Regresión Polinomial y Regresión Logística
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- María Jesús Alcaraz Navarro
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1 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 1 Regresión Polinomial y Regresión Logística M.L. Gámiz Pérez Departamento Estadística e Inv. Operativa Universidad de Granada 30 de octubre de 2013
2 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 2 Contenido Regresión Polinomial Introducción y ejemplos Aproximaciones alternativas Regresión Logística Introducción Estimación de los parámetros del modelo Evaluación del modelo Contraste de regresión Estudio de la bondad del ajuste Tests de significación de los coeficientes Capacidad predictiva del modelo Regresión Logística Múltiple Análisis de residuos Regresión Logística Multinomial
3 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 3 Introducción Polinomio de segundo orden: Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + ɛ (1) Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 11 X1 2 + β 22X2 2 + β 12X 1 X 2 + ɛ (2) Se usan cuando la respuesta es curvilínea Y = f (X ) para f compleja desarrollo en serie de Taylor
4 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 4 Introducción Polinomio de segundo orden: Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + ɛ (1) Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 11 X1 2 + β 22X2 2 + β 12X 1 X 2 + ɛ (2) Se usan cuando la respuesta es curvilínea Y = f (X ) para f compleja desarrollo en serie de Taylor Modelo de orden k en 1 variable Y = β 0 + β 1 X β k X k + ɛ Si X j = X j, para j = 1,..., k: Modelo de regresión lineal múltiple
5 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 5 Introducción Polinomio de segundo orden: Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + ɛ (1) Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 11 X1 2 + β 22X2 2 + β 12X 1 X 2 + ɛ (2) Se usan cuando la respuesta es curvilínea Y = f (X ) para f compleja desarrollo en serie de Taylor Modelo de orden k en 1 variable Y = β 0 + β 1 X β k X k + ɛ Si X j = X j, para j = 1,..., k: Modelo de regresión lineal múltiple Orden del modelo: Principio de PARSIMONIA
6 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 6 Principios básicos Interpretación: β0 : Promedio de Y cuando X = 0 β 1 : Parámetro de efecto lineal β 2 : Parámetro de efecto cuadrático, etc...
7 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 7 Principios básicos Interpretación: β0 : Promedio de Y cuando X = 0 β 1 : Parámetro de efecto lineal β 2 : Parámetro de efecto cuadrático, etc... Estrategia para la construcción del modelo: Métodos de selección de variables (adelante/atrás). Se debe restringir a polinomios de orden 1 o 2.
8 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 8 Principios básicos Interpretación: β0 : Promedio de Y cuando X = 0 β 1 : Parámetro de efecto lineal β 2 : Parámetro de efecto cuadrático, etc... Estrategia para la construcción del modelo: Métodos de selección de variables (adelante/atrás). Se debe restringir a polinomios de orden 1 o 2. Extrapolación!!
9 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 9 Principios básicos Interpretación: β0 : Promedio de Y cuando X = 0 β 1 : Parámetro de efecto lineal β 2 : Parámetro de efecto cuadrático, etc... Estrategia para la construcción del modelo: Métodos de selección de variables (adelante/atrás). Se debe restringir a polinomios de orden 1 o 2. Extrapolación!! Mal acondicionamiento: A medida que aumenta el orden del polinomio la matriz X X se vuelve mal acondicionada.
10 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 10 Principios básicos Interpretación: β0 : Promedio de Y cuando X = 0 β 1 : Parámetro de efecto lineal β 2 : Parámetro de efecto cuadrático, etc... Estrategia para la construcción del modelo: Métodos de selección de variables (adelante/atrás). Se debe restringir a polinomios de orden 1 o 2. Extrapolación!! Mal acondicionamiento: A medida que aumenta el orden del polinomio la matriz X X se vuelve mal acondicionada. Multicolinealidad!!
11 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 11 Principios básicos Interpretación: β0 : Promedio de Y cuando X = 0 β 1 : Parámetro de efecto lineal β 2 : Parámetro de efecto cuadrático, etc... Estrategia para la construcción del modelo: Métodos de selección de variables (adelante/atrás). Se debe restringir a polinomios de orden 1 o 2. Extrapolación!! Mal acondicionamiento: A medida que aumenta el orden del polinomio la matriz X X se vuelve mal acondicionada. Multicolinealidad!! Jerarquía: Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ɛ Y = β 0 + β 1 X + β 3 X 3 + ɛ SI NO
12 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 12 Extensiones Análisis de regresión usando funciones base... Regresion trigonométrica Y = d β j X j + j=0 λ [γ k cos(kx ) + δ k sin(kx )] + ɛ k=1 con d = 2 y λ a determinar.
