ENERGÍAS Y COMBUSTIBLES PARA EL FUTURO

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1 PROGRAMA MASTER: ENERGÍAS Y COMBUSTIBLES PARA EL FUTURO CURSO: SIMULACIÓN COMPUTACIONAL Y AUTOMATIZACIÓN DE SISTEMAS PARTE 2ª: AUTOMATIZACIÓN DE SISTEMAS Profeore: JULIO BODEGA JOSÉ GORJÓN

2 CLASES TEÓRICAS Marte 6 de noviembre de 200 Prof.: Julio Bodega Hora: 2:00 a 4:00 Aula: Sala Seminario, Módulo 4. Temario: INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL. Concepto.2 Claificación.3 Control en lazo ABIERTO y en lazo CERRADO 2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 2. Concepto 2.2 Tranformada de alguna funcione relevante 3 DESCRIPCIÓN ANALÍTICA DE LOS SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL 3. Diagrama etructural 3.2 Función de Tranferencia 3.3 Diagrama de Bloque 4 EJEMPLOS DE MODELIZADO DE SISTEMAS 4. Sitema mecánico 4.2 Sitema eléctrico 5 ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL 5. Análii en el dominio del tiempo 5.. Repueta a la eñale normalizada 5... Repueta impulional Repueta al ecalón unitario Repueta a la rampa unitaria 5..2 Etabilidad de lo itema 5..3 Sitema de er orden 5..4 Sitema de 2º orden 5..5 Sitema de orden uperior 5..6 Análii de la repueta en régimen permanente: análii del error

3 5.2 Accione báica de control 5.2. Acción Proporcional Acción Integral Acción Derivativa Miércole 7 de noviembre de 200 Prof.: Joé Gorjón Hora: 2:00 a 4:00 Aula: Sala Seminario, Módulo 4. Temario: 5.3 Análii en el dominio de la frecuencia 5.3. Repueta en frecuencia - Forma de repreentación Criterio de Nyquit - Gráfica de Nyquit Etabilidad - Márgene de fae y ganancia Criterio de Bode - Gráfica de Bode. Introducción a Matlab Jueve 8 de noviembre de 200 Prof.: Joé Gorjón Hora: 2:00 a 4:00 Aula: Sala Seminario, Módulo 4. Temario: 6 SISTEMAS MUESTREADOS 6. Introducción: Sitema en tiempo dicreto y itema muetreado 6.2 Diagrama de bloque de un itema de control digital. 6.3 Muetreo y recontrucción 6.4 Problemática del muetreo. Aliaing 6.5 Teorema de muetreo Shannon 6.6 Tranformada Z 6.7 Dicretización de itema continuo. Introducción a Simulink Vierne 9 de noviembre de 200

4 Viita al CIEMAT viita a lo laboratorio dedicado al enayo y análii de dipoitivo olare. Profeor acompañante: Julio Bodega Hora: 0:00 a 3:00. Dirección: Laboratorio del Fotovoltaica del CIEMAT. Avd. Complutene 22, MADRID. Punto de encuentro: Puerta del CIEMAT. NOTA IMPORTANTE: El día 6 de noviembre, lo alumno que deeen realizar eta viita deben entregar a Julio Bodega una nota en la que hagan contar u nombre y D.N.I.

5 CLASES PRÁCTICAS Lune 22, marte 23 y miércole 24 de noviembre de 200 Prof.: Joé Gorjón y Julio Bodega Hora: 2:00 a 4:00 Aula: 203, Mód.. Temario: Nocione báica del manejo del oftware MATLAB SIMULINK. Análii de itema de control en el dominio del tiempo y la frecuencia con MATLAB. Jueve 25 de noviembre de 200 Prof.: Joé Gorjón y Julio Bodega Hora: 2:00 a 4:00 Aula: CI-3 Temario: Nocione báica del manejo del oftware MATLAB SIMULINK. Análii de itema de control en el dominio del tiempo y la frecuencia con MATLAB. Vierne 26 de noviembre de 200 Viita al IES VIRGEN DE LA PALOMA Demotración de medida V-I de un entrenador de placa fotovoltaica dearrollado por profeore del IES. Profeor acompañante: Julio Bodega y Joé Gorjón. Hora: 0:00 a 2:00. Dirección: Franco Rodríguez 06, MADRID. Punto de encuentro: Puerta del IES VIRGEN DE LA PALOMA.

