Capítulo 6. Ley de Ampère. Inducción magnética: ley de Faraday y ley de Lenz.

Transcripción

1 Capítulo 6. Ley de Ampère. Inducción magnética: ley de Faraday y ley de Lenz. En estos apuntes se presenta un resumen de los contenidos tratados en más detalle en el libro: Física para la Ciencia y la Tecnología (Volumen 2) Autores P. A. Tipler y E. Mosca Editorial Reverté (5a Ed) 2005 En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones: Capítulo 27 (Sección 27.4) Capítulo 28 Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en los conceptos trabajados en el aula. En aquellos apartados en que se sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas. 1. Ley de Ampère Cuando estudiamos el campo eléctrico generado por distribuciones de carga que presentaban un alto grado de simetría, vimos que era posible recurrir a la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en vez de utilizar la ley de Coulomb. Una situación semejante se plantea en el estudio del campo magnético creado por distribuciones de corriente que presentan un elevado grado de simetría. En esta sección estudiaremos la ley de Ampère, que es precisamente la ley que permite establecer esta analogía. Tanto la ley de Ampère como la ley de Gauss son importantes desde una perspectiva teórica. Además, ambas son válidas aunque el sistema no goce de simetría. Sin embargo, si además se da tal simetría, estas leyes son útiles para evaluar el campo eléctrico (ley de Gauss) o el campo magnético (ley de Ampère) asociado a las distribuciones de carga y corriente, respectivamente. Al estudiar la ley de Biot-Savart, se desarrolló en detalle el campo creado por un hilo conductor rectilíneo por el cual circulaba una corriente eléctrica I. Al analizar el límite en que este sistema adquiría una longitud infinita, vimos que el campo magnético creado por el hilo en un punto que se encontraba a una distancia (perpendicular) r del mismo es: 0I B ( r) ˆ 2 r (T) 1

2 Observamos además que las líneas de campo en cualquier punto P que se encuentra a una distancia (perpendicular) r del hilo son tangentes a una circunferencia de radio r centrada en el mismo. El sentido de B se puede determinar haciendo uso de la regla de la mano derecha haciendo que el dedo pulgar de la mano derecha indique la dirección y sentido de la corriente. En este caso, el resto de dedos de la mano indican el sentido del campo magnético. Esto, por supuesto, tiene su origen en el producto vectorial que aparece en la ley de Biot-Savart. Figura 1. Dirección del campo magnético debido a un hilo rectilíneo muy largo por el circula una corriente perpendicular al plano del papel (xy) y que sale del mismo (sentido z>0) Hagamos uso de este caso particular para explorar la ley de Ampère. Consideremos la circulación de este campo magnético a lo largo de un circuito cerrado C. Si elegimos como circuito a lo largo del cual se evalúa la circulación del campo magnético creado por el hilo conductor, una trayectoria circular centrada en el hilo de forma que la superficie plana S que encierra la trayectoria cerrada sea perpendicular al mismo (tal y como ilustra la Figura 2), se obtiene ya que el campo magnético B es paralelo al circuito a lo largo del que se evalúa la circulación del mismo. Además, el módulo del campo magnético es constante a lo largo todo el circuito de integración. En este caso hemos decidido (por simplicidad) recorrer el circuito en el mismo sentido en que lo hace el campo magnético (es decir, en sentido horario). Tened cuidado de no confundir el segmento del circuito a lo largo del cual se evalúa la circulación del campo con el asociado a un elemento diferencial de corriente del hilo! 2

3 Figura 2. Ilustración de la selección del bucle de Ampère en el caso de un hilo conductor por el que circula una corriente I Fijaos que la corriente I es aquella corriente neta que penetra en el área S definida por el circuito cerrado C. A menudo, esta corriente se denota como I C. Si bien hemos llegado a la expresión: partiendo de un caso particular, la ley de Ampère es más general y relaciona la circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada (también denominada circuito o bucle de Ampère) C con la corriente I C neta que penetra un área S limitada por el circuito C. La ley de Ampère se cumple para cualquier circuito (cerrado) si las corrientes implicadas son estacionarias y continuas. La formulación matemática de la ley de Ampère es, por tanto: De lo anterior se deriva que la circulación del campo magnético será la misma para cualquiera de los bucles que se muestran en la Figura 3, ya que la corriente que atraviesa las distintas áreas S definidas por éstos, es la misma en todos los casos. 3

