Apuntes Tema 10: Resonancia de circuitos R L C. Índice

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1 Apuntes Tema 1: Resonancia de circuitos R L C Índice 1 Resonancia Resonancia en las distintas áreas Introducción Resonancia en mecánica Resumen Preguntas de autoevaluación Resonancia Serie Resonancia en el circuito serie R-L-C Curva universal de resonancia Puntos de media potencia y ancho de banda Aumento de la tensión en resonancia Energía almacenada y disipada Resumen Preguntas de autoevaluación Ejercicios propuestos Resonancia Paralelo Resonancia paralelo Resumen Preguntas de autoevaluación Ejercicios propuestos Utilización de la Curva Universal de Resonancia Ejemplos de utilización de la curva universal de resonancia Resumen Preguntas de autoevaluación Ejercicios propuestos Efecto pelicular de los conductores en altas frecuencias Modificaciones del valor de la resistencia en alta frecuencia Resumen Preguntas de autoevaluación Aplicación de los circuitos paralelo y serie como filtros Circuito resonante como filtro pasa banda Ejemplos de utilización de filtros Amplificador de audio frecuencias de tres vías Amplificador del canal vertical de un osciloscopio Amplificador de audiofrecuencias Filtros pasivos en la alimentación de equipos médicos Resumen Preguntas de autoevaluación bibliografía Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 1 / 6

2 1 Resonancia 1.1 Resonancia en las distintas áreas Introducción El término resonancia se refiere a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o casi periódicos en los que se produce reforzamiento de una oscilación al someter el sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada. Más concretamente el término puede referirse a: En acústica, la resonancia es el reforzamiento de ciertas amplitudes sonoras como resultado de la coincidencia de ondas similares en frecuencias, es un caso particular de resonancia mecánica. En música, la resonancia musical se refiere a los sonidos elementales que acompañan al principal en una nota musical y comunican timbre particular a cada voz o instrumento musical. En mecánica, la resonancia mecánica de una estructura o cuerpo es el aumento en la amplitud del movimiento de un sistema debido a la aplicación de fuerza pequeña en fase con el movimiento. En electrónica, la resonancia eléctrica es el fenómeno que se produce al coincidir la frecuencia propia de un circuito con la frecuencia de una excitación externa. Existen otros contextos en donde se refiere al término de resonancia como la resonancia magnética nuclear (tecnología utilizada tanto en química como en medicina), la resonancia orbital (se produce cuando los periodos de traslación o de rotación de dos o más cuerpos guardan entre ellos una relación expresada fracciones de números enteros), en química (la resonancia está relacionada con los sistema de enlace entre los átomos de una molécula que, debido a la compleja distribución de sus electrones, obtiene una mayor estabilidad que con un enlace simple) Resonancia en mecánica Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. / 6

3 La resonancia, en mecánica, es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse. Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuando hacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo. La caída del viejo puente Tacoma Narrows (Figura 1.1) ha sido popularizado en los libros de física como un ejemplo clásico de resonancia; sin embargo la descripción extendida no es del todo correcta. Este puente falló debido a la acción de unas fuerzas conocidas en el campo de la aerodinámica de puentes como fuerzas autoexcitadas, por un fenómeno conocido como fluttering o flameo las cuales empujando en forma periódica provocaron el aumento del movimiento del puente. Robert H. Scanlan, padre de la aerodinámica de puentes, escribió un artículo criticando este malentendido. Ningún puente se termina si no pasa la prueba del "tubo de viento". Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 3 / 6

4 1.1.3 Resumen Figura 1.1: Caída del viejo puente Tacoma Narrows (ejemplo clásico de resonancia). El término resonancia se refiere a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o casi periódicos en los que se produce reforzamiento de una oscilación al someter el sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada Preguntas de autoevaluación 1) A qué se refiere el término resonancia y en qué áreas se utiliza el mismo? 1. Resonancia Serie 1..1 Resonancia en el circuito serie R-L-C El estudio de los circuitos serie en corriente alterna, en función de la frecuencia, presenta características que deben ser analizadas muy cuidadosamente para su mejor comprensión y posterior aplicaciones. En la Figura 1. se expone el circuito y su expresión compleja. Para este circuito se obtiene: la expresión compleja de la impedancia: Z = R+ j( X - X ) = R + j( ωl-1/ ωc) L C Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 4 / 6

5 V R V L V C R I E L C Figura 1.: Circuito R-L-C serie. En él, el valor de la resistencia puede incluir: la propia de la inductancia (resistencia del alambre con que está construida), las pérdidas del capacitor y finalmente otras que posea el circuito. Analizando la expresión y el diagrama vectorial (Figura 1.3), es lógico suponer que la parte imaginaria podrá en alguna condición, valer cero. Este es el caso para el cual: X L =X C Debe observarse que ambas reactancias dependen exclusivamente de la frecuencia ya que L y C son constantes. Por ello, para un determinado valor de la frecuencia al que se denomina fo, se producirá la igualdad aludida y se encuentra que ambas reactancias son iguales; se anulan y el circuito se hace resistivo puro para fo. Se denomina entonces RESONANTE SERIE O DE CORRIENTE. Este fenómeno es similar al que se produce en mecánica, combinando una masa y un resorte. La primera consecuencia que se observa es que la impedancia se hace igual a la resistencia y es el menor valor que adquiere. La corriente circulante entonces se hace máxima y por ello se la denomina también resonancia de corriente. El lector debe notar como se demostrará posteriormente, que las tensiones desarrolladas en ambos componentes reactivos quedan también en oposición y sus valores pueden tomar valores muy altos (mayores a la tensión del generador), lo que los hace peligrosos para las mismas reactancias y para el operador. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 5 / 6

6 X C X L = X C R L R C R T i X L Figura 1.3: Diagrama vectorial en resonancia del circuito serie. Recordando la impedancia escrita en la Figura 1.3, cuando X L = X C, la impedancia: Z diagrama vectorial: = R. El valor de Z (módulo) también se puede obtener del Z = R + ( X X ) L C Por otro lado, la frecuencia a la cual se produce la resonancia se obtiene de: X L = X C 1 π fl = π fc luego f 1 = π LC También se debe razonar que para frecuencias menores y mayores a la frecuencia de resonancia, los que intervienen activamente son los componentes reactivos. A frecuencias mayores, interviene predominantemente la reactancia inductiva ya que la misma es directamente proporcional a la frecuencia; y a frecuencias menores, la capacitiva, ya que ella es inversamente proporcional a la misma. El estudio detallado de esta situación se puede realizar desarrollando un diagrama transformado de las componentes que intervienen, en función de la frecuencia, Figura 1.4. Para ello se recordará nuevamente la impedancia en forma compleja: Z = R + j (X L X C ) Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 6 / 6

7 Para la realización de este diagrama, se utilizará el plano complejo para las componentes imaginarias (reactancias) y el plano real para la frecuencia y resistencia. Z = R + X X L =ωl Hz X=(XL XC) V fo R 1 X C = ωc 1 X C = ωc Frecuencia L C R f Figura 1.4: Diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie en función de la frecuencia. Z = R+ j( X - X ) = R+ j( ωl 1/ ωc) (1) L C De la expresión anterior se grafica: R= F(f) = constante Luego resulta una recta paralela a la frecuencia; X L = πf L Dado que πl=cte, luego la X L = Cte f, resulta en una recta que pasa por el origen en el plano positivo imaginario; La reactancia capacitiva es X C = 1/πfC Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 7 / 6

