Ejercicio 1 Una compañía aseguradora trabaja con una tabla de mortalidad de la que se sabe que:

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1 EJERCICIOS CAPÍTULO Ejercicio 1 Una compañía aseguradora trabaja con una tabla de mortalidad de la que se sabe que: dt = t, t= 0,1, 2, L, 99 d99 = l99 1) Determinar el tamaño del grupo inicial al que está referida dicha tabla de mortalidad. 2) Determinar en forma genérica el número de personas de dicho grupo inicial que llegan con vida eactamente a los años de edad. 3) Determinar, de los integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que llega con vida eactamente a los 50 años de edad. 4) Determinar, de los integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que fallece antes de cumplir los 50 años de edad. 5) Determinar, de los integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 35 años de edad, cual es la proporción que llega con vida eactamente a los 45 años de edad, pero fallece antes de cumplir los 50 años de edad. Ejercicio 2 Con los datos del ejercicio 1, y considerando una tasa de interés efectiva anual del 35%. Se pide plantear cual es el valor a pagar hoy (momento de firmar el contrato) por una persona de eactamente 40 años de edad (cumplidos el día de hoy) para cobrar: 1) $ si llega con vida a los 50 años. 2) $ 100 por año si está con vida al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene eactamente 41 años). 3) $ 100 por año hasta que la persona cumpla 50 años (inclusive), si está con vida al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene eactamente 41 años). 4) $ 100 por año desde que la persona cumple 46 años hasta que la persona cumple 55 años (inclusive), si está con vida al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si es que corresponde, se hace cuando la persona tiene eactamente 46 años). 1

2 Ejercicio 3 Una persona de eactamente 60 años de edad contrata un seguro de muerte por 5 años, por el cual se le pagará a sus beneficiarios $ en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento. Utilizando los datos del ejercicio 1, y una tasa efectiva anual de 35%, se pide: 1) Calcular el costo puro de dicho seguro de muerte. 2) Dicha persona decide pagar tal costo puro mediante primas puras anuales iguales durante la vigencia del seguro. Calcular el importe de la prima pura anual. Ejercicio 4 En qué hubieran cambiado los resultados de los ejercicios 1 a 3, si en lugar de hablar de personas, hubiéramos hablado de una máquina que tiene la particular característica de que una vez que queda fuera de funcionamiento no se puede arreglar para que vuelva a funcionar? Ejercicio 5 Se etraen los siguientes datos de las tablas de mortalidad de la población uruguaya por seo (INE 2004): Hombres l Mujeres l

3 Parte 1 Calcule, en base a los datos suministrados: 1) Determinar, de los hombres integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que llega con vida eactamente a los 50 años de edad. 2) Determinar, de las mujeres integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 40 años de edad, cual es la proporción que llega con vida eactamente a los 45 años de edad, pero fallece antes de cumplir los 50 años de edad. Parte 2 Una compañía aseguradora trabaja con las tablas de mortalidad uruguaya por seo ( ) y utiliza para sus cálculos una tasa efectiva anual en dólares de 2%. Calcule: 1) El costo puro de un seguro por el cual un hombre de eactamente 40 años, cobrará U$S dentro de 10 años si está vivo al momento de hacer el cobro. 2) El costo puro de un seguro por el cual un hombre de eactamente 40 años de edad, cobrará U$S por año hasta que cumpla 45 años (inclusive) si está vivo al momento de hacer cada uno de los cobros (el primer cobro, si corresponde, se da cuando cumpla 41 años). 3) El costo puro de un seguro por el cual un hombre de eactamente 40 años de edad, cobrará U$S por año desde que cumpla 46 años y hasta que cumpla 50 años (inclusive), si está vivo al momento de hacer cada uno de los cobros. El primer cobro, si corresponde, se da cuando cumpla 46 años. Parte 3 Un hombre de eactamente 40 años de edad contrata un seguro de muerte por 5 años por el cual se le pagará a sus beneficiarios U$S en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento. Sabiendo que la empresa aseguradora utiliza para sus cálculos una tasa efectiva anual del 2% y las funciones l y d derivan de las tablas de mortalidad de la población uruguaya por seo (INE 2004): 1) Calcule el costo puro de dicho seguro de muerte. 2) Dicha persona decide pagar tal costo puro mediante primas puras anuales iguales durante la vigencia del seguro. Calcule el importe de dichas primas puras anuales. 3