4 Figura 3. Ilustración de que incluye varios bucles de Ampère. La corriente que atraviesa la superficie plana que define cada uno de ellos es la misma. Fijaos que la superficie (abierta) S no está unívocamente definida a partir de la curva C. Claramente, la superficie abierta más sencilla que podemos considerar para evaluar la corriente que atraviesa la misma es una superficie plana cuya frontera es el circuito C. Sin embargo, la ley de Ampère es igualmente válida si se elige cualquier superficie abierta que no sea plana pero cuya frontera esté delimitada por este mismo circuito C. Tomaremos como convenio que el sentido positivo para el camino de integración queda fijado por la regla de la mano derecha con el dedo pulgar indicando el sentido de la corriente que atraviesa la superficie S definida por la curva C. Visto de otro modo, podemos decir que si la corriente atraviesa la superficie S definida por el circuito C en el sentido que indicaría el dedo pulgar al aplicar la regla de la mano derecha cuando los dedos de la palma de la mano están indicando el sentido en el que se está recorriendo el circuito de integración, la corriente se toma como positiva. Sería negativa si atravesase la superficie S en sentido contrario. Este convenio quedará más claro en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Cálculo del campo magnético debido a una corriente uniformemente distribuida en el área transversal de un conductor cilíndrico muy largo de radio R Esta distribución goza de una elevado grado de simetría dentro y fuera del conductor. Figura 4. Bucles de Ampère para el cálculo del campo magnético creado por una corriente uniformemente distribuida en el área transversal de un conductor cilíndrico muy largo de radio R. 4

5 Tanto dentro como fuera del conductor, el campo magnético B es tangente a una circunferencia centrada en el eje del conductor y que rodea al mismo. Se distinguen dos regiones de interés en función de la corriente que atraviesa la superficie S cuya frontera es el circuito C. Por simplicidad, tomaremos la superficie plana S delimitada por C en todos los análisis que siguen. r R Tomamos como bucle de Ampère un circunferencia centrada en el eje del conductor y que rodea al mismo. Recorremos el bucle en el sentido contrario a las agujas del reloj de modo que B y son paralelos. I queda definido como positivo según el convenio adoptado. La superficie plana S definida por el bucle es tal que toda la corriente I del conductor pasa través de ella, por tanto, I c = I. Además, sobre el bucle, la magnitud del campo es constante. Por tanto, r<r Tomamos como bucle de Ampère un circunferencia centrada en el eje del conductor y que rodea al mismo. Recorremos el bucle en el sentido contrario a las agujas del reloj de modo que B y son paralelos. I queda definido como positivo según el convenio adoptado. La superficie plana S definida por el bucle es tal que sólo una fracción de la corriente I que circula por el conductor pasa a través de ella. Además, sobre el bucle, la magnitud del campo es constante. Teniendo en cuenta que la corriente está uniformemente distribuida, es decir, tiene una densidad de corriente homogénea J, se verifica: Así pues, el campo magnético es cero en el centro del conductor y aumenta linealmente en función de r hasta r=r. Fuera del conductor, el campo decrece como 1/r. Fijaos que fuera del conductor se comporta igual que lo haría un hilo por el que circula una corriente total I de la misma magnitud (y en el mismo sentido) que la del ejemplo que nos ocupa, que estuviese situada a lo largo del eje de simetría del cilindor. El comportamiento cualitativo del campo se puede observar en la siguiente figura: 5

6 Figura 5. Módulo del campo magnético creado por una corriente uniformemente distribuida en el área transversal de un conductor cilíndrico muy largo de radio R 2. Campo magnético en un solenoide o bobina El solenoide o bobina consiste en un conjunto de espiras conductoras arrolladas estrechamente en forma de hélice que se utiliza para producir un campo magnético intenso y uniforme en la región que queda en el interior de las espiras. El solenoide juega en el campo magnético un papel análogo al de un condensador de placas paralelas en el campo eléctrico. El campo magnético creado por un solenoide es el que crea una serie de N espiras idénticas situadas unas junto a otras. En la bibliografía recomendada encontraréis un análisis detallado del cálculo que debe seguirse para obtener exactamente el campo magnético en todas las regiones del espacio. En este curso, asumiremos la aproximación por la que el campo es constante dentro del solenoide y nulo en el exterior para proceder al cálculo del campo magnético en el interior de la bobina. Esta aproximación se indica en la Figura 6. Para determinar el campo, escogemos el camino de integración C indicado en la figura y aplicamos la ley de Ampère. Puesto que B es perpendicular a b tanto en un lado como en el otro del circuito de integración y B es nulo fuera del solenoide, si tenemos una densidad de espiras n=n/a en el segmento de longitud a, se verifica: B d μ 0I neta B a μ 0NI B μ C 0 ni Figura 6: Cálculo del campo magnético en el interior de un solenoide haciendo uso de la ley de Ampère. I (Figura adaptada de P. A. Tipler and G. Mosca «Physics for Scientists and Engineers»). 6