8 Dado que 1/πC =Cte, luego la X C =Cte/f, resultando una hipérbola en el plano negativo imaginario. Finalmente, el módulo de Z es: Z = R + ( X - X ) L C Curva representada como una V invertida. En la Figura 1.4 se han escrito las expresiones que permiten graficar independientemente cada una de las componentes de la impedancia (1). En el eje del plano real, se dibuja en primer lugar la resistencia en función de la frecuencia. Se supone que no varía con ella y en consecuencia da una recta paralela al eje de la frecuencia. Para la X L se genera una recta que pasa por el origen en el plano complejo, siendo el valor de la reactancia cero para frecuencia e para frecuencia ; después se hace: X C se ha generando una hipérbola, indicando que la reactancia capacitiva es cero para frecuencia e para frecuencia. Luego se realiza la suma de X L +X C, en la cual se observa que cuando X L =X C corta al eje de la frecuencia, siendo ese valor justamente la frecuencia de resonancia f o. Finalmente, el módulo de la suma vectorial de la resistencia con las reactancias da el valor de Z. La misma tiene la forma de una V invertida, cuyo valor mínimo es el de la resistencia, y se ha indicado con la letra V. Volviendo a la Figura 1.4, en ella se puede advertir que el vértice de la V, punto marcado con A, tiene mucha información, pero que en este diagrama no se observa. Por ello es más conveniente representar el módulo de la impedancia en función del logaritmo de la frecuencia Z. Así entonces se puede graficar el módulo de Z como una campana de Gauss simétrica, Figura 1.5 (a), cuyo valor mínimo es la resistencia del circuito. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 8 / 6

9 Sin pérdida +9 º Mucha pérdida R grande Z 1 Y = Z Hz fo log f R pequeña R = fo (a) log fo (b) log f 9º (c) 9º Figura 1.5: Curva de resonancia en función del logaritmo de la frecuencia (a) Impedancia (b) Admitancia (c) Fase. No obstante ello, también es relevante representar el módulo de la admitancia en función del logaritmo de la frecuencia Y = 1 / Z lo que también se ha esquematizado en la Figura 1.5 (b). Esta nueva transformación permite verificar con mayor claridad la incidencia de R en el circuito. Por ello, para un valor de R cero, la admitancia se hace infinita y la campana de Gauss que ahora la representa es muy angosta; en cambio para mayores valores de R el gráfico se achata. Una consecuencia importante y que permite observarla, es que si varía la resistencia como por ejemplo, si su valor es cero, la impedancia también es cero y la admitancia se hace infinita, mientras que ambas campanas se hacen más esbeltas, visto en las mismas Figura 1.5 (a) y (b) Por otro lado, también se ha dibujado como varía el ángulo de fase con el logaritmo de la frecuencia para cada componente reactivo. Por ello, para el capacitor el ángulo de fase para frecuencia cero, es de +9º, ya que la corriente se adelanta ese valor en el capacitor, mientras que en la inductancia, se atrasa 9º con respecto a la tensión para frecuencia infinita. En resonancia, el circuito se hace resistivo puro y el Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 9 / 6

10 ángulo es cero. Todo esto queda representado en el diagrama de la Figura 1.5 (c). En ella se ha dibujado la variación del ángulo de fase con la frecuencia para tres casos a saber: sin pérdida, ya que la resistencia asociada a la inductancia es cero; el otro extremo es de mucha pérdida para R grande y entre ellos se ha representado un valor intermedio. Su significado es el siguiente: si las resistencias asociadas al circuito son pequeñas, la variación del ángulo de fase cambia muy rápidamente, recordando que en resonancia es cero. En caso de que las resistencias asociadas son muy grandes, la variación del ángulo de fase es muy lenta. Las pérdidas del circuito significa la potencia disipada en R. Lógicamente cuando R=, la potencia es nula. Otra consecuencia a tener en cuenta, es que la corriente varía en forma proporcional a la admitancia. Esto es fácilmente demostrable: el generador de c.a es una fuente de tensión constante y de frecuencia variable, por ello la corriente que circula en el circuito es: I = E / Z = E Y Dado que E es constante, la corriente es una función directa de la admitancia o inversa de la impedancia. Por ello la curva dibujada de la admitancia en la Figura 1.5 (b) lo es también de la corriente a menos de una constante. Después de haber introducido las aclaraciones anteriores, para que el lector interprete mejor las aplicaciones de estos circuitos, se continuará ahora con el análisis del circuito serie. Así entonces, para que se manifieste en forma contundente la incidencia de la resistencia en el circuito serie (o paralelo), se introducirá un nuevo parámetro denominado: factor de mérito o Q del circuito (también llamado factor de calidad o factor de selectividad). Su definición como factor de mérito no es muy feliz pero aún en la actualidad se sigue arrastrando. Matemáticamente se define entonces que Q = XL R Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 1 / 6

11 Se observa entonces que Q es un número adimensional, ya X L y R son elementos resistivos cuya dimensión es el Ohm. Este número indica que mientras mayor sea el valor de R, el Q es cada vez menor. Para el caso de R = el valor de Q =. Como se puede advertir, el Q está ligado a la impedancia y consecuentemente a la admitancia del circuito y por consiguiente a la esbeltez de la campana. Otro factor a tener en cuenta, es el ancho de banda o banda pasante del circuito, quien está íntimamente relacionado con el Q. Este nuevo concepto y que es de mucha trascendencia, se introducirá en el estudio de la curva universal de resonancia para que el lector pueda interpretar sin ningún error las propiedades de estos circuitos de amplia utilización en electrónica, particularmente en comunicaciones y en innumerables aplicaciones en las cuales es necesario anular o dejar pasar determinadas frecuencias o bandas de ellas; que en realidad son filtros de frecuencia. A modo de un primer ejemplo, en la Figura 1.6 se esquematiza una aplicación de un circuito serie en resonancia. E f R L C Carga b I a fo Log f Figura 1.6: Circuito resonante serie y curva en función del logaritmo de la frecuencia. El generador E es quien produce una tensión con diferentes frecuencias, y está conectado a través de un circuito serie a la carga. Como el lector intuirá, la impedancia del circuito será mínima para cierta frecuencia, la de resonancia definida por los componentes L y C, y para ella la carga recibirá la máxima corriente limitada exclusivamente por R. Por debajo y por encima de resonancia, la impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima. Esta configuración entonces, define un FILTRO Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 11 / 6

12 SELECTIVO (PASABANDA) para ciertas frecuencias que interesan que lleguen a la carga. Este tipo de filtros se denominan pasivos. Otra duda que ahora se manifiesta, es si es solamente selectivo a una frecuencia o a una banda de frecuencias. La relación con la resistencia del circuito permite suponer que si ella es muy pequeña, la curva de la admitancia es muy estrecha, curva a, y por ello solo pasará a la carga una pequeña gama de frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia, para las cuales la corriente tiene un valor apreciable. Fuera de esa gama, la corriente que llegará a la carga será mínima. No obstante ello, si la respuesta del circuito se ajusta a la curva b, la banda de frecuencias que llega a la carga será mayor pero con una corriente menor. Lo anterior hace que se necesite definir algún parámetro que tenga que ver con las frecuencias seleccionadas. Este parámetro ya esbozado, se denomina ancho de banda del circuito, y su definición será objeto de una discusión posterior. 1.. Curva universal de resonancia Recordando lo escrito en párrafos anteriores, respecto a la familia de curvas, será posible desarrollar una sola gráfica que permita aplicarla a cualquier circuito, independientemente de su frecuencia de resonancia y de los valores de R?. Si, esto es posible. Con algunas definiciones y simplificaciones, se podrá llegar a construir una única curva universal de resonancia. Además se podrán definir otros parámetros de mucha importancia. Para ello, observando nuevamente la Figura 1.5, cada uno de los gráficos responde a un determinado valor de resistencia para la misma frecuencia de resonancia. Para obtener una sola curva que contemple cualquier frecuencia, y para cualquier valor de impedancia, será necesario independizarse de la frecuencia. Ello permitirá trabajar en forma mucho más cómoda en el diseño y aplicación de estos circuitos y además obtener otras variables importantes. Así entonces se realizarán una serie de transformaciones matemáticas para obtener la curva universal de resonancia. Así entonces, recordando la expresión de la impedancia compleja: Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 1 / 6