13 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 13 Extensiones Análisis de regresión usando funciones base... Regresion trigonométrica Y = d β j X j + j=0 λ [γ k cos(kx ) + δ k sin(kx )] + ɛ k=1 con d = 2 y λ a determinar. Regresión por splines Modelo lineal con un nodo (x 0 ) Y = β 0 + β 1a X + β 1b (X x 0 ) + + ɛ con (X x 0 ) + = { 1 si X > x0 0 en otro caso
![.. Regresion trigonométrica Y = d β j X j + j=0 λ [γ k cos(kx ) + δ k sin(kx )] + ɛ k=1 con d = 2 y λ a](/docs-images/41/5490044/images/page_13.jpg "determinar.")
14 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 14 El modelo de regresión con respuesta binaria Se pretende caracterizar la relación entre una variable respuesta Y y un conjunto de variables independientes X 1, X 2,..., X p Y = f (X 1, X 2,..., X p )
15 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 15 El modelo de regresión con respuesta binaria Se pretende caracterizar la relación entre una variable respuesta Y y un conjunto de variables independientes X 1, X 2,..., X p Y = f (X 1, X 2,..., X p ) Hipótesis del modelo de regresión lineal: Normalidad y varianza constante
16 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 16 El modelo de regresión con respuesta binaria Se pretende caracterizar la relación entre una variable respuesta Y y un conjunto de variables independientes X 1, X 2,..., X p Y = f (X 1, X 2,..., X p ) Hipótesis del modelo de regresión lineal: Normalidad y varianza constante Estrategias: mínimos cuadrados ponderados transformación de los datos
17 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 17 El modelo de regresión con respuesta binaria Se pretende caracterizar la relación entre una variable respuesta Y y un conjunto de variables independientes X 1, X 2,..., X p Y = f (X 1, X 2,..., X p ) Hipótesis del modelo de regresión lineal: Normalidad y varianza constante Estrategias: mínimos cuadrados ponderados transformación de los datos Modelo Lineal Generalizado: La variable respuesta pertenece a la familia exponencial: Normal, Poisson, Binomial, Exponencial, Gamma, etc.
18 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 18 El modelo de regresión con respuesta binaria simple La variable respuesta representa la ocurrencia o no de un suceso, por ejemplo: que un estudiante apruebe o no un examen; que un transplante de corazón sea aceptado o no; que una empresa llegue a estar en problemas financieros o no; que un paciente de un hospital sobreviva o no antes de que le den de alta; que un cliente devuelva un crédito bancario o no.
19 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 19 El modelo de regresión con respuesta binaria simple La variable respuesta representa la ocurrencia o no de un suceso, por ejemplo: que un estudiante apruebe o no un examen; que un transplante de corazón sea aceptado o no; que una empresa llegue a estar en problemas financieros o no; que un paciente de un hospital sobreviva o no antes de que le den de alta; que un cliente devuelva un crédito bancario o no. Se considera la siguiente codificación de Y : { 1, el suceso tiene lugar Y = 0, el suceso no tiene lugar
20 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 20 El modelo de regresión con respuesta binaria simple La variable respuesta representa la ocurrencia o no de un suceso, por ejemplo: que un estudiante apruebe o no un examen; que un transplante de corazón sea aceptado o no; que una empresa llegue a estar en problemas financieros o no; que un paciente de un hospital sobreviva o no antes de que le den de alta; que un cliente devuelva un crédito bancario o no. Se considera la siguiente codificación de Y : { 1, el suceso tiene lugar Y = 0, el suceso no tiene lugar Se considera un solo regresor o variable explicativa X Hipótesis: P(Y = 1 X = x) es monótona (creciente o decreciente) en x.
21 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 21 El modelo lineal no es aplicable Supongamos el siguiente modelo Y = β 0 + β 1 X + ɛ, donde ɛ representa el error, con ɛ N(0, σ): E(Y X = x) = β 0 + β 1 x
22 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 22 El modelo lineal no es aplicable Supongamos el siguiente modelo Y = β 0 + β 1 X + ɛ, donde ɛ representa el error, con ɛ N(0, σ): E(Y X = x) = β 0 + β 1 x Si Y es binaria, entonces para un individuo i: Y i = 1 ó Y i = 0 y... { 1 β0 β ɛ i = 1 X i, si Y i = 1 β 0 β 1 X i, si Y i = 0, Además... Var(ɛ i ) = Var(Y i ) = E(Y i E(Y i )) 2 = (1 E(Y i ))E(Y i ).
23 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 23 Ejemplo Notación: E(Y i X i ) = π(x i ) = π i Queremos evaluar la probabilidad de desarrollar una enfermedad cardiaca en un determinado intervalo de tiempo π i, para un sujeto con un determinado nivel de colesterol X i. Es lógico esperar πi 1 a medida que X i, y πi 0 a medida que X i 0. Con datos binarios, E(Y X = x) [0, 1].
