LA DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES APLICADA A LA INGENIERÍA E IMPLEMENTADA CON MATHEMATICA

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1 LA DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES APLICADA A LA INGENIERÍA E IMPLEMENTADA CON MATHEMATICA A. B. Caello, A. H. Encinas, L. Hernández, A. Martín 3 Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca, E.T.S.I.I. de Béjar, Avda Fernández Ballesteros, 377 Béjar, Salamanca. Corrreo-e: {anaelencp, ascen}@usal.es Tfno: (+34)93488 Ext: 3 Fax: (+34)93487 CSIC, C/ Serrano 44, 86, Madrid. Correo-e: luis@iec.csic.es Tfno: (+34) Fax: (+34) Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca, E.P.S. de Ávila, C/ Hornos Calero 5, 53 Ávila. Correo-e: delrey@usal.es Tfno: (+34)93535 Fax: (+34)93535 RESUMEN Con este traajo se pretende ilustrar la utilidad de la diagonalización de matrices en la Ingeniería mediante dos ejemplos; el primero de carácter empresarial y el segundo mecánico. De esta manera, los alumnos adquieren los conocimientos correspondientes a la programación de la asignatura de Álgera Lineal contextualizados en el marco de la Ingeniería. Además, y dado el interés que tiene la adquisición de hailidades informáticas en la formación de los ingenieros, se han implementado estos ejemplos con el programa Mathematica; lo cual significa la primera aproximación de los alumnos a dicha herramienta informática. PALABRAS CLAVE: diagonalización de matrices, programa Mathematica, Espacio Europeo de Educación Superior.. INTRODUCCIÓN Este traajo se enmarca en el proceso de adaptación al Espacio Europeo de Educación Superior que propone fundamentar la práctica docente en el aprendizaje, más que en la enseñanza, mediante la utilización de una metodología activa, con una mayor implicación del estudiante y la consideración del profesor como agente creador de entornos de aprendizaje motivadores para los alumnos. Consideramos que es necesario que los futuros ingenieros adquieran los conocimientos matemáticos contextualizados en el marco de la Ingeniería y que adquieran las hailidades informáticas que serán necesarias en su desarrollo profesional. Para ello, hemos utilizado dos ejercicios, uno de carácter empresarial y otro mecánico, comproando en ellos la importancia de la diagonalización de matrices, tamién hemos realizado su implementación con el paquete Mathematica.. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES. POTENCIA DE UNA MATRIZ. Enunciado : En un país existen tres fáricas de componentes que controlan el mercado de venta de componentes en régimen de oligopolio. A lo largo del tiempo algunos clientes camian de fárica por diversas razones: pulicidad, precio u otras. Se pretende modelizar y analizar el movimiento del mercado, asumiendo, para simplificar el modelo, que la misma fracción de consumidores camia de una fárica a otra durante cada periodo de tiempo, un mes por ejemplo. Denotando x, y, z la fracción de mercado controlada por cada fárica, se tiene que x + y + z =. Sea N el número fijo de clientes.

2 Después de un mes las fracciones correspondientes son x, y, z. Suponemos que la primera fárica ha mantenido una fracción a de los clientes que tenía, y ha atraído una fracción a de la segunda y a 3 de la tercera fárica. Análogamente se hace para las otras dos fáricas. Entonces se tiene: x = a x + a y +a 3 z y = a x + a y +a 3 z z = a 3 x + a 3 y +a 33 z Expresado en forma matricial: = A Como hemos supuesto que la misma fracción de clientes camia de una fárica a otra durante cada mes, entonces se tiene que n + = A n y, en consecuencia, n + = A n+ Se compruea fácilmente que para cualquier índice, x n + y n + z n =. En conclusión, el estudio de mercado se traduce, matemáticamente, en calcular potencias de una matriz. En este contexto es fácil entender la necesidad del estudio de la diagonalización de matrices para calcular la potencia de una matriz. 3. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Sea t = A donde t indica la derivada de y A la matriz asociada al sistema. Si A es diagonalizale, entonces A = B D B siendo B la matriz de vectores propios y D la matriz diagonal, por lo que el sistema quedará: siendo = B D B B = D B ' =D =B ' ' =B entonces =B 4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA LIBRE. Enunciado : Calculad la ecuación del movimiento del siguiente sistema lire de la figura donde m = 9kg, m = kg, k = 4 N/m, k = 3 N/m Las ecuaciones del sistema son: m x =-k ( x-x ) +k ( x -x) i i i i i i+ i+ i

