Funciones elementales con GeoGebra
|
|
- Natalia Silva Sosa
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Taller Funciones elementales con GeoGebra RESUMEN Funciones elementales con GeoGebra Francisco Haro Laguardia IES Jándula, Andújar Jaén GeoGebra es un hardware muy desarrollado y que de forma muy sencilla ofrece una representación gráfica de las funciones. En este taller aprenderemos a representar funciones elementales y funciones a trozos. Estudiaremos la continuidad y derivabilidad de funciones que dependen de un parámetro, y el cálculo de los puntos críticos de las mismas con el uso de la derivada y los comandos que GeoGebra nos ofrece.las funciones elementales y sus transformaciones son parte importante del currículum de matemáticas, y el uso de deslizadores resulta muy útil para entender las trasformaciones de las gráficas de las funciones elementales. GeoGebra, TIC, Funciones 17JAEM Cartagena 015 : Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Julio 015
2 Representación de funciones con GeoGebra Para obtener la gráfica de una función y = f(x) basta con introducir la expreón a través de la línea de comandos. El programa le agnará un nombre, en este caso f(x) cuya ley de formación aparecerá en la Vista algebraica y su representación en la Vista gráfica. Obtendremos al pulsar Enter la gráfica de la función: En ocaones, será necesario ajustar la escala de representación para cada uno de los ejes o realizar acciones de zoom para lograr una mejor vión de la función representada. Para conseguir estas acciones, disponemos de las opciones necesarias a las que se accede pulsando el botón derecho del ratón en un lugar libre de la Vista gráfica. Aparecerá el menú guiente: La opción Zoom permite ampliar o reducir la vista gráfica a la escala deseada. También podemos hacer un zoom para acercar o alejar la imagen con ayuda de la rueda del ratón o pulsando sobre las herramientas: No hay problema en hacer cualquier zoom ya que podemos volver a la vista por defecto pulsando la opción Vista Estándar disponible en el menú anterior, o también en la parte superior izquierda de la vista gráfica al activar la pestaña Página de 1
3 Para cambiar la relación de escala entre los ejes, al pulsar sobre la opción EjeX:EjeY aparecerá un nuevo menú desplegable para selecciona la nueva relación entre los ejes X e Y, que por defecto es 1:1 Actividad 1 Representar la función f ( x) 8x 30. Ajustar la escala de los ejes para que aparezca la función. Actividad Representar la función x 31 f ( x). Utilizar el Zoom para visualizar la función. x 18 Para establecer un rango de valores para la representación de los ejes hay que acceder a la opción Vista gráfica en el menú que aparece al pulsar el botón derecho del ratón en un espacio libre de esta vista. El segundo botón que encontramos en la parte superior corresponde a Preferencias-Vista gráfica Este botón permite modificar los valores, escalas y características de los ejes y de la cuadrícula. También se podrá acceder a las opciones anteriores a través de Avanzado en el menú Opciones. En las funciones representadas se podrán estudiar sus elementos a través de distintos comandos y opciones disponibles en GeoGebra Página 3 de 1
4 Por ejemplo se podrán calcular los puntos de intersección de dos funciones ya que GeoGebra condera a cada una de ellas como un objeto al que se pueden aplicar las distintas herramientas disponibles. En este caso, bastará con seleccionar la herramienta Intersección de dos objetos para obtener las coordenadas de los puntos de corte entre la parábola y la recta representadas, o seleccionando la herramienta Punto y colocándose sobre los puntos de intersección Actividad 3 Obtener los puntos comunes de las funciones Actividad 4 1 x f ( x) y x g( x) x Dadas las funciones f n (x) = x n para n=1,,3,4. Hallar los puntos de corte de f 1 f ; f 1 f 3 ; y f f 4. Utilizar colores diferentes para representar las funciones. Cuando las expreones de las funciones que se desean representar guen alguna relación, como es el caso anterior, disponemos del comando Secuencia para generar de manera automática la lista correspondiente a las leyes de formación y por tanto, también su representación gráfica. La ntaxis de este comando es: Secuencia[expreón, variable, valor inicial, valor final, incremento] Para las funciones anteriores, escribiremos en la línea de entrada la expreón guiente: Secuencia[x^n,n,1,4] (aquí falta el incremento, que cuando no se escribe GeoGebra entiende que es 1) El resultado será la lista compuesta por las expreones {x, x, x 3, x 4 } y la representación de las cuatro funciones. Actividad 5 Utilizando el comando secuencia representa las parábolas f(x)=ax, para a = 0.; 0.4; 0.6; 1.8;. Es importante saber que no queremos que el parámetro a esté elevado al cuadrado pondremos a*x, o intercalaremos un espacio entre a y x (esto será válido para cualquier potencia par) Funciones definidas en intervalos Además, para limitar la representación de una función para valores de la variable independiente dentro de un intervalo [x 1, x ] disponemos del comando Función, cuya ntaxis es: Función[f(x), x 1, x ] Página 4 de 1
