10-10 EJERCICIOS 10-9 RESUMEN 62 =

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1 312 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 10-9 RESUMEN En este capítulo se han introducido las estimaciones por puntos y de intervalos para parámetros desconocidos. Se han analizado varios métodos para la obtención de estimadores puntuales, incluidos el método de máxima verosimilitud y el método de los momentos. El método de máxima verosimilitud suele llevar a estimadores que tienen buenas propiedades estadísticas. Se obtuvieron intervalos de confianza para una diversidad de problemas de estimación de par ámetros. Estos intervalos tienen una interpretación de frecuencia. Los intervalos de confianza de dos lados, desarrollados en las secciones 10-2 y 10-3, se resumen en la tabla En algunos casos los intervalos de confianza de un lado pueden ser apropiados. Éstos pueden obtenerse dejando un límite de confianza en el intervalo de confianza de dos lados igual al límite inferior (o superior) de una región factible para el parámetro, y empleando a en lugar de a/2 como el nivel de probabilidad en el límite de confianza superior (o inferior) restante. También se presentaron los intervalos de confianza usando la técnica bootstrap, así como, de manera breve, los intervalos de confianza aproximados en la estimación de máxima verosimilitud y los intervalos de confianza aproximados EJERCICIOS 10-1 Suponga que tenemos una muestra aleatoria de tamaño 2n de una población denotada por X y E(X) = p y V(X) = Q2. Sean X, 2n rt Ex 2n I Xi y X, = n i= l i=1 dos estimadores de M. Cuál es el mejor estimador de p? Explique su elección Deje que X,, X2...., X7 denote una muestra aleatoria de una población que tiene media µ y varianza a2. Considere los siguientes estima dores de u: X,+ X2+...+X7 o, = 2X, - X6 + X4 2 Alguno de los estimadores es insesgado? Cuál de los estimadores es el "mejor"? En qué sentido es el mejor? 10-3 Suponga que 0 y é, son estimadores del parámetro 0. Sabemos que E(61) = 0, E(é,) = 0/2. V(&.) = 10 v V(9,) = 4. ;Cuál estimador 10-4 Suponga que y 03 son estimadores de 0. Sabemos que E(9,) = E(02) = 0, E(&3) # 0, V(61) = 12, V(92) = 10 y E( 63-0)22 = 6. Compare estos tres estimadores. Cuál prefiere usted? Por qué'? 10-5 Considere que se toman tres muestras aleatorias de tamaños n, = 10, n, = 8 y n 3 = 6 de una población con media p y varianza Q2. Sean S, S2 y S3 las varianzas de muestra. Demuestre que l0s + 8S2 +6S2 24 es un estimador insesgado de a Los mejores estimadores insesgados lineales. Un estimador 6 recibe el nombre de estimador lineal si es una combinación lineal de las observaciones en la muestra. ó se llama el mejor estimador insesgado lineal si, de todas las funciones lineales de las observaciones, es insesgado y tiene varianza mínima. Demuestre que la media de la muestra X es el mejor estimador insesgado lineal de la media de la población M Encuentre el estimador de máxima verosimilitud

2 Tabla 10-5 Resumen de procedimientos de intervalos de confianza Tipo de problema Estimador por puntos Intervalo de confianza de dos lados de 100(1 - a)% Media,u de una distribución normal, X-z 6/i<_ t1 < X+ Z,^2 6/V varianza cs2 conocida Diferencia entre las medias de dos distribuciones normales pi, y p, varianzas o y a2 conocidas Media ui de una distribución normal, varianza (y` desconocida Diferencia entre las medias de dos distribuciones X, normales j1, - j2, varianza 62 = (72 desconocida _ 2 2 ff2 62 X, - X2 - Z«r2 6' + 62 N, - P2 X X - tn,2n-, S/V <_ p < X + t,.2 n-, Sw' n X, -X2 - ta /2.n^.rri -2 $P < X, - X2 + ZW2, + 2 n, n2 n, n u, - P 2 <_ X, -X 2 + trrr.n,.n, 2`SP n, n2 n2 1 + = 1Í (n,-1)s; +(n2-1)s donde SP V ni +n2-2 Diferencia entre las medias de dos distribuciones normales para muestras en pares «D =P, -P2 D D - tan. n-, SD /,i < u D < D + trr'2. n -, SD// Varianza (s2 de una distribución normal S2 (n-1)s2 (n-1)s2 < Q2 < x2 u/2,n-1 x2t-n12,n-1 cociente de dos varianzas QZ1r2 de dos listribuciones normales S, Z S2 < S2 F1-r r /2, n 2-1, n 1-1 < F S2 S2 Q2 $2 2,n2-11 'roporción o parámetro de una distribución )inomial p P < Z P p_ rp(1 ) p a/2 n - ^ p + Zn12 V V P(1 P) n )iferencia de dos proporciones o los parámetros binomiales p,- p2 P, - Pz P, - P2 - Zan P,(1 - P, n, + P2(1 - P2) < P, - P2< P, - b'- Z,z n2 1 n, P,( p P2(1 - P2) + n2

