. El caso p = 0 se llama dust (nube de polvo, en español). Las curvas integrales de U representan líneas de universo moléculas-galaxia. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 23 / 46

57 Tensor impulso-energía II Un fluido perfecto es un contenido material en un espaciotiempo (R 4, g) que se mueve mediante una tetravelocidad U, tiene una densidad de energía ρ y una presión isótropa. Su tensor impulso-energía debe de presentar la forma T = (ρ + p)u U + pg. Dicho fluido es no viscoso. El caso p = 0 se llama dust (nube de polvo, en español). Las curvas integrales de U representan líneas de universo moléculas-galaxia. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 23 / 46

58 Tensor impulso-energía III El tensor impulso energía asociado al campo electromagnético en un espaciotiempo (R 4, g): si F es el tensor electromagnético, entonces, T µν = F µα F α ν 1 4 F αβ F αβ g µν. Obsérvese que T 00 es la energía electromagnética y los T 0i conforman el vector de Poynting E B. Nota.- Las ecuaciones de Maxwell se escriben en términos de formas diferenciales: df = 0 y d F = J, donde J es la densidad de corriente. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 24 / 46

59 Tensor impulso-energía III El tensor impulso energía asociado al campo electromagnético en un espaciotiempo (R 4, g): si F es el tensor electromagnético, entonces, T µν = F µα F α ν 1 4 F αβ F αβ g µν. Obsérvese que T 00 es la energía electromagnética y los T 0i conforman el vector de Poynting E B. Nota.- Las ecuaciones de Maxwell se escriben en términos de formas diferenciales: df = 0 y d F = J, donde J es la densidad de corriente. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 24 / 46

60 Tensor impulso-energía III El tensor impulso energía asociado al campo electromagnético en un espaciotiempo (R 4, g): si F es el tensor electromagnético, entonces, T µν = F µα F α ν 1 4 F αβ F αβ g µν. Obsérvese que T 00 es la energía electromagnética y los T 0i conforman el vector de Poynting E B. Nota.- Las ecuaciones de Maxwell se escriben en términos de formas diferenciales: df = 0 y d F = J, donde J es la densidad de corriente. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 24 / 46

61 Tensor impulso-energía III El tensor impulso energía asociado al campo electromagnético en un espaciotiempo (R 4, g): si F es el tensor electromagnético, entonces, T µν = F µα F α ν 1 4 F αβ F αβ g µν. Obsérvese que T 00 es la energía electromagnética y los T 0i conforman el vector de Poynting E B. Nota.- Las ecuaciones de Maxwell se escriben en términos de formas diferenciales: df = 0 y d F = J, donde J es la densidad de corriente. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 24 / 46

62 Tensor impulso-energía III El tensor impulso energía asociado al campo electromagnético en un espaciotiempo (R 4, g): si F es el tensor electromagnético, entonces, T µν = F µα F α ν 1 4 F αβ F αβ g µν. Obsérvese que T 00 es la energía electromagnética y los T 0i conforman el vector de Poynting E B. Nota.- Las ecuaciones de Maxwell se escriben en términos de formas diferenciales: df = 0 y d F = J, donde J es la densidad de corriente. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 24 / 46

63 Ecuaciones de Einstein Las ecuaciones de campo de Einstein para la Relatividad General vienen dadas por un espaciotiempo (M, g) que satisface Ric 1 Sg = 8πT. 2 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 25 / 46

64 Algunas soluciones de vacío I El caso de vacío corresponde a T = 0, equivalentemente Ric = 0. Una solución es el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski L 4. Existen otras soluciones de vacío interesantes? J.J. Salamanca (U. Córdoba) 26 / 46

65 Algunas soluciones de vacío I El caso de vacío corresponde a T = 0, equivalentemente Ric = 0. Una solución es el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski L 4. Existen otras soluciones de vacío interesantes? J.J. Salamanca (U. Córdoba) 26 / 46

66 Algunas soluciones de vacío I El caso de vacío corresponde a T = 0, equivalentemente Ric = 0. Una solución es el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski L 4. Existen otras soluciones de vacío interesantes? J.J. Salamanca (U. Córdoba) 26 / 46

67 Algunas soluciones de vacío I El caso de vacío corresponde a T = 0, equivalentemente Ric = 0. Una solución es el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski L 4. Existen otras soluciones de vacío interesantes? J.J. Salamanca (U. Córdoba) 26 / 46

68 Algunas soluciones de vacío II Otra solución muy conocida es el espaciotiempo de Schwarzschild, ( g = 1 2m r ) ( dt m r ) 1 dr 2 + r 2 g S2, donde M es una constante positiva. Este espaciotiempo modela el exterior de una estrella sin rotación. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 27 / 46