5 Actividad 6 Representa la función f(x)= senx en el intervalo [-π,π]. Para representar la función seno se usa la expreón sen(x) Utilizando la herramienta Punto se puede crear un punto sobre una función previamente representada. Las coordinadas del punto aparecerán en la vista algebraica. Además, el punto se podrá desplazar sobre la función de manera manual o automática, activando en este caso la Animación automática, para recorrerla. FUNCIONES ELEMENTALES Comencemos estudiando las rectas, variando la pendiente y la ordenada en el origen. Para ello introducimos dos deslizadores a y b seleccionándolos y pinchando el lugar de la ventana gráfica donde deseamos colocarlos, y tomamos los valores que nos dan por defecto, entre -5 y 5 y con un incremento de 0.1 Escribimos en la barra de entrada la función ax+b, y por defecto aparecerá en pantalla la recta f(x)=x+1. Al variar los deslizadores a y b se podrán ver las variaciones de las pendientes (cuando se mueve a) y de las ordenadas en el origen (cuando se mueve b) Actividad 7 Define tres deslizadores, a, b y c y define la función f(x)=ax +bx+c. Al mover los deslizadores veremos las variaciones de curvatura, pociones del vértice y ordenada en el origen de las funciones parabólicas. Qué movimiento hace la parábola cuando variamos el coeficiente b? Define la recta x= -b/a, que intersecada con la parábola se obtiene el vértice, activa el rastro de ese vértice que llamaremos V y observa lo que ocurre cuando varía el coeficiente b. De igual manera se pueden definir polinomios de grado superior a dos y estudiar sus variaciones cuando cambian los coeficientes del polinomio Los deslizadores son muy útiles para variar no solo coeficientes de las funciones polinómicas, no cualquier otro elemento de las construcciones con GeoGebra. Página 5 de 1
6 Actividad 8 Define un deslizador para representar las funciones f(x)=x n para n=1, 6 Otras funciones elementales: Para representar funciones irracionales se utiliza la expreón sqrt(x) para la raíz cuadrada y la expreón raizn[x,n] para la raíz n-éma Para funciones racionales será suficiente definir la fracción, escribiendo entre paréntes numerador y denominador Para funciones trigonométricas sen(x); cos(x), tg(x), sec(x), cosec(x) y cotg(x) Las funciones exponenciales se escriben: exp(x) ó e x para la función exponencial de base el número e, y ln(x) ó log(x) para la función logartimto neperiano. Para funciones exponenciales de base a escribiremos directamente a x, y para logaritmos en base a escribiremos log(a,x). La función valor absoluto de una función se expresa en la barra de entrada escribiendo abs(f), habiéndose definido previamente la función f, o directamente escribiendo abs( función ) GeoGebra ofrece un menú con todos estos comandos y otros muchos para funciones, pinchando en la parte inferior derecha la pestaña, donde aparecerá una ayuda de comandos, que están claficados por bloques, endo el primero de ellos el de las funciones matemáticas Actividad 9 Representa las guientes funciones f 1 (x) = f (x) = log 3 (-3x) f 3 (x) = f 4 (x) = f 5 (x)= 3 sen x Transformaciones gráficas de funciones. Para visualizar gráficamente las transformaciones de las gráficas vamos a definir un deslizador a entre los valores -3 y 3 con un incremento de Página 6 de 1
7 Escribimos la función f(x)= x 4 -x -1 y la mantenemos en pantalla. Sobre ella definimos una a una las guientes funciones: f 1 (x)=f(x)+a; f (x)=f(x+a); f 3 (x)=af(x); y f 4 (x)=f(ax) Vamos ocultando las diferentes funciones y dejando aquella que queremos estudiar. FUNCIONES A TROZOS Para representar una función definida por intervalos utilizaremos el comando condicional Si, cuya ntaxis es: Si[condición, acción]. En este caso realiza la acción indicada la condición es verdadera. Cuando escribimos: Si[condición, acción1, acción] realizará la acción1 cuando la condición es verdadera y en caso contrario, ejecutará la acción. Por ejemplo, para representar la función: f x 1 x) x ( x 1 x 1 Escribiremos en la línea de entrada la expreón: Si[x<1,x^-1,-x^+] Obteniendo la gráfica que aparece en la imagen guiente: Página 7 de 1