4 Ejercicio 6 Parte 1 La empresa Dolly Ltda. fabrica computadoras que al romperse no pueden ser reparadas. Dicha empresa ha estudiado la evolución de 1000 de sus computadoras, llegando a la conclusión de que su duración puede representarse mediante la siguiente función de supervivencia: l 2 = para (en años) = 0,1, 2, 3, 4, 5 Se pide: Parte 2 1) Determine los valores de la función l, para cada uno de los posibles valores de. 2) Calcular la proporción de equipos que han funcionado durante un año y son del grupo inicial, que se rompen en el segundo o en el tercero año. 1) La empresa ha decidido ofrecer para los equipos nuevos que venda, un seguro con las siguientes características: en caso de rotura de la computadora, antes de cumplirse 5 años de la venta, la empresa entregará al cumplirse el aniversario inmediato posterior a la rotura del equipo una computadora cuyo valor es de U$S Calcular el costo puro de dicho seguro utilizando una tasa efectiva anual de interés del 10%. 2) Calcule el costo puro del seguro del se pide 1 pero suponiendo que la computadora se entregará en el momento de la rotura. Ejercicio 7 2 Se considera la siguiente función de supervivencia l = 0, Se pide: 1) Determine la edad a la cual ya no quedan supervivientes. 2) Determine el costo de un seguro dotal puro para una persona de eactamente 70 años, por el cual cobrará $ si llega con vida a los 80 años, si se utiliza una tasa de interés del 3% efectiva mensual.. 4

5 Ejercicio 8 En un determinado país se tiene los siguientes valores de la función de supervivencia: l Además, se conoce que: 54 d = y d 57 = De los integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 55 años de edad, la proporción que llega con vida eactamente a los 57 años de edad es De los integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 55 años de edad, la proporción que fallece antes de cumplir los 61 años de edad es De los integrantes del grupo inicial que llegan con vida eactamente a los 35 años de edad, la proporción que llega con vida eactamente a los 41 años de edad, pero fallece antes de cumplir los 56 años de edad es 0,13. Tasa de interés: 4% efectivo anual Se pide: 1) Calcule el costo de un seguro dotal puro de una persona de eactamente 35 años de edad, por el cual se le pagará al hogar de ancianos El abuelo feliz U$S dentro de 20 años si está con vida al momento de hacerse efectivo el cobro. 2) Calcule el costo de un seguro dotal puro de una persona de eactamente 41 años de edad, por el cual se le pagará al hogar de ancianos El abuelo feliz un total de U$S dentro de 20 años si está con vida al momento de hacerse efectivo el cobro. 3) Calcule el costo de un seguro de muerte para una persona de eactamente 35 años por el cual se abonará a su cónyuge U$S en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, si el mismo ocurre luego de que el asegurado haya cumplido los 55 años y antes de cumplir los 58. 4) Calcule el costo puro del seguro del se pide 3 suponiendo que el seguro se pagará al beneficiario en el momento del fallecimiento. 5

6 Ejercicio 9 Al cumplir eactamente 70 años el del año 1, Pablo obtiene un préstamo de $ del Banco de la Plaza. La cancelación de dicho préstamo se hará mediante el pago de 3 cuotas anuales de amortización constante, la primera de las cuales se pagará dentro de un año, considerando una tasa de interés efectiva anual del 70%. Dada la avanzada edad de Pablo, para la concesión del préstamo el banco eigió que el mismo día en que se hará efectiva la operación (30.11 del año 1), el deudor contratase un seguro de muerte, por el cual si fallece antes de cancelar la deuda, la compañía aseguradora abonará al banco el saldo total pendiente en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento. Sabiendo que la compañía aseguradora utiliza una tasa de interés del 20% efectivo anual y para los hombres aplica las funciones l y d derivadas de la tabla de mortalidad uruguaya masculina (INE 2004), de la que surge que: Hombres l Se pide: ) Calcule cuánto le abonaría la compañía aseguradora al banco si el deudor falleciera en el primero, segundo o tercer año contados desde la obtención del préstamo. 2) Calcule el costo puro del seguro de muerte. 3) Determine las primas puras correspondientes a dicho seguro. Ejercicio 10 Usando las tablas de mortalidad INE 2004 y suponiendo una tasa de interés efectiva anual del 5%, calcular el costo puro de las siguientes operaciones: 1) Un capital de $ que se pagará a una mujer de eactamente 50 años si llega con vida a los 60 años. 2) Una renta de $ anuales para una mujer de eactamente 60 años, durante 3 años, bajo la condición que esté con vida en el momento del cobro. El primer pago, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene eactamente 61 años de edad. 3) Una renta de $ anuales que se devengará durante 5 años luego de transcurridos 10 años de la contratación para una mujer de eactamente 50 años de edad. El primer pago, si es que corresponde, se da cuando la persona tienen eactamente 61 años de edad. 6