24 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 24 Ejemplo Notación: E(Y i X i ) = π(x i ) = π i Queremos evaluar la probabilidad de desarrollar una enfermedad cardiaca en un determinado intervalo de tiempo π i, para un sujeto con un determinado nivel de colesterol X i. Es lógico esperar πi 1 a medida que X i, y πi 0 a medida que X i 0. Con datos binarios, E(Y X = x) [0, 1]. El cambio en E(Y x) por unidad de cambio en x se va haciendo progresivamente menor a medida que la media condicional se aproxima a 0 y 1.
25 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 25 Ejemplo Notación: E(Y i X i ) = π(x i ) = π i Queremos evaluar la probabilidad de desarrollar una enfermedad cardiaca en un determinado intervalo de tiempo π i, para un sujeto con un determinado nivel de colesterol X i. Es lógico esperar πi 1 a medida que X i, y πi 0 a medida que X i 0. Con datos binarios, E(Y X = x) [0, 1]. El cambio en E(Y x) por unidad de cambio en x se va haciendo progresivamente menor a medida que la media condicional se aproxima a 0 y 1. Se podría esperar una curva como en la figura siguiente...
26 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 26 Función Logística
27 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 27 Función de distribución logística π(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x) Propiedades: Flexibilidad; Interpretación práctica; Transformación logit: g(x) = ln π(x) 1 π(x) = β 0 + β 1 x
28 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 28 Función de distribución logística π(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x) Propiedades: Flexibilidad; Interpretación práctica; Transformación logit: g(x) = ln π(x) 1 π(x) = β 0 + β 1 x Otras funciones: Modelo Probit
29 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 29 Modelo de regresión logística binario Y {X =x} Binomial (1, π(x)) π(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x)
30 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 30 Modelo de regresión logística binario Y {X =x} Binomial (1, π(x)) π(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x) Es un método predictivo y explicativo: Finalidades:
31 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 31 Modelo de regresión logística binario Y {X =x} Binomial (1, π(x)) π(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x) Es un método predictivo y explicativo: Finalidades: 1. Cuantificar la importancia de la relación existente entre la variable X y la variable Y.
32 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 32 Modelo de regresión logística binario Y {X =x} Binomial (1, π(x)) π(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x) Es un método predictivo y explicativo: Finalidades: 1. Cuantificar la importancia de la relación existente entre la variable X y la variable Y. 2. Clasificar individuos dentro de las categorías (presente/ausente) de la variable Y en función de la probabilidad que tengan de pertenecer a cada una de ellas en presencia de determinada información (X ).
33 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 33 Interpretación de los coeficientes: odds (ventaja) Definición: O(x) = π(x) 1 π(x)
34 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 34 Interpretación de los coeficientes: odds (ventaja) Definición: O(x) = π(x) 1 π(x) Interpretación: Cuánto más probable es que ocurra un suceso frente a que no ocurra Ejemplo: Si π(x) = 0,75 se tiene un odds de 3 : 1. Modelo log-lineal... g(x) = ln π(x) 1 π(x) = β 0 + β 1 x
35 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 35 Interpretación de los coeficientes: odds ratio (OR) Sean X 1 y X 2 dos perfiles de la variable X y sean π j = π(x j ), j = 1, 2; El logaritmo de la razón de los odds ln Es decir... [ π1 1 π 1 π 2 1 π 2 ] = ln [ π1 (1 π 2 ) π 2 (1 π 1 ) ln(or) = β 1 (X 1 X 2 ). ] = β 1 (X 1 X 2 ).
36 Caso particular: X 1 = X se tiene que ln(or) = β 1 y equivalentemente OR = e β 1. Interpretación del signo: OR > 1 OR < 1 OR = 1 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 36 Interpretación de los coeficientes: odds ratio (OR) Sean X 1 y X 2 dos perfiles de la variable X y sean π j = π(x j ), j = 1, 2; El logaritmo de la razón de los odds ln Es decir... [ π1 1 π 1 π 2 1 π 2 ] = ln [ π1 (1 π 2 ) π 2 (1 π 1 ) ln(or) = β 1 (X 1 X 2 ). ] = β 1 (X 1 X 2 ).