69 Algunas soluciones de vacío II Otra solución muy conocida es el espaciotiempo de Schwarzschild, ( g = 1 2m r ) ( dt m r ) 1 dr 2 + r 2 g S2, donde M es una constante positiva. Este espaciotiempo modela el exterior de una estrella sin rotación. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 27 / 46

70 Índice 1 Relatividad Especial 2 Notas de Geometría Riemanniana 3 Fundamentos de la Relatividad General 4 Solución material dust 5 Tests a la Relatividad General J.J. Salamanca (U. Córdoba) 28 / 46

71 Hipótesis físicas sobre el modelo Modelaremos el espaciotiempo por el producto de un intervalo de la recta real I (con coordenada t) con una variedad N: (I N, g). Tomaremos el campo de velocidades U por t, siendo comóviles con dicho fluido. Por un lado g(u, U) = 1. Por otro lado, la isotropía conduce a que g N tiene curvatura constante para cada t = const. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 29 / 46

72 Hipótesis físicas sobre el modelo Modelaremos el espaciotiempo por el producto de un intervalo de la recta real I (con coordenada t) con una variedad N: (I N, g). Tomaremos el campo de velocidades U por t, siendo comóviles con dicho fluido. Por un lado g(u, U) = 1. Por otro lado, la isotropía conduce a que g N tiene curvatura constante para cada t = const. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 29 / 46

73 Hipótesis físicas sobre el modelo Modelaremos el espaciotiempo por el producto de un intervalo de la recta real I (con coordenada t) con una variedad N: (I N, g). Tomaremos el campo de velocidades U por t, siendo comóviles con dicho fluido. Por un lado g(u, U) = 1. Por otro lado, la isotropía conduce a que g N tiene curvatura constante para cada t = const. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 29 / 46

74 Hipótesis físicas sobre el modelo Modelaremos el espaciotiempo por el producto de un intervalo de la recta real I (con coordenada t) con una variedad N: (I N, g). Tomaremos el campo de velocidades U por t, siendo comóviles con dicho fluido. Por un lado g(u, U) = 1. Por otro lado, la isotropía conduce a que g N tiene curvatura constante para cada t = const. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 29 / 46

75 Espaciotiempos de Robertson-Walker Definición Sea (S, g k ) una variedad 3-dimensional de curvatura seccional constante k, y f > 0 una función sobre un intervalo de la recta real I. Entonces se define el espaciotiempo de Robertson-Walker como I N, g = dt 2 + f(t) 2 g k. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 30 / 46

76 Fluidos perfectos en Robertson-Walker Proposición Si un espaciotiempo de Robserton-Walker (I N, dt 2 + f(t)g k ) satisface la ecuación de Einstein para un fluido perfecto con densidad de energía ρ y presión p, entonces Es más, se tiene también 8 3 πρ = ( f f ) 2 + k f 2, 8πp = 2 f ( ) f 2 f + + k f f 2. ρ = 3(ρ + p) f f. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 31 / 46

77 Fluidos perfectos en Robertson-Walker Proposición Si un espaciotiempo de Robserton-Walker (I N, dt 2 + f(t)g k ) satisface la ecuación de Einstein para un fluido perfecto con densidad de energía ρ y presión p, entonces Es más, se tiene también 8 3 πρ = ( f f ) 2 + k f 2, 8πp = 2 f ( ) f 2 f + + k f f 2. ρ = 3(ρ + p) f f. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 31 / 46

78 Modelos de Friedmann I Para el caso p = 0, la proposición anterior implica que ρf 3 = 3A 8π, una constante positiva, y además f 2 + k = A f. La ecuación anterior puede ser resuelta. Tomando como modelos k = 1, 0, 1, se tiene k = 1: t = 1 2 A(sinh s s) f = 1 2A(cosh s 1), s > 0. k = 0: f = (9A/4) 1/3 t 2/3. k = 1: t = 1 2 A(s sin s) f = 1 2A(1 cos s), s (0, 2π). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 32 / 46

79 Modelos de Friedmann I Para el caso p = 0, la proposición anterior implica que ρf 3 = 3A 8π, una constante positiva, y además f 2 + k = A f. La ecuación anterior puede ser resuelta. Tomando como modelos k = 1, 0, 1, se tiene k = 1: t = 1 2 A(sinh s s) f = 1 2A(cosh s 1), s > 0. k = 0: f = (9A/4) 1/3 t 2/3. k = 1: t = 1 2 A(s sin s) f = 1 2A(1 cos s), s (0, 2π). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 32 / 46

80 Modelos de Friedmann I Para el caso p = 0, la proposición anterior implica que ρf 3 = 3A 8π, una constante positiva, y además f 2 + k = A f. La ecuación anterior puede ser resuelta. Tomando como modelos k = 1, 0, 1, se tiene k = 1: t = 1 2 A(sinh s s) f = 1 2A(cosh s 1), s > 0. k = 0: f = (9A/4) 1/3 t 2/3. k = 1: t = 1 2 A(s sin s) f = 1 2A(1 cos s), s (0, 2π). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 32 / 46

