Descomposición de la estructura a términos de las tasas de interés de los bonos soberanos de Estados Unidos y Colombia

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1 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos soberanos de Esados Unidos y Colombia Recibido: Ocubre 9, 05 - Acepado: Abril 6, 06 Doi: dx.doi.org/0.804/rev.econ.rosario Carlos Albero Cuadros Lara * Resumen En el presene documeno se descompone la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos soberanos de Esados Unidos y Colombia. Se uiliza un modelo afín de cuaro facores, donde el primero de ellos corresponde a un facor de pronósico de los reornos y los demás, a los res primeros componenes principales de la mariz de varianza-covarianza de las asas de inerés. Para la descomposición de las asas de inerés de Colombia, se uiliza el facor de pronósico de Esados Unidos para capurar efecos de spillovers. Se logra concluir que las asas en Esados Unidos no ienen un efeco sobre el nivel de asas en Colombia pero sí influyen en los excesos de reorno esperado de los bonos y ambién que exisen efecos sobre los facores locales, aunque el facor deerminane de la dinámica de las asas locales es el nivel. De la descomposición se obienen las expecaivas de la asa cora y la prima por vencimieno. En ese senido, se observa que el valor de la prima por vencimieno y su volailidad incremena con el vencimieno, y que ese valor ha venido disminuyendo en el iempo. Clasificación jel: C30, C5, G0, G. Palabras clave: descomposición asa de inerés, prima por vencimieno. * Profesional en Finanzas y Comercio Inernacional y Magíser en Finanzas Cuaniaivas de la Universidad del Rosario. Correo elecrónico: cuadros9@homail.com Para ciar ese arículo: Cuadros Lara, C. A. (julio-diciembre, 05). Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos soberanos de Esados Unidos y Colombia. Revisa de Economía del Rosario, 8(), Doi: dx.doi.org/0.804/rev.econ. rosario Revisa de Economía del Rosario. Universidad del Rosario. ISSN ISSNE x

2 30 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos Decomposiion of he Term Srucure of he Ineres Raes of Sovereign Bonds of Unied Saes and Colombia Absrac We decompose he erm srucures of he ineres raes of sovereign bonds from he Unied Saes and Colombia. We use a four-facor affine model, he firs one being he reurn forecas, and he oher hree resuling from he principal componens of he variance-covariance marix of he ineres raes. To decompose he colombian ineres raes we use he Unied Saes forecas facor in order o capure spillover effecs. We conclude ha he raes in Unied Saes have no effec over he level of he raes in Colombia bu ha hey do influence he excess reurns of bonds. We also find ha here are effecs over he local facors, even hough he main facor of he local raes dynamics is he level. Ou of his decomposiion we obain he shor rae expecaions and he premium due rae. In his sense, we observe ha he premium due rae and is volailiy increases wih mauriy, and ha his value has been decreasing over ime. jel classificaion: C30, C5, G0, G. Keywords: ineres rae decomposiion, premium due rae. Descomposição da esruura a ermos das axas de ineresse dos bonos soberanos dos Esados Unidos e a Colômbia Resumo No presene documeno se descompõe a esruura a ermos das axas de juros dos bônus soberanos dos ee.uu. e da Colômbia. Uiliza-se um modelo afim de quaro faores, onde o primeiro deles corresponde a um faor de prognósico dos reornos e, os demais, aos rês primeiros componenes principais da mariz de variação-covariação das axas de juros. Para a decomposição das axas de juros da Colômbia se uiliza o faor de prognósico de ee.uu. para capurar efeios de spillovers. Consegue-se concluir que as axas em ee.uu. não em efeio sobre o nível de axas na Colômbia mas sim influem nos excessos de reorno esperado dos bônus e ambém exisem efeios sobre os faores locais, ainda que o faor deerminane da dinâmica das axas locais é o nível. Da decomposição se obêm as expecaivas da axa cura e o prêmio por vencimeno. Nese senido, se observa que o valor do prêmio por vencimeno e a sua volailidade incremena com o vencimeno e que ese valor em vindo diminuindo no empo. Classificação jel: C30, C5, G0, G. Palavras-chave: decomposição axa de juros, prêmio por vencimeno.

3 Carlos Albero Cuadros Lara 3 Inroducción Denro de la lieraura se ha planeado el hecho de que la curva de rendimienos incorpora información sobre la esrucura de plazos del fuuro. En paricular, una eoría básica sobre asas de inerés es la hipóesis de expecaivas, en la cual el reorno esperado de un bono de largo plazo hasa el vencimieno es equivalene al reorno esperado de reinverir bonos de coro plazo durane un período igual al vencimieno del bono de largo plazo. No obsane, si el cálculo no se realiza hasa el vencimieno, el reorno del bono es inciero, por lo que los inversionisas demandan una compensación por asumir dicho riesgo. A esa compensación se le conoce como erm premium o prima por vencimieno. De esa forma, las asas nominales de los bonos soberanos pueden descomponerse en dos elemenos, i) las expecaivas de la asa de coro plazo y ii) la prima por vencimieno. En ese senido, el comporamieno de la asa de los bonos esará explicado por los movimienos de las expecaivas de la asa de coro plazo y la prima por vencimieno, y, en general, por los facores que afecan a esos componenes. Es por esa razón que la descomposición de la curva de rendimienos ayuda a enender mejor la dinámica de la esrucura a érminos de las asas de inerés. Un ejemplo reciene de la uilidad de esa descomposición es lo ocurrido con las asas de los bonos soberanos de largo plazo en Esados Unidos en junio de 004. En esa fecha el Banco Cenral de ese país (Fed) decidió elevar la asa de políica monearia, no obsane, a pesar del incremeno de la asa cora, las asas de largo plazo cayeron, a lo que el presidene del Fed de ese enonces, A. Greenspan, denominó como el conundrum de las asas de inerés. En ese orden de ideas, pese al incremeno en las expecaivas de la asa cora, la disminución de la prima por vencimieno fue mayor, dando como resulado una disminución en las asas nominales de largo plazo. Con lo anerior, el cálculo de la prima por vencimieno ha cobrado relevancia denro de la políica monearia y en el proceso de formación de precios de los acivos. De forma explícia, en 006 el presidene de ese enonces del Fed, B. Bernanke, se refirió explíciamene a la descomposición de la curva de rendimienos mediane un modelo afín de res facores, planeando inerroganes sobre el curso de la políica monearia ane disinos escenarios de las reacciones de los componenes de la curva de rendimienos. Greenspan como presidene del Fed en 005 calificó el comporamieno de los mercados mundiales de rena fija como un acerijo en su esimonio semesral ane el Senado de Esados Unidos. Ver Greenspan (005).