7 3. Inducción electromagnética Los campos eléctricos y magnéticos considerados hasta ahora eran producidos por cargas estacionarias y corrientes estacionarias, respectivamente. Tal y como hemos visto anteriormente, si tenemos (y mantenemos) un campo eléctrico en un conductor, éste dará lugar a una corriente que generará a su vez un campo magnético. La pregunta que nos planteamos ahora es si un campo magnético puede también dar lugar a un campo eléctrico. En 1831, Michael Faraday descubrió que, si el campo magnético varía en el tiempo 1, se crea un campo eléctrico. El fenómeno recibió el nombre de inducción electromagnética. La siguiente ilustración muestra los experimentos de Faraday. Figura 7. Captura de pantalla de un video en que se ilustra la experiencia de Faraday ( Podéis ver un experimento similar en la clase de W. Lewin referenciada al final de estos apuntes (empieza aproximadamente en 11 min del vídeo ) 1 Veremos que, de hecho, es el flujo magnético aquello que debe experimentar una variación. 7

8 Faraday mostró que, si colocamos un imán frente a una espira (en la figura anterior se muestra una bobina formada por muchas espiras), no se registraba corriente en el galvanómetro o amperímetro cuando el imán no se movía respecto a la espira. Sin embargo, sí que se induce una corriente en la espira cuando existe un movimiento relativo entre el imán y la espira. En particular, la aguja del galvanómetro se mueve en una determinada dirección cuando el imán se aproxima a la espira, y en la opuesta cuando se aleja. 3.1 Flujo magnético Consideremos un campo magnético que atraviesa una superficie S, tal y como se muestra en la siguiente ilustración. Figura 8. Ilustración de las líneas de campo magnético asociadas a un campo homogéneo que atraviesa una superficie plana S Cuando estudiamos el campo eléctrico, dedicamos una sección al estudio del flujo del campo eléctrico a través de una superficie. Este mismo concepto de flujo del campo a través de una superficie nos resultará útil ahora y da lugar a la noción de flujo del campo magnético. En general, el flujo magnético (a través de una superficie abierta) se define del siguiente modo 2 : La unidad del sistema internacional del flujo magnético es el weber (Wb) (1 Wb = 1 T m 2 ) 3.2. Ley de inducción de Faraday Los experimentos de Faraday demostraron que se induce una corriente eléctrica en una espira, y ésta se comporta como si estuviese conectada a una fem, cuando existe un movimiento relativo entre la espira y una fuente de campo magnético. Experimentalmente se encuentra que la fem inducida depende de la variación del flujo de campo magnético a través de la espira. A diferencia de la noción de fem de la batería considerada en el estudio de los circuitos eléctricos en que ésta se encontraba localizada entre los terminales de la batería, en el caso de la fem inducida, ésta se encuentra 2 De hecho ya vimos que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo como consecuencia de la no (probada) existencia de monopolos magnéticos. 8

9 distribuida por todo el circuito. Debemos tener en cuenta que este movimiento relativo es sólo una forma en que se puede variar el flujo magnético. En general, la ley de inducción de Faraday se puede expresar del siguiente modo: La fem inducida ε en una espira es proporcional a la variación (negativa) de flujo magnético a través de la espira Si desarrollamos esta expresión teniendo en cuenta la definición del flujo magnético obtenemos: En el caso en que tenemos una superficie plana y un campo homogéneo sobre la misma, la ecuación anterior se simplifica y queda: De aquí, se puede ver que la fem inducida puede variar básicamente por tres motivos: (1) El campo magnético varía con el tiempo, B(t) Figura 9. Se induce una fem variando el valor del campo magnético. En este ejemplo, el campo magnético disminuye y se induce una corriente que trata de compensar la variación del flujo magnético. 9

10 (2) El área varía con el tiempo, A(t) Figura 10. Se induce una fem al cambiar el área de la espira, ya que, con ello, también se varía el flujo magnético. En este ejemplo se parte de la hipótesis que el área ha disminuido y se induce una corriente que intenta compensar la variación de flujo magnético. (3) Variación del ángulo entre el campo magnético y el vector área con el tiempo, (t) Figura 11. Se induce una fem al variar el ángulo que forman el campo magnético y el vector área Ley de Lenz La dirección y el sentido de circulación de la corriente inducida vienen determinados por la ley de Lenz. Formulación 1: La fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. Formulación 2: Cuando se produce una variación de flujo magnético que atraviesa una superficie, el campo magnético debido a la corriente inducida genera un flujo magnético sobre la misma superficie que se opone a dicha variación. Veamos un ejemplo de cómo se aplica la ley de Lenz. Consideramos la situación en que un imán se mueve hacia una espira conductora con su polo norte tal y como se observa en la Figura 12. El movimiento del imán induce una fem y, por tanto, una corriente en la 10