6 BIBLIOGRAFÍA Ogata, Katuhiko., Ingeniería de Control Moderna, Ed. Prentice-Hall Hipanoamericana, S. A., 993. Andre Puente, E., Regulación Automática I, Ed. Sección de Publicacione ETSIIM, 993.

7 Noviembre, 200 AUTOMATIZACIÓN DE SISTEMAS mater univeritario en energía y combutible para el futuro Julio Bodega Joé Gorjón

8 ÍNDICE Introducción a lo itema de regulación y control. Concepto.2 Claificación.3 Control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado 2 La tranformada de Laplace 2. Concepto 2. Tranformada de alguna funcione relevante 3 Decripción analítica de lo itema de regulación y control 3. Diagrama etructural 3.2 Función de Tranferencia 3.3 Diagrama de bloque

9 ÍNDICE 4 Ejemplo de modelizado de itema 4. Sitema mecánico 4.2 Sitema eléctrico 5 Análii de lo itema de regulación y control 5. Análii en el dominio del tiempo 5.. Repueta a la eñale normalizada 5..2 Etabilidad de lo itema 5..3 Sitema de er orden 5..4 Sitema de 2º orden 5..5 Sitema de orden uperior 5..6 Análii de la repueta en régimen permanente: análii del error 5.2 Accione báica de control 5.2. Acción proporcional Acción integral Acción derivativa

10 . Introducción a lo itema de control. concepto Se entiende por TEORÍA DE LA REGULACIÓN AUTOMÁTICA o TEORÍA DE CONTROL -en paíe angloajone- aquella diciplina que etudia el comportamiento dinámico de un determinado itema fíico frente a órdene de mando o perturbacione. Se entiende por SISTEMA a una agrupación de componente elemento fíico en nuetro cao que actuando de forma conjunta cumplen un objetivo de control obre una determinada variable.

11 . Introducción a lo itema de control. concepto Se entiende por SISTEMA DE REGULACIÓN aquel en el que la entrada eñal de referencia o la alida eñal controlada on, o bien contante, o bien varían lentamente en el tiempo, iendo u tarea fundamental mantener la variable de alida en un valor deeado, a pear de la perturbacione preente. Ejemplo: Control de temperatura de un quirófano. Control de velocidad de un aerogenerador. Control de preión en un gaeoducto. Control del nivel de un depóito de agua.

12 . Introducción a lo itema de control. concepto Se entiende por SERVOSISTEMA aquel cuya alida generalmente, poición, velocidad o aceleración debe eguir con exactitud un valor de conigna entrada que varía en el tiempo. Ejemplo: Control de poición de un aerogenerador. Control de poición de un panel olar. Control de máquina-herramienta. Control de robot. Control de aterrizaje de una aeronave. Control del eguimiento de un blanco.

13 . Introducción a lo itema de control. concepto variable de entrada perturbacione del itema z t z 2 t z 3 t z k t variable de alida r t c t r 2 t c 2 t excitación r 3 t SISTEMA DE CONTROL c 3 t repueta r n t c m t x t x 2 t x 3 t x k t variable de etado interna Conocer un itema de control paa por conocer el comportamiento de toda u variable

14 . Introducción a lo itema de control. concepto ESTABILIDAD La etabilidad e una cualidad que han de poeer todo lo itema de regulación y control. Repreenta la capacidad que tiene el itema para mantener u alida dentro de uno determinado límite. Cuando un itema e inetable, la alida puede adquirir valore inadmiible, llegando incluo a dañar al itema. PRECISIÓN La preciión del itema e la cualidad que repreenta la exactitud del valor de la variable de alida en referencia al valor impueto a la entrada. En el dieño de lo itema de regulación y control hay que mantener un compromio entre eta do caracterítica.