37 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 37 El método de máxima-verosimilitud Datos: {(X i, Y i ); i = 1,..., n} Contribución del dato (X i, Y i ): L i = π(x i ) Y i [1 π(x i )] 1 Y i
38 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 38 El método de máxima-verosimilitud Datos: {(X i, Y i ); i = 1,..., n} Contribución del dato (X i, Y i ): L i = π(x i ) Y i [1 π(x i )] 1 Y i Función de verosimilitud: L(β 0, β 1 ) = n i=1 L i Log-verosimilitud: l(β 0, β 1 ) = n i=1 {Y i ln(π(x i )) + (1 Y i ) ln(1 π(x i ))}
39 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 39 El método de máxima-verosimilitud Datos: {(X i, Y i ); i = 1,..., n} Contribución del dato (X i, Y i ): L i = π(x i ) Y i [1 π(x i )] 1 Y i Función de verosimilitud: L(β 0, β 1 ) = n i=1 L i Log-verosimilitud: l(β 0, β 1 ) = n i=1 {Y i ln(π(x i )) + (1 Y i ) ln(1 π(x i ))} Diferenciando con respecto a β 0 y β 1 n i=1 [Y i π(x i )] = 0 n i=1 X i[y i π(x i )] = 0
40 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 40 El método de máxima-verosimilitud Datos: {(X i, Y i ); i = 1,..., n} Contribución del dato (X i, Y i ): L i = π(x i ) Y i [1 π(x i )] 1 Y i Función de verosimilitud: L(β 0, β 1 ) = n i=1 L i Log-verosimilitud: l(β 0, β 1 ) = n i=1 {Y i ln(π(x i )) + (1 Y i ) ln(1 π(x i ))} Diferenciando con respecto a β 0 y β 1 n i=1 [Y i π(x i )] = 0 n i=1 X i[y i π(x i )] = 0 Si no hay una separación completa existe solución. Métodos numéricos: Newton-Raphson (veremos en el caso múltiple). Solución inicial: Análisis Discriminante (Normalidad de las variables explicativas)
41 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 41 Ejemplo: Hosmer y Lemeshow (1989), pg. 2 Se pretende estudiar la influencia de la edad (X = Edad) en la presencia/ausencia de evidencia de enfermedad coronaria (Y = CHD). Se seleccionaron 100 sujetos para participar en el estudio. La tabla siguiente representa la información referente a los primeros individuos ID GrupoEdad Edad CHD
42 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 42 Diagrama de dispersión { 1, enfermedad está presente Y = 0, otro caso
43 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 43 E(Y x) por grupos de edad
44 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 44 Resultado del ajuste Modelo: ln P(CHD=1 Edad) P(CHD=0 Edad) = β 0 + β 1 Edad Coeficientes estimados (SPSS): Coeficiente estimado Error estándar Edad β1 = 0,111 0,024 Constante β0 = 5,309 1,134 Log-verosimilitud = 53,6765
45 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 45 Resultado del ajuste Modelo: ln P(CHD=1 Edad) P(CHD=0 Edad) = β 0 + β 1 Edad Coeficientes estimados (SPSS): Coeficiente estimado Error estándar Edad β1 = 0,111 0,024 Constante β0 = 5,309 1,134 Log-verosimilitud = 53,6765 Probabilidad estimada de presentar la enfermedad en función de la Edad: π(edad) = Interpretación... exp( 5, ,111Edad) 1 + exp( 5, ,111Edad)
46 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 46 Contraste de regresión Después de ajustar el modelo evaluamos la significación de la(s) variable(s) involucrada(s). No estudiamos aún la bondad de ajuste (términos absolutos): representan los valores ajustados a los valores observados? Comparamos un modelo sin la covariable (modelo nulo) frente a modelo con la covariable (términos relativos)
47 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 47 Contraste de regresión Después de ajustar el modelo evaluamos la significación de la(s) variable(s) involucrada(s). No estudiamos aún la bondad de ajuste (términos absolutos): representan los valores ajustados a los valores observados? Comparamos un modelo sin la covariable (modelo nulo) frente a modelo con la covariable (términos relativos) Regresion lineal: Coeficientes Estadístico Modelo nulo β 0 = Y ; β 1 = 0 Var(Y ) Modelo lineal β0 ; β 1 0 (Yi Ŷi) 2 Medida de diferencia V.E. Regresión logística: la medida se basa en el log de la función de verosimilitud
48 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 48 El test de razón de verosimilitudes Contraste de regresión: Es mejor el modelo nulo? H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Se basa en el estadístico (Hosmer y Lemeshow, 1989) [ ] función de verosimilitud del modelo sin X G = 2 ln función de verosimilitud del modelo con X
49 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 49 El test de razón de verosimilitudes Contraste de regresión: Es mejor el modelo nulo? H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Se basa en el estadístico (Hosmer y Lemeshow, 1989) [ ] función de verosimilitud del modelo sin X G = 2 ln función de verosimilitud del modelo con X En el modelo univariante comparamos con el modelo nulo [ ( n1 ) n1 ( n0 ) n0 ] G = 2 ln n n n i=1 πy i i (1 π i ) (1 Y i ) Bajo H 0, G χ 2 (1). Ejemplo...