4 3 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos En especial, Bernanke planeó el hecho de que, ane un incremeno de asas de coro plazo y una caída en las asas de largo plazo (como el de 004), era necesario conocer si eran las expecaivas de coro plazo o la prima por vencimieno la que esaba regisrando reducciones. Si eran las expecaivas de la asa de coro plazo las que caían, la asa de políica monearia no debía seguir subiendo, ya que eso esaba asociado a un menor crecimieno económico esperado. De ora pare, si era la prima por vencimieno la que caía, la asa de políica monearia debía subir a un rimo mayor para eviar que la demanda agregada se incremenara, produco de la caída en las asas de largo plazo. En la lieraura alrededor de la descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés mediane modelos afines, se desaca el rabajo de Kim y Wrigh (005), en donde calibran un modelo de res facores no observables a las asas de los bonos de Esados Unidos y encuenran que en el período enre junio de 004 y julio de 005, cuando el Fed incremenó la asa de políica monearia en 5 pbs, la caída de 50 pbs en la asa de los bonos a diez años esaba explicada por una caída de 80 pbs en la prima por vencimieno, a pesar de un incremeno de 30 pbs en la expecaiva de la asa de coro plazo. De ora pare, Cochrane y Piazzesi (005 y 008) esiman un modelo afín de cuaro facores, en donde el primero de ellos es un facor que consruyen y denominan bond-reurn forecasing facor y los oros res son los radicionales nivel, pendiene y curvaura, obenidos a parir de un análisis de componenes principales de las asas de inerés. Finalmene, Adrian, Crump y Moench (03) planearon la esimación de un modelo afín mediane res eapas empleando regresiones lineales. En su esrucura afín uilizan el concepo de un modelo esencialmene afín expueso por Duffee (00). En su esimación, implemenan un modelo de cinco facores observables (componenes principales) y comparan su modelo con el Cochrane y Piazzesi. Los resulados muesran que la prima de riesgo de ambos modelos son muy similares denro de la muesra, pero la especificación de Adrian e al. iene un mejor pronósico por fuera de la muesra, como lo había sugerido Duffee. De esa forma, en el presene rabajo se adopa la meodología expuesa por Adrian e al. pero se uiliza la especificación de cuaro facores de Cochrane y Piazzesi. Esa elección se hace con el fin de incorporar, en la descomposición de la esrucura a érminos de las asas de los bonos soberanos de Colombia, un facor proveniene de la curva de rendimienos de Esados Unidos y así medir las inerrelaciones de los mercados y posibles efecos de spillovers. Ese ejercicio 00 punos básicos (pbs) equivalen al %.

5 Carlos Albero Cuadros Lara 33 sigue lo realizado por Hellersein (0), en donde se uilizan los facores de diez economías desarrollados para consruir un único facor global ponderado por el nivel de pib de cada país. Los oros res facores se usan por ser más conocidos denro de los modelos de asas de inerés (Scheinkman y Lierman, 99). Una referencia para ese rabajo es el realizado por Espinosa e al. (04), en donde se replican los resulados de Adrian e al. para el caso colombiano. Finalmene, la elección del méodo de esimación obedece al hecho de que no se requiere el supueso de no auocorrelación serial en los errores de los precios de los rendimienos y, por ora pare, la esimación es compuacionalmene menos cososa a diferencia de los oros méodos donde se maximiza la función de verosimiliud. Con lo anerior, en el presene documeno se hace la descomposición de las asas de inerés para Esados Unidos y Colombia uilizando el facor de pronósico de rendimienos de Esados Unidos. Así, el documeno se divide en inroducción, seis secciones y conclusiones. En la primera sección, se esablece la noación básica para iniciar. En la segunda, se describe el modelo por uilizar y, en la ercera, se dealla la meodología de esimación de los parámeros del modelo. La cuara explica el proceso de descomposición de la curva de rendimienos; en la quina, se muesran los resulados empíricos y, en la sexa, se esudian los efecos de spillovers en las asas de Esados Unidos sobre la esrucura a érminos en Colombia. Por úlimo, se presenan las conclusiones.. Noación Se denoa como P n al logarimo del precio en el iempo de un bono que no ( n) paga cupones (en adelane bono ) y vence en el iempo n. De igual forma, y corresponde a la asa de inerés del bono. ( n ) : = ny ( n ) P Del mismo modo, denoamos como r + n el logarimo del reorno proveniene de comprar, en el iempo, un bono con vencimieno en n y venderlo, en el iempo +, como un bono con vencimieno en n períodos. ( n) + + n n r : = P P ()

