Curso de Métodos Numéricos. Ajuste de curvas. Regresión.

Transcripción

1 Curso de Métodos Numéricos. Ajuste de curvas. Regresión. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Universidad: ITESM CEM Fecha: Lunes, 20 de octubre de 2014

2 Tópicos 1 Introducción 2 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ejemplo Programa MATLAB: linregr.m Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Programa MATLAB: cuadregr.m Ejemplo

3 Tópicos 1 Introducción 2 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ejemplo Programa MATLAB: linregr.m Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Programa MATLAB: cuadregr.m Ejemplo

4 Ajuste de curvas Es común que los datos se den como valores discretos, Se podría necesitar la estimación de un punto entre valores discretos, Se podría necesitar una curva que ajuste los datos para obtener estimaciones intermedias, Se podría necesitar una version simplificada de una función complicada, Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

5 Ajuste de curvas Es común que los datos se den como valores discretos, Se podría necesitar la estimación de un punto entre valores discretos, Se podría necesitar una curva que ajuste los datos para obtener estimaciones intermedias, Se podría necesitar una version simplificada de una función complicada, Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

6 Ajuste de curvas Es común que los datos se den como valores discretos, Se podría necesitar la estimación de un punto entre valores discretos, Se podría necesitar una curva que ajuste los datos para obtener estimaciones intermedias, Se podría necesitar una version simplificada de una función complicada, Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

7 Ajuste de curvas Es común que los datos se den como valores discretos, Se podría necesitar la estimación de un punto entre valores discretos, Se podría necesitar una curva que ajuste los datos para obtener estimaciones intermedias, Se podría necesitar una version simplificada de una función complicada, Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

8 Ajuste de curvas Es común que los datos se den como valores discretos, Se podría necesitar la estimación de un punto entre valores discretos, Se podría necesitar una curva que ajuste los datos para obtener estimaciones intermedias, Se podría necesitar una version simplificada de una función complicada, Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

9 Métodos generales para el ajuste de curvas Regresión: Si los datos exhiben un grado significativo de error o ruido, entonces la estrategia será obtener una sola curva que represente la tendencia general de los datos.

10 Métodos generales para el ajuste de curvas Interpolación: Si se sabe que los datos son muy precisos, entonces la estrategia será colocar una curva o una serie de curvas que pasen por cada uno de los puntos.

11 Tópicos 1 Introducción 2 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ejemplo Programa MATLAB: linregr.m Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Programa MATLAB: cuadregr.m Ejemplo

12 Regresión lineal por mínimos cuadrados Regresión lineal por mínimos cuadrados

13 Regresión lineal por mínimos cuadrados Regresión lineal por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a una línea recta (y = a 0 + a 1 x) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y la data, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado a 0 + a 1 x. Por lo cual, se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = (y i a 0 a 1 x i ) 2

14 Regresión lineal por mínimos cuadrados Regresión lineal por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a una línea recta (y = a 0 + a 1 x) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y la data, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado a 0 + a 1 x. Por lo cual, se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = (y i a 0 a 1 x i ) 2

15 Regresión lineal por mínimos cuadrados Regresión lineal por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a una línea recta (y = a 0 + a 1 x) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y la data, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado a 0 + a 1 x. Por lo cual, se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = (y i a 0 a 1 x i ) 2

16 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados Para determinar los valores de a 0 y a 1, hay que derivar S r con respecto a cada uno de los coeficientes (a 0, a 1 ) e igual a cero: S r a 0 = 2 S r a 1 = 2 (y i a 0 a 1 x i ) = 0 (y i a 0 a 1 x i ) x i = 0

17 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados 0 = 0 = y i a 0 a 1 x i y i x i a 0 x i a 1 x 2 i Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados ( ) y i = na 0 + x i a 1 x i y i = ( ) ( x i a 0 + x 2 i ) a 1

18 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados 0 = 0 = y i a 0 a 1 x i y i x i a 0 x i a 1 x 2 i Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados ( ) y i = na 0 + x i a 1 x i y i = ( ) ( x i a 0 + x 2 i ) a 1

19 Regresión lineal por mínimos cuadrados Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados a 1 = a 0 = n n x i y i n x i y i n n ( ) 2 x 2 i x i y i n a 1 x i n

20 Ejemplo Ejemplo 1 Ajuste a una línea recta los valores de x y y dados en la siguiente tabla: x i y i

21 Ejemplo Solución clear ; clc ; x = [ ] ; y = [ ] ; n=length ( x ) ; sxy=sum( x. y ) sx2=sum( x. x ) sx=sum( x ) sy=sum( y ) a1=(n sxy sx sy ) / ( n sx2 (sx ) ˆ 2 ) a0=sy / n a1 sx / n

22 Ejemplo Solución % Solucion ejemplo 1 sxy = sx2 = 140 sx = 28 sy = 24 a1 = a0 = y = x

23 Programa MATLAB: linregr.m Programa Matlab function [ a ] = l i n r e g r ( x, y ) % l i n r e g r : Ajuste de curva con regresion l i n e a l % Entrada : x, y Salida : a = [ a1, a0 ] n = length ( x ) ; i f length ( y ) =n, error ( x y d i f e r e n t e s l o n g i t u d e s ) ; end sx = sum( x ) ; sy = sum( y ) ; sx2 = sum( x. x ) ; sxy = sum( x. y ) ; a ( 1 ) = ( n sxy sx sy ) / ( n sx2 sx ˆ 2 ) ; a ( 2 ) = sy / n a ( 1 ) sx / n ; % Ploteo de l a data y l i n e a r e c t a ajustada xp = linspace ( min ( x ),max( x ), 2 ) ; yp = a ( 1 ) xp+a ( 2 ) ; plot ( x, y, o, xp, yp ) ; grid on