7 Ejercicio 11 Tres compañías aseguradoras utilizan para el cálculo de sus costos de seguros la tabla de mortalidad masculina INE 2004, pero cada una aplica una tasa de interés distinta, la compañía A, aplica un 0,4074 % efectivo mensual, la compañía B, aplica una tasa nominal anual capitalizable semestral de 5,4264 %, y la compañía C, aplica una tasa nominal trimestral de capitalización instantánea de 1,4096 %. El sr. Z. Payo de eactamente 40 años de edad desea contratar un seguro por el cual cobre $ por año, hasta cumplir 43 años (inclusive) si está vivo al momento de hacer cada uno de los cobros, el primer cobre, si es que corresponde, se da cuando la persona tiene eactamente 41 años. 1) Determinar en que compañía aseguradora le resulta más conveniente contratar el seguro según el criterio del mínimo costo puro. 2) Calcular el costo puro de la operación en la opción elegida en 1) Ejercicio 12 Hallar, para un hombre de eactamente 60 años de edad, y utilizando la tabla de mortalidad masculina INE 2004, el costo de los siguientes seguros de muerte, suponer que el capital se pagará en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, además la tasa que se aplica es una nominal anual capitalizable mensualmente de 5,841 %. 1) Plantear y calcular (deberá hacerlo con planilla electrónica), el costo puro de un seguro de muerte, de capital $ , por el que se pagará a sus herederos, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, cualquiera sea el año en que este ocurra. 2) Plantear y calcular, el costo puro de un seguro de muerte, de capital $ , por el que se pagará se pagará a sus herederos, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, si el deceso ocurre luego de transcurridos 5 años de la firma del contrato. 3) Calcular el costo puro de un seguro de muerte, de capital $ , por el que se pagará se pagará a sus herederos, en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, si el deceso ocurre luego de transcurridos 5 años y antes de 10 años, de la firma del contrato. 4) Hallar nuevamente 1), 2) y 3) suponiendo que el seguro es pagadero en el momento del fallecimiento. Ejercicio 13 Una persona de eactamente 45 años de edad contrata un seguro de muerte, cuya vigencia comenzará dentro de 10 años y se etenderá por 5 años, pagándose el capital de $ , en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento. La tasa de interés es del 5% efectiva anual, y utilizando la tabla de mortalidad masculina INE ) Calcular el costo puro del seguro de muerte. 2) Calcular la prima pura anual, si el seguro se paga mediante 5 primas anuales abonándose la primera eactamente a los 45 años, mientras la persona está con vida. 7

8 3) Calcular la prima pura anual, si el seguro se paga mediante 5 primas anuales abonándose la primera eactamente a los 55 años, mientras la persona está con vida. Ejercicio 14 La empresa Sinled decide implantar un seguro de los televisores led, mediante el pago de un abono anual. Al estudiar la evolución de televisores descubre que su duración se representa mediante la siguiente tabla de mortalidad: Edad (años) Cantidad ) Calcular la proporción de televisores nuevos que siguen funcionando después de 2 años. 2) La Sinled decide pagar a sus abonados $7.000 en caso que se rompa la televisión cualquiera sea el momento de la rotura, pagándose dicho importe al aniversario inmediato siguiente a la rotura. Calcular el costo puro de dicho seguro, usando una tasa efectiva anual de interés del 6%. 3) Calcular el abono anual que deberán pagar los asociados, si el mismo se comienza a pagar en el momento de la contratación del service (suponiendo que el mismo se contrata siempre al adquirir el televisor nuevo), mientras éste funcione. 4) Cuál es la reserva matemática pura 2 años después de celebrado el contrato, inmediatamente después de que los clientes han pagado la cuota de ese día? Ejercicio 15 Un hombre de eactamente 65 años de edad contrata un dotal puro mito por tres años de forma tal que cobrará U$S50.00 si está vivo a los 68 años de edad o sus beneficiarios cobrarán U$S en el aniversario inmediato posterior al fallecimiento si éste se da en el período de vigencia del contrato. 8

9 La empresa Aseguradora utiliza una tasa efectiva anual del 4% y la tabla de mortalidad de la que se conoce: l d Se pide: 1) Calcular el costo puro de dicho seguro 2) Si la persona decide pagar el costo puro de dicho seguro mediante primas puras anuales durante la vigencia del seguro, calcular el importe de dichas primas puras. 9

10 Solución de Ejercicios del Capítulo 5 Ejercicio 1 1) l 0 = ) Ejercicio 2 1) 44,41 2) 274,34 3) 262,35 4) 55,20 Ejercicio 3 1) 42,96 2) 14,74 Ejercicio 4 Los resultados hubieran sido iguales Ejercicio 5 Parte 1: 1) 0,9663 2) 0,0124 l Parte 2: 1) ) ) Parte 3: 1) ) = ) 0, ) 0, ) 0, Ejercicio 6 parte 1: 1) 1000; 640; 360; 160; 40; 0 2) 0,75 Parte 2: 1)815,74 2) Ejercicio 7 1) 100 2) 1.280,41 Ejercicio 8 1) ,54 2) ,65 3) 1.266,51 4)1291,58 Ejercicio 9 1) ; y respectivamente 2) ,3 3) 6.226,4 Ejercicio 10 1) ,99 2) ,29 3) ,78 Ejercicio 11 1) la opción más conveniente es la c (la de tasa más alta) 2) el costo puro de la opción c es ,14 Ejercicio 12 1) ,68 2) ,97 3) ,0 4) 1)40.511,94 2) ,91 3) ,3 Ejercicio 13 1) ,29 2) ,95 3) ,09 Ejercicio 14 1) 0,85 2) 5.422,28 3) 1.361,74 4) Ejercicio 15 1)44617,36 2) 15940,63 10