Control Automático Ing. Eléctrica Página 1 de 8 F.R. Tucumán Universidad Tecnológica Nacional Unidad Temática 6: Función de Transferencia

Transcripción

1 Control Automático Ing. Eléctrica Página 1 de 8 Unidad Temática 6: Función de Transferencia Representación de los sistemas. Función de Transferencia. Definición. Propiedades. Los sistemas de control se pueden representar gráficamente de diversas formas, por ejemplo, mediante diagramas de flujo o diagramas de Bond-Graph. Sin embargo, en esta asignatura solo se empleara un tipo de representación grafica denominada diagrama de bloques. Estos diagramas usan las ecuaciones diferenciales del sistema en el dominio de Laplace. Generalidades En la siguiente figura se muestra la forma grafica mas elemental de representar un sistema. En dicha figura aparecen tres elementos: 1) la variable física de la entrada, que se suele representar con una flecha dirigida del exterior al sistema, 2) la variable física de la salida, que es la flecha dirigida del sistema al exterior y 3) el propio sistema, representado aquí como una caja negra del que se desconoce a priori su funcionamiento interno. Diagrama de un sistema cualquiera Esta forma tan elemental de representar un sistema permite al ingeniero establecer una primera descripción del mismo, sus posibles partes, así como las diferentes líneas de causalidad que se dan. Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra esquemáticamente el sistema Central hidroeléctrica, que tiene como entrada el caudal de agua y como salida la tensión eléctrica. Este sistema se puede dividir en dos subsistemas: 1) la turbina que trasforma el caudal de agua entrante en una velocidad de giro en su eje, y 2) la dinamo o alternador que convierte el giro mecánico en tensión eléctrica. Diagramas equivalentes de una central hidroeléctrica Evidentemente se podría haber dividido el sistema completo en muchas otras partes, conservando todas las representaciones igual validez. También se podrían haber encontrado otras variables intermedias entre la entrada y la salida, que unieran los distintos subsistemas, y que harían referencia a otras realidades físicas o incluso sin sentido físico, pero coherentes desde el punto de vista matemático. El ingeniero evitara por todos los medios cambiar el orden natural de la causalidad. En el ejemplo anterior, no debe definir la tensión como entrada y el caudal de agua como salida. Y esto aunque se pueda encontrar la relación matemática inversa que deduce la

2 Control Automático Ing. Eléctrica Página 2 de 8 segunda variable a partir de la primera. Por otro lado, existen infinitas formas de representar gráficamente un sistema cualquiera. Sin embargo, hay formas mas adecuadas que otras (por ejemplo, porque muestren las variables físicas mas importantes que intervienen en el sistema). Encontrar el esquema o modelo mas adecuado para un sistema físico es uno de los principales retos a los que se enfrenta el ingeniero. En esta asignatura no es posible detenerse aquí de forma exhaustiva. Cada ejemplo mecánico, eléctrico, hidráulico, térmico, etc. que se estudiara en profundidad podría requerir mucho tiempo de análisis y simplificación. Se manejaran solo sistemas cuyas ecuaciones diferenciales se puedan obtener fácilmente aplicando las leyes que se enumeraron anteriormente. También es posible que las leyes matemáticas aparezcan directamente en el enunciado. En este caso se supondrán correctas y se tomaran como punto de partida para la resolución del ejercicio. Sin embargo, el ingeniero no suele aceptar de forma acrítica cualquier ley matemática que se le sugiera. Por lo general debe obtenerlas a partir de ensayos experimentales que pueden llevar más tiempo que el posterior calculo de un controlador adecuado para el gobierno del sistema. Uno de los principales inconvenientes de trabajar con leyes matemáticas que no han sido deducidas por el propio ingeniero es que se puede perder fácilmente el sentido físico de los problemas de control. Conviene aquí recordar que detrás de una ley matemática se esconde un sistema físico real, del que se trabaja solo con un modelo. Función de transferencia de un sistema En los esquemas propuestos en el apartado anterior el funcionamiento interno del sistema o subsistemas es desconocido. Una forma de ofrecer esa información es escribir la ecuación diferencial que relaciona la entrada con la salida. Sin embargo, raramente se utiliza esta forma. Lo habitual es trabajar en el dominio de Laplace, definiendo la función de transferencia del sistema. Diagramas generales de un sistema La función de transferencia, en general G(s), de un determinado proceso o sistema es la relación en el dominio de Laplace entre la función de salida c(t) y su correspondiente entrada r(t), con condiciones iniciales nulas para ambas funciones. La función de transferencia es un invariante del sistema, es decir, para cualquier entrada que se produzca en el sistema, la salida que se obtiene siempre esta relacionada con la entrada a través de la función de transferencia. Como la función de transferencia es un invariante del sistema, se puede obtener experimentalmente introduciendo una función temporal conocida y midiendo la salida.