6 34 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos El exceso del logarimo del reorno sobre la asa de período se denoa como: n n rx+ : = r + y (3). Modelo En esa sección se obiene el proceso generador de daos de los excesos de reorno a parir de un modelo de valoración dinámico con un facor de descueno exponencialmene afín, siguiendo las meodologías propuesas por Adrian e al. (03), en adelane referida como acm, y por Cochrane y Piazzesi (005, 008), en adelane denominada cp. En primer lugar, se especifican K facores observables a parir de las asas de inerés. El primero de ellos x corresponde al bond-reurn forecasing facor que cp consruyen. Los oros res facores corresponden a los primeros K componenes principales (pca) exraídos de las asas de los bonos. De esa forma, se asume que la dinámica del vecor X de K variables de esado evoluciona de acuerdo con el siguiene proceso var(). X + = µ + ΦX + v + (4) En ese senido, siguiendo la especificación de las variables por uilizar, el vecor de variables de esado se compone de: X = x + PCA +PCA + PCA 3 Donde se asume que las innovaciones siguen una disribución normal con mariz de varianza-covarianza Σ. v + X ~ N(0, Σ) (5) Para desarrollar el modelo de la esrucura a érminos, se usa el supueso de no arbiraje 3 para garanizar la exisencia de una medida maringala equivalene (o medida neural al riesgo) Q, al que el precio de cualquier acivo que no pague dividendos V saisfaga: 3 Ver Harrison y Kreps (979).

7 Carlos Albero Cuadros Lara 35 V = E Q exp r V + (6) En ese senido, la derivada de Radon-Nikodym, que conviere la medida neural al riesgo a la medida real, se denoa como ξ +. Por lo ano, para cualquier variable aleaoria Z + se iene que: E Q E [ Z+ ] = [ ξ + Z + ] ξ (7) Así, con el supueso de no arbiraje o, de forma equivalene, el supueso de la exisencia de ξ + se puede valorar cualquier acivo en la economía, en paricular, los bonos soberanos. Adicionalmene, asumimos que ξ + sigue el proceso log-normal: exp ξ+ = ξ λλ λ v + (8) El érmino λ corresponde a los precios de riesgo del mercado, que cambian en el iempo, asociados con las fuenes de inceridumbre v. Ese érmino se descompone en un vecor K dimensional λ 0 y una mariz K K que se denoa como λ. Con eso, asumimos que esos precios de riesgo del mercado ienen la forma esencialmene afín sugerida por Duffee (00): 4 λ = λ + λ X (9) o De ora pare, se define el facor de facor de descueno M + como: M+ = exp ( r)ξ+ ξ (0) Adicionalmene, se uiliza el hecho de que la asa libre de riesgo r = y se puede describir como: r = δ + δ X () 0 4 Ver Duffee (00).

8 36 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos De esa forma, al reemplazar en (0) las ecuaciones (8) y (), obenemos que: M exp X + = δ0 δ λλ λ v + () Por lo ano, el supueso de no arbiraje implica que los precios nominales de los bonos pueden ser calculados de forma recursiva mediane: n n P = E M P + + (3) Al uilizar (3) y () en (3) obenemos: ( E exp rx n ) = λλ λ v + + (4) { } n Asumiendo que rx+, v+ siguen una disribución normal conjuna, acm encuenran que: E rx Cov rx, v n n = λ Var rx ( n) (5) Se denoa: n n β = Cov rx, v + + (6) Usando la ecuación (9) se obiene que: E rx X n n n = β λ + 0 λ Var rx + + (7) Adicionalmene, se puede descomponer el exceso de reorno no esperado en dos componenes, uno correlacionado con las innovaciones v + y oro componene orogonal. n n n n rx E rx = β v e+ (8)

9 Carlos Albero Cuadros Lara 37 n Finalmene, asumiendo que los errores e son i. i. d. con varianza + s y eniendo en cuena que los facores observables X y los reornos son esimados con el mismo conjuno de asas, se puede decir que b =. Así, el proceso generador de los excesos de reorno se describe como: rx X n n n n n n + = β λ0 + λ β β + σ + β v+ + e+ (9) ( ) Dicho proceso se puede agrupar de forma maricial: ( ) rx X = β λ0ιt + λ B* vec Σ + σιn ιt + β V+ E (0) Donde: rx es una mariz de excesos de reornos de dimensión N T. b = [b (), b (),, b (N) ] es una mariz de ponderaciones de los facores de dimensión K N ι e ι N son vecores de dimensión T y N, respecivamene. X = [X 0, X,, X T ] es una mariz de facores rezagados de dimensión K T. B* = [vec(β () β () '),, vec(β (N) β (N) ')]' es una mariz de dimensión N K. V es una mariz de innovaciones de dimensión K T. E es una mariz de errores de dimensión N T. 3. Esimación de los parámeros del modelo acm proponen una meodología en res eapas para la esimación de los parámeros del modelo basada en regresiones mediane el méodo de mínimos cuadrados ordinarios. 3.. Primera eapa Se obienen los facores o variables de esado. acm uilizan una especificación del modelo con cinco facores obenidos a parir de un análisis de componenes principales, a diferencia de cp, quienes usan cuaro facores, el primero de ellos un facor de pronósico de los excesos de reornos y los resanes res