13 Z = R+ j( X - X ) = R+ j( ωl 1/ ωc) (1) L C además en resonancia ω L= 1/ ω C y despejando de ella: 1 1 C = L ωo L = ωo C () y por otro lado Q o ωol 1 = = (3) R ωocr y además QR = ω L (4) o o o en la que se observa que R varía con la frecuencia, siendo R o la resistencia en resonancia. Para introducirlo en las expresiones anteriores será necesario en primer lugar, definir un parámetro que se denomina: Desintonía fraccional: δ ω ω ω 1 = (5) en la cual ω1 = π f1 y ω = π f, por lo que también se puede escribir o δ = f f f 1 El mismo está indicando que el apartamiento de la frecuencia de resonancia, en más y menos, es el efecto de desintonizar al circuito y que dividido por la frecuencia de resonancia, permite obtener la desintonía fraccional. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 13 / 6

14 Para que el lector relacione este parámetro con un circuito resonante, recuerde la búsqueda en un receptor de radio de una estación de radiodifusión. El efecto de indagar en el dial del receptor la estación buscada, es la sintonía de la misma, lográndose ello cuando la señal recibida es perfectamente legible. La variación hacia ambos lados de la frecuencia sintonizada, es la sintonización o desintonización de la frecuencia de resonancia elegida. Así entonces, continuando con las manipulaciones matemáticas, una nueva transformación necesaria es de (5): δ ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = = 1 de dónde 1 ω ω 1 + δ = (6) Interpretada la desintonía como se llegó a (6), se podrá ahora realizar una serie de pasos algebraicos necesarios. Si en la expresión (1) se reemplaza C por la expresión (), queda la impedancia así: Z = R+ j( ωl 1/ ωc) 1 C = ω L = R+ j( ωl ω L/ ω) y sacando factor común ω L queda: ω ω Z = R+ jωl ω ω y reemplazando ω o L de: Q o R o = ω o L quedará: ω ω Z = R+ jqr ω ω (7) Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 14 / 6

15 Llegados a este punto, será necesario verificar si en resonancia, la expresión original (1): Z = R +j(ωl- 1/ωC) de la impedancia, ha variado con respecto a la obtenida anteriormente. Para ello, en resonancia, ω es igual a ω o, por lo que la expresión (7) queda igual a la originaria (1): Z=R; verificándose que se sigue cumpliendo que en resonancia, la impedancia es igual a R. Esto indica que los cambios introducidos no han cambiado la expresión original de Z. Para seguir avanzando, se tendrán que realizar otras modificaciones a lo obtenido en (7); Así entonces, si se saca factor común R o queda: R ω ω Z = R + jq R ω ω (8) y reemplazando por (6) 1 ω ω 1 + δ =, se obtiene: R Z = R + jq ( 1+ δ ) R 1 ( 1+ δ ) Sacando factor común en el denominador 1+δ, quedará finalmente: ( δ ) R δ δ ( 1+ δ) R ( 1+ δ) R Z = R + jq = R + jq R R Z = R + jq R δ + δ ( 1+ δ ) Para valores muy próximos a la frecuencia de resonancia, δ se hace muy pequeña, por lo que se puede despreciar sin mucho error, en realidad, para valores de Qo mayores a 1 o mejor aún a. Por lo tanto, la expresión de la impedancia en resonancia queda simplificada de la siguiente manera; 1+ δ 1 δ ( ) Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 15 / 6

16 R Z = R + jqδ R (9) En ésta se puede apreciar que se ha supuesto que la resistencia varía con la frecuencia (Ro). En esta instancia, conviene hacer dos consideraciones: Primero, si la resistencia no varía con la frecuencia, R se hace igual a Ro y la (9) queda: [ 1 ] Z = R + j Qδ (1) Válida para bajas frecuencias. Si ahora R varía con la frecuencia (segunda consideración), se puede hacer que R/Ro sea proporcional a las variaciones de ω/ωo, en otras palabras: R ω = = 1+ δ R ω y reemplazando en la (9) queda: [ 1 δ δ ] Z = R + + j Q y además siendo δ muy pequeño, quedará finalmente: [ 1 ] Z = R + j Qδ (11) Válida para bajas frecuencias. Como se podrá notar, las dos expresiones de la impedancia son iguales, teniendo en cuenta la consideración con la frecuencia. Nuevamente, para saber si ha cambiado la Z original en resonancia, se observa que al ser δ =, queda Z = R, para baja frecuencia y Z = R o para alta frecuencia. Como se puede advertir, la (1) y la (11) representan a la impedancia ya no como una función de la frecuencia, sino en función de la desintonía δ. Para finalmente, construir la curva universal de resonancia, se deberá reformular la (11), en valores de admitancia, por ello se escribe: Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 16 / 6

17 Y = 1/ Z por lo que entonces: Y = R 1 [ 1+ jqδ ] (1) y como siendo además Y = 1/ R, ambas en resonancia, la expresión (1) queda: Y = Y [ 1+ jqδ ] por lo que: Y = Y 1 [ 1+ jqδ ] (13). En esta última expresión, YY es la admitancia normalizada, entendiéndose por ello que en resonancia, el valor de ella es: YY= 1 ; para trabajar con la (13), la debemos racionalizar, por lo que: Y 1 (1 j Qo δ ) = Yo (1+ j Qo δ ) (1 j Qo δ ) quedando: Y Y o (1- j Qoδ ) = + δ [1 ( Qo ) ] Esta última expresión tiene una parte real y una imaginaria que se observan a continuación: G 1 = : Conductancia normalizada (Parte real Y) Yo [1 + ( Qδ o ) ] B ( Qoδ ) = : Susceptancia normalizada (Parte compleja de Y). Yo [1 + ( Qoδ ) ] Por otro lado, el módulo de la admitancia normalizada es: Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 17 / 6

18 Y Y o = Q [1 + ( o δ ) ] Q [1 ( o δ ) ] + (14) con las componentes real e imaginarias definidas de la admitancia normalizada, se construye la curva universal de resonancia, que da como resultado la Figura ,,9 Debajo de resonancia Arriba de resonancia Admitancia relativa o impedancia: Y/Yo o Z/Zo,8,7,6,5,4,3,,1,1, 1 1 Componente imaginaria Componente real Total Desintonización fraccional relativa a a= Qoδ,3,4,5 Frecuencia Figura 1.7: Curva Universal de Resonancia. En ella se ha desplegado en el eje X, una nueva variable que se denomina: desintonía fraccional relativa. Se la identifica con la letra a y es igual al producto de Qoδ, o sea Qo por la desintonía fraccional δ, ya definida anteriormente. Ambos son adimensionales e independientes de la frecuencia. Asimismo, en el eje Y se grafican las componentes real e imaginaria relativas normalizadas: G/Y o y B/Y o respectivamente, como así también la suma de ambas, que da como resultado la admitancia relativa Y/Yo; también se ha colocado en el eje Y la impedancia relativa normalizada Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 18 / 6