50 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 50 El coeficiente R 2 en regresión logística Alternativas al coeficiente de determinación usado en regresión lineal (Maddala-Magee) R 2 = 1 {L(0)/L( β 0, β 1 )} 2/n No es una verdadera medida de la bondad de ajuste: sólo compara 2 modelos L(0) = p n 1 1 (1 p 1) n n 1, F. de verosimilitud del modelo nulo (sólo β 0 ); con p 1 = n 1 /n = Y i /n. L( β 0, β 1 ), F. de verosimilitud evaluada en el estimador. L 1, entonces R 2 0 R 2 1 (p p 1 1 (1 p 1) 1 p 1 ) 2 Coeficiente corregido:r 2 = R 2 /max(r 2 ) (Nagelkerke)
51 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 51 El test de Hosmer-Lemeshow Pasos: 1. Calcular π 1 = π(x 1 ),..., π n = π(x n ), a partir del modelo ajustado (suponemos que no hay valores repetidos de la variable X ). 2. Ordenar los n valores de menor a mayor. 3. Agrupar los valores calculados siguiendo uno de los dos criterios siguientes: (a) Dividir la secuencia ordenada en cuartiles, deciles u otra clasificación similar. (b) Formar el primer grupo con todos los individuos para los que π i es menor que 0.1; en el segundo grupo considerar los individuos cuyo π i esté entre 0.1 y 0.2, etc. Sean n 1, n 2,..., n 10 las frecuencias respectivas.
52 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación Sumar los valores de π i dentro de cada grupo. Estos sumatorios serán los valores esperados, que denotamos E 1, E 2,..., E Contar en cada grupo el número de sujetos para los cuales Y = 1, estos serán los valores observados, que denotamos O 1, O 2,..., O 10.
53 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación Sumar los valores de π i dentro de cada grupo. Estos sumatorios serán los valores esperados, que denotamos E 1, E 2,..., E Contar en cada grupo el número de sujetos para los cuales Y = 1, estos serán los valores observados, que denotamos O 1, O 2,..., O 10. Estadístico de Hosmer-Lemeshow χ 2 = 10 i=1 (O i E i ) 2 E i + 10 i=1 donde E i = n i E i y O i = n i O i. Este estadístico sigue una distribución χ 2 (8). (O i E E i i )2,
54 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 54 Tests individuales Nos planteamos... Test de Wald H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0, j = 0, 1
55 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 55 Tests individuales Nos planteamos... Test de Wald Estadístico de Wald: H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0, j = 0, 1 con se βj = Var( β j ). W = β j se βj,
56 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 56 Tests individuales Nos planteamos... Test de Wald Estadístico de Wald: con se βj = H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0, j = 0, 1 Var( β j ). W = Sea H = ( 2 l(β 0,β 1 ) β u β j )0 u,j 1 β j se βj, La matriz de covarianzas Σ( β 0, β 1 ) = (H( β 0, β 1 )) 1
57 Tests individuales Nos planteamos... Test de Wald Estadístico de Wald: con se βj = H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0, j = 0, 1 Var( β j ). W = Sea H = ( 2 l(β 0,β 1 ) β u β j )0 u,j 1 β j se βj, La matriz de covarianzas Σ( β 0, β 1 ) = (H( β 0, β 1 )) 1 W tiene distribución Normal estándar. MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 57
58 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 58 Prueba Score Contraste: H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0
59 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 59 Prueba Score Contraste: H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0 Requiere menos esfuerzo computacional que los anteriores Estimador ST = n i=1 X i(y i Y ) Y (1 Y ). n i=1 (X i X ) 2 ST tiene distribución Normal estándar Ejemplo...
60 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 60 Estudio de la capacidad predictiva del modelo Objetivo: Establecer si el modelo logístico estimado clasifica correctamente a los sujetos de acuerdo con los valores de la variable respuesta.
61 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 61 Estudio de la capacidad predictiva del modelo Objetivo: Establecer si el modelo logístico estimado clasifica correctamente a los sujetos de acuerdo con los valores de la variable respuesta. Clasificacion = { π i > 0,5 Ŷi = 1 π i 0,5 Ŷi = 0 Y Ŷ VP FN 0 FP VN
62 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 62 Estudio de la capacidad predictiva del modelo Objetivo: Establecer si el modelo logístico estimado clasifica correctamente a los sujetos de acuerdo con los valores de la variable respuesta. Clasificacion = CP = (VP + VN)/n { π i > 0,5 Ŷi = 1 π i 0,5 Ŷi = 0 Y Ŷ VP FN 0 FP VN Sensibilidad = VP/(VP + FN) Especifidad = VN/(VN + FP)
63 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 63 Modelo de regresión logística múltiple P(Y = 1) = exp(β 0 + β 1 X β p X p ) 1 + exp(β 0 + β 1 X β p X p )
64 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 64 Modelo de regresión logística múltiple P(Y = 1) = exp(β 0 + β 1 X β p X p ) 1 + exp(β 0 + β 1 X β p X p ) F. de verosimilitud: n L(β) = {Y i ln π i + (1 Y i ) ln(1 π i )}, i=1 con π i = π(x i1, X i2,..., X ip ).