10 38 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos facores son los correspondienes res primeros componenes principales de las asas de inerés. Una de las conclusiones de acm es que, en érminos de ajuse, ambas especificaciones funcionan bien y que el facor propueso por cp no logra ser abarcado por los cinco primeros componenes principales, a pesar de esar consruido con la misma información. Teniendo en cuena lo anerior, sumado al hecho de que uno de los objeivos del presene documeno es medir los impacos de la curva de asas de inerés en Esados Unidos sobre la curva colombiana, se uilizará la especificación de facores de cp, pero se esimará el modelo bajo la meodología de acm. En línea con lo anerior, el primer paso para obener los facores es la consrucción del facor de pronósico de los excesos de reorno x. Ese facor corresponde al primer componene principal de los excesos de reorno esimados mediane una regresión lineal conra un subconjuno de las asas (se uilizarán asas forward con vencimieno cada doce meses). Los oros res facores, como ya se comenó, son los res primeros componenes principales de las asas de inerés. Finalmene, los facores por uilizar son esandarizados y se procede a esimar su dinámica de acuerdo con (4). De esa esimación se obienen los parámeros en Φ y se agrupan las innovaciones v + en la mariz Vˆ, con lo que se puede consruir el esimador de su mariz de varianza-covarianza definida como Σ= ˆ VV ˆˆ ( T ). Se asume µ = 0 como consecuencia de la esandarización de los facores. 3.. Segunda eapa Se hace una regresión de los excesos de reornos conra una consane, las innovaciones y los rezagos de los facores. Así, la ecuación (9) es esimada bajo el siguiene modelo: rx = αι + β V ˆ + γx + E () T Una vez esimados los parámeros de (), se obienen los residuos Ê y se esima s = r(êê'/nt). Finalmene, se obiene Bˆ * a parir de ˆβ de acuerdo con la explicación de los componenes de la ecuación (0).

11 Carlos Albero Cuadros Lara Tercera eapa A parir de las ecuaciones (9) y () se sabe que: ( ) α = β λ0 B* vec Σ + σ ιn () γ = b'λ (3) Con las aneriores expresiones se pueden obener esimadores para λ 0 y λ : ˆ ˆˆ ˆ ˆ Bˆ * vec ˆ λ0 = ββ β α + ( Σ ) + σ ιn (4) ˆ λ = ˆˆ ββ ˆˆ βγ (5) 4. Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés En esa sección se muesra que los precios de los bonos son exponencialmene afines al vecor de facores. En ese senido, se puede obener la curva de rendimienos cero cupón y descomponerla en i) rendimienos neurales al riesgo y ii) la prima por vencimieno. Proposición: los logarimos de los precios de los bonos son funciones afines de las variables de esado: n P = A + BX n n (6) Con lo anerior y uilizando las ecuaciones () y (3), se obiene: exp( A + B X ) n+ n+ T E exp X = δ0 δ λλ λ v exp A BX + T + n n + exp X = δ0 δ λλ + A E exp λ v BX + T n + n +

12 30 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos Donde el segundo érmino del lado derecho se puede expresar como: ( + + ) ( + + ) E exp λ v + BX n E exp λ v Bnµ BnφX Bnv = ( ) = E exp λ + B v + + B µ + B φx n n n exp B B Xv exp = ( n µ + n φ + ) λλ Bn λ + Bn Bn + σ Reomando se iene: A + B X n+ n+ = δ0 δ λλ + An ( Bnµ BnφX) ( λλ Bn λ + Bn Σ Bn + σ ) = δ0 δ X + An + Bn µ + Bn φx Bn λ + ( Bn Σ Bn + σ ) = δ0 δ X + An + Bn µ + Bn φx Bn λ0 Bn λx + Bn Σ Bn + σ Igualando coeficienes se logra el siguiene resulado: An+ = δ 0 + An + Bn µ Bn λ0 + Bn Σ Bn + σ (7) Bn + = δ + Bn φ Bn λ (8) Como P n = 0, enonces: A0, B0 = 0 (9) Por úlimo, eniendo en cuena (), se iene que: A = d 0 (30) B' = d' (3)

13 Carlos Albero Cuadros Lara 3 Así, una vez esimados los parámeros del modelo descrios en la sección anerior, con las ecuaciones (7)-(3) de las recursiones se obiene la curva de rendimienos cero cupón. Teniendo en cuena que λ 0 y λ son parámeros exógenos al modelo, al fijarlos igual a cero se obienen los parámeros de valoración ajusados por riesgo A n RF, B n RF a parir de los cuales se obiene la expecaiva de la asa cora en el iempo, para los próximos n períodos. Esas asas neurales al riesgo permien realizar la descomposición de la esrucura a érminos, una vez que la prima por vencimieno se obiene de la diferencia enre la asa implícia esimada por el modelo y la asa neural al riesgo. n n ψ ˆ = yˆ yˆ ( nrf ) (3) 5. Aplicación Una vez se iene el modelo, el procedimieno para esimar los parámeros y la descomposición de la curva de rendimienos, se procede a aplicar lo anerior a los mercados de deuda soberana en Esados Unidos y Colombia. En línea con lo anerior, en la presene sección se describen los daos uilizados, la especificación del modelo empleado, la consrucción de los facores por uilizar y, finalmene, se presenan los resulados empíricos. 5.. Daos Las asas de los bonos de deuda soberana de Esados Unidos se obienen a parir de los parámeros de la exensión de Svensson (994) 5 al modelo de Nelson y Siegel (987), 6 que son esimados y publicados por Gürkaynak e al. 7 Para nuesro país, el proveedor de precios de la Bolsa de Valores de Colombia, Infovalmer, esima los parámeros del modelo de Nelson y Siegel para la curva de es asa fija en pesos. La serie hisórica disponible al alcance del auor inicia en enero de 003. En ese senido, y eniendo en cuena la especificación de acm, se oman para ambas curvas daos en frecuencia mensual desde enero de En el anexo se dealla la fórmula para obener las asas de inerés a parir de los parámeros del modelo. 6 Ver Nelson y Siegel (987). 7 Los auores manienen acualizados y disponibles los daos en la página web del Fed.