11 espira. La ley de Lenz establece que esta fem y la corriente tienen una dirección tal que se opone al movimiento del imán. Como podemos observar, el número de líneas que cruzan la superficie definida por el perímetro de la espira aumenta al aproximar el imán a la espira, aumentando así el flujo magnético a través de la misma. (a) (b) Figura 12. (a) Un imán se mueve hacia una espira de modo que aumenta el número de líneas de campo magnético que cruzan la superficie definida por la espira y, por tanto, aumenta el flujo magnético. (b) Podemos asociar un momento magnético a la espira, intuitivamente se entiende como si la espira se comportase como un imán con la polaridad indicada en la figura, de modo que disminuye el flujo magnético o, visto de otro modo, se repele la barra imantada que se estaba acercando. (c) Determinación de la dirección del campo magnético creado por una espira por la cual circula corriente I (Figuras adaptadas de P. A. Tipler and G. Mosca «Physics for Scientists and Engineers»). (c) Una espira por la cual circula una corriente se comporta como un imán y puede caracterizarse mediante una magnitud que llamamos momento magnético. Este curso no estudiaremos el momento magnético pero, para razonar el sentido de circulación que debe tener la corriente según la formulación 1 de la ley de Lenz, intuitivamente podemos entender que la espira se comporta como un imán con la polaridad indicada en la figura. De este modo, aparece una fuerza magnética tal que repele la barra imantada que se estaba acercando. Esto es consecuencia de que, como sabemos, los polos iguales se repelen. La polaridad del imán que asociamos a la espira podemos deducirla a partir de la dirección del campo magnético, en la región interior a la misma, generado por una espira por la cual circula una corriente I. Tal dirección viene dada por la ley de Biot- Savart (ver Figura 12(c)). Aplicando la regla de la mano derecha para interpretar la dirección y sentido del producto vectorial implicado en la misma se puede comprobar que coincide con la dirección indicada para el campo creado por el imán de la Figura 12(b). Recordad que, tal y como se indica en la Figura 12(a), la líneas de campo en los imanes salen por el polo Norte y entran por el polo Sur. Si consideramos la formulación 2, podemos razonar en términos de la variación del flujo magnético. Nos preguntamos por tanto, cómo deben ser la fem y corriente 11

12 inducidas para generar un campo magnético que compense la variación de flujo inducida por el movimiento del imán? En este caso, como el número de líneas de campo que cruzan la superficie de la espira (hacia la derecha) aumenta al acercar el imán, se debe generar un campo en sentido contrario de modo que crucen líneas de campo en sentido contrario (hacia la izquierda) a modo de compensación (ver las líneas de campo discontinuas en la Figura 12(a)) Flujo magnético y circulación del campo eléctrico Hasta ahora hemos visto que la variación de flujo a través de la superficie S que tiene como frontera el circuito cerrado C (e.g. espira conductora) conllevaba la aparición de una corriente en el circuito. De hecho, esto implica que en el conductor debe existir un campo eléctrico. La circulación de este campo eléctrico evaluada a lo largo del circuito C es precisamente la fem inducida. Si tenemos en cuenta la ley de Faraday, podemos concluir que: Fijaos que el campo eléctrico resultante de la variación de flujo magnético no es conservativo, ya que la circulación del campo a lo largo de toda la trayectoria cerrada es distinta de 0. Si el conductor tiene una resistencia R, la corriente que circula por el mismo (asumiendo un comportamiento óhmico del material) viene dada por: En esta ecuación se ha indicado el subíndice ind para subrayar que el origen de la corriente inducida se encuentra precisamente en la variación del flujo del campo magnético. El análisis detallado de la ley de Faraday resultará de interés en el estudio de los circuitos RL que llevaremos a cabo en este curso. De hecho, si nos olvidamos que el circuito C coincide con un conductor eléctrico y consideramos de forma completamente general una región del espacio en que tenemos un campo magnético variable en el tiempo, podemos decir que: un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que su circulación a lo largo de un circuito arbitrario (cerrado) es igual a menos la derivada respecto del tiempo del flujo magnético a través de una superficie limitada por el camino de integración 3 De hecho, la ley de Faraday es la forma integral de una de las cuatro ecuaciones de Maxwell. 3 V. Martínez-Sancho Fonaments de Física I Biblioteca Universitària. Enciclopèdia Catalana p

13 Recursos de interés Clases magistrales ( en todos los sentidos!) del curso de electromagnetismo impartido por el Prof. Walter Lewin del MIT. Los siguientes enlaces os permiten visualizar las clases completas. En cada uno de ellos se ilustran los conceptos clave trabajados en las clases de teoría. Ley de Ampère: Inducción electromagnética: En las clases se presentarán ejemplos de diversas aplicaciones tecnológicas de interés (e.g. generadores de corriente alterna, magneto-oculografía para la monitorización del movimiento de los ojos, etc). 13