8 Cuando existan más de dos intervalos será necesario anidar los comandos Si para definir la función. Por ejemplo, para representar la función Si[x<-,-x,Si[x<1,+x,-x²+4]] x g( x) x x 4 Obteniendo la representación que aparece en la imagen guiente: x x 1 1 x escribiremos: Actividad 10 Representa las guientes funciones definidas a trozos Estudio de una función Para determinar los puntos característicos de una función también disponemos de algunos comandos, que se podrán utilizar de manera directa sobre funciones polinómicas o estableciendo un intervalo de búsqueda para otras funciones. Raíces de una función El comando función Raíz devuelve y representa los puntos correspondientes a las raíces de una función. Este comando admite distintos argumentos que relacionamos a continuación: Raíz[p(x)]: devuelve las raíces de una función polinómica. Raíz[f(x), x 0 ]: obtiene una raíz de la función f(x) aplicando el método de Newton tomando como valor inicial x 0. Raíz[f(x), x 1, x ]: obtiene una raíz de la función f(x) en el intervalo [x 1, x ] aplicando el método de regula fal. Raíces[f(x), x 1, x ] obtiene las raíces de la función cuando son mas de una raíz la que se encuentra en el intervalo [x 1, x ] Página 8 de 1
9 Observamos que el comando Raíz devuelve todas las raíces del polinomio, mientras que la segunda función solo devolverá las raíces encontradas en el intervalo indicado. Actividad 11 Encontrar las raíces de las guientes funciones Extremos de una función Utilizando Extremo se obtendrán y se representarán los puntos correspondientes a los extremos relativos de una función polinómica. Página 9 de 1
10 De manara análoga, con Extremo se obtendrán los máximos y mínimos de una función no polinómica en el intervalo indicado. En este caso, la ntaxis será: Extremo[f(x), x 1, x ] Punto de inflexión de una función A través del comando PuntoInflexión[p(x)] obtendremos las coordenadas de los puntos de inflexión de la función polinómica p(x), que además aparecerán representados en la ventana gráfica. Este comando no está disponible para funciones no polinómicas, aunque podemos obtener su valor ya que los puntos de inflexión de una función serán los extremos de su derivada, por lo que bastará con obtener la primera derivada. Y encontrar los extremos de la misma. Página 10 de 1
11 Actividad 1 Encontrar extremos y puntos de inflexión de las guientes funciones ESTUDIO DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES CON PARÁMETROS Para estudiar la continuidad de una función a trozos, definida mediante parámetros vamos a usar los deslizadores. Qué valor que debe tomar k para que la función f sea continua en el punto x 0 =1? f x x) kx ( 1 x 1 x 1 Comenzaremos definiendo un deslizador k, con los valores e incremento que se nos dan por defecto, entre -5 y 5 y con incremento de 0.1. A continuación definimos la función x -1 y la función kx +, que son las que intervienen en los trozos de nuestra función, y las ocultamos. Luego definimos la función a trozos. Al mover los deslizadores podremos encontrar el valor de k, que nos hacen que las funciones sean continuas en el punto 1 Si deseamos que aparezca un texto en el que se nos diga que la función sea continua cuando encontremos ese valor k, procederemos de la guiente manera. Seleccionamos la herramienta Texto, y pinchamos en la zona de la ventana gráfica donde deseemos que aparezca. Una vez escrito entramos en propiedades y en la pestaña Avanzado escribiremos en las condiciones para mostrar objeto: f(1)=g(1) Página 11 de 1
12 Esto hará que nuestro texto de Función Continua aparezca solamente cuando la función lo sea Actividad 13 Estudiar para qué valores a y b, la función f(x) es continua y con derivada continua en todo su dominio. (Para hallar la derivada de una función bastará escribir en la barra de entrada Derivada[f]) Escribe el texto Continua y Derivable y haga que aparezca en pantalla cuanto tengamos la solución. bx f ( x) a cos x x 0 x 0 Actividades Finales 1. Representar las funciones guientes: x 3 f ( x) g ( x) x 1 h( x) x sen( x). x. Representa la función guiente definida a trozos: x f ( x) x x x 1 1 x 1 1 x 3. Estudiar la función: y x 5 4x 3 x 4. Estudia continuidad y derivabilidad de la guiente función definida a trozos en función de los parámetros a y b Página 1 de 1
Club GeoGebra Iberoamericano. 9 INECUACIONES 2ª Parte
9 INECUACIONES 2ª Parte INECUACIONES INTRODUCCIÓN Los objetivos de esta segunda parte del tema serán la resolución de inecuaciones con GeoGebra y la aplicación que tiene este software para la representación