14 3 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos A parir de los parámeros, se obienen las asas para vencimienos enre y 0 meses, siguiendo la implemenación elaborada por Espinosa e al. (04). 8 Con esas asas se calculan los precios de los bonos y los excesos de reornos siguiendo las ecuaciones () y (3), respecivamene. Los vencimienos uilizados para la esimación corresponden a N = 6,, 4,, 0. La asa libre de riesgo se define para Esados Unidos como la Libor a un mes y, para Colombia, debido a la disponibilidad de daos, se oma la df. 5.. Especificación del modelo acm demuesran que un modelo con cinco facores supera a la especificación de cp de cuaro facores en pronósicos por fuera de la muesra, no obsane, ambas especificaciones generan dinámicas de la prima por vencimieno similares denro de la muesra. De ora pare, Espinosa e al. reporan que la especificación más adecuada para los daos del mercado colombiano corresponde a una de cuaro facores. En general, la lieraura 9 alrededor de componenes principales sobre asas de inerés sugiere que res facores son suficienes para explicar la curva de rendimienos. Teniendo en cuena lo anerior y omando la idea del ejercicio propueso por Hellersein (0), en donde se consruye un facor de pronósico de los rendimienos global (bajo la meodología de cp) para examinar la prima por vencimienos en diez economías desarrolladas, se usará una especificación de cuaro facores, donde el primero de ellos será el facor de pronósico de los rendimienos y los demás, los primeros res componenes principales de la mariz de varianza-covarianza de los rendimienos de los bonos, conocidos como nivel, pendiene y curvaura. Por úlimo, debido a que uno de los inereses del presene rabajo consise en examinar los efecos que pueda ener la esrucura a érminos de las asas de los bonos soberanos de Esados Unidos sobre la esrucura en Colombia, el modelo para el caso colombiano uilizará el facor de pronósico de los rendimienos de la curva de Esados Unidos Facor de pronósico de los reornos cp proponen un facor formado a parir de una combinación lineal de asas forward, las cuales se obienen a parir de oro conjuno de asas. Para la presene 8 Ver Espinosa, Melo y Moreno (04). 9 Ver Scheinkman y Lierman (99).

15 Carlos Albero Cuadros Lara 33 esimación, se uilizará el mismo conjuno de daos para formar las asas forward, las cuales se obienen a parir de los precios de los bonos. ( n) n n f = P P (33) Dichas asas forward se emplean como variables explicaivas en una regresión lineal de los excesos de reorno rx +. Así, a parir de los excesos de reorno ( n) n esimados rx+, se exrae el primer componene principal. Ese componene será el facor de pronósico de los reornos x. 5% CP Facor - ee.uu. 3% % 9% 7% 5% 3% % -% Vencimieno Figura. Facor de pronósico de los reornos de los bonos Fuene: cálculos del auor Facores adicionales Como se mencionó aneriormene, los res facores resanes corresponden a los res componenes principales de la mariz de varianza-covarianza de las asas de inerés. En ese senido, se realiza la descomposición por valores singulares para cada conjuno de asas y se uilizan los componenes mencionados en los respecivos modelos. Esos facores han recibido el nombre de nivel, pendiene y curvaura por la forma de los vecores. Cabe resalar que los vecores son roados si la media de sus ponderaciones es negaiva.

16 34 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos 35% 5% 5% 5% -5% -5% -5% Nivel Pendiene Curvaura Figura. Facores adicionales para la curva de rendimienos de Esados Unidos Fuene: cálculos del auor. 30% 0% 0% 0% -0% -0% -30% Nivel Pendiene Curvaura Figura 3. Facores adicionales para la curva de rendimienos de Colombia Fuene: cálculos del auor.

17 Carlos Albero Cuadros Lara Resulados empíricos Una vez se ienen los excesos de reorno y los facores, se procede a esimar los parámeros del modelo siguiendo las especificaciones de las secciones aneriores. A coninuación, se muesran los resulados de la implemenación para los daos de Colombia. En primer lugar, se presena la esimación de los precios de riesgo del mercado Λ= λ, λ. [ 0 ] Tabla. Esimación de los precios de riesgo del mercado para la esrucura a érminos de las asas de los bonos colombianos λ 0 λ K = -0,967 0,58 0,78 0,844 0,09 K = -0,09-0,036-0,053 0,04-0,08 K = 3-0,048 0,048-0/03-0,047 0,034 K = 4 0,075-0,06 0,09-0,08-0,73 Fuene: cálculos del auor. El hecho de que los parámeros de λ 0 sean negaivos (a excepción del correspondiene a la curvaura) implica que los inversionisas requieren de excesos de reornos posiivos por asumir los riesgos asociados a los facores correspondienes. En paricular, el parámero correspondiene al facor de pronósico de los reornos es el mayor (en érminos absoluos), lo que refleja que los inversionisas de los bonos colombianos obienen la prima por vencimieno por exponerse al riesgo de los movimienos de las asas de inerés en Esados Unidos. En cuano al ajuse del modelo, las asas esimadas son muy cercanas a las reales. En general, el promedio de los errores para cada vencimieno, en la curva de Colombia, no supera los 7 pbs. A coninuación, se muesran algunas medidas de dispersión de los errores de esimación de las asas de inerés para los vencimienos seleccionados. Gráficamene es difícil disinguir enre la esimación y el valor real (en el anexo se muesran las figuras y la relación enre el promedio del error y el vencimieno). ( n) De ora pare, acm planean el supueso de que β = Bn ; por al moivo, se evalúa que la inclusión del facor cp no afece el proceso ieraivo y la esimación de los precios sea adecuada. En ese senido, los érminos correspondienes al facor cp difieren en valor, no obsane, los demás érminos son similares (en el anexo 3 se presenan las figuras respecivas). En resumen, la inclusión de dicho facor no afeca de forma significaiva la esimación de los precios y la prima por vencimieno resula similar si se uiliza la especificación de acm.