3 314 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 10-8 Determine el estimador de c en la distribución de Poisson por el método de momentos. basado en una muestra aleatoria de tamaño n, 10-9 Determine el estimador de máxima verosimilitud del parámetro A en la distribución exponencial. con base en una muestra aleatoria de tamaño O Encuentre el estimador de 2 en la distribución exponencial por el método de momentos. con base en tina (nuestra aleatoria de tamaño n Determine estimadores de momento de los parámetros r y % de la distribución g anmma, con base en tina muestra aleatoria de tamaño n, Sea X una variable aleatoria geométrica con parámetro p. Encuentre un estimador de p por medio de el método ele nionmentos, con base en una muestra aleatoria de tamaño n Sea X una variable aleatoria geométrica con parámetro p. Determine el estimador de máxima verosimilitud de p, con base en una muestra aleatoria de tamaño n Sea X una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro p. Encuentre un estimador de p por el método de momentos, con base en una nuiestra aleatoria de tamaño n Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n (conocido ) y p. Obtenga un estimador (le p por el método de momentos, con base en una muestra aleatoria de tam año N Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, ambos desconocidos. Determine estimadores de n y p por el método de momentos, con base en una muestra aleatoria de tamaño N Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros ti (desconocido ) y p. Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de p, con base en una muestra aleatoria de tamaño N Establezca la función de verosimilitud para una muestra aleatoria de tamaño ti a partir de la distribución de Weibull. Qué dificultades se encontrarían al obtener los estimadores de máxima verosimilitud de los tres parámetros de la distribución de Weihull? Demuestre que si 0 es un estimador insesgado de 0. y si línt V(B) = 0, entonces 9 es un estimador consistente de Sea X una variable aleatoria con media p y varianza o'2. Dadas dos muestras aleatorias de tamaños nr y n, con medias de muestra Ñ1 y X2, respectivamente, demuestre que X=aXt+(1-a) X2, 0<a<1, es un estimador insesgado de p. Suponiendo que Ñ, y X, son independientes, encuentre un valor de a que minimice la varianza de X Suponga que la variable aleatoria X tiene la distribución de probabilidad f(x) =(Y+ 1).xY = 0, en otro caso. Sea Xt, X,,... X una muestra aleatoria de tamaño n. Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de Considere que X tiene la distribución exponencial truncada (a la izquierda en x) f(x) =) exp[-íi,(x - x,)], x > xf> 0, = 0, 0 <.Y < 1, en otro caso. Sea Xr, X-,..., X una muestra aleatoria de tamaño n. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de A Suponga que se conoce A en el ejercicio previo, pero que xe se desconoce. Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de x Sea X una variable aleatoria con media p y varianza o'2, y XI, X,,..., X una muestra aleatoria de tamaño n de X. Demuestre que el estimador G = K1;'_1' (X;+1 - X1)2 es insesgado

4 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 315 para una elección apropiada de K. Determine el valor apropiado para K Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con media p y varianza o 2. Suponga que se conoce 62 y que se desconoce a p. La densidad anterior para p se supone que es normal con media pu y varianza a 2. Determine la densidad posterior para p, dada una muestra alraturia de ta nlani) 11 de X Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con media p conocida y varianza 62 desconocida. Suponga que la densidad anterior para l/a2 es una distribución gamma con parámetros ni + 1 y mal. Determine la densidad posterior para 1 /c72, dada una muestra aleatoria de tamaño n de X Sea X una variable aleatoria geométrica con parámetro p. Suponga que asumimos una distribución beta con parámetros a y b con la densidad anterior de p. Determine la densidad posterior de p, dada una muestra aleatoria de tamaño n de X Sea X una variable aleatoria de Bernoulli con parámetro p. Si la densidad anterior para p es una distribución beta con parámetros a y b, determine la densidad posterior para p, dando una muestra aleatoria de tamaño ti de Y Sea X una variable aleatoria de Poisson con parámetro A. La densidad anterior