15 . Introducción a lo itema de control.2 claificación por la relación entre u variable de entrada y alida Sitema LINEALES NO LINEALES por el comportamiento de u variable en el tiempo Sitema INVARIANTES VARIABLES en el tiempo Sitema de Control por la naturaleza de la variable en función del tiempo Sitema CONTINUOS DISCRETOS por el número de variable del itema Sitema MONOVARIABLES MULTIVARIABLES por u caracterítica fíica Sitema de parámetro CONCENTRADOS DISTRIBUIDOS por u predictibilidad Sitema DETERMINÍSTICOS ESTOCÁSTICOS

16 . Introducción a lo itema de control.2 claificación SISTEMAS LINEALES: En rigor, on una minoría de lo itema de control. Entre u variable exite una relación lineal. Fr t, r 2 t,, c t = 0 c t Fr t, c t= 0 r t

17 . Introducción a lo itema de control.2 claificación SISTEMAS LINEALES: Cumplen el principio de uperpoición. Suponiendo que la repueta de un itema a do entrada diferente e: r t r 2 t itema itema c t c 2 t El itema ES LINEAL i ante una eñal rt=α r tβ r 2 t, u repueta e: rt itema α c tβ c 2 t

18 .2 claificación. Introducción a lo itema de control SISTEMAS NO LINEALES: Suponen la mayoría de lo itema de control. En mucho cao e pueden linealizar mediante aproximacione locale. No exite relación de linealidad entre alguna de u variable. No cumplen el principio de uperpoición. c t Fr t, c t= 0 c t r t itema no lineale r t it. con aturación it. con hitérei it. con zona muerta it. Todo-Nada

19 .2 claificación SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO:. Introducción a lo itema de control Se denominan también SISTEMAS DE CONTROL DE COEFICIENTES CONSTANTES. Su parámetro no varían en el tiempo. La repueta de eto itema e independiente del tiempo o momento en el que e aplique la entrada. Ejemplo: - Sitema en lo que el parámetroe la contante k de un muelle. - Sitema de control electrónico cuyo parámetro ean el coeficiente de autoinducción L de una bobina, la capacidad de un condenador C o la reitencia eléctrica R. SISTEMAS VARIABLES EN EL TIEMPO: Alguno de u parámetro varía en el tiempo. La repueta de eto itema e dependiente del momento en el que e aplique la entrada. Ejemplo: - Control de velocidad en un vehículo epacial en el que un parámetro ea la maa de combutible.

20 . Introducción a lo itema de control.2 claificación SISTEMAS CONTINUOS: Se denominan aí, aquello itema en lo que toda u variable pueden expreare en función de un tiempo continuo t. Ejemplo: - El control de temperatura de un tanque de agua. - El control de preión de una tubería de ga. - El control de velocidad de un motor de corriente continua. SISTEMAS DISCRETOS: Se denominan aí aquello itema en lo que alguna o toda u variable on conocida en intante dicreto de tiempo. Ejemplo: - Control de un marcapao. - Control por muetreo de proceo indutriale, en lo que la medida de la variable que intervienen e realizan de forma dicreta en el tiempo.

21 . Introducción a lo itema de control.2 claificación SISTEMAS MONOVARIABLES: Se denominan aí, aquello itema en lo que ólo exite una eñal de entrada y una eñal de alida. Ejemplo: - El control de temperatura de una habitación en la que la única eñal de entrada e la conigna de la temperatura, y la única eñal de alida e la temperatura deeada. SISTEMAS MULTIVARIABLES: Se denominan aí aquello itema en lo que exite má de una entrada o alida. Ejemplo: - Control de una mezcladora de pintura en la que con la proporción de diferente colore cada color correponde a una entrada, e conigue un determinado color mezcla única alida.