65 Modelo de regresión logística múltiple P(Y = 1) = exp(β 0 + β 1 X β p X p ) 1 + exp(β 0 + β 1 X β p X p ) F. de verosimilitud: n L(β) = {Y i ln π i + (1 Y i ) ln(1 π i )}, i=1 con π i = π(x i1, X i2,..., X ip ). Ecuaciones de verosimilitud, para j = 1,..., p l(β) n = (Y i π i ) = 0 β 0 l(β) β j = i=1 n (Y i π i )X ij = 0; i=1 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 65
66 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 66 Forma matricial: X (Y π) = 0, donde 1 X 11 X 1p 1 X 21 X 2p X =... ; Y = 1 X n1. X np Y 1 Y 2. Y n ; π = π 1 π 2. π n
67 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 67 Forma matricial: X (Y π) = 0, donde 1 X 11 X 1p 1 X 21 X 2p X =... ; Y = 1 X n1. X np Y 1 Y 2. Y n ; π = Buscamos solución del siguiente sistema de ecuaciones: U( β) = X (Y π) = 0 π 1 π 2. π n
68 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 68 Forma matricial: X (Y π) = 0, donde 1 X 11 X 1p 1 X 21 X 2p X =... ; Y = 1 X n1. X np Y 1 Y 2. Y n ; π = Buscamos solución del siguiente sistema de ecuaciones: U( β) = X (Y π) = 0 π 1 π 2. π n Desarrollo de Taylor β = β (0) H 1 (β (0) )U(β (0) ) donde U( ) es ( la funcion score, el vector de derivadas parciales de l; H( ) = 2 l( ) β j β u )1 u,j p, es la matriz hessiana
69 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 69 Método de Newton-Raphson El estimador se obtiene de modo iterativo, en el paso k del algoritmo β (k) = β (k 1) + ( X W (k 1) X ) 1 X ( Y π (k 1) ) W (k 1) = diag ( π (k 1) (1 π (k 1) ) ) n n π (k 1) son probabilidades estimadas en el paso anterior β(k 1) es el vector de coeficientes obtenido en el paso anterior.
70 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 70 Método de Newton-Raphson El estimador se obtiene de modo iterativo, en el paso k del algoritmo β (k) = β (k 1) + ( X W (k 1) X ) 1 X ( Y π (k 1) ) W (k 1) = diag ( π (k 1) (1 π (k 1) ) ) n n π (k 1) son probabilidades estimadas en el paso anterior β(k 1) es el vector de coeficientes obtenido en el paso anterior. Se necesita un valor inicial para empezar el proceso iterativo. Matriz de información de Fisher: Î(k 1) = X W (k 1) X
71 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 71 Interpretación de los coeficientes β 0 = logit de presentar el suceso de interés cuando todas las covariables toman valor 0. Sean X 1 y X 2 dos perfiles distintos: O(X 1 ) O(X 2 ) = exp [ p i=1 β i (X 1 i X 2 i ) Cuánto más peligro tiene un sujeto del perfil 1 de presentar la característica de interés frente a un individuo del perfil 2. ]
72 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 72 Interpretación de los coeficientes β 0 = logit de presentar el suceso de interés cuando todas las covariables toman valor 0. Sean X 1 y X 2 dos perfiles distintos: O(X 1 ) O(X 2 ) = exp [ p i=1 β i (X 1 i X 2 i ) Cuánto más peligro tiene un sujeto del perfil 1 de presentar la característica de interés frente a un individuo del perfil 2. Caso particular: Xj 1 = Xj y el resto igual, O(X 1 )/O(X 2 ) = exp(β j ) β j = cambio en logit cuando X j aumenta en una unidad y el resto de variables se mantienen iguales. A veces el cambio en 1 unidad no tiene interés práctico (edad) ]
73 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 73 Contrastes de significación del modelo (A) Desviación del modelo: Contraste de regresión H 0 : β 1 = β 2 = = β p = 0 H 1 : β j 0, Estadístico de contraste: G χ 2 (p).
74 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 74 Contrastes de significación del modelo (A) Desviación del modelo: Contraste de regresión H 0 : β 1 = β 2 = = β p = 0 H 1 : β j 0, Estadístico de contraste: G χ 2 (p). (B) Contrastes individuales: H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0, j = 1,..., p. Estadístico de contraste (Wald): W j = β j N(0, 1) se( β j ) Intervalo de confianza al nivel 100 (1 α) %: β j ± Z 1 α/2 se( β j )
75 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 75 (C) Pruebas de hipótesis de subconjuntos de parámetros Sea β = (β(1), β (2) ), con dim(β (1) ) = r < p. Contraste: H 0 : β (1) = 0 H 1 : β (1) 0, Estadístico de contraste: G = 2[l(modelo bajoh 0 ) l(modelo bajoh 1 )] χ 2 (p r)
76 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 76 Selección de variables (Silva y Barroso, 2004) Adelante: 1. Se inicia con un modelo vacio (solo β 0 ) 2. Se ajusta un modelo y se calcula el p-valor de incluir cada variable por separado 3. Se selecciona el modelo con la variable más significativa 4. Se ajusta un modelo con la(s) variable(s) seleccionada(s) y se calcula el p-valor de añadir cada variable no seleccionada por separado 5. Se selecciona el modelo con la más significativa 6. Se repite 4-5 hasta que no queden variables significativas para incluir.