para ) es una distribución gamma con parámetros m + 1 y (nt + l)/4. Determine la densidad posterior para 2 dada una muestra aleatoria de tamaño ti de X Suponga que X - N(p. 40) y sea la densidad anterior para p igual a N(4, 8). Para una muestra aleatoria de tamaño 25, se obtiene el valor.r = Cuál es la estimación de Bayes de p. suponiendo una pérdida del error cuadrático? Un proceso se utiliza para la fabricación de tarjetas de circuitería. Se taladra una muestra situada a una distancia X de un hueco de la tarjeta. La distancia es una variable aleatoria X ~ N(p, 0.01). La densidad anterior de p es uniforme entre 0.98 y 120 pulgadas. Una muestra aleatoria de tamaño 4 produce el valor.y = Suponiendo una pérdida del error cuadrático, determine la estimación de Bayes para y El tiempo entre las fallas del motor de un molino está distribuido exponencialmente con parámetro A. Suponga que asumimos una exponencial anterior en A con una media de 3000 horas. Se observan dos motores y el tiempo promedio entre las fallas es de Y = 3135 horas. Suponiendo una pérdida del error cuadrático, determine la estimación de Bayes para A El peso de unas cajas de dulces está distribuido normalmente con media p y varianza tes. Es razonable suponer una densidad anterior para p normal con una media de 10 libras y una varianza de,'5. Determine la estimación de Buyes de p dado que una muestra de tamaño 25 produce.y = libras. Si las cajas que pesan menos de 9.95 libras son defectuosas. cuál es la probabilidad de que se produzcan cajas defectuosas? Se sabe que el número de defectos que ocurren en una oblea de silicón que se usa para la fabricación de circuitos integrados es una variable aleatoria de Poisson con parámetro.^. Suponga que la densidad anterior para) es exponencial con parámetro En 10 obleas se observó un total de 45 defectos. Establezca una integral que defina un intervalo de Bayes de 95% para /l. Qué dificultades encontraría al evaluar esta integral? La variable aleatoria X tiene una función de densidad 9r f(x10) 0<_z<0. 0- y la densidad anterior para 0 es f(8)= 1, 0<0< 1. a) Encuentre la densidad posterior para 0 suponiendo que n = 1. b) Encuentre el estimador de Bayes para 0 suponiendo que la función de pérdida es ((é,0)=02(9-0)2yn=1.

5 316 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Suponga que X sigue la distribución de Ber- a) noulli con parámetro p. Asuma una razonable densidad anterior para p de f(p) =6p(1-p), 0<_p5 1, = 0, en otro caso. b) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 99% respecto del diámetro medio de los anillos de pistón. Construya un límite de confianza inferior de 95% respecto del diámetro medio de los anillos de pistón. Si la función de pérdida es el error cuadrático, encuentre el estimador de Bayes de p si está disponible una observación. Si la función de pérdida es e(p; p) = 2(P - p)2, encuentre el estimador de Bayes de p si n = Considere el intervalo de confianza para p con desviación estándar a conocida: X -Za,6In <_P <_X +Za,a donde al + a2 = a. Sea a = 0.05 y obtenga el intervalo para ar = a, = a/2 = Después determine el intervalo para el caso ar = 0.01 y a2 = Cuál intervalo es el más corto? Hay alguna ventaja para un intervalo de confianza "simétrico"? Cuando XI, X,... X, son variables aleatorias de Poisson independientes, cada una con parámetro ),, y cuando n es relativamente grande, la media de muestra X es aproximadamente normal con media. y varianza En. a) Cuál es la distribución de la estadística X - A? b) Emplee los resultados de a) para encontrar un intervalo de confianza de 100(1 - a)% para A Un fabricante produce anillos de pistón para un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro de los anillos se distribuye aproximadamente en forma normal y con una desviación estándar or = mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro medio de x = mm, Se sabe que la vida, en horas, de una bombilla eléctrica de 75 watts se distribuye aproximadamente en forma normal con desviación estándar (7=?5 horas. Una muestra aleatoria de 20 bombilla,, tiene una vida media de.f = 1014 horas, a) b) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 959, respecto de la vida media. Construya un intervalo de confianza inferior de 95% respecto de la vida media Un ingeniero civil analiza la resistencia de cierta clase de concreto