81 Modelos de Friedmann I Para el caso p = 0, la proposición anterior implica que ρf 3 = 3A 8π, una constante positiva, y además f 2 + k = A f. La ecuación anterior puede ser resuelta. Tomando como modelos k = 1, 0, 1, se tiene k = 1: t = 1 2 A(sinh s s) f = 1 2A(cosh s 1), s > 0. k = 0: f = (9A/4) 1/3 t 2/3. k = 1: t = 1 2 A(s sin s) f = 1 2A(1 cos s), s (0, 2π). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 32 / 46

82 Modelos de Friedmann I Para el caso p = 0, la proposición anterior implica que ρf 3 = 3A 8π, una constante positiva, y además f 2 + k = A f. La ecuación anterior puede ser resuelta. Tomando como modelos k = 1, 0, 1, se tiene k = 1: t = 1 2 A(sinh s s) f = 1 2A(cosh s 1), s > 0. k = 0: f = (9A/4) 1/3 t 2/3. k = 1: t = 1 2 A(s sin s) f = 1 2A(1 cos s), s (0, 2π). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 32 / 46

83 Modelos de Friedmann II J.J. Salamanca (U. Córdoba) 33 / 46

84 Solución como movimiento armónico I Consideremos nuevas coordenadas. En el espaciotiempo de Robertson-Walker tomemos X = f (n 2)/2 y θ = t ds/f(s). De esta manera, la métrica del espaciotiempo se escribe * g = X 4/(n 2) (θ) { dθ 2 + g F }. * J.J. Salamanca, R.M. Rubio. The Friedmann cosmological models revisited as an harmonic motion and new exact solutions, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics (2014). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 34 / 46

85 Solución como movimiento armónico I Consideremos nuevas coordenadas. En el espaciotiempo de Robertson-Walker tomemos X = f (n 2)/2 y θ = t ds/f(s). De esta manera, la métrica del espaciotiempo se escribe * g = X 4/(n 2) (θ) { dθ 2 + g F }. * J.J. Salamanca, R.M. Rubio. The Friedmann cosmological models revisited as an harmonic motion and new exact solutions, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics (2014). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 34 / 46

86 Solución como movimiento armónico I Consideremos nuevas coordenadas. En el espaciotiempo de Robertson-Walker tomemos X = f (n 2)/2 y θ = t ds/f(s). De esta manera, la métrica del espaciotiempo se escribe * g = X 4/(n 2) (θ) { dθ 2 + g F }. * J.J. Salamanca, R.M. Rubio. The Friedmann cosmological models revisited as an harmonic motion and new exact solutions, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics (2014). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 34 / 46

87 Solución como movimiento armónico I Consideremos nuevas coordenadas. En el espaciotiempo de Robertson-Walker tomemos X = f (n 2)/2 y θ = t ds/f(s). De esta manera, la métrica del espaciotiempo se escribe * g = X 4/(n 2) (θ) { dθ 2 + g F }. * J.J. Salamanca, R.M. Rubio. The Friedmann cosmological models revisited as an harmonic motion and new exact solutions, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics (2014). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 34 / 46

88 Solución como movimiento armónico II Para el caso dust, las ecuaciones de Einstein conducen a: M = kx (n 2) 2 ( ) dx 2, dθ d 2 X dθ 2 = (n 2)2 k X. 4 Hemos reducido el problema a las ecuaciones de un movimiento armónico, para n 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 35 / 46

89 Solución como movimiento armónico II Para el caso dust, las ecuaciones de Einstein conducen a: M = kx (n 2) 2 ( ) dx 2, dθ d 2 X dθ 2 = (n 2)2 k X. 4 Hemos reducido el problema a las ecuaciones de un movimiento armónico, para n 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 35 / 46

90 Solución como movimiento armónico II Para el caso dust, las ecuaciones de Einstein conducen a: M = kx (n 2) 2 ( ) dx 2, dθ d 2 X dθ 2 = (n 2)2 k X. 4 Hemos reducido el problema a las ecuaciones de un movimiento armónico, para n 3. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 35 / 46

91 Dust en movimiento Escribamos el espacio hiperbólico como g H n (k) = dx 2 + e k x g R n 1. El campo θ representa ahora la familia de observadores inerciales que percibe tal movimiento relativo, luego U deja de ser proporcional a t. La solución es g V = A { dθ 2 + dx 2 + e x (x+v θ)/ } 1 V 2 g R n 1, con A = ( ( M k sinh (n 2) k 2 )) 4/(n 2) θ + V x. 1 V 2 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 36 / 46

