Introducción a la Simulación

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Introducción a la Simulación"

Xavier Contreras Miguélez
hace 6 años
Vistas:

1 Taller de Informática I Introducción a la Simulación Departamento de Computación Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 1er. Cuatrimestre 2016 Enrique Carlos Segura

2 Introducción a la simulación Objetivo: - Implementar computacionalmente un modelo formal de algún proceso natural o social - Analizar su comportamiento y evolución - Extraer conclusiones y formular nuevas hipótesis Se trata, entonces, de una aproximación. Diremos que el modelo es plausible si es lo suficientemente fiel al proceso original como para que las hipótesis que derivamos de él no se contradigan con los resultados experimentales.

3 Método hipotético-deductivo Teoría -----> hipótesis -----> experimento------>conclusiones Conclusiones contradicen hipótesis? > hipótesis rechazada ----> abandonar o modificar teoría Conclusiones no contradicen hipótesis? ---> nuevo experimento El método cientifico es el proceso de destrucción de teorías y su sustitución unas por otras

4 Simulación en Ciencias Geológicas: para qué? Existen múltiples áreas de la investigación en Ciencias de la Tierra, así como de su aplicación, que recurren intensivamente a la simulación por computadora y, en algunos casos, no serían posibles en absoluto sin ella. - Tectónica de placas. - Movimiento de fallas - Predicciones: - Erupción de un volcán - Desbordamiento de ríos - Terremotos - Geología de combustibles fósiles: - Petróleo: prospección y perforación - Gas - Exploración minera - Recursos naturales (preservación)

5 Ejemplo: experimento de lanzar una moneda Hipótesis: en 100 tiradas sucesivas es imposible obtener una sucesión de 50 caras consecutivas. Experimento: 100 tiros, registrar los resultados Modelo computacional: programa que simula el experimento. Números al azar entre 0 y 1: menor que > cara mayor que > ceca - Se ejecuta muchas veces el programa (1000, por ejemplo) - Se examina cada una de las 1000 series de 100 tiros cada una. En alguna aparecen 50 caras consecutivas? Si > hipótesis rechazada No > hipótesis no confirmada ni rechazada (aún)

6 Archivo: moneda.m 1 function s = moneda(n) 2 s = []; 3 for i = [1:n] 4 m =rand(); 5 if m < s = [s 'CARA']; 7 else 8 s = [s 'CECA']; 9 end 10 end 11 end

7 Método de Montecarlo Util para estimar empricamente parámetros de un proceso. Por ejemplo, probabilidades. Cuál es la probabilidad, en el juego de la batalla naval, de tocar un barco de tamaño 4 en un tablero de 12 x 12 en menos de 100 tiros? Experimento: tirar hasta 100 o hasta tocar el barco. Contar cuántas veces hubo éxito.

8 Método Montecarlo: una aplicación sencilla Batalla naval. Se realiza una serie de tiros a coordenadas aleatorias. Si el jugador genera un algoritmo puede deducir la posición del barco conocidos los fracasos anteriores.

9 Archivo: tirar.m 1 function r = tirar(m) 2 i = round (rand * (size(m,1) 1)) + 1; 2 j = round (rand * (size(m,2) 1)) + 1; 4 if m(i,j) > 0 5 r = 'TOCADO'; 6 else 7 r = 'AGUA'; 8 end 9 end

10 Archivo: guerra.m 1 function s = guerra(m) 2 r = tirar(m); 3 c=1; 4 while strcmp(r,'agua') && c<=100 5 r=tirar(m); 6 c = c+1; 7 end 8 if c>100 9 s = -1; 10 else 11 s = c; 12 end 13 end

11 Estimación del valor π ρ = area del circulo/area del cuadrado = π r^2 / (2 r)^2 = π/4 r

12 Estimación del valor π Archivo: montecarlopi.m 1 function [ mipi ] = mipi(n) 2 3 count = 0; 4 5 for i=1:n 6 x = 2*rand-1; y = 2*rand-1; 7 if x^2+y^2<=1, count=count+1; 8 end 9 10 rho=count/n; 12 mipi = 4*rho; end

13 Números pseudoaleatorios Recurso básico para modelado y simulación Un método simple: cuadrado medio (von Neumann, 1940) - x0 semilla inicial, valor entero par (2n) propuesto por el usuario (e.g. X0 = 3234) - y = x0^2 (e.g. y = ) - Se toman los 2n dígitos centrales (e.g. 4587). Este número servirá para formar el primer número y para continuar generando números pseudoaleatorios. - El primer número pseudoaleatorio es y/10^(2n) (e.g ) - La nueva semilla es 4587, con la que se reinicia el procedimiento

14 Números pseudoaleatorios: método del cuadrado medio Archivo cuadmed.m 1 function [n,u1] = cuadmed(s); 2 x0 = s; 3 y = x0.^ 2; 4 ystr = num2str(y,'%08.f'); 5 x1 = ystr(3:6); 6 u1 = str2num(x1); 7 n = u1/10000; 8 end 9 % '%08.f' Agrega ceros al numero convertido 10 % en el caso de que tenga menos de 8 digitos. 11 % num2str(1,'%08.f') --> ' '

15 Archivo: itercuadmed.m Genera 100 números con el método del cuadrado medio y realiza su histograma 1 v = [ ]; 2 s = 9876; 3 for i = 1:100 4 [r s] = cuadmed(s); 5 v = [v r]; 6 end; 7 hist(v)

16 Una propiedad deseable en un algoritmo que genera números pseudoaleatorios es la uniformidad: una variable aleatoria discreta se dice uniforme si adopta cada uno de sus posibles valores con igual probabilidad: Ejercicio: comparar el método del cuadrado medio y el usado por la función rand en términos de uniformidad, generando el histograma de una secuencia de 100 números usando la función rand. 1 v = rand(1,100); 2 hist(v);

17 Números pseudoaleatorios Ventajas: - La sucesión generada es reproducible, usando la misma semilla. - Longitud arbitraria de la secuencia. - En general son algoritmos rápidos. - Consume poca memoria. Desventajas: - La distribución no es estrictamente uniforme. - Claramente, a partir de cierto valor, los números comenzarán a repetirse.

18 Números pseudoaleatorios: confirmar la distribución de una función 1 u = rand(10000,1); 2 hist(u) 3 title('histograma Distribución Uniforme'); 1 u=randn(10000,1); 2 hist(u) 3 title('histograma Distribución Normal'); O más compacto: 1 u = rand(10000,1); 2 subplot(1,2,1), hist(u) 3 title('histograma Distribución Uniforme'); 4 u=randn(10000,1); 5 subplot(1,2,2), hist(u) 6 title('histograma Distribución Normal');

20 Otras distribuciones Matlab posee una rica librería de distribuciones. La función random produce la distribución deseada según los argumentos que se pongan (normal, binomial, geométrica, exponencial, poisson, chisquare, etc., etc.)

21 Movimiento Browniano - Gas en un recipiente - Cada partícula se mueve en cualquier dirección (x,y, eventualmente z) - Esa dirección sigue una ley de distribución normal.

Documentos relacionados

Tema 5 Algunas distribuciones importantes

Tema 5 Algunas distribuciones importantes Algunas distribuciones importantes 1 Modelo Bernoulli Distribución Bernoulli Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes características: 1. Se realiza un experimento con dos