a la compresión. Ésta se distribuye aproximadamente en forma normal con varianza a'2 = 1000 (psi)2. Una muestra aleatoria de 12 especímenes tiene una resistencia media a la compresión de z = 3250 psi. a) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% respecto de la resistencia media a la compresión. b) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 99% respecto de la resistencia media a la compresión. Compare el ancho de este intervalo de confianza con el ancho del encontrado en la parte a) Suponga que en el ejercicio deseamos tener una confianza de 95% de que el error en la estimación de la vida media fuera menor que cinco horas. Qué tamaño de muestra debe usarse? Suponga que en el ejercicio deseamos que el ancho total del intervalo de confianza respecto de la vida media sea de ocho horas. Qué tamaño de muestra debe utilizarse? Suponga que en el ejercicio se desea estimar la resistencia a la compresión con un error que sea menor que 15 psi. Qué tamaño de muestra se requiere? 1

6 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Se emplean dos máquinas para llenar botellas ele plástico con detergente lavatrastes. Se tienen como datos que las desviaciones estándar del volumen de llenado son 6, = 0.15 onzas de líquido y a, = onzas de líquido para cada una de las dos máquinas. Se seleccionan dos muestras aleatorias de n = 12 botellas de la máquina 1 y nr_ = 10 botellas de la máquina 2, y las medias de muestra de los volúmenes de llenado son.i u = onzas de líquido v Ñ, _ onzas de líquido. a) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 90% respecto de la diferencia entre las medias del volumen de llenado. b) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95 % respecto de la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Compare el ancho de este intervalo con el del intervalo de la parte a). c) Construya un intervalo de confianza superior de 95%7 respecto de la diferencia entre las medias del volumen de 1lenadh.i Se están estudiando las tasas de quemado de dos diferentes propulsores de cohete a base de combustible sólido. Se sabe que ambos propulsores tienen aproximadamente la misma desviación estándar de tasa de quemado ; esto es, v1 = a, = 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de nt = 20 y n, = 20 especímenes, y las tasas de quemado medias de muestra son i I = 18 cm/s y.z-, = 24 cm/s. Construya un intervalo con 99% de confianza respecto de la diferencia entre las medias de la tasa de quemado Dos diferentes compuestos de gasolina sin plomo se están probando para estudiar sus números de octanaje. La varianza del número de octanaje para el compuesto 1 es 6 = 1.5. y para el compuesto 2. 6; = 1.2. Se prueban dos muestras aleatorias de tamaño ti, = 15 y n, = 20. y los números de octanaje medios son Í] = 89.6 y x, = Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% respecto de la diferencia entre las medias de los números de octanaje Un ingeniero civil está probando la resistencia de cierta clase de concreto a la compresión. Realiza la prueba con 16 especímenes y obtiene los siguientes datos: a) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% respecto de la resistencia nmedia. b) Construya un intervalo de confianza inferior de 95% respecto de la resistencia media. c) Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% respecto de la resistencia media, suponiendo que a = 36. Compare este intervalo con el de la parte a). d) Construya un intervalo de predicción de dos lados con 95% para una sola resistencia a la compresión. e) Construya un intervalo de tolerancia de dos lados que cubra 99% de todas las resistencias a la compresión con una confianza de 95 por ciento Un artículo del Annual Ret'iews Material Research (2001, p. 291) presenta las fuerzas de adhesión para diferentes materiales energéticos (explosivos, propulsores y pirotécnicos). A continuación se presenta la fuerza de adhesión para 15 de estos materiales. Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% para la media de la fuerza de adhesión. 323, , 284, , 207, 183, , , Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 25 botellas de vidrio con capacidad de dos litros. La media de la muestra fue.t = 4.05 mm y la desviación estándar de la muestra s = 0.08 mm. Determine un intervalo de confianza inferior de 90% respecto del espesor de pared medio.