22 . Introducción a lo itema de control.2 claificación SISTEMAS DE PARÁMETROS CONCENTRADOS: En ello no e neceario coniderar la ditribución epacial de u parámetro. Pueden decribire mediante ecuacione diferenciale ordinaria. Ejemplo: - Sitema en lo que la maa puede coniderare concentrada en el centro de gravedad. SISTEMAS DE PARÁMETROS DISTRIBUIDOS: Se denominan aí a lo itema de control en lo que e neceario coniderar la ditribución epacial de u parámetro. Su comportamiento ha de er decrito mediante ecuacione diferenciale en derivada parciale. Ejemplo: - Sitema de control en lo que exiten aniotropía repecto de alguno de u parámetro.

23 . Introducción a lo itema de control.2 claificación SISTEMAS DETERMINÍSTICOS: Un itema e denomina determinítico i la repueta a una determinada entrada e predecible y repetible. Para una única entrada rt ólo exite una alida ct. Para el etudio de eto itema e dipone de modelo explícito. Ejemplo: - Sitema de amplificación de ganancia contante. SISTEMAS ESTOCÁSTICOS: Un itema e denomina etocático cuando ni e predecible ni repetible. Para una única entrada rt pueden exitir diferente valore de alida ct, cada uno de ello con ditinta probabilidad. El conocimiento de eto itema requiere etudio etadítico. Ejemplo: - Sitema biológico.

24 .3 control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado. Introducción a lo itema de control CONTROL EN LAZO ABIERTO La alida NO tiene ningún efecto obre la acción de control, ni e mide ni e retroalimenta. SISTEMAS NO RETROALIMENTADOS Para cada valor de conigna correponde una condición de operación fija. La preciión del itema depende de la calibración. En preencia de perturbacione el itema no cumple u función aignada. Funcionan obre una bae de tiempo: lavavajilla, lavadora, control de emáforo, etc.

25 .3 control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado. Introducción a lo itema de control CONTROL EN LAZO ABIERTO LAVADORA perturbación zt eñal de conigna Entrada de agua turbia eñal de alida rt lavado profundo Prog. A elemento de control PLANTA proceo ct blancura máxima doi de detergente, tiempo de lavado, etc. El itema e MUY ESTABLE: en la auencia de perturbacione la blancura iempre e la mima. El itema e POCO PRECISO: bata con que cambie la alcalinidad del agua para que la alida ea diferente a la deeada.

26 .3 control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado. Introducción a lo itema de control CONTROL EN LAZO CERRADO La alida SI tiene efecto obre la acción de control, por lo tanto, e mide y e retroalimenta. SISTEMAS RETROALIMENTADOS Para cada valor de conigna no correponde una condición de operación fija ino que dependerá de la perturbacione y del valor de la alida. En preencia de perturbacione el itema cumple u función aignada. Funcionan obre la bae de mantener la máxima preciión, e decir, el mínimo error. El itema lee contantemente la eñal de alida, la compara con la de entrada conigna y, dependiendo del valor de eta comparación, actúa para corregir la deviacione.

27 . Introducción a lo itema de control.3 control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado CONTROL EN LAZO CERRADO el bucle típico de regulación eñal de conigna rt - bt eñal de error et elemento de control eñal realimentada nt elemento de medida Perturb. zt PLANTA proceo eñal de alida ct et=rt-bt eñal de error bt~ct eñal realimentada nt variable de control El itema puede hacere INESTABLE: el itema no llega a corregir en el tiempo la ocilacione de la alida. El itema e MUY PRECISO: una vez etabilizado el itema, lo elemento de control actúan obre la planta, llevando la eñal de error a 0.