3 El sistema que hay que resolver es de la forma: M. + K. =, donde M es la matriz de masa y K la matriz de rigidez. Multiplicando por M nos queda: + K r. =, con K r = M K. Entonces, como K r es diagonalizale se tiene K r = B D B + K r. = + B D B = B + D B = +D =, siendo =B =B Finalmente = B En este caso particular se tiene: 9x = -4x+ 3( x -x) x = -3( x - x ) Es decir: En notación matricial es: 9x = -7x + 3x x = 3x -3x 9 x 7-3 x x + = -3 3 x En este caso, M = 9 es la matriz de masa y K = 7-3 la de rigidez y entonces se tiene que K r =M K = /3. Esta matriz es diagonalizale. Los valores propios son y 4 y los vectores propios son (/3, ) y (/3, ) Por tanto la matriz D = y la matriz B = - 3 3, y el sistema queda de la siguiente manera: 4 +D = siendo: Entonces: - =B = 3 3 = B = x x x + x = + = x 4 x x + 4x = La solución que da el paquete Mathematica es Sen( ) t x () t = CCos ( ) t + C3 Sen( t) x() t = CCos ( t) + C4

4 La solución de la ecuación de movimiento es = B en este caso es: Sen( ) t CSen 3 ( ) t ( ) ( 3 ( ) 4 ( ) ( ( ) ) () CCos t + C CCos t CSen t + CCos t + x t = 3 3 = x() t Sen( t) CSen 3 ( ) t CCos ( t) + C4 CCos ( t) + CCos ( ) t + CSen 4 ( t) + 5. PROBLEMA DE CUATRO RESORTES Y MASAS. Enunciado 3 Consideremos un edificio con cuatro plantas en viración horizontal por la acción del viento. Las características son m = m = m 3 = m 4 = 4 kg y k = k = k 3 = k 4 = 5 N/m. Un edificio se puede modelizar suponiendo que las paredes no poseen masa y que la masa se concentra en los suelos de forma que existe una rigidez horizontal. Si así lo hacemos, el prolema es equivalente al de cuatro resortes y masas. Las ecuaciones del sistema son: m x =-k (x -x ) +k ( x -x) i i i i i i+ i+ i El sistema que hay que resolver es de la forma: M + K =, donde M es la matriz de masa y K la matriz de rigidez. Multiplicando por M nos queda: + K r = Entonces: +D = siendo =B =B Finalmente = B Se haría de forma análoga al caso anterior. 4 M = K =

5 5/ 5/4 Entonces: K r = M K = 5/4 5/ 5/4 5/4 5/ 5/4 5/4 Esta matriz es diagonalizale. Los valores propios son {.5, 4.45,.934,.5768}. Y los vectores propios son: (,,,),(.87939,.87939,.539,),(.539,.5389,.3473,), (.34796,.6574, ,) Con lo cual, la matriz B de camio de ase es: B = La matriz diagonal es:.5 D = El sistema que tenemos que resolver es, en este caso: +D = x.5 x x 4.45 x + = x x 3 x x 4 La solución que da el paquete Mathematica es: x () t = CCos. (.83 t) C Sen(.83 t) 5 x () t =.6495 (445 C Cos(. t) + C Sen(. t) 6 6 x () t =.9549 (479 C Cos(.793 t) C Sen(.793 t) x4() t = C4 Cos(3.863 t) C8 Sen(3.863 t) Por tanto, la solución de la ecuación de movimiento = B, es: C. Cos(.83 t) C Sen(.83 t) (445 C Cos(. t) C Sen(. t) 6 + = (479 C Cos(.793 t) C Sen(.793 t) C Cos(3.863 t) C Sen(3.863 t) Por la complejidad de los resultados, preferimos dejarlo así.

6 6. CONCLUSIONES. Los alumnos ven la aplicación directa de las matemáticas, en este caso de la diagonalización de matrices. Se crea, de esta manera, un entorno de aprendizaje motivador para los alumnos y contextualizado en el marco de la Ingeniería.. Por otra parte, adquieren las hailidades informáticas necesarias en su desarrollo profesional; así la práctica docente se centra más en el aprendizaje que en la enseñanza. 3. Finalmente, se logra una mayor implicación del estudiante en la asignatura al entender el carácter instrumental de las matemáticas, que permiten modelizar situaciones relativas a la Ingeniería. AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer a los alumnos de primer curso su dedicación al aprendizaje de la asignatura de Álgera Lineal. REFERENCIAS [] Asensio Sevilla, M.I. et al. Cálculo Numérico. Planteamiento y resolución de prolemas con Mathematica [] Bustos Muñoz, M. T. Teoría de Fundamentos Matemáticos I [3] Domínguez Pérez et al. Álgera Lineal. Planteamiento y resolución de prolemas con Mathematica [4] Hernández, E. Álgera y Geometría [5] Hernández Ruipérez, D. Álgera Lineal [6] Lang, S. Introducción al Álgera Lineal [7] Rojo, J. Álgera Lineal [8] Villa, A. Prolemas de Álgera con esquemas teóricos [9] Wolfram, S. The Mathematica ook [] Apuntes del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alcalá ( José Enrique Morais San Miguel.