3 Control Automático Ing. Eléctrica Página 3 de 8 Aplicando la transformada de Laplace a las dos señales y calculando su cociente, se consigue la función de transferencia. Si es posible introducir en el sistema una función impulso en la entrada, la función de transferencia es directamente la transformada de Laplace de la función temporal de salida del sistema. De forma teórica es posible obtener la función de transferencia de un determinado sistema a través de las ecuaciones diferenciales de su modelo matemático. Conviene resaltar que: - La función de transferencia es una propiedad intrínseca del sistema. Conocida la función de transferencia de un sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo ante cualquier tipo de entrada. - La función de transferencia responde a la ecuación diferencial resultante que gobierna un sistema pero no ofrece información acerca de su configuración interna. Dos sistemas físicos diferentes pueden poseer idénticas funciones de transferencia. Función de Transferencia de Compensadores y Controladores Se presenta el Diagrama de Bloques de un Sistema de Control con Realimentación tipo SISO de señales analógicas: La figura muestra un sistema de Control típico Simple Entrada Simple Salida (SISO). Se debe destacar que las flechas indican la dirección del flujo de las señales de control (no necesariamente el flujo de la energía principal del sistema). Nomenclatura: Las letras minúsculas representan variables de entrada y de salida de los elementos, como también de los símbolos de los bloques en el dominio del tiempo (t). Las letras mayúsculas se reservaran para representar funciones transformadas de Laplace o de Fourier (dominio de la frecuencia). Lo común es que dichas funciones de Laplace se omita la variable s, en cambio la variable (jw) de Fourier nunca se abrevia. Planta: El conjunto de piezas o sistema, objeto a ser controlado por el sistema de control. Camino Directo: Es la relación c/r; Salida-Entrada cuando se abre el Lazo de Realimentación. Elemento Anticipativo: Son los componentes que se adicionan a la Señal Actuante para adecuarla a excitar a la Planta. Por ejemplo Amplificadores, Controladores, Compensadores, Filtros, etc.

4 Control Automático Ing. Eléctrica Página 4 de 8 Ganancia de Lazo: Es la transferencia o ganancia que sufre una señal cuando se abre el lazo y lo recorre completamente. En la figura es g1.g2.h Elementos de Realimentación (h): Es la relación b/c, normalmente son sensores, compensadores, etc. Error o Señal Actuante: Es la diferencia entre la Referencia r y la Señal Primaria de Realimentación (b). Realimentación Negativa: Significa que el punto de suma es sustractor: e= r b Realimentación Positiva: Significa que el punto de suma es sumador: e= r + b Transductor: Es un dispositivo que convierte una forma de energía en otra. Por ejemplo un potenciómetro transforma un movimiento angular en una tensión eléctrica. Cuando el elemento de realimentación y la entrada necesitan un transductor, esa parte del sistema de control se llama Detector de Error. Noise, Ruido o Perturbacion (n): Es una señal de entrada no deseada, puede ingresar por la planta, en el punto de suma o cualquier otro punto y que afecta la salida c. Controlador o Compensador: Es el elemento anticipativo (g1) entre el error e y la entrada u a la planta y que da el algoritmo de control: 1 Controlador On-Off: Tiene dos valores posibles en la salida u, dependiendo del valor de la entrada e (error). u = 1 si e>a u = 0 si e=<a 2 Controlador Proporcional (P): La salida u es proporcional a la entrada e. u = kp e donde kp=constante de Proporcionalidad 3 Controlador Derivativo (D): La salida u es proporcional a la derivada (relación de cambio o variación) de la entrada e. u = kd d e dt donde kd=constante de Proporcionalidad 4 Controlador Integrativo (I): La salida u es proporcional a la integral (área encerrada bajo la curva) de la entrada e. 5 Control Proporcional-Derivativo (PD): u = kp e + kd d e ; dt 6 Control Proporcional-Integrativo (PI):

5 Control Automático Ing. Eléctrica Página 5 de 8 7 Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID): Sistema de realimentación negativa no unitaria Los sistemas de realimentación negativa son los más extendidos para el control de sistemas, por eso su estructura se estudia de forma pormenorizada. En la siguiente figura se representa el caso más simple de sistema de realimentación negativa no unitaria. Hay que en cuenta que las funciones de transferencia G(s) y H(s) pueden ser el resultado del producto de varias funciones de transferencia. Sistema de realimentación negativa no unitaria Se muestra la solución del sistema de ecuaciones de Laplace de la realimentación negativa no unitaria, es decir, la salida en función de la entrada. C = E. G; E = R - B; B = H. C C = G R 1 + G. H Habitualmente se emplea el convenio de usar la letra C(s) para nombrar a la transformada de Laplace de la función de salida y R(s) para la entrada. A la señal E(s) se le llama error y a B(s) señal de realimentación. Las funciones de transferencia que intervienen en el sistema son: - Función de Transferencia Directa o Ganancia de Camino Directo: es la que relaciona la señal de error y la salida: Gd = C = G E - Función de Transferencia en Lazo Abierto o Ganancia de Lazo: es la que relaciona la señal de error y la realimentación. Es el producto de todas las funciones de transferencia que se encuentran dentro del lazo de control: Gla = B = G. H E