4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
2. OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS.
Operaciones algebraicas básicas 27 2. OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS. En este apartado vamos a realizar las operaciones algebraicas básicas que nos permiten utilizar DERIVE como herramienta de cálculo.
Derivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página
Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por
DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,
VECTORES EN EL PLANO CON DERIVE
VECTORES EN EL PLANO CON DERIVE En DERIVE los vectores se pueden introducir de dos formas distintas: (a) mediante la secuencia de comandos Introducir Vector EJEMPLO Definir el vector de componentes (1,2)
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y escribir su función derivada: si < ( ) f 7 si < 7 si b) f c) f La función f(
ESTADÍSTICA CON EXCEL
ESTADÍSTICA CON EXCEL 1. INTRODUCCIÓN La estadística es la rama de las matemáticas que se dedica al análisis e interpretación de series de datos, generando unos resultados que se utilizan básicamente en
DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:
DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que
FUNCIONES POLINÓMICAS
PRÁCTICAS CON DERIVE 28 NUM.de MATRÍCULA FECHA... APELLIDOS /Nombre...PC PRÁCTICA CUATRO. FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES POLINÓMICAS Dado un entero n 0, la función f(x) =a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n
3. COMANDOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL.
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 36 3. COMANDOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL. En esta sección vamos a mostrar una breve relación de las RUTINAS BASICAS del cálculo contenidas
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. . Se lee x tiende a x por la derecha. , se expresa así: , se expresa así: por la derecha)
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO gnifica que toma valores cada vez más próimos a. Se lee tiende a. Ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos.
Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
REGLA DE L'HÔPITAL. En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e
REGLA DE L'HÔPITAL En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e y se aprenden los artificios necesarios para resolverlas. Generalmente, surgen en límites de
Tema Contenido Contenidos Mínimos
1 Estadística unidimensional - Variable estadística. - Tipos de variables estadísticas: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. - Variable cualitativa. Distribución de frecuencias.
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Cómo introducir las coordenadas de un punto? Cómo representar gráficamente las coordenadas de un punto? Puntos en el plano
Puntos en el plano Cómo introducir las coordenadas de un punto? Elegimos en la barra de menús de la Ventana de Álgebra la opción Editar/Vector... o bien pulsamos sobre el icono y en Elementos escribimos
3. COMANDOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL.
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5 4 3. COMANDOS BÁSICOS PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL. En esta sección vamos a mostrar una breve relación de las RUTINAS BASICAS del cálculo contenidas
Elementos esenciales de Word
Word 2013 Elementos esenciales de Word Área académica de Informática 2015 Elementos esenciales de Word Iniciar Microsoft Word 2013 Para entrar en Microsoft Word 2013 Haz clic en el botón Inicio para ir
MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.
MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA ) Determinar k y h para que las rectas kxy-h=0, 4xky-=0, se corten en un punto ) La recta r: 5 x y 9 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Obtener la ecuación
Continuidad de las funciones. Derivadas
Matemáticas II. Curso 008/009 Continuidad de las funciones. Derivadas 1. Estudiar en x = 0 y x = la continuidad y derivabilidad de la función cos x si x 0 x f (x) = si 0 < x < sen x si x (Junio 1997) f
Curso de iniciación a las TIC en Educación Permanente CEP de Castilleja (Sevilla) (octubre/noviembre 2009) Calc. Eva Sánchez-Barbudo Vargas
Curso de iniciación a las TIC en Educación Permanente CEP de Castilleja (Sevilla) (octubre/noviembre 2009) Calc Eva Sánchez-Barbudo Vargas José Juan Pastor Milán 1 1. Qué es y para qué sirve OpenOffice
CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
MANUAL PARA EL MANEJO DE GRAPHMATICA 2.0C
MANUAL PARA EL MANEJO DE GRAPHMATICA 2.0C ARCHIVO: NUEVO: ESTA PROPIEDAD SE EMPLEA PARA CREAR UN DOCUMENTO NUEVO O UN SISTEMA DE COORDENADAS NUEVO. ABRIR: ABRE UN DOCUMENTO GUARDADO CON TERMINACION.GR
GUIA DE USO GRAPHMATICA
GUIA DE USO GRAPHMATICA Ingreso de funciones a. El ingreso de funciones se hace en el renglón blanco de entrada. Autor: Gustavo Rodriguez Para ingresar una ecuación se puede realizar en la forma explícita
f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Al entrar en Excel nos aparecerá la siguiente ventana:
ELEMENTOS DE LA PANTALLA DE EXCEL. Al entrar en Excel nos aparecerá la siguiente ventana: 1 2 3 4 8 9 10 5 6 7 11 15 12 14 13 En la que se distinguen las siguientes partes: 1. Barra de Inicio Rápido (Nueva
INTEGRACIÓN INDEFINIDA
1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple quef'(x) = f(x), x. Dicho
Mapa Curricular: Funciones y Modelos
A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. A.PR.11.2.2 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros,
Apellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.
EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula
Terceros Ekon Sical. Departamento de Informática
1 Terceros Ekon Sical Departamento de Informática 2 TERCEROS En la aplicación hay dos puntos de menú donde pueden tratarse los terceros dentro de SP Base y en la contabilidad en la entrada específica de
UNIDAD 4. MODIFICAR TABLAS DE DATOS
UNIDAD 4. MODIFICAR TABLAS DE DATOS Aquí veremos las técnicas de edición de registros para modificar tanto la definición de una tabla como los datos introducidos en ella. Esta unidad está dedicada, principalmente,
Límites y continuidad de funciones reales de variable real
Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones
Derivadas e integrales
Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................
Cómo introducir funciones en Geogebra y desplazarte por ellas para explorar sus propiedades.
Explorando funciones con Geogebra GeoGebra es un software de matemática que reúne geometría, álgebra y cálculo. Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones
Guía de uso de DERIVE. 2) Botones de acceso rápido Al colocar el cursor sobre el botón aparece un recuadro con su función
Sobre la pantalla principal de DERIVE distinguimos: 1) La barra del menú 2) Botones de acceso rápido Al colocar el cursor sobre el botón aparece un recuadro con su función UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS
Infinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito
OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes
Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Funciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA MATEMATICAS T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon
CONCRECIÓN DE LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN Curso: PRIMERO de BACHILLERATO CIENCIAS Asignatura: MATEMÁTICAS I Profesor: ALFONSO BdV
CONCRECIÓN DE LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN Curso: PRIMERO de BACHILLERATO CIENCIAS Asignatura: MATEMÁTICAS I Profesor: ALFONSO BdV 1. Números reales. Aritmética y álgebra 1.1. Operar con fracciones de números
DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA APLICACIÓN...
ÍNDICE 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA APLICACIÓN... 1 1. 1. CONFIGURACIÓN DEL NAVEGADOR... 1 1. 2. BLOQUEADOR DE VENTANAS EMERGENTES DE LA BARRA DE GOOGLE... 8 1. 3. ACCESO A LA APLICACIÓN... 8 1. 4. DESCRIPCIÓN
Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1
Modelo. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción < a ; e > se pide: a) ( punto) Determinar el valor de a para que sea continua en. b) ( punto) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad
Integral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Integral indefinida 1. Integración Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces,
CÁLCULO DE DERIVADAS
TEMA 4 CÁLCULO DE DERIVADAS Contenidos Criterios de Evaluación 1. Función derivada.. Derivadas sucesivas. 3. Derivadas elementales. 4. Álgebra de derivadas. 5. La Regla de la Cadena. 6. Continuidad y derivabilidad.
ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com
FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1- Considere la función: 3 2 a) Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función f(x). b) Determine los intervalos de
http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17
http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la
EVALUACIÓN EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE CURSO Contenidos para la Prueba de Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I.