77 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 77 Atrás: 1. Se inicia con un modelo con TODAS las variables candidatas 2. Se eliminan, una a una, cada variable y se calcula la pérdida de ajuste al eliminar 3. Se selecciona para eliminar la menos significativa 4. Se repite 2-3 hasta que todas las variables incluidas sean significativas y no pueda eliminarse ninguna sin que se pierda ajuste.
78 Atrás: 1. Se inicia con un modelo con TODAS las variables candidatas 2. Se eliminan, una a una, cada variable y se calcula la pérdida de ajuste al eliminar 3. Se selecciona para eliminar la menos significativa 4. Se repite 2-3 hasta que todas las variables incluidas sean significativas y no pueda eliminarse ninguna sin que se pierda ajuste. Stepwise: a) Se combinan los métodos adelante y atrás. b) Puede empezarse por el modelo vacío o por el completo, pero en cada paso se exploran las variables incluidas, por si deben salir y las no seleccionadas, por si deben entrar c) No todos los métodos llegan a la misma solución necesariamente MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 78
79 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 79 Consideraciones importantes en regresión logística múltiple Multicolinealidad Consiste en: dos o más variables linealmente correlacionadas; Efecto: Incremento exagerado en los errores estándar y en los coeficientes estimados. Modelo poco creible Posibles estrategias: Examinar la matriz de correlaciones; Formular modelos con las variables correlacionadas y estudiar el coeficiente R 2 Si R 2 > 0,9!!
80 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 80 Confusión e interacción Variable confusora: Covariable que está asociada a la variable respuesta y a un factor de riesgo Interacción: La asociación entre el factor de riesgo y la respuesta depende de la covariable (efecto modificador). Ejemplo: Y = (1, si enfermedad coronaria; 0, en otro caso); X = edad; F =sexo (0=m, 1=m); logit lineal en la covariable X para los individuos con factor F = 1 con pendiente distinta de los individuos con factor F = 0 Modelo: logit = β 0 + β 1X + β 2F + δx F Importante: Determinar la evidencia o no de interacción en el modelo. H 0 : δ = 0
81 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 81 Confusión e interacción Variable confusora: Covariable que está asociada a la variable respuesta y a un factor de riesgo Interacción: La asociación entre el factor de riesgo y la respuesta depende de la covariable (efecto modificador). Ejemplo: Y = (1, si enfermedad coronaria; 0, en otro caso); X = edad; F =sexo (0=m, 1=m); logit lineal en la covariable X para los individuos con factor F = 1 con pendiente distinta de los individuos con factor F = 0 Modelo: logit = β 0 + β 1X + β 2F + δx F Importante: Determinar la evidencia o no de interacción en el modelo. H 0 : δ = 0 Variables categóricas Se introducen como variables dummy Se aceptan o se rechazan en bloque.
82 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 82 Análisis de residuos Residuo. Medida que expresa la diferencia entre las respuestas observadas y predichas por el modelo. Alertan de que no se cumpla el supuesto de linealidad entre el modelo logit de la probabilidad de Y = 1 y la(s) variable(s) independiente(s); 2. la presencia de algunas observaciones extremas que perturbe la calidad del ajuste; o 3. que una función distinta de la logística describiese más adecuadamente el conjunto de observaciones. Tipos: Residuos de Pearson Residuos deviance
83 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 83 Datos agrupados Consideramos perfiles de covariables que definen grupos de individuos m j = número total de individuos con mismo perfil de covariables. Hay J combinaciones distintas: X 1,..., X J Ỹ j = número de individuos con perfil j que presentan el suceso Y = 1 π j = π(x j ) = valor de probabilidad estimado según el modelo logístico para el perfil j-ésimo. Las aproximaciones normales asintóticas se sustentan en la aproximación normal de la variable binomial Ỹ, por esto m j debe ser grande.
84 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 84 Residuos de Pearson Residuos: Se definen... r j = Ỹ j m j π j
85 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 85 Residuos de Pearson Residuos: Se definen... r j = Ỹ j m j π j Residuos estandarizados o residuos de Pearson: r ej = Ỹ j m j π j mj π j (1 π j ) Si rej > 2 dato a examinar! Si J no es grande (mj suficientemente grande para cada j), r ej son NORMALES. Si mj = 1, r j solo toma 2 valores y no puede esperarse Normalidad.
86 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 86 Residuos de Pearson Residuos: Se definen... r j = Ỹ j m j π j Residuos estandarizados o residuos de Pearson: r ej = Ỹ j m j π j mj π j (1 π j ) Si rej > 2 dato a examinar! Si J no es grande (mj suficientemente grande para cada j), r ej son NORMALES. Si mj = 1, r j solo toma 2 valores y no puede esperarse Normalidad. Estadístico resumen: X 2 = J j=1 r ej 2 χ2 (J (p + 1)) (J n problema!).