19 Z/Z o, dado que este mismo diagrama se utiliza en los circuitos paralelo de dos ramas. De esta forma, se ha logrado construir una sola curva para cualquier caso de circuitos serie. Esta se denomina curva universal de resonancia y como se verá posteriormente, servirá también para resonancia paralelo Puntos de media potencia y ancho de banda Analizando la Figura 1.7, se puede observar en ella que se distinguen dos puntos singulares a saber: para Q o δ =±,5, se produce la igualdad de la parte real con la imaginaria. En otras palabras, la susceptancias se hacen iguales a la resistencia del circuito, con lo que el ángulo de fase se hace ±45º. Esta condición se refleja en la Figura 1.8. Téngase en cuenta que la admitancia relativa, para estos puntos vale,771. Recordando conceptos anteriores, se dijo que la corriente circulante en el circuito es directamente proporcional a la admitancia, ya que I=VY y como V es una fuente de tensión constante de alterna, I depende de la admitancia Y. Con respecto a la normalizada Y/Y o, la corriente, que tendrá su valor máximo para resonancia, ya que Y/Y o =1, será proporcional a,771 para los puntos ±Qoδ=,5. Así entonces, la potencia para resonancia, es máxima, e igual a RI (la corriente depende solo de R) para los puntos en los cuales B L =B C, la misma variará en proporción a,7; por ello entonces la potencia será igual a: R (,7I) ; y dado que,7 es igual a,5, la misma valdrá la mitad. Por esto, los puntos que definen esta condición se denominan: puntos de media potencia, y significa que la potencia cae a la mitad de la correspondiente a resonancia en los puntos Qoδ = ±1/. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 19 / 6

20 Puntos de media potencia Admitancia Y Componente real G Qoδ = 1/ +Qoδ 1 =+1/ Qoδ Componente imaginaria B ω o Respuesta ω1 - ω ω o 1 = δ = Qo Frecuencia ω ω 1 Figura 1.8: Curva de resonancia indicando los puntos de media potencia. Se pueden verificar los valores obtenidos, reemplazando en la expresión (14) por el valor de Y [1 + (Q o δ) ] (1+ 1) ± Qδ = = = = =.77 Y o [1 + (Q o δ) ] (1+ 1) el lector debe recordar cuando se ejemplificó un circuito con elementos reactivos, en la Figura 1.6, se hizo referencia al ancho de banda y se expresó que su discusión será posterior. Este es el momento, y para introducirse en el tema, se encuentra que los puntos de media potencia definen al ancho de banda haciendo las consideraciones siguientes y teniendo en cuenta la Figura 1.8: Qδ = 1/ y Qδ 1= 1/ Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. / 6

21 por lo que: + Qδ1 =+ 1/ Qδ = 1/ Qδ -Qδ = 1 ( ) 1 1 Q δ -δ = 1 (15) En otras palabras, el recorrido desde Q o δ hasta +Q o δ 1 en el gráfico, vale 1; ahora recordando el valor de δ: ω ωo f-fo δ = = ωo f o Por lo que para los valores de: δ f 1- fo f - fo 1 = y δ1 = o o f f que de (15) resulta: Q Q Q Q ( δ δ ) 1 = 1 ( f 1- fo) ( f fo) f o + fo ( f 1 fo f fo) fo ( f 1 f ) = 1 fo = 1 = 1 y despejando: BW = f f 1 = f Q Siendo entonces f 1 f el ancho de banda del circuito, que en inglés se abrevia: BW. Este concepto está indicando que cuando la potencia transferida por el circuito serie a la carga cae en el 5% de la potencia total (1%), las frecuencias comprendidas en esa banda son las que pasan a la carga. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 1 / 6

22 Observe la relación del Qo con el ancho de banda, encontrándose que a mayor Qo, el ancho de banda es menor y viceversa. La importancia del mismo se manifiesta en que para diversas aplicaciones, el circuito debe ser más selectivo (menor ancho de banda), receptores de radio y en otros casos se necesita menor selectividad, receptores de televisión Aumento de la tensión en resonancia La definición del Q propuesta anteriormente, puede ser también delimitado de otras formas. Una de ellas, es la tensión que alcanzarán los elementos reactivos en resonancia, ya que al ser iguales y contrarias, se anulan; pero pueden alcanzar valores importantes y que dependerán de Q o. Para este análisis, se dibuja nuevamente el circuito serie en resonancia, Figura 1.9 y en él se aplica Kirchoff en forma vectorial: E = V + V + V R L C y en resonancia: VL = VC, por lo que E = VR ; además se tiene: VR = RI luego I = VR R VL = XLI = VC = XCI Reemplazando en las caídas V L y V C, por la corriente, se tiene: V L = X L VR R XoL Pero Q =, luego: R V = QV = Q E L R Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. / 6

23 con el mismo razonamiento se obtiene para V = QV = Q E C R Indicando que en resonancia, las tensiones desarrolladas tanto en la bobina como en el capacitor, alcanza Q o veces la tensión del generador. Como el lector sacará en conclusión, los elementos reactivos amplifican la tensión. Se debe recordar que ambas tensiones son vectoriales; y esta situación presupone que tanto el capacitor como la inductancia estarán sometidos a altas tensiones con Q altos, y por ello en los circuitos diseñados para trabajar en estas condiciones, se deben elegir cuidadosamente los componentes reactivos. V R V L VC R I E L C Figura 1.9: Tensiones en el circuito resonante serie Energía almacenada y disipada Otra definición de Q, que es quizás la más acertada, es la correspondiente en resonancia a Energía almacenada (1/ ) (1/ ) Li + Q = π = Cv π (15) Energía disipada Ri T Notar, que la energía almacenada es la suma correspondiente a L y C, mientras que la disipada se produce solamente en la resistencia en forma de calor, y responde a la potencia por el tiempo. En la expresión anterior, T es el período de la c.a. Para demostrar esta nueva definición de Q, en primer lugar se debe determinar el valor asumido por la energía almacenada por L y por C. Para ello la corriente en un circuito serie es i = Ipic sen( ωt) Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 3 / 6

24 , y siendo la energía en el campo magnético en cada instante: WL = ½Li, entonces: W = LI sen t L ½ pic ( ω ) Por otro lado la tensión en el capacitor se obtiene integrando la corriente i = Ipic sen( ωt) ; por lo que: t t 1 Ipic C = i pic ( i) i C = ω C v idt I sen t dt v C Ipic = cos( ωt) ωc y por ello entonces en el capacitor, la energía del campo eléctrico es: I ½ ½ pic Ipic WC = CvC = C cos ( ωt) = ½ cos ( ωt) ω C ω C W C = I ω C pic ½ cos ( ωt), en resonancia, la energía total almacenada será: I WL + WC = I Lsen t + t ω C ½ ( ) ½ pic pic ω cos ( ω ) 1 WL + WC = ½ Ipic Lsen ( ωt) + cos ( ω t) ω C (16) La que se representa gráficamente en la Figura 1.1 y como el lector puede observar, es constante (zona rayada). Por otro lado, en resonancia: X L= X C = π f L= 1/π f C, de dónde se cumple para la resonancia Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 4 / 6

25 L= 1/ ω C C = 1/ ω L (17) y reemplazando en la (16) se tiene: 1 WL + WC = ½ Ipic Lsen ( ωt) + ½ cos ( ω t) ω (1/ ω L) L C ( ω ω ) W + W = I Lsen t + L t ½ pic ( ) cos ( ) siendo: sen ( ω t) + cos ( ω t) = 1 por lo que queda: W + W = ½LI L C pic por otro lado, para obtener la energía disipada en la resistencia se obtiene la potencia como I pic Ief R = R= ½ Ipic R pic Esta es la potencia promedio y la energía es la potencia promedio por el tiempo; si la frecuencia es f o, el tiempo por un ciclo será: T = 1/ f, por lo tanto, la energía disipada en el circuito resonante durante el ciclo es: W = I R f R ½ pic / Ahora aplicando la (15): Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 5 / 6