18 36 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos Tabla. Medidas de dispersión de los errores de esimación de las asas de inerés de Colombia Vencimieno (meses) Media -0,00 0,000-0,00-0,00 0,00 Desviación esándar 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Asimería 0,9 3,63 -,00 0,55 0,363 Curosis,343 3,7 8,993,889 5,00 Fuene: cálculos del auor. Finalmene, una vez se ienen los parámeros del modelo y se realiza el proceso ieraivo para obener los precios, es posible esimar la prima por vencimieno con las asas obenidas del modelo y las asas que resulan de hacer Λ= 0, al y como se describió en la cuara sección. 9% 7% 5% 3% % Vencimieno -% ene- 03 oc- 03 jul- 04 abr - 05 ene - 06 oc - 06 jul- 07 abr- 08 ene- 09 oc - 09 jul - 0 abr - ene- oc - jul- 3 abr - 4 ene - 5 Figura 4. Esrucura a érmino de la prima por vencimieno en Colombia Fuene: cálculos del auor. De la esrucura a érminos de la prima por vencimieno en Colombia se puede concluir, al igual que sucede en la de Esados Unidos, que es su valor y la volailidad es creciene en el vencimieno. De igual forma, a ravés del iempo la prima se ha venido reduciendo, en línea con los avances del mercado de rena fija local (obención de grado de inversión, mayor profundidad y liquidez, ec.). En paricular, la prima por vencimieno en Esados Unidos

19 Carlos Albero Cuadros Lara 37 de un bono con vencimieno en diez años durane el período de análisis ha regisrado una reducción del,9 %, mienras que la prima por vencimieno en Colombia cayó un 6,5 %, lo que refleja avances en el mercado colombiano y esabilidad en un mercado profundo y desarrollado como el de Esados Unidos. Por úlimo, la prima por vencimieno para plazos muy coros es cercana a cero, por lo que el comporamieno de las asas esá más asociado a la expecaiva de la asa de inerés de coro plazo, reflejando los efecos de la ransmisión de políica monearia. Para plazos mayores, la prima por vencimieno incorpora facores de riesgo sobre los íulos (como la posibilidad de defaul) y es el facor principal en las variaciones de los niveles de la asa de inerés. 9% % 5% 3% % % 0 ene- 03 ago - 03 mar- 04 oc - 04 may - 05 dic - 05 jul- 06 feb- 07 sep- 07 abr- 08 nov - 08 jun - 09 ene- 0 ago - 0 mar- oc - may - dic - jul - 3 feb - 4 sep - 4 abr - 5 Prima vencimieno 5 años cds Colombia 5 años Figura 5. Prima por vencimieno y coización del credi defaul swap (eje der.) de Colombia a cinco años Fuene: cálculos del auor. 6. Efecos de las asas de los bonos soberanos de Esados Unidos sobre la esrucura a érminos en Colombia En esa sección se esudian las dinámicas de los facores incluidos en la especificación del modelo. En paricular, el hecho de incluir el facor de pronósico de reornos de las asas de inerés de Esados Unidos en el modelo para la esrucura a érminos de Colombia permie conocer la ineracción de los

20 38 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos facores locales con el comporamieno de la curva de rendimienos de Esados Unidos y esablecer si exisen efecos de spillovers sobre las asas de los bonos soberanos colombianos. En los mercados financieros, los bonos soberanos son los acivos más seguros (en érminos de calificación crediicia) en el inerior de un país. En el mercado inernacional, los bonos del Tesoro americano son considerados acivos refugio, eso significa que, en momenos de pánico financiero, los inversionisas buscan ener en sus porafolios esos íulos para proegerse del riesgo de mercado, una vez que se considera que la probabilidad de impago de esos papeles es baja. Incluso, a pesar de que en 0 la agencia calificadora de riesgo Sandard & Poor s redujera la noa de Esados Unidos de aaa a aa+, argumenando debilidad en la consolidación fiscal de ese país, las asas de los bonos de largo plazo regisraron reducciones reflejando la creencia de los inversionisas de la baja probabilidad de impago de dichos íulos. En ese senido, las coizaciones de bonos soberanos en dólares (al menos al momeno de la emisión) disinos a los de Esados Unidos se hacen sobre la asa del bono del Tesoro americano del mismo vencimieno más un spread que refleje el riesgo país del emisor. De ora pare, como se mencionó aneriormene, en un eveno de riesgo de mercado, la búsqueda de refugio implica la vena de acivos riesgosos (como los bonos soberanos colombianos) y la compra de acivos seguros (bonos del Tesoro americano). Con lo anerior, es de esperarse que el comporamieno de la asas en Esados Unidos afece de alguna manera las asas de los bonos de oros países, en ese caso, los bonos colombianos. No obsane, las asas de inerés en el inerior de un país ambién recogen el esado de la economía. En paricular, la asa de políica monearia (equivalene a la asa cora) responde a la dinámica de la economía del país. De esa forma, el componene de las expecaivas de la asa de coro plazo responderá a las variables macroeconómicas del país. 0 Así, eniendo en cuena que pueden exisir efecos de las asas de inerés en Esados Unidos sobre las asas en Colombia, sin desconocer que pare del componene de las asas locales depende de facores económicos inernos, bajo la esrucura del modelo planeado de cuaro facores en (4), se procede a realizar un análisis de impulso-respuesa de los facores (siguiendo a cp, 008), para conocer si el facor de Esados Unidos iene alguna incidencia sobre la dinámica de los facores locales. 0 Ver Melo y Casro (00).