87 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 87 Residuos deviance Definición: ( ) ( )] d j = sign(ỹ j m j π j ) Ỹj m j Ỹ j 2 [Ỹ j ln + (m j Ỹ j ) ln m j π j m j (1 π j ) Mide la discrepancia entre la j-ésima componente del logaritmo de la función de verosimilitud del modelo ajustado y la correspondiente componente del logaritmo de la función de verosimilitud que resultaría si cada punto fuese ajustado exactamente.
88 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 88 Datos no agrupados (m j = 1) di = {2[ ln(1 π i )]} 1/2, si Y i = 0; y di = {2[ ln( π i )]} 1/2 si Y i = 1.
89 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 89 Datos no agrupados (m j = 1) di = {2[ ln(1 π i )]} 1/2, si Y i = 0; y di = {2[ ln( π i )]} 1/2 si Y i = 1. Estadístico resumen: D = J j=1 d 2 j es χ 2 si J << n.
90 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 90 Influencia o leverage Qué efecto tiene eliminar todos aquellos sujetos que tienen un determinado perfil de covariables en los coeficientes estimados y las medidas de resumen global, X 2 y D? Se define... β j = β β ( j) Pregibon (1981) aproxima... donde h j son los leverages, β j = r 2 ej h j 1 h j H = V 1/2 X(X VX) 1 X V 1/2 X J p es la matriz de diseño, V = diag(v j ) J J = diag(m j π(x j )[1 π(x j )])
91 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 91 Otros diagnósticos Objetivo: determinar perfiles de covariables para los que el modelo proporciona un ajuste pobre...
92 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 92 Otros diagnósticos Objetivo: determinar perfiles de covariables para los que el modelo proporciona un ajuste pobre... Procedimiento: Examinar cambios debidos a la eliminación de los m j sujetos en... Chi-cuadrado de Pearson: X 2 j Deviance: D j = d 2 j 1 h j = r 2 ej Considerar las representaciones gráficas Detectar perfiles con gran influencia en el modelo: ( π j, β j ) Detectar perfiles que no son bien ajustados por el modelo: ( π j, X 2 j ) y ( π j, D j )
93 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 93 Otros diagnósticos Hosmer y Lemeshow (1989) aconsejan estos gráficos por encima de ( π j, r j ) o ( π j, d j ) porque: 1. Cuando J n la mayoría de los residuos positivos corresponden a perfiles en los que Ỹ j = m j, por ejemplo m j = 1, y los residuos negativos se corresponden con aquellos con Ỹ j = 0. Por lo que el signo no es informativo. 2. Grandes residuos se corresponden con puntos que no están bien reflejados en el modelo. Si consideramos los residuos al cuadrado se enfatiza aún más la falta de ajuste. 3. La forma de los gráficos ayuda a determinar qué perfiles se corresponden con Ỹ j = 0 y cuáles tienen Ỹ j = m j
94 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 94 Regresión Logística Multinomial
95 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 95 Regresión Logística Multinomial La variable respueste tiene r categorías
96 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 96 Regresión Logística Multinomial La variable respueste tiene r categorías Se elige una como referencia y se enfrentan a ella las r restantes a través de Prob(Y = k) Prob(Y = 0) ; k = 1,..., r
97 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 97 Regresión Logística Multinomial La variable respueste tiene r categorías Se elige una como referencia y se enfrentan a ella las r restantes a través de Prob(Y = k) Prob(Y = 0) ; k = 1,..., r Modelo ln Prob(Y = k) Prob(Y = 0) = β 0k + β 1k X β pk X p
98 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 98 Regresión Logística Multinomial La variable respueste tiene r categorías Se elige una como referencia y se enfrentan a ella las r restantes a través de Prob(Y = k) Prob(Y = 0) ; k = 1,..., r Modelo ln Prob(Y = k) Prob(Y = 0) = β 0k + β 1k X β pk X p Tenemos un total de r (p + 1) parémetros a estimar Se estima mediante el método de máxima-verosimilitud Métodos númericos implementados en software estadístico (SPSS)
99 MÁSTER EN ESTADÍSTICA PÚBLICA Experto Universitario: Estadística Aplicada y Técnicas de Encuestación 99 Bibliografía I Hosmer,D.W. y Lemeshow, S. (1989). Applied Logistic Regression, Wiley Kleinbaum, D.G. (1994). Logistic Regression. A Self-Learning Text. Springer. Montgomery, D.C., Peck, E.A. y Vining, G.G. (2002). Introducción al análisis de regresión lineal, CECSA Pérez López, C. (2001). Técnicas Estadísticas con SPSS (Versión 10), Pearson Alhambra Ryan, T. (1997). Modern Regression Methods, Wiley Silva, L.C. y Barroso, I. (2004). Regresión Logística, La Muralla
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