26 Energía almacenada Li + Cv π = Energía disipada Ri T 1/ 1 / WL + WC = π W R pic ½ pic / L C pic ½ pic / π W + W = ½LI ½LI = π I R f πfl = R W = I R f R Energía almacenada Ipic L ωol XoL π = 1/ πfo = Q o = = Energía disipada 1/(RIpic ) R R y si de la (17): 1 C = ωo L también se obtendría: Q 1 XoC ωocr R = = Lo que permite entender que el Q o es función del juego de energías. Esta definición es quizás la más acertada del Q o del circuito en resonancia. L ½Li ½Cv Energía total Almacenda (CONSTANTE) Zona rayada C R i v C Figura 1.1: Energía en el circuito en resonancia serie. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 6 / 6

27 1..6 Resumen La utilización de corriente alterna armónica en los circuitos, abre un nuevo panorama de aplicación de la Ley de Ohm. Es así que aparecen fenómenos asociados a componentes pasivos tales como capacitores e inductancias. La oposición a la corriente alterna de estos componentes, se denomina reactancia capacitiva: X C =1/πfC e inductiva: X L =πfl, respectivamente. En el primer caso, la reactancia capacitiva disminuye con la frecuencia y su respuesta es una hipérbola, mientras que la reactancia inductiva se incrementa con la frecuencia, pero en forma lineal. Cabe destacar que la resistencia que ofrece la combinación tanto en serie como en paralelo e incluyendo resistencias, se denomina Impedancia Z, siendo su unidad el ohm (Ω). También, a la combinación en paralelo, a la oposición a la corriente, se la puede denominar Admitancia Y que es la inversa de la impedancia: Y=1/Z, o Z=1/Y. En este último caso, la unidad es el Siemens (1/Ω). El comportamiento de los elementos reactivos, cuando se aplica c.a a un circuito con ellos, produce un desplazamiento de fase de la corriente circulante con respecto a la tensión. El capacitor ideal, adelanta la corriente 9º respecto a la tensión y la inductancia ideal, atrasa la corriente 9º. Con Respecto a la resistencia, su tratamiento es igual que para corriente continua, pero asociada a los elementos mencionados anteriormente, produce que los adelantos o atrasos sean menores a 9º. La resolución de los problemas de c.a pueden realizarse utilizando diagramas vectoriales o álgebra compleja. Se debe tener en cuenta por ello, que las sumas de elementos reactivos es geométrica y no aritmética. Así entonces, el módulo de la impedancia se puede obtener por Pitágoras: Z = R + ( XL - XC). En ciertas condiciones, la combinación en serie de elementos reactivos, puede provocar la resonancia de los mismos. Ello sucede particularmente, cuando las reactancias inductiva y capacitiva se hacen iguales para una determinada frecuencia: X L =X C = Xo; de aquí se obtiene la frecuencia de 1 resonancia: fo =. Para esta frecuencia, la impedancia se hace π LC mínima y la corriente circulante, máxima, mientras que el ángulo de Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 7 / 6

28 fase se hace cero y el circuito se comporta como resistivo puro. Realizando el diagrama transformado de las reactancias y resistencia en función de la frecuencia, se obtiene una curva no lineal en la cual la impedancia para resonancia es mínima. Si se grafica en función de la frecuencia en forma logarítmica, se produce una campana de Gauss invertida. Si se hace la recíproca de ella: Y=1/Z, se obtiene la admitancia y la campana de Gauss es normal. También en estos circuitos resonantes, aparece el concepto de calidad de los mismos, Qo y el ancho de banda: W. El Qo es igual a la relación entre cualquiera de las reactancias en resonancia sobre la resistencia que posee el circuito serie: Qo=Xo/R. Si R es muy pequeña, Qo grande, la curva se hace esbelta y el circuito es muy selectivo y si R es grande, Qo pequeño, la curva se achata y es menos selectivo. En cuanto al ancho de banda, el mismo indica qué frecuencias admiten la máxima corriente y cuales no. Así entonces, se define el ancho de banda como las frecuencias para las cuales la potencia que es máxima en resonancia, cae a la mitad, y el ángulo de fase en esos puntos es de ±45º. Por otro lado, de allí se obtiene la relación entre la frecuencia de resonancia fo y el Qo: W= fo/qo. Se observa que el ancho de banda variará en función de la resistencia asociada al circuito. Asimismo, cuando un circuito de este tipo está en resonancia y el Qo es muy grande, aparecen importantes voltajes en los elementos reactivos ya que: V L =V C = QoEa, dónde Ea es la tensión aplicada al circuito. El lector advertirá también que para cada circuito y frecuencia se debe construir cada curva de la impedancia. Esta condición se soluciona con la denominada curva universal de resonancia, en cuyo caso, solamente una única curva permite resolver cualquier circuito y frecuencia de resonancia Preguntas de autoevaluación ) Cuándo en un circuito R-L-C se produce resonancia serie? Realice un esquema circuital y un diagrama fasorial explicativo. 3) Por qué a la resonancia de un circuito R-L-C serie se le dice resonancia de corriente? Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 8 / 6

29 4) Qué se puede producir en el circuito cuando está en resonancia serie? Por qué? 5) Cuál es la frecuencia de resonancia en un circuito R-L-C serie? Cómo se obtiene este valor? Realice un esquema circuital y un diagrama fasorial explicativo. 6) Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L-C serie la frecuencia de excitación está por arriba de la frecuencia de resonancia? Por qué? 7) Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L-C serie la frecuencia de excitación está por abajo de la frecuencia de resonancia? Por qué? 8) Cómo varia la resistencia en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 9) Cómo varia la reactancia capacitiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 1) Cómo varia la reactancia inductiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 11) Cómo varia la impedancia total en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 1) Por qué es conveniente graficar los valores de impedancia y admitancia en función del logaritmo de la frecuencia? Grafique las curvas del módulo de la impedancia y de la admitancia de un circuito R-L-C en resonancia serie indicando los puntos característicos. 13) Qué sucede con la curva de impedancia y con la fase en función del logaritmo de la frecuencia en un circuito R-L-C resonante serie cuando cambia el valor de la resistencia serie? Realice la gráfica de impedancia y de fase para R= y para otros dos valores diferentes de resistencia indicando cual es mayor. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 9 / 6

30 14) Qué sucede con la curva de admitancia y de fase en función del logaritmo de la frecuencia en un circuito R-L-C resonante serie cuando cambia el valor de la resistencia serie? Realice la gráfica de admitancia y de fase para R= y para otros dos valores diferentes de resistencia indicando cual es mayor. 15) La forma de la curva de corriente con el logaritmo de la frecuencia en un circuito R-L-C serie tiene la forma de la impedancia o de la admitancias? Por qué? Realice la curva de corriente en función del logaritmo de la frecuencia. 16) Cómo se obtiene el factor de mérito en un circuito R-L-C serie? Qué dimensiones tiene? 17) Por qué se dice que circuito R-L-C serie es un filtro selectivo o pasabanda? Qué relación existe el valor de la resistencia y el factor de mérito? 18) Qué sucede con el factor de mérito en un circuito R-L-C serie cuando el valor de la resistencia tiende a cero y a infinito? qué consecuencias presenta con el ancho de banda? 19) Qué es la curva universal de resonancia de un circuito R-L-C serie? Para qué sirve? ) Qué es la desintonía fraccional cuando se obtiene la curva universal de resonancia de un circuito R-L-C serie? Cómo se define y para qué sirve? 1) Por qué la curva universal de resonancia no se da en valores de impedancia sino de admitancia? Realice una gráfica en donde se indique admitancia, conductancia y suceptancia normalizada indicando puntos característicos. ) Por qué para un valore de conductancia y suceptancia normalizada igual a.5, la admitancia normalizada es.771? A qué valor de desintonía normalizada ocurre esto? Justifique. 3) Cómo se lleva de la desintonía fraccional normalizada a la frecuencia real de un circuito en resonancia? Qué parámetros se deben conocer del circuito real? Dé un ejemplo. 4) Qué condiciones se cumplen en los puntos de media potencia? Que relación tienen con el ancho de banda? Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 3 / 6