EVALUACIÓN EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE CURSO 2013-2014. Contenidos para la Prueba de Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I. UNIDAD 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Operaciones
Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una
sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,
Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS CON EXCEL
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS CON EXCEL I. Recomendaciones para la utilización de cada gráfico de Excel 1. Gráfico de columna horizontal (figura 1) y vertical (figura 2) Son útiles para comparar categorías,
Problemas Tema 3 Solución a problemas de Derivabilidad - Hoja 11 - Todos resueltos
Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/10 Problemas Tema 3 Solución a problemas de Derivabilidad - Hoja 11 - Todos resueltos Hoja 11. Problema 1 1. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se
Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Cómo gestionar el correo procedente de la lista de correo de la Asamblea. Recomendaciones de la Comisión de Comunicación - HOTMAIL
Cómo gestionar el correo procedente de la lista de correo de la Asamblea. Recomendaciones de la Comisión de Comunicación - HOTMAIL Para poder gestionar correctamente el correo que nos llega de la lista
a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.
Selectividad CCNN 0. [ANDA] [JUN-A] Sea la función f: definida por f(x) = e x (x - ). a) Calcula la asíntotas de f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)
MATEMÁTICAS. PRIMERO DE E.S.O.
MATEMÁTICAS. PRIMERO DE E.S.O. Unidad 1: Números naturales. Potencias y raíces. Números naturales. Representación geométrica. Operaciones. Sistema de numeración decimal. Operaciones combinadas. Jerarquía.
Titulo: COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Año escolar: 4to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico:
Inecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: Propiedades a a si a si a 0 a < 0 i a y b son números reales y n es un número entero, entonces:
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
UNIDAD 1. writer PRIMEROS PASOS. CURSO: LibreOffice
UNIDAD 1 PRIMEROS PASOS CURSO: LibreOffice writer 1 La interfaz En primer lugar vamos a familiarizarnos con los componentes de la pantalla de writer: Barra de título: Muestra el título del documento (O
Práctica 4 Límites, continuidad y derivación
Práctica 4 Límites, continuidad y derivación En esta práctica utilizaremos el programa Mathematica para estudiar límites, continuidad y derivabilidad de funciones reales de variable real, así como algunas
Cuando no está abierto ningún menú, las teclas activas para poder desplazarse a través de la hoja son:
Veremos cómo introducir y modificar los diferentes tipos de datos disponibles en Excel, así como manejar las distintas técnicas de movimiento dentro de un libro de trabajo para la creación de hojas de
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.
el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DINÁMICA
El significado de geometría dinámica lo podemos resumir diciendo que se trata de un programa con una serie de elementos u objetos elementales (puntos, segmentos, circunferencias, polígonos, etc.), a partir
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1
CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta
Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.
Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones
Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente
Preparación para cálculo
Preparación para cálculo Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares. Plan de estudios (406 temas)
Manual configuración aplicaciones
2 En esta página puede configurarse de forma personalizada su lector Universal de Felixcan. Así pues, usted puede colocar los campos deseados en cuatro pantallas diferentes para recoger la información
1.1. Instructivo Applet en Geogebra lanzamiento de una moneda n veces
1.1. Instructivo Applet en Geogebra lanzamiento de una moneda n veces Por: Jesús Evenson Pérez Arenas Indicador: Introducir el concepto de probabilidad haciendo una cantidad de lanzamientos de una moneda,
Introducción: En el contexto de la asignatura, deseo hacer notar que la utilización de herramientas de productividad, tales como las TIC (Tecnologías de la Información y Comunicaciones) en el ámbito de
CAPÍTULO 5. TIPOS DE VISTAS
CAPÍTULO 5. TIPOS DE VISTAS Antes de empezar a explicar cómo personalizar una presentación es importante saber cómo manejarnos en los distintos tipos de vistas que nos ofrece PowerPoint. El saber manejar
13. Utilizar la fórmula del término general y de la suma de n términos consecutivos
Contenidos mínimos 3º ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra. 1. Utilizar las reglas de jerarquía de paréntesis y operaciones, para efectuar cálculos con números racionales, expresados en forma
Profesor(a): Ing. Miriam Cerón Brito
Área Académica: Informática Tema: Hoja electrónica Profesor(a): Ing. Miriam Cerón Brito Periodo: Enero Junio 2014 Abstract: This presentation show the spreadsheet's characteristics and show the principals
Matemáticas CÁLCULO DE DERIVADAS
Matemáticas Derivada de un cociente de funciones CÁLCULO DE DERIVADAS Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene
1. Lección 9 - Continuidad y Derivabilidad
1. Lección 9 - Continuidad y Derivabilidad 1.1. Continuidad El concepto de continuación es el mismo que el visto en el primer cuatrimestre pero generalizado al caso de los campos escalares. Así, sea la
GUÍA DE LA UNIDAD FUNCIONES : DERIVADAS
Funciones Límites Derivadas Aplicaciones Gráficas C ontenidos Idea de Función. Elementos notables de la gráfica de una función. Funciones lineales. Función definida por intervalos. Función Valor Absoluto.