21 Carlos Albero Cuadros Lara 39 Tabla 3. Esimación de Φ en (4) para modelo de asas de Colombia cp Nivel Pendiene Curvaura cp 0,600-0,50 0,046-0,33 Nivel -0,036 0,959 0,030-0,0 Pendiene 0,055 0,06 0,944-0,00 Curvaura 0,000 0,064-0,0 0,805 Fuene: cálculos del auor. 0% 80% 5% 60% 0% 40% 5% 0% 0% 0% -5% -0% -0% -40% cpfacor - nivel cpfacor - curvaura cpfacor - pendiene cpfacor - cpfacor (eje der.) Figura 6. Función de impulso-respuesa del CPFacor sobre los cuaro facores del modelo Fuene: cálculos del auor. En la figura 6, se puede observar que un choque del CPFacor se disipa rápidamene debido al coeficiene de 0,6 (abla 3), pero su efeco sobre los demás facores iene una mayor duración. No obsane, un choque sobre el nivel iene efecos de magniudes similares sobre los oros dos facores, pero en ese caso los choques ienen una mayor duración (figura 7). En ese senido, el nivel es el facor dominane en los movimienos de las asas de inerés de Colombia (los demás choques se muesran en el anexo 4).

22 330 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos 0% 5% 0% 5% 0% -5% -0% -5% nivel - cpfacor nivel - pendiene nivel - nivel nivel - curvaura Figura 7. Función de impulso-respuesa del nivel sobre los cuaro facores del modelo Fuene: cálculos del auor. Por úlimo, de acuerdo con acm, es posible inerprear los coeficienes n B n como la respuesa de la asa del mes n ane un choque conemporáneo del respecivo facor. Así mismo, los coeficienes B n λ indican la respuesa del exceso de reorno esperado a un mes de ener un bono con vencimieno en n meses ane un choque conemporáneo del respecivo facor. En ese caso, el nivel iene un mayor efeco sobre el nivel de las asas, mienras que la pendiene y la curvaura reflejan la forma caracerísica por la cual reciben sus nombres. Es de resalar que en ese caso el cpfacor no iene mayor efeco sobre el nivel de las asas. Sin embargo, en el caso de los excesos de reorno, ese facor sí incluye y, al igual que odos, su efeco es creciene con el vencimieno de los bonos. En ese senido, juno con los precios esimados de riesgo del mercado (abla ), se puede concluir que el CPFacor influye de manera imporane en el componene de la prima por vencimieno, por lo que los inversionisas demandarán un mayor reorno al exponerse al riesgo que implican los movimienos de las asas de inerés de Esados Unidos sobre los bonos colombianos.

23 Carlos Albero Cuadros Lara 33.5%.0% 0.5% 0.0% -0.5% -.0% -.5% CP Pendiene Nivel Curvaura 0.5% 0.0% 0.5% 0.0% 0.05% 0.00% -0.05% -0.0% CP Pendiene Nivel Curvaura Figura 8. Respuesa de las asas (panel izquierdo) y de los excesos de reornos (panel derecho) en la esrucura a érminos de Colombia ane choques conemporáneos en los facores Fuene: cálculos del auor.

24 33 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos Conclusiones En el presene documeno, se empleó un modelo afín de cuaro facores para realizar la descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos soberanos de Colombia y Esados Unidos. A parir de esa descomposición, se obiene la prima por vencimieno y las expecaivas de la asa de coro plazo para plazos fuuros. Los facores uilizados corresponden al facor de pronósico de los reornos de los bonos propuesos por Cochrane y Piazzesi (005, 008) y los demás facores corresponden a los res primeros componenes principales de la varianza de las asas de inerés. Para la descomposición de las asas de los bonos colombianos, se usa el facor de Esados Unidos para incorporar los efecos de spillovers sobre la curva local. Se siguió la meodología propuesa por Adrian e al. (03), pueso que no requiere del supueso de no auocorrelación serial en los errores de los precios de los rendimienos y, por ora pare, la esimación es más eficiene en érminos compuacionales a diferencia de los oros méodos donde se maximiza la función de verosimiliud. La prima por vencimieno obenida refleja las caracerísicas esperadas: a mayor vencimieno, el valor de la prima y su volailidad es mayor. Así mismo, a ravés del iempo, la prima se ha venido reduciendo, probablemene como consecuencia de la mejora económica de Colombia (e. g., grado de inversión). Esos resulados son similares a los enconrados por Espinosa e al. (04), a pesar de que en dicho rabajo solo se uilizan componenes principales de las asas de inerés como variables de esado. De ora pare, la esrucura a érminos de la prima por vencimieno refleja que las asas coras esán deerminadas por la expecaiva de la asa cora, mienras que en los plazos largos la prima por vencimieno es el principal deerminane del movimieno de las asas. Finalmene, los efecos de los movimienos de las asas de inerés en Esados Unidos sí ienen un efeco sobre los facores locales, aunque el principal deerminane de la dinámica de las asas de inerés en Colombia es el facor nivel. En ese orden de ideas, choques conemporáneos al facor de pronósico de los reornos en Esados Unidos no ienen efeco sobre el nivel de las asas de inerés en nuesro país, pero sí influyen en los excesos de reorno esperado, y ese efeco es creciene con el vencimieno, en línea con la dinámica de la prima por vencimieno. Así, el riesgo que implican las asas de inerés exernas en Colombia se raduce en una mayor demanda de reorno, la cual se obiene vía una mayor prima por vencimieno.