31 5) Que son los puntos e media potencia? Por qué se llaman así? Qué definen? 6) Cómo se distinguen los puntos de media potencia en la curva universal de resonancia? Qué valores toman la desintonia fraccional normalizada, la admitancia, suseptancia y conductancia normalizadas? 7) Qué es el ancho de banda en un circuito R-L-C serie? Cómo se obtiene a partir de la frecuencia de resonancia y el factor de mérito? Cómo se obtienen sus límites? 8) Qué sucede con las tensiones y corrientes en la resistencia, capacitor e inductancia cuando un circuito R-L-C serie está a la frecuencia de resonancia? Qué valores toman? 9) Qué valor toman las corrientes y la tensiones en la resistencia, capacitor e inductancia cuando un circuito R-L-C serie está a la frecuencia de resonancia? Qué puede provocar y por qué? 3) Qué relación hay entre la energía almacenada y la energía disipada en un circuito R-L-C serie en un periodo de la señal senoidal? Qué elementos almacenan y qué elementos disipan energía? Qué valor toma la energía almacenada y disipada? 31) Cómo se obtiene el factor de mérito de un circuito R-L-C serie en función de las energías almacenadas y disipada? 1..8 Ejercicios propuestos 1) Se conoce el valor de C y la frecuencia de resonancia de un circuito serie; determine el valor de la inductancia. C=.μF y fo=3.5hz. ) Se desea construir un circuito que deje pasar una determinada banda de frecuencias (Q=1), para la frecuencia de resonancia, 3.Hz. Determinar L y C para una impedancia de 5Ω. 3) Se desea construir un filtro pasivo pasabanda, mediante un circuito resonante serie, para una frecuencia de resonancia de 14Hz y la banda pasante de Hz. Calcule los componentes necesarios y el Qo que debe poseer el circuito. En la figura se muestra el esquema del filtro. La R P es una resistencia de limitación de la corriente para la frecuencia de resonancia. Se adopta para C un valor de,1μf. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 31 / 6

32 Circuito que genera diferentes frecuencias R P R=? L=? C=,1μF Carga 4) Diseñe un circuito R-L-C serie resonante para que la corriente con una tensión de entrada de 5 volt de pico tenga la siguientes especificaciones: a) Una corriente de pico de 1 ma b) Un ancho de banda de 1 Hz c) Una frecuencia de resonancia de Hz Encuentre R, L y C y las frecuencias de corte. 5) Un circuito R-L-C serie con R = Ω y L = mhy operando a una frecuencia de 5 Hz tiene un ángulo de fase de 45º en adelanto. Hallar la frecuencia de resonancia para la corriente del circuito. 6) La tensión aplicada a un circuito serie R-L-C con C = 16 μf es de vt ( ) = 1 cos(1t 3º ) volts y la corriente que circula es it ( ) = 3 cos(1 t) Amper. Encuentre le valore de R y de L Cuál será la frecuencia de resonancia ω para la corriente? 7) Se tiene un circuito R-L-C serie con una frecuencia de resonancia para la corriente de f = 3Hz y un ancho de banda de 1 Hz. Encuentre el Q del circuito y las frecuencias f 1 y f. 8) Un circuito R-L-C serie tiene está formado por R = 1 Ω, L = 5 mhy y C =.1 μf. La tensión aplicada es una señal senoidal Volts eficaces (U = V eficaz). Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 3 / 6

33 1. Calcular la frecuencia de resonancia. Calcular la tensión que aparece en la resonancia en los bornes de la inductancia, el capacitor y la resistencia. 3. Calcular el ancho de banda 9) Un circuito resonante R-L-C en serie como el de la figura, tiene una inductancia L = 1mH. Seleccione C y R para que: la frecuencia de resonancia sea 1 6 rad/seg y BW sea de 1 3 rad/seg. 1) Para un circuito resonante RLC en serie se tiene R = Ω, L = 1 mh y C =.1 μf. Calcular la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el factor de mérito. 11) El circuito RLC de la figura está en resonancia. La frecuncia de la fuente ideal de tensión es de 1 rad/s y su valor eficaz 1 V. Se sabe además que, a la frecuencia de resonancia, I = 5 A (valor eficaz) y V c =. V (valor eficaz). Hallar: a) La tensión compleja V R. b) La tensión compleja V L c) Valores de R, L y C. R C U R U C L U L + - U s NOTA: Indicar las tensiones complejas U R y U L tomando como origen de fases la intensidad. 1.3 Resonancia Paralelo Resonancia paralelo Así como se produce resonancia en el circuito serie, lo mismo sucede con la configuración en paralelo. Ambos tienen similitudes importantes, pero su Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 33 / 6

34 conducta es diferente. El paralelo posee alta impedancia en resonancia, mientras que el circuito serie, tiene baja impedancia y alta admitancia también en resonancia. En la Figura 1.11 se esquematiza un circuito paralelo de tres ramas y su expresión es la que se consigna ahora: 1 1 Y = G+ jωc+ = G+ j ωc- jωl ωl puede notarse, como ya el lector habrá advertido que ahora la susceptancia inductiva es negativa y la capacitiva, positiva por lo que el diagrama vectorial de las corrientes circulantes es el que se muestra en la Figura 1.11 (b). L G C jωcv=i C GV=I G a 1 V =I L j ωl b Figura 1.11: Circuito y diagrama fasorial de corrientes del circuito resonante paralelo. Así entonces, en resonancia las corrientes en los elementos reactivos se anulan y solamente circula corriente por la conductancia. Una consideración importante que debe hacerse es que la conductancia para este circuito muy pequeña (R grande), ya que se consideran las pérdidas del capacitor y de la inductancia como G. Ello induce a pensar que ahora los valores de las corrientes en oposición pueden alcanzar valores muy altos al contrario del serie, en el cual las tensiones en ellos pueden alcanzar magnitudes muy peligrosas. El valor de la corriente en la conductancia se obtiene como I G = VgG = Vg/R Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 34 / 6

35 Otra consideración interesante es que se produce una dualidad en ambos circuitos. Esta dualidad permite realizar una correspondencia entre las distintas variables tal como se expone a continuación. Esta dualidad presupone la equivalencia entre los parámetros de ambos circuitos pero en forma inversa. serie paralelo voltaje corriente impedancia admitancia resistencia conductancia reactancia susceptancia inductancia capacitancia Por ello, el diagrama transformado de este circuito es el de la Figura 1.1. Y = G + B B C =ωc Hz B=(BC BL) V fo G 1 B L = ωl 1 B L = ωl Frecuencia L G f C Figura 1.1: Diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo en función de la frecuencia. El lector puede observar que las ecuaciones para resonancia paralelo son un duplicado de las ecuaciones para resonancia serie visto anteriormente. Esto permite que la curva universal de resonancia Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 35 / 6