DISEÑO DE PRESENTACIONES EN LA ENSEÑANZA. Diapositivas de diagrama
DISEÑO DE PRESENTACIONES EN LA ENSEÑANZA 5 Diapositivas de diagrama 1 1. Diapositivas de diagrama a) Crear una diapositiva de diagrama 2. Entorno de trabajo de los diagramas 3. Barra de herramientas Formato
TEMA 1: LAS PRESENTACIONES EN EL LIBREOFFICE
TEMA 1: LAS PRESENTACIONES EN EL LIBREOFFICE 1- CÓMO ABRIR EL PROGRAMA? 2- CÓMO EMPEZAR CON NUESTRA PRESENTACIÓN? 3- CÓMO AÑADIR UNA NUEVA DIAPOSITIVA? 4- CÓMO CAMBIAR EL FONDO DE LA DIAPOSITIVA? 5- CÓMO
FUNCIONES CON DESCARTES. HOJA DE TRABAJO
FUNCIONES CON DESCARTES. HOJA DE TRABAJO Escena 1 a) Inventa un texto que ilustre de forma clara el gráfico. b) Cuál es la variable independiente y en qué unidad se mide? c) Cuál es la variable dependiente
OPENOFFICE IMPRESS. Creación básica de presentaciones digitales
OPENOFFICE IMPRESS Creación básica de presentaciones digitales Qué es OpenOffice Impress? Es la herramienta que nos ofrece OpenOffice para realizar presentaciones Las presentaciones permiten comunicar
Seleccionamos el programa Excel. Nos aparece la pantalla del programa
LECCIÓN 1ª Poner en marcha el programa Para poner en marcha el programa lo abrimos. Existen varias formas, por ejemplo partiendo del botón "Inicio" de la esquina inferior izquierda. Pulsamos el botón "Inicio"
Vamos a profundizar un poco sobre los distintos tipos de datos que podemos introducir en las celdas de una hoja de cálculo
Tipos de datos. Vamos a profundizar un poco sobre los distintos tipos de datos que podemos introducir en las celdas de una hoja de cálculo Valores Constantes: Es un dato que se introduce directamente en
APUNTE TABLAS MICROSOFT WORD 2003
TABLAS Las tablas nos permiten organizar la información en filas y columnas. En cada intersección de fila y columna tenemos una celda. En Word tenemos varias formas de crear una tabla: Desde el icono Insertar
Centro de Profesorado Luisa Revuelta (Córdoba) TEMA 3. El ENTORNO DE TRABAJO, MANEJO DE DIAPOSTIVAS
Centro de Profesorado Luisa Revuelta (Córdoba) TEMA 3 El ENTORNO DE TRABAJO, MANEJO DE DIAPOSTIVAS El entorno de, manejo de diapositivas 1.- EL ENTORNO DE TRABAJO El entorno de trabajo de es el interface
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría
Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares.
CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,
RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
ÍNDICE INTRODUCCIÓN TEXTO
POWERPOINT 2000 ÍNDICE INTRODUCCIÓN TEXTO QUÉ ES POWER POINT?...4 EJECUTAR POWER POINT...4 ABRIR PRESENTACIÓN...5 PANTALLA...9 ORGANIZAR VENTANAS...10 CERRAR PRESENTACIÓN...11 SALIR DE POWER POINT...12
1. Formularios en Access
1. Formularios en Access La introducción de los datos directamente sobre las tablas es bastante incómoda. No sólo no se pueden ver todos los campos sin desplazarse con la barra de herramientas, sino que
1. ACCESO A LA WEB DE LOCALIZACIÓN DE ANIMALES POR GPS
1. ACCESO A LA WEB DE LOCALIZACIÓN DE ANIMALES POR GPS Para acceder al sistema es necesario introducir un nombre de usuario y una contraseña (figura 1). En este caso escriba como Usuario : itg ganadero
TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR
TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I y a I. Diremos que f es derivable en a si existe y