25 Carlos Albero Cuadros Lara 333 Anexo Nelson y Siegel (N-S) en 987 sugirieron modelar la curva de rendimienos en 3 un puno en el iempo mediane cuaro parámeros β, β, β y λ. El parámero b no depende del iempo al vencimieno, por lo que puede ser enendido como una asa de largo plazo. En érminos de ajuse a la forma de la curva de rendimienos, es una línea reca. Por su pare, b es una función que decae exponencialmene, por lo que su efeco es mayor en la pare cora de la curva. Por úlimo, b 3 añade una curvaura al ajuse. Con lo anerior, la asa de inerés para un vencimieno deerminado τ, en un puno del iempo, es: y N S exp τ exp τ 3 ( λ λ τ)= β + β + β exp τ τ τ ( λ λ λ ) Lars Svensson (N-S-S) en 994 añade una segunda curvaura al ajuse, por 4 lo que es necesario esimar dos parámeros adicionales β y λ. Así, la asa de inerés para un vencimieno deerminado τ, en un puno del iempo, es: y exp τ N S λ τ = y τ + β exp τ λ τ λ N S S 4

26 334 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos Anexo A coninuación, se muesra la asa esimada por el modelo y la asa real para los vencimienos de y 0 años, respecivamene. Se puede afirmar que el ajuse del modelo no permie disinguir enre ambas series. De igual forma, se presena el promedio del error para odos los vencimienos esimados. 3% % % 0% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% dic - 0 jun - 03 dic - 03 jun - 04 dic - 04 jun - 05 dic - 05 jun - 06 dic - 06 jun - 07 dic - 07 jun - 08 dic - 08 jun - 09 dic - 09 jun - 0 dic - 0 jun - dic - jun - dic - jun - 3 dic - 3 jun - 4 dic - 4 jun - 5 Real - años Esimado - años 3% 8% 7% 6% 5% 4% 3% dic - 0 jun - 03 dic - 03 jun - 04 dic - 04 jun - 05 dic - 05 jun - 06 dic - 06 jun - 07 dic - 07 jun - 08 dic - 08 jun - 09 dic - 09 jun - 0 dic - 0 jun - dic - jun - dic - jun - 3 dic - 3 jun - 4 dic - 4 jun - 5 Real - 0 años Esimado - 0 años

27 Carlos Albero Cuadros Lara % 0.% 0.0% -0.% -0.% -0.3% -0.4% -0.5% -0.6% -0.7% -0.8% Vencimieno Fuene: cálculos del auor.

28 336 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos Anexo 3 A coninuación, se muesra la comparación enre los parámeros de b y los valores de B para cada facor a ravés de los disinos vencimienos. En paricular, el proceso ieraivo es adecuado para la esimación, salvo que los parámeros correspondienes al primer facor no presenan el mismo grado de ajuse de los parámeros de los demás facores. 4.E-04.E E+00 -.E E 04-6.E E E Vencimieno CP Pendiene

29 Carlos Albero Cuadros Lara E-04 0.E+00 -.E E 04-6.E E E Vencimieno B_ β_ 5.E -0 4.E -0 3.E -0.E -0.E -0 0.E E - 0 -E Vencimieno B_3 β_3

30 338 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos.e -0 5.E E E E -0 -.E E - 0-3E Vencimieno B_4 β_4 Fuene: cálculos del auor.

31 Carlos Albero Cuadros Lara 339 Anexo 4 Funciones de impulso-respuesa de los cuaro facores en la especificación del modelo para la esrucura a érminos de las asas de los bonos soberanos de Colombia. Los choques son orogonales y se esiman los efecos en las variables del sisema 00 pasos adelane. 0% 80% 5% 60% 0% 40% 5% 0% 0% 0% 5% -0% -0% -40% cpfacor - nivel cpfacor - curvaura cpfacor - pendiene cpfacor - cpfacor (eje der.) 30% 5% 0% 5% 0% 5% 0% -5% pendiene - cpfacor pendiene - nivel pendiene - pendiene pendiene - curvaura

32 340 Descomposición de la esrucura a érminos de las asas de inerés de los bonos 0% 5% 0% 5% 0% -5% -0% -5% nivel - cpfacor nivel - pendiene nivel - nivel nivel - curvaura 55% 45% 35% 5% 5% 5% -5% -5% curvaura - cpfacor curvaura - pendiene curvaura - nivel curvaura - curvaura Fuene: cálculos del auor.

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