28 . Introducción a lo itema de control.3 control en Lazo Abierto y Lazo Cerrado CONTROL EN LAZO CERRADO CONTROL DE TEMPERATURA PARA UNA HABITACIÓN habitación onda térmica termopar ct ºC entr. agua caliente PLANTA O PROCESO válvula proporcional calefactor elector de temperatura rt Sal. agua fría bt - et P nt comparador controlador

29 2. La Tranformada de Laplace 2. concepto El concepto de TRANSFORMACIÓN va ligado al de CORRESPONDENCIA, de forma que a un grupo de elemento de un conjunto D e le hace correponder otro grupo de elemento de otro conjunto D 2. En nuetro cao, D etará formado por funcione ft definida en el dominio del tiempo variable t, y D 2 etará formado por funcione F, definida en el campo complejo variable. La variable t puede er de tipo continuo o dicreto. D D 2 ft F Entre la tranformacione de tipo continuo detacan la tranformacione de tipo integral: b = a F K t, f t dt donde Kt, repreenta el núcleo de la tranformación.

30 2. La Tranformada de Laplace 2. concepto Dependiendo del núcleo e obtienen do tipo de tranfomacione: FOURIER: LAPLACE: Kt, = e -t, = jω Kt, = e -t, = σjω Aí, la tranformada de Laplace de una función continua ft queda: Y la tranformada invera: = e t F = λ[ f t] f t dt σ jω t f t = λ [ F ] = e F b a σ jω d

31 2. tranformada de alguna funcione relevante 2. La Tranformada de Laplace A continuación e indican alguna de la funcione má utilizada en el análii de lo itema de control y u correpondiente tranformada de Laplace: tipo de función Impulo de Dirac Impulo de Dirac retardado ecalón unidad rampa unidad ft δt δt-t [/n-!]t n- e -at [/b-a]e -at -e -bt enωt coωt /ωe -at enωt t t n- /n-! F e -T /a n /[ab] ω/ 2 ω 2 / 2 ω 2 /[a 2 ω 2 ] / / 2 / n

32 3. diagrama etructural 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control El DIAGRAMA ESTRUCTURAL de un itema de regulación y control conite en una parcelación del itema en ubitema de comportamiento autónomo. Elaborar el diagrama etructural de un itema conlleva: Un conocimiento riguroo de lo fenómeno fíico que e dearrollan en dicho itema. La decripción exacta de u componente. La ubdiviión del itema en bloque funcionale o ubitema que faciliten u etudio. La modelización de cada uno de lo mencionado bloque mediante expreione matemática que decriban u comportamiento dinámico. la alida de cada ubitema o bloque depende excluivamente de la entrada al mimo, in vere afectada de la acción de lo bloque que le igan

33 3. diagrama etructural 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control ejemplo: GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA elector de eñal B B 2 B 3 B : comp. B 2 : regul. B 3 : planta u r e u - u g ampli. de potencia u r u g e K u B 4 R generador i L B 4 : realimentador K realimentador u g - u g u u u K u K u u g r = K e = = = r r R K i i u u = g g K u L = = R R R K K r di dt u di i L dt ug L K K u g g L K K du dt du dt g g

34 3.2 función de tranferencia 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control Conocida la relacione de entrada-alida de cada uno de lo bloque ecuacione diferenciale lineale que conforman el diagrama etructural del itema de regulación, pueden deducire fácilmente otra relacione ENTRADA-SALIDA para ello en el dominio de Laplace, denominada funcione de tranferencia. dominio del tiempo rt itema ct dominio del Laplace R C G G = [ct]/ [rt] = C/R Función de tranferencia

35 Suponiendo un elemento de un itema de control en el que u variable de entrada-alida obedecen a la iguiente expreión: t r b dt t r d b dt t r d b t c a dt t c d a dt t c d a m m m m m n n n n n = donde lo coeficiente a i y b j on número reale, y n m el itema no puede reponder a una eñal de entrada ante de que éta ea aplicada. Aplicando la tranformada de Laplace a ambo lado de la expreión, queda: [ ] [ ] t r b dt t r d b dt t r d b t c a dt t c d a dt t c d a m m m m m n n n n n λ λ λ λ λ λ = R b R b R b C a C a C a m m m n n n = y, finalmente: n n n m m m a a a b b b R C G = = Decripción analítica de lo it. de regul. y control 3.2 función de tranferencia