36 normalizada vista en la Figura 1.1, se aplique tanto a los circuitos en paralelo resonantes como a los circuitos en serie resonantes. La interpretación de los puntos de media potencia también es la misma. En cuanto al Q para los circuitos resonantes paralelo es similar a la vista para los circuitos serie: Q ωc = G, y considerando que en resonancia ω L= 1/ ω C y G = 1/ R, se puede escribir para la resonancia paralelo: Q ωc R = = G ω L El análisis del Q indica que el valor del mismo para estos circuitos de tres ramas correspondiente a bajas pérdidas, dependerá de tener un alto valor de resistencia en paralelo, pertenecientes a las pérdidas del condensador y de la inductancia colocada en paralelo con la misma. Para una mejor comprensión y utilización de estos circuitos, se esquematizará el de dos ramas o CIRCUITO TANQUE de amplias aplicaciones, Figura L G C 1/G=R C L (a) (b) Figura 1.13: Circuito de dos ramas o circuito tanque. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 36 / 6

37 Este circuito cuya admitancia se obtiene sumando las dos ramas, permite obtener la expresión de Y 1 = + R+ jωl jωc Y 1 = + jωc R+ jωl ( jωl) 1+ jωc R+ = R+ jωl RC 1 + j ω C L ωl = R 1+ jωl, y operando con ella y teniendo en cuenta que el Q sea mayor que cerca de resonancia, en la cual R se hace muy pequeño respecto de ωl ( R << ωl ); hace que la expresión final de la admitancia simplificada para este circuito de dos ramas quede de la siguiente manera: Y ( ) 1 1+ jωc R+ jωl 1+ jωcr+ jωcjωl = + jωc= = R+ jωl R+ jωl R jωl + 1 j ω L 1 1 jωcr ωcωl ( 1+ jωcr+ jωcjωl) + j L jωl jωl jωl ω = = R R jωl + jωl 1 CR ωc RC 1 C L 1 L + j ωc R j ωc jωl L j + L ωl L + C ωl C = = = R R R jωl 1+ jωl jωl C 1 R j ω L L + ωc = R 1+ jωl Considerando R << ωl porque Q es grande C 1 YP = R j ωl L + ωc Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 37 / 6

38 Si, de esta expresión se obtiene la impedancia quedará para la misma: Z P L = C R+ j( ωl 1/ ωc) permitiendo observar que en el denominador aparece la impedancia del circuito serie: S ( ω 1/ ω ) Z = R+ j L C El lector debe notar que cuando el circuito de dos ramas esté en resonancia, la impedancia del mismo será igual a: Z P L L = = G CR C en la cual L/C es una constante. El Q o para estos circuitos es el mismo que para el serie: ωl/r. Por otro lado la inversa de R, G para Q o mayores a, adquiere un valor elevado, y ello permite observar que la impedancia en resonancia es muy alta., pudiéndose también utilizar la curva universal de resonancia de la Figura 1.7 con errores muy pequeños; pero su aplicación permite resolver todos los circuitos en los cuales interviene la configuración de dos ramas. Por ejemplo, para circuitos sintonizados de amplia utilización en radiofrecuencias. Al igual que el circuito serie, la admitancia en resonancia, cuando la frecuencia es logarítmica responde a una campana de Gauss. Estos circuitos resonantes paralelo de dos ramas, se denominan circuitos tanque, tal como se expresó en párrafos anteriores. Este último nombre está asociado al motivo que la inductancia acumula energía de campo magnético (cinética en mecánica y la acumula la masa) y la capacidad energía de campo eléctrico (potencial en mecánica y la acumula un resorte). Son muy utilizados en los sintonizadores de los radiorreceptores. En ellos el Q posee un valor que permite para obtener un ancho banda importante y puedan sintonizarse las distintas estaciones en las distintas bandas de recepción (onda larga, ondas cortas o FM). En estos circuitos se utiliza una inductancia fija para cada banda que se permutan con un Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 38 / 6

39 condensador variable. Asimismo, es fundamental destacar que la corriente de radiofrecuencia en la inductancia, circula por la periferia del alambre de los arrollamientos de las inductancias. Esta condición se denomina efecto pelicular y se verá posteriormente. En la Figura 1.14 se muestra un circuito de dos ramas paralelo de un sintonizador de un radio receptor. C L 1 Antena Energía electromagnética de diferentes frecuencias correspondientes a distintas estaciones de radio y TV L A circuitos: demodulador, amplificador y de audio. Figura 1.14: Circuito de dos ramas paralelo de un sintonizador de un radio receptor. Las inductancias L 1 y L conforman lo que se denomina un transformador. El funcionamiento del circuito es el siguiente: mediante el capacitor variable C se puede elegir una frecuencia de resonancia que coincide con una de las que llegan e inducen una tensión en la antena. Para ella, la impedancia es máxima y en consecuencia la tensión desarrollada para esa frecuencia en el circuito paralelo L 1 y C es máxima y para las otras que llegan es un cortocircuito. Dicha tensión se transfiere al arrollamiento L en forma magnética y la tensión aparece en este último. Cabe considerar que las señales electromagnéticas que las señales electromagnéticas que llegan a la antena e inducen voltajes en ellas, están formadas por una señal compuesta integradas por las denominadas: portadora y moduladora. La portadora es la frecuencia que transporta a la moduladora que es la inteligencia: palabra, música, etc. La estación transmisora produce la señal compuesta en AM (amplitud modulada) o en FM (frecuencia modulada) y la transmite a través de la antena transmisora como energía electromagnética. El receptor la recibe vía antena, induciéndose en ella un Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 39 / 6

40 voltaje de c.a y este último es seleccionado (sintonizado) mediante el circuito visto en la Figura Sintonizada la misma, se la demodula lográndose nuevamente la moduladora (palabra, etc.), eliminando además la portadora. Obtenida así la inteligencia, se la amplifica y se envía al altoparlante. Un ejemplo que patentiza el proceso de modulación, es retrocediendo a la época de la colonia. En dicha época, para enviar un mensaje se utilizaba el chasqui (portador) a bordo de un caballo, quien poseía el mensaje (moduladora) en su mano o alforja. Este personaje, para que el mensaje avanzara lo más rápido posible, cambiaba de caballo en las postas por otro fresco y así se desplazaba, por ejemplo desde Buenos Aires a Cuyo Resumen Cuando se asocian componentes en paralelo, colocando el capacitor en paralelo con la inductancia y ésta en serie con las resistencias asociadas, se obtiene un circuito resonante paralelo denominado tanque (esta denominación surge de la transferencia de energías de campo eléctrico en magnético y viceversa similar a un resorte y masa). Para este caso, la curva de resonancia es la admitancia, o sea que la impedancia es máxima. La L expresión de la impedancia en resonancia es la siguiente; Z=, siempre y CR cuando el Qo sea mayor a, el que se define igual que en el serie. También se denomina resonancia de tensión, ya que la tensión desarrollada es máxima. Para estos circuitos también se utiliza la misma curva universal de resonancia que se aplica al serie Preguntas de autoevaluación 3) En qué se diferencia el circuito resonante serie del paralelo? 33) Cómo es el diagrama vectorial de un circuito resonante paralelo? Realice el circuito y el diagrama vectorial indicando el valor de cada componente en resonancia. 34) Que se anula en cuando un circuito resonante paralelo está a la frecuencia de resonancia? Qué valor toma la corriente? Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 4 / 6