7 318 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Un ingeniero industrial está interesado en estimar el tiempo medio requerido para ensamblar una tarjeta de circuitería. Qué tan grande debe ser la muestra si el ingeniero desea tener una confianza de 95% de que el error en la estimación de la media es menor que 0.25 minutos? La desviación estándar del tiempo de ensamblaje es 0.45 minutos Una muestra aleatoria de tamaño 15 de una población normal tiene media Ñ = 550 y varianza s2 = 49. Determine lo siguiente: 95% respecto de p. b) Un intervalo de confianza inferior de 95% respecto de p. c) Un intervalo de confianza superior de 95% respecto de p. d) Un intervalo de predicción bilateral de 95% para una sola observación. e) Un intervalo de tolerancia bilateral que cubriera 90% de todas las observaciones con un 99% de confianza Un artículo de Computers in Cardiology (1993, p. 317) presenta los resultados de una prueba de estrés en el corazón, en la que el estrés se induce mediante una droga en particular. Se han registrado los ritmos del corazón (en latidos por minuto) de nueve pacientes de sexo masculino después de que se les ha administrado la droga. Se encontró que el ritmo promedio es de x = (lpm) con una desviación estándar de la muestra de s = 13.9 (lpm). Encuentre un intervalo de confianza de 90% sobre la media del ritmo después de que se ha administrado la droga Dos muestras aleatorias independientes de tamaños n 1 = 18 y n2 = 20 se toman de dos poblaciones normales. Las medias de las muestras son z, = 200 y k2 = 190. Sabemos que las varianzas son ct = 15 y a2 2= 12 Encuentre lo siguiente: 95% respecto de p, -1t,2. b) Un intervalo de confianza inferior de 95% en p, -µ c) Un intervalo de confianza superior de 95% enp -p2. Se está investigando el voltaje de salida de dos tipos de transformadores. Diez transformadores de cada tipo se seleccionan al azar para medir su voltaje. Las medias de muestra son x, _ voltios y 12 = voltios. Sabemos que las varianzas del voltaje de salida para los dos tipos de transformadores son 6 = 0.7 y o'; = 0.8, respectivamente. Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% respecto de la diferencia entre las medias del voltaje. Se tomaron muestras aleatorias de tamaño 20 de dos poblaciones normales independientes. Las medias y las desviaciones estándar de las muestras fueron xl = 22.0, sr = 1.8, z2 = 21.5 y s, = 1.5. Suponiendo que 6 = 62, obtenga lo siguiente: 95% respecto de y, -,U2. b) Un intervalo de confianza superior de 95% respecto de pl - p2. c) Un intervalo de confianza inferior de 95% respecto de pr - p,. Se está investigando el diámetro de barras de acero manufacturadas en diferentes máquinas de extrusión. Se seleccionan dos muestras aleatorias de tamaños ni = 15 y n2 = 18, y las medias y varianzas de muestra son xi = 8.73, s _ 0.30, x, = 8.68 y s; = 0.34, respectivamente. Suponiendo que 6 = 0'2, construya un intervalo de confianza de dos lados de 95 % respecto de la diferencia entre las medias de los diámetros de las barras Se extraen muestras aleatorias de tamaños ni = 15 y n2 = 10 de dos poblaciones normales independientes. Las medias y varianzas de las muestras sonzr= 300, s = 16, z2= 325ys2=49. Suponiendo que 6 :#- G,, construya un intervalo de confianza de dos lados de 95% en pl - p, Considere los datos del ejercicio Construya lo siguiente: 95% para 6'-.

8 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 319 b) Un intervalo de confianza inferior de 95%% para <T'. c) Un intervalo de confianza superior de 95% para a' Considere los datos del ejercicio Construya lo siguiente: n) Un intervalo de confianza de dos lados de 99%% para 6'. b) Un intervalo ele confianza inferior de 99<'7u para 6. c) Un intervalo de confianza superior de 99% para o Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95't respecto de la varianza de los datos del espesor de pared del ejercicio En una muestra aleatoria de 100 bombillas eléctricas se encontró que la desviación estándar de muestra de la vida de las mismas era de 12.6 horas. Calcule un intervalo de confianza superior de 90% respecto de la varianza de la vida de las bombillas Considere los datos del ejercicio Construya un intervalo de confianza de dos lados de 9,5% respecto del cociente de las varianzas de población er /Q; Considere los datos en el ejercicio Construya lo siguiente: 90% para er 16;. b) Un intervalo de confianza de dos lados de 95% para a 1/a2. 