Regresion, correlacion y causalidad. Walter Sosa Escudero

Transcripción

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2 Motivacion Y i = α + βd i + u i En que sentido β mide el efecto que D tiene sobre Y? En que sentido ˆβ en base a (D i, Y i ), i = 1,..., n estima el efecto que D tiene sobre Y? Droga sobre temperatura corporal, dieta sobre peso corporal, AUH sobre asistencia al secundario.

3 Causa y efecto en base a observables D = 0, 1, causa, tratamiento. Notacion D 1 (D = 1), D 0 (D = 0). Y es un resultado. Y D 1 = resultado observable si hubo tratamiento. Y D 0 si no hubo tratamiento. Resulta tentador pensar que el efecto causal es la diferencia entre tratados y no tradados : Y D 1 Y D 0 Ej: comparar personas que hicieron / no hicieron dieta, recibieron o no la AUH. Problema?

4 Antes y despues Por las mismar razones, tampoco funciona comparar antes y despues Y D 1 Y D 0 Peso antes y despues de hacer dieta. Nuevamente, comparacion de peras y manzanas. Ceteris paribus?

5 Causa y efecto en base a contrafactuales Cuestion filosofica muy delicada. Aproximacion simple. Resultados potenciales. Y 0 si D = 0 Y 1 si D = 1 independientemente de si hubo o no tratamiento. Ej: Y 1 temperatura si tomases un analgesico. Son promesas. Y 0 salario si no recibieses la AUH Efecto causal: β = Y 1 Y 0 (caida en la fiebre si tomases una aspirina con respecto a que no la tomes). Se define en terminos de diferencias entre resultados potenciales.

6 Inobservabilidad de contrafactuales Problema: en la realidad se observa Y 1 o Y 0 pero nunca ambos. D implica haber eliminado una ruta observable. Ambas rutas potenciales existen. El tiempo se bifurca perpetuamente hacia innumerables futuros. En uno de ellos soy su enemigo. (J.L. Borges, en El jardin de senderos que se bifurcan)

7 Observables En la practica se observa Y O, alternativamente: Y = { Y1 si D = 1 Y 0 si D = 0 Y = Y 0 + (Y 1 Y 0 ) D Inobservancia de contrfactuales: Si a una persona le di una droga, observo la temperatura de la persona habiendole dado la droga, pero no veo a la misma persona en la circunstancia de no haberle dado la droga. Y viceversa!

8 Sesgo de seleccion El problema de medir el efecto causal parece no tener solucion (inobservabilidad de contrafactuales) Notacion D 1 (D = 1), D 0 (D = 0) Comparacion personas tratadas y no tratadas Y D 1 Y D 0 Verbalizacion: peso de gente que hizo dieta con gente que no hizo dieta. Problema? (peras con manzanas)

9 Y D 1 Y D 0 = [ Y D 1 Y 0 D 1 + [ Y0 D 1 Y D 0 = [ Y 1 D 1 Y 0 D 1 + [ Y0 D 1 Y 0 D 0 con S Y 0 D 1 Y 0 D 0 Y D 1 Y D 0 = β + S S es el sesgo por seleccion.

10 Y D 1 Y D 0 = β + S Dif Observables = Efecto causal + Sesgo Sesgo: S Y 0 D 1 Y 0 D 0 Diferencia en peso potencial sin tratamiento, entre tratados y no tratados. En la practica? Quien hace dieta / toma analgesicos? Con datos observacionales S 0. Sesgo: la comparacion entre tratados y no tratados estima el efecto causal MAS el sesgo.

11 Aleatorizacion al rescate Tratamiento aleatorio: D es indepediente de Y 1 y Y 0 Y D 1 Y D 0 = β + [ Y 0 D 1 Y 0 D 0 E [ Y D 1 Y D 0 = β + E [ Y 0 D 1 E [ Y0 D 0 = β + E [ Y 0 D 1 E [ Y0 D 1 = β El paso clave es que bajo tratamiento aleatorio E [ Y 0 D 1 = E [ Y0 D 0 Resultado: el tratamiento aletorio elimina el sesgo.