41 35) Qué dualidad existe entre un circuito R-L-C resonante serie y uno paralelo? Realice una tabla indicando las equivalencias. 36) Por qué a la resonancia de un circuito R-L-C serie se le dice resonancia de tensión? 37) Qué se puede producir en el circuito resonate paralelo cuando está en resonancia? Por qué? 38) Cuál es la frecuencia de resonancia en un circuito R-L-C paralelo? Cómo se obtiene este valor? Realice un esquema circuital y un diagrama fasorial explicativo. 39) Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L- C paralelo la frecuencia de excitación está por arriba de la frecuencia de resonancia? Por qué? 4) Qué componente es predominante cuando en un circuito R-L- C paralelo la frecuencia de excitación está por abajo de la frecuencia de resonancia? Por qué? 41) Cómo varia la conductancia en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 4) Cómo varia la susceptancia capacitiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 43) Cómo varia la susceptancia inductiva en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia paralelo? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 44) Cómo varia la admitancia total en función de la frecuencia en el diagrama de las componentes que intervienen en la resonancia serie? Por qué? Realice el diagrama indicando todas las componentes. 45) Por qué es conveniente graficar los valores de impedancia y admitancia en función del logaritmo de la frecuencia? Grafique las Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 41 / 6

42 curvas del módulo de la impedancia y de la admitancia de un circuito R-L-C en resonancia paralelo indicando los puntos característicos. 46) Cómo se define el factor de mérito en el circuito resonante paralelo? Escriba las diferentes expresiones que se pueden obtener. 47) Qué es un circuito tanque y para qué se utiliza? Realice un diagrama circuital e indique como es el valor de su admitancia. 48) Qué sucede con la admitancia de un circuito tanque cuando el factor de mérito es mayor que? Realice la demostración de cómo encuentra la expresión. 49) Cómo es el valor de la impedancia y de la admitancia de un circuito tanque cuando está a la frecuencia de resonancia? 5) De dónde proviene el nombre de Circuito Tanque? Para qué se utiliza normalmente? 51) Qué sucede con corriente y la tensión en la bobina y en el capacitor cuando un circuito R-L-C paralelo está en resonancia? Ejercicios propuestos 1) Cuál es la frecuencia resonante de un circuito R-L-C Paralelo que tiene una capacitancia de 3 μf y un inductor de 4 Henrys? 13) Cuál es la frecuencia resonante de un circuito R-L-C paralelo que tiene un inductor de 1 mh y un capacitor de 8 μf? 14) Dados los siguientes valores de un circuito resonante paralelo de dos ramas: L= μhy, R = 15 Ω y C = 1 pf: determine la frecuencia de resonancia, fo; la impedancia a esa frecuencia, el Qo del mismo y el ancho de banda, f 1 - f. fo=? 15Ω μhy C=1pF Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 4 / 6

43 15) El circuito de un sintonizador contiene un inductor de 4 mh y un capacitor variable. Cuál deberá ser la capacitancia para que el circuito resuene a una frecuencia de 8 Hz? 16) Determine los parámetros de un circuito resonante en paralelo cuyas propiedades son: ω = M rad/s, BW = rad/s y la impedancia de resonancia es de Ω. 17) Un circuito resonante en paralelo tiene R = 677 K ohm, L = mh y C = 7 nf. Calcular el ancho de banda, la frecuencia de resonancia, frecuencia mínima de la banda pasante, frecuencia máxima de la banda pasante, Factor de mérito y ancho de banda. 18) En el circuito que se detalla a continuación: a) Calcule el Q de la red b) Encuentre el valor de XC para la resonancia c) Determine la frecuencia de resonancia f si el ancho de banda es de 5 Hz. d) Calcule el máximo valor de la tensión V C. e) Calcule las frecuencia de corte f 1 y f. 19) Calcule el valor de C para que el circuito mostrado en la figura siguiente entre en resonancia a una frecuencia angular de ω = 5 rad / seg. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 43 / 6

44 ) En el circuito de la figura dada a continuación a) Encuentre la frecuencia ω que haga mínima la corriente I. b) Calcule las reactancias X L y X C para esta frecuencia. c) Encuentre la ZT a la frecuencia ω. d) Si E = seno( ωt) encuentre I, I L e I C. 1) Deduzca la expresión para calcular la frecuencia de resonancia para V en el circuito paralelo de dos ramas mostrado a continuación ) En el circuito paralelo de dos ramas que se muestra a continuación, encuentre el valor de L y de C para que la red entre en resonancia para V a cualquier frecuencia. Encuentre la condición que relacione a R L, R C, L y C para que esto se cumpla. 3) Se desea construir un circuito de iluminación con un generador que se dispone de c.a de V y 16 Hz. Dado que la frecuencia es Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 44 / 6

45 muy baja, al conectar lámparas incandescentes, las mismas oscilarán en su intensidad luminosa. Para minimizar la oscilación, cada equipo de iluminación consistirá en dos lámparas en paralelo de 11 V y 1 Watts de potencia cada una, pero haciendo que la corriente circulante se adelante 9º en una de ellas y se atrase también 9º en la otra. Esto permitirá que entre las dos lámparas se aparente una iluminación constante. Calcule los valores necesarios para que ello ocurra. También se solicita que se construya el diagrama vectorial. V=V f=16hz R=? L=? R=? C=? L 1 L 4) Se dispone de un cristal de cuarzo resonante en 1 MHz. El mismo es equivalente a un circuito serie o paralelo de dos ramas. Este cristal se utiliza para los equipos nebulizadores. Se conoce del cristal que su Qo es de., y que la capacidad equivalente vale 5 pf. Operando el cristal como circuito resonante en paralelo, determine: la resistencia equivalente, la inductancia y la impedancia que posee en esas condiciones. 5) En el mismo ejemplo anterior, y siendo la capacidad en serie del equivalente del cristal de 3,5 pf y los valores de L y de Qo iguales a los anteriores, determina la impedancia que ofrece el cristal de cuarzo en su funcionamiento como circuito resonante serie. 6) Dado un circuito R-L-C paralelo alimentado por una fuente de corriente senoidal, encuentre analíticamente la relación entre la corriente que circula por la inductancia y la corriente total cuando el circuito está en resonancia. Expréselo en función del factor de merito Q. Haga lo mismo para la corriente que pasa por el capacitor. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 45 / 6

46 i = imax seno( ωt) L G C 1.4 Utilización de la Curva Universal de Resonancia Ejemplos de utilización de la curva universal de resonancia La curva universal de resonancia permite encontrar rápidamente valores de impedancia sin muchos cálculos. Para el correcto trabajo de los circuitos serie y que se hace extensivo al paralelo de dos ramas, se utiliza la misma curva universal de resonancia, pero ahora dibujada con más versatilidad para su aplicación, Figura Mediante dos ejemplos prácticos quedará plasmada la utilización de la misma. Ejemplo Nº 1: Se desea saber cuántos ciclos debe desintonizarse un circuito serie para reducir la corriente a la mitad del valor de resonancia, si el Q o es de 15 y es resonante a f o = 1 MHz. De la curva universal, se observa que la respuesta se reduce a,5 cuando a =,86 luego aplicando la expresión Desintonía en Hz = a.frecuencia de resonancia Qo Obtenida del mismo gráfico: Hz fuera de resonancia =,86 x1mhz = 6,88 KHz 15 Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 46 / 6

47 Esto es por debajo y encima de resonancia. Además el ángulo de fase de la corriente, obtenido de la curva de desfasaje del mismo gráfico es: 6º. Ejemplo : Con el mismo circuito del ejemplo anterior, se desea saber qué respuesta se obtendrá a una frecuencia de 1 KHz por debajo de resonancia. La respuesta se refiere a Y/Yo o Z/Zo. Para resolverlo, es necesario primero determinar: a = Q o Desintonía en Hz Frecuencia de resonancia 1KHz = 15 = 1,5 1MHz y de la curva universal, la respuesta se reduce en un factor de,37, y la fase de la corriente es de 68º en adelanto. Frecuencia por debajo Valores de a Frecuencia por encima de la resonancia de la resonancia 1.4. Resumen Figura 1.15: Curva Universal de Resonancia. Tema 1 Teoría de Circuitos Pag. 47 / 6