24 Introduccio n Programa MATLAB: linregr.m Ejemplo 1: Programa Matlab Regresio n por mı nimos cuadrados

25 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a un polinomio cuadrático (y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x a 2 x 2 Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) 2 i

26 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a un polinomio cuadrático (y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x a 2 x 2 Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) 2 i

27 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a un polinomio cuadrático (y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x a 2 x 2 Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) 2 i

28 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Problema: Ajustar a un polinomio cuadrático (y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) el conjunto de puntos: (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),,(x n, y n ). El error (e) se puede determinar como: e = y a 0 a 1 x a 2 x 2 Para cada punto (x i, y i ) se define un error e i. La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre los valores verdaderos y los valores aproximados. Esto es: S r = e 2 i = ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) 2 i

29 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Ajuste del polinomio cuadrático por mínimos cuadrados Para determinar los valores de a 0, a 1 y a 2, hay que derivar S r con respecto a cada uno de los coeficientes (a 0, a 1, a 2 ) e igual a cero: S r a 0 = 2 S r a 1 = 2 S r a 2 = 2 ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) i = 0 ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) i xi = 0 ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) i x 2 i = 0

30 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Ajuste del polinomio cuadrático por mínimos cuadrados ( ) ( y i = n a 0 + x i a 1 + x i y i = x 2 i y i = ( ) ( x i a 0 + ( x 2 i x 2 i a 0 + x 3 i ) ( x 2 i ) a 2 ) ( a 1 + ) ( a 1 + x 3 i x 4 i ) ) a 2 a 2

31 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Programa para la solución del sistema clear ; clc ; syms a0 a1 a2 n sx sy sx2 sxy sx3 sx4 sx2y ; eq1=n a0+sx a1+sx2 a2 sy ; eq2=sx a0+sx2 a1+sx3 a2 sxy ; eq3=sx2 a0+sx3 a1+sx4 a2 sx2y ; [ a0 a1 a2 ]= solve ( eq1, eq2, eq3, a0, a1, a2 )

32 Regresión cuadrática por mínimos cuadrados Solución del sistema a0 =( sx2y sx2ˆ2 sxy sx2 sx3 sx4 sy sx2+sy sx3ˆ2 sx sx2y sx3+sx sx4 sxy ) / ( sx4 sxˆ2 2 sx sx2 sx3+sx2ˆ3 n sx4 sx2+n sx3 ˆ 2 ) a1 =( sx2 ˆ2 sxy+n sx2y sx3 n sx4 sxy sx sx2 sx2y+sx sx4 sy sx2 sx3 sy ) / ( sx4 sxˆ2 2 sx sx2 sx3+sx2ˆ3 n sx4 sx2+n sx3 ˆ 2 ) a2 =( sx2y sxˆ2 sxy sx sx2 sx3 sy sx+sy sx2ˆ2 n sx2y sx2+n sx3 sxy ) / ( sx4 sxˆ2 2 sx sx2 sx3+sx2ˆ3 n sx4 sx2+n sx3 ˆ 2 )

33 Programa MATLAB: cuadregr.m function [ a ] = cuadregr ( x, y ) % cuadregr : Ajuste de curva con regresion c u a d r a t i c a % Entrada : x, y Salida : a =[ a2, a1, a0 ] n = length ( x ) ; i f length ( y ) =n, error ( x y d i f e r e n t e s l o n g i t u d e s ) ; end sx=sum( x ) ; sy=sum( y ) ; sx2=sum( x. x ) ; sxy=sum( x. y ) ; sx3=sum( x. x. x ) ; sx4=sum( x. x. x. x ) ; sx2y=sum( x. x. y ) ; a ( 3 ) =( sx2y sx2ˆ2 sxy sx2 sx3 sx4 sy sx2+sy sx3ˆ2 sx sx2y sx3+sx sx4 sxy ) / ( sx4 sxˆ2 2 sx sx2 sx3+sx2ˆ3 n sx4 sx2+n sx3 ˆ 2 ) ; a ( 2 ) =( sx2 ˆ2 sxy+n sx2y sx3 n sx4 sxy sx sx2 sx2y+sx sx4 sy sx2 sx3 sy ) / ( sx4 sxˆ2 2 sx sx2 sx3+sx2ˆ3 n sx4 sx2 +n sx3 ˆ 2 ) ; a ( 1 ) =( sx2y sxˆ2 sxy sx sx2 sx3 sy sx+sy sx2ˆ2 n sx2y sx2 +n sx3 sxy ) / ( sx4 sxˆ2 2 sx sx2 sx3+sx2ˆ3 n sx4 sx2+n sx3 ˆ 2 ) ; % Ploteo de l a data y l i n e a r e c t a ajustada xp = linspace ( min ( x ),max( x ),100) ; yp = a ( 3 ) +a ( 2 ) xp+a ( 1 ) xp. ˆ 2 ; plot ( x, y, o, xp, yp ) ; grid on

34 Ejemplo Ejemplo 2 Ajuste a un polinomio cuadrático los valores de x y y dados en la siguiente tabla: x i y i

35 Introduccio n Ejemplo Ejemplo 2: Programa Matlab Regresio n por mı nimos cuadrados