2 Compare el ancho de este intervalo con el ancho del intervalo en la parte a). c) Un intervalo de confianza inferior de 90% para o 16;. dl) Un intervalo de confianza superior de 90%% para a 16; Construya un intervalo de confianza de dos lados de 95%1 respecto del cociente de las varianzas o 2/6; utilizando los datos del ejercicio De una selección aleatoria de 400 choferes, 48 no estaban asegurados. Construya un intervalo de confianza de 95% de dos lados sobre el promedio de la razón de choferes no asegurados Qué tan grande debe ser una muestra en el ejercicio para tener una confianza de 95% de que el error en la estimación de la tasa de choferes no asegurados sea menor que 0.03? Un fabricante de calculadoras electrónicas está interesado en estimar la fracción de unidades defectuosas que se producen. Una muestra aleatoria de 8000 calculadoras incluye 18 defectuosas. Calcule un intervalo de confianza superior a 99% respecto de la fracción de unidades defectuosas Se lleva a cabo un estudio para determinar el porcentaje de familias que poseen al menos dos aparatos de televisión. Qué tan grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza (le 99% de que el error al estimar esta cantidad sea menor que 0.01? Se realizó un estudio para determinar si hay una diferencia significativa entre los miembros de un sindicato con base en el sexo. Se tomó una muestra aleatoria de 5000 empleados de una fábrica y, de este grupo. 785 eran miembros del sindicato. Se tomó una muestra aleatoria de 300(1 empleadas y, de este grupo, 327 eran miembros del sindicato. Construya un intervalo de confianza de 99% de la diferencia entre las proporciones pi - P La fracción de productos defectuosos fabricados por dos líneas de producción se está analizando. Una muestra aleatoria de 1000 unidades de la línea 1 tiene 10 defectuosas, en tanto que una muestra aleatoria de 1200 unidades de la línea 2 tiene 25 defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza de 99% respecto de la diferencia entre unidades defectuosas producidas por las dos líneas Resultados de un estudio sobre el desempeño de una silla de ruedas se presentaron en el Proceedings of the IEEE 24th Annual Northeast Bioengineering Conference (1998, p. 130). En este estudio se investigaron los efectos de dos

9 320 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA tipos de palancas: de sensación de fuerza (PSF) y de sensación de posición (PSP) para el control de la silla de ruedas. Se pidió a 10 personas que probaran ambas palancas. Una respuesta de interés es el tiempo (en segundos) para completar una trayectoria predeterminada. Los datos usuales en este tipo de experimento son los siguientes: Persona PSF PSP Encuentre un intervalo de confianza de 95% de la diferencia entre los tiempos de realización. Existe algún indicio de que una de las palancas sea la preferida? El gerente que tiene a su cargo una flotilla de automóviles está probando dos marcas de llantas radiales. Asigna al azar una llanta de cada marca a las dos ruedas traseras de ocho autos y corre estos mismos hasta que las llantas se desgastan. Los datos se muestran a continuación (en kilómetros): Auto Marca 1 Marca ,925 34, ,300 42, ,240 35, ,100 31, ,210 38,015 Encuentre un intervalo de confianza de 95% respecto de la diferencia en el milla-je medio. Cuál marca prefiere usted? Considere los datos del ejercicio Encuentre intervalos de confianza respecto de u y 62, tales que tengamos al menos una confianza de 90% de que ambos intervalos conducen en forma simultánea a conclusiones correctas Considere los datos del ejercicio Suponga que una muestra aleatoria de tamaño n3 = 15 se obtiene de una tercera población normal, con X3 = 20.5 y s3 = 1.2. Encuentre dos intervalos de confianza de dos lados respecto de,u, - µ,, M -,u; y P2 - µ3 tales que haya al menos una probabilidad de 0.95 de que los tres intervalos conduzcan simultáneamente a conclusiones correctas Una variable aleatoria X está distribuida normalmente con media p y varianza a2 = 10. La densidad anterior para,u es uniforme entre 6 y 12. Una muestra aleatoria de tamaño 16 produce X = 8. Construya un intervalo de Bayes de 90% para µ. Sería razonable aceptar la hipótesis de que p = 9? Sea X una variable aleatoria distribuida normalmente con media µ = 5 y una varianza desconocida Q2. La densidad anterior para 1/62 es una distribución gamma con parámetros r = 3 y 2 = 1.0. Determine la densidad posterior para l /62. Si una muestra aleatoria de tamaño 10 da como resultado Y_(x - 4)2 = 4.92, determine la estimación de Bayes de 1/ere suponiendo una pérdida del error cuadrático. Establezca una integral que defina el intervalo de Bayes de 90% para 1/a Pruebe que si se usa la función de pérdida del error cuadrático, el estimador de Bayes de 0 es la media de la distribución posterior para ,360 47, ,200 37, ,500 33,215