92 Dust en movimiento Escribamos el espacio hiperbólico como g H n (k) = dx 2 + e k x g R n 1. El campo θ representa ahora la familia de observadores inerciales que percibe tal movimiento relativo, luego U deja de ser proporcional a t. La solución es g V = A { dθ 2 + dx 2 + e x (x+v θ)/ } 1 V 2 g R n 1, con A = ( ( M k sinh (n 2) k 2 )) 4/(n 2) θ + V x. 1 V 2 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 36 / 46

93 Dust en movimiento Escribamos el espacio hiperbólico como g H n (k) = dx 2 + e k x g R n 1. El campo θ representa ahora la familia de observadores inerciales que percibe tal movimiento relativo, luego U deja de ser proporcional a t. La solución es g V = A { dθ 2 + dx 2 + e x (x+v θ)/ } 1 V 2 g R n 1, con A = ( ( M k sinh (n 2) k 2 )) 4/(n 2) θ + V x. 1 V 2 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 36 / 46

94 Soluciones con presión También se puede dar una expresión analítica del espaciotiempo cuando la presión existente es no nula. De hecho, conociendo la relación entre la presión y la densidad, se puede llegar a una ecuación de movimiento. Resolviendo esta ecuación se puede describir el espaciotiempo. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 37 / 46

95 Soluciones con presión También se puede dar una expresión analítica del espaciotiempo cuando la presión existente es no nula. De hecho, conociendo la relación entre la presión y la densidad, se puede llegar a una ecuación de movimiento. Resolviendo esta ecuación se puede describir el espaciotiempo. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 37 / 46

96 Índice 1 Relatividad Especial 2 Notas de Geometría Riemanniana 3 Fundamentos de la Relatividad General 4 Solución material dust 5 Tests a la Relatividad General J.J. Salamanca (U. Córdoba) 38 / 46

97 Tests a la Relatividad General I Correcta predicción del avance del perihelio de Mercurio (Leverrier, Einstein, Schwarzschild). Deflexión de la luz (Einstein). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 39 / 46

98 Tests a la Relatividad General I Correcta predicción del avance del perihelio de Mercurio (Leverrier, Einstein, Schwarzschild). Deflexión de la luz (Einstein). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 39 / 46

99 Tests a la Relatividad General II Agujeros negros (Laplace, Schwarzschild, Kerr, Hawking, Penrose,...). Expansión de las galaxias (Lemaitre, Friedmann, Robserton, Walker, Hubble,...). Teoría del Big-Bang (Lemaitre, Friedmann). Fondo cósmico de microondas (Gamow, Alpher, Hermann). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 40 / 46

100 Tests a la Relatividad General II Agujeros negros (Laplace, Schwarzschild, Kerr, Hawking, Penrose,...). Expansión de las galaxias (Lemaitre, Friedmann, Robserton, Walker, Hubble,...). Teoría del Big-Bang (Lemaitre, Friedmann). Fondo cósmico de microondas (Gamow, Alpher, Hermann). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 40 / 46

101 Tests a la Relatividad General II Agujeros negros (Laplace, Schwarzschild, Kerr, Hawking, Penrose,...). Expansión de las galaxias (Lemaitre, Friedmann, Robserton, Walker, Hubble,...). Teoría del Big-Bang (Lemaitre, Friedmann). Fondo cósmico de microondas (Gamow, Alpher, Hermann). J.J. Salamanca (U. Córdoba) 40 / 46

102 Test isotropía y homogeneidad J.J. Salamanca (U. Córdoba) 41 / 46

103 Test fluido perfecto J.J. Salamanca (U. Córdoba) 42 / 46

104 J.J. Salamanca (U. Córdoba) 43 / 46

105 Y. Choquet-Bruhat General Relativity and the Einstein equations Oxford University Press (2009). Muy analítico. Se requiere una preparación previa elevada. S.W. Hawking and G.F.R. Ellis The large scale structure of space-time Cambridge University Press (1973). Libro clásico. Tratamiento de singularidades. C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler Gravitation W.H. Freeman (1973). Muy completo y repleto de ejemplos e interpretaciones físicas. B. O Neill Semi-Riemannnian Geometry Academic Press (1983). Muy bueno para conocer la Geometría Diferencial. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 44 / 46

106 R.K. Sachs and H. Wu General Relativity for Mathematicians Springer-Verlag (1977). Aunque enfocado para matemáticos, hace un tratamiento riguroso de la Relatividad General. P. Sharan Spacetime, Geometry and Gravitation Birkhauser (2009). Muy bueno como primer contacto a la Relatividad General. J.J. Salamanca (U. Córdoba) 45 / 46

107 Gracias por su atención! J.J. Salamanca (U. Córdoba) 46 / 46