12 Tratamiento aleatorio? Tratamiento aleatorio: eleccion de tratamiento sin mirar resultados. Experimento o cuasi experimento. D se mueve en forma exogena ( causa ). No funciona: la gente no hace dieta porque si, ni toma aspirinas al azar sino porque inicialmente tenia fiebre. Auge de la aproximacion experimental en medicina. Economia? Experimento: control de la variabilidad exogena.

13 Todos los que toman este remedio se recuperan rapidamente. Excepto aquellos para los cuales el remedio no funciono, y que se. Galeno, Siglo II.

14 Regresion? Que informacion contiene Y i = α + βd i + u i en esta historia? Y = Y 0 + (Y 1 Y 0 )D = E(Y 0 ) + βd + [ Y 0 E(Y 0 ) Y = α + βd + u con α E(Y 0 ) y u Y 0 E(Y 0 ) Supongamos que tenemos una muestra (Y i, D i ), i = 1,..., n Para que ˆβ sea insesgado necesitamos E(u i D i ) = 0.

15 E(u i D i ) = E [ Y 0 E(Y 0 ) D i = E(Y 0 D i ) E(Y 0 ) = E(Y 0 ) E(Y 0 ) = 0, ya que bajo aleaotorizacon E(Y 0 ) = E(Y 0 D i ), de modo que ˆβ en base a datos observables es insesgado para el efecto causal. Conclusion: Bajo aleatorizacion de tratamiento, Y = α + βd + u tiene una interpretacion causal. ˆβ es insesgado para los datos observacionales (no hace falta ver los potenciales).

16 Resumiendo Causalidad: relacion entre contrafacuales. Uno no es observable. Bajo aleatorizacion de tratamiento, Y = α + βd + u tiene una interpretacion causal. ˆβ es insesgado. Rol de E(u D) = 0: D varia en forma exogena. Relevancia del razonamiento experimental. Cuestion muy importante en las ciencias sociales en los ultimos tiempos.

17 Referencias Angrist, J. y Pischke, J., 2014, Mastering Metrics: the Path from Cause to Effect, Cap. 2, Princeton University Press, Princeton. Sosa Escudero, W., 2014, Que es (y que no es) la Estadistica, Siglo XXI Editores, Buenos Aires. Capitulo 3: El huevo y la gallina: causalidades y casualidades. Borges, J.L., 1944, El jardin de senderos que se bifurcan, en Ficciones, Sudamericana, Buenos Aires.

18 A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creia en un tiempo uniforme, absoluto. Creia en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas la posibilidades. No existimos en la mayoria de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos. En este, que un favorable azar me depara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted, al atravezar el jardn, me ha encontrado muerto; en otro, yo digo estas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma. J.L. Borges, 1944, El jardin de senderos que se bifurcan

19 Apendice: ˆβ como diferencia de medias Notacion Y i = α + βd i + u i, T = tratados, N T = no tratados. i = i,..., N Ȳ T, ȲN T, promedios tratados y no tratados. T Y i D i Y i, N T (1 D)Y i Resultado: ˆβ = Ȳ T ȲN T

20 Prueba Recordar ˆβ = di Y i d 2 i, d i D i D Denominador: d 2 i = (D i D) 2 = Di 2 N D 2 = D i N T 2 /N 2 = T T 2 /N = T (1 T/N)

21 Numerador: di Y i = (D i D)Y i = D i Y i D Y i = ( Y i T/N Y i + ) Y i T T N T ( ) = T ȲT T/N T ȲT + (N T ) ȲN T = ȲT T (1 T/N) ȲN T T (1 T/N) ) = T (1 T/N) (ȲT ȲN T Reemplazando y simplificando se obtiene el resultado. Ejercicio: derivar ˆα para este caso.