6 Control Automático Ing. Eléctrica Página 6 de 8 - Función de Transferencia en Lazo Cerrado: es la que relaciona la señal de entrada y la salida. Es igual a la Función de Transferencia Directa dividido en uno más la Función de Transferencia en Lazo Abierto. Glc= C = G = Gd ; R 1 + GH 1 + Gla Con la Función de Transferencia en Lazo Cerrado se puede representar el sistema de la figura anterior con un único bloque: Sistema equivalente en lazo cerrado Para el diseño de controladores son especialmente importantes las expresiones de las funciones de transferencia en lazo abierto y cerrado. El sistema controlado responde a la función de transferencia en lazo cerrado, sin embargo, muchas de las características del sistema controlado se deducen a partir de la función de transferencia en lazo abierto, como se ira mostrando en los sucesivos apartados. En la siguiente figura se representa el caso de sistema realimentación negativa no unitaria en presencia de perturbaciones. Para la señal de perturbación se suele emplear la letra N y su signo puede ser positivo o negativo. Sistema de realimentación con perturbaciones Seguidamente se muestra la solución del nuevo sistema de ecuaciones de Laplace. En este caso es la salida en función de las dos entradas al sistema: la referencia R y la perturbación N. La solución se puede obtener por superposición, es decir, sumando las salidas que se producen con entrada R y N nula más la salida con entrada N y R nula. La entrada propiamente dicha en el sistema es la señal R y se llama referencia porque se desea que el sistema controlado la siga fielmente. Observando la ecuación se puede deducir lo siguiente: 1 - El seguimiento se consigue de forma exacta, C = R, cuando la función de transferencia que multiplica a R se asemeja a la unidad, y la que multiplica a N se asemeja a cero.

7 Control Automático Ing. Eléctrica Página 7 de 8 Una forma de conseguir las dos cosas es hacer G1 todo lo grande que sea posible y H igual a la unidad. Por esta razón es habitual estudiar los sistemas de control de realimentación negativa unitaria, donde el controlador se coloca inmediatamente después del calculo del error, es decir, el controlador actúa en función de la señal del error. A la actuación del controlador se añaden las perturbaciones que puedan existir sobre la planta. Un sistema servo busca sobre todo el seguimiento de la señal, es decir, que la función de transferencia de la R sea lo mas parecida a la unidad, mientras que un sistema regulador busca sobre todo el rechazo a las perturbaciones, es decir, anular la función de transferencia que multiplica a la perturbación. 2 - El denominador de las dos funciones de transferencia es idéntico. Este denominador es una característica esencial del sistema y es especialmente necesario estudiar cuando se hace igual a cero (el cociente se hace infinito); lo cual indica inestabilidad. Estudiando dicha condición: 1 + G1 G2 H = 0 G1 G2 H = -1 Y como se trata de una expresión compleja quiere decir el modulo de G1 G2 H es igual a 1 y la fase es igual a 180º. Sistema de realimentación negativa unitaria En la siguiente figura se representa el caso de sistema realimentación negativa unitaria con perturbaciones. Que la realimentación sea unitaria implica que el sensor que mide la salida es ideal, es decir, no modifica en absoluto dicha señal. La función de transferencia G1 incluye el controlador y la etapa final de amplificación, mientras que G2 es la planta que se desea controlar. Sistema de realimentación negativa unitaria Hay que resaltar que, en el caso de realimentación negativa unitaria las funciones de transferencia directa y de lazo abierto coinciden y es el producto de G1 y G2. Si no se especifica otra cosa, cuando se desee controlar un sistema, se entenderá que se le introduce en un lazo de control similar al de la figura. Las perturbaciones, también si no se especifica otra cosa, se supondrán nulas.

8 Control Automático Ing. Eléctrica Página 8 de 8 Respuesta en frecuencia En este apartado se estudia la respuesta del sistema ante una entrada sinusoidal. Esto permite hallar la función de transferencia de un sistema con una planta compleja mediante un método práctico sencillo. La representación de la respuesta en frecuencia de un sistema sirve para dar una medida de su estabilidad relativa, completando la información que puede dar el criterio de Routh-Hurwitz. Respuesta a una entrada sinusoidal Sea G(s) la función de transferencia de un sistema y R(s) una entrada sinusoidal. La salida del sistema en el dominio temporal y régimen permanente es: Por tanto el sistema amplifica o atenúa en función de la frecuencia de la señal de entrada. Lo mismo ocurre con el adelanto o retraso de la señal de salida respecto de la entrada. Existen varias formas de representar esos cambios en función de la frecuencia, la siguiente grafica ilustra lo dicho: En esta asignatura, sin embargo, solo se emplearan los diagramas de Bode.