36 3.2 función de tranferencia 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control Para que un itema ea etable la raíce polo de u ecuación caracterítica D=0, han de tener u parte real negativa. imaginario Z = real i imag etable inetable real El numerador de la función de tranferencia N=b 0 m b m- b n no afecta a la etabilidad aboluta del itema pero i a la repueta tranitoria y al valor en régimen permanente que adquiere la eñal de alida.

37 3.2 función de tranferencia De la función de tranferencia: 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control G C b m m 0 = = n n R a0 a b... b... a El denominador a 0 n a n- a n D, e le conoce también como función caracterítica ya que incluye a travé de lo valore de u coeficiente toda la caracterítica fíica de lo elemento que conforman el itema. A la expreión que reulta de igualar la función caracterítica a cero, e le denomina ecuación caracterítica del itema: a 0 n a n- a n =0 Su raíce determinan la etabilidad aboluta del itema aí como la naturaleza de u repueta tranitoria para cualquier tipo de eñal de entrada. m n

38 La función de tranferencia permite conocer la repueta temporal del itema ct ante una determinada excitación rt. Para ello hay que aplicar la tranformada de Laplace invera al producto C=G R: ct= - [C] = - [G R] Como la tranformada invera de Laplace de ee producto puede er complicada de calcular, e conveniente decomponer el producto en fraccione imple dearrollo de Heaviide, de la cuale, u tranformada invera e calcula de forma má imple: t p n t p t p n n n e A e A e A t c p A p A p A R G t c ] [ = = = λ λ 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control 3.2 función de tranferencia

39 3.2 función de tranferencia Ejemplo de aplicación: 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control Sea un itema con condicione iniciale nula que e rige por la ecuación diferencial: d 2 ct/dt 2 7 dct/dt 2 ct = 6 drt/dt 2 rt Se deea calcular u función de tranferencia y u repueta frente a una eñal de entrada del tipo ecalón unitario. SOLUCIÓN Aplicando la tranformada de Laplace a lo do término de la ecuación que rige el itema: [d 2 ct/dt 2 7 dct/dt 2 ct ]= [6 drt/dt 2 rt] [d 2 ct/dt 2 ] 7 [dct/dt] 2 [ct]= 6 [drt/dt] 2 [rt] E decir: 2 C7C2C = 6R2R

40 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control 3.2 función de tranferencia Separando la entrada de la alida en el campo de Laplace: 2 72C = 62R Por lo que la función de tranferencia reulta: G = C/R = 62/ 2 72 Por otra parte e abe que el ecalón unitario etá decrito mediante: rt = t Que expreado en el campo de Laplace: R = /

41 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control 3.2 función de tranferencia Con lo que la eñal de alida queda: C = G/R = 62/[ 2 72] Decomponiendo el denominador en producto: C = 62/[34] y convertido en fraccione imple: C =A /A 2 /3A 3 /4 Según el dearrollo de Heaviide: A =[C] =0 = ; A 2 =[3C] =-3 = 2; A 3 =[4C] =-4 = -3 quedando: C =/2/3-3/4 y aplicando la tranformada invera de Laplace: ct = 2e -3t 3e -4t

42 3.2 función de tranferencia Cuya repreentación gráfica erá: 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control y ct rt x 20 t

43 3.3 diagrama de bloque 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control BLOQUES EN SERIE R G G 2 G n C R n πg j C BLOQUES EN PARALELO G R G 2 C R n ΣG j C G n

44 SISTEMAS EN BUCLE CERRADO G H R C M=GS/GH R C E B B R E E G H C H B E G C = = = = 2 3 Sutituyendo 2 en 3 y ahora 3 en, queda: ] [ H G G R C M C H R G C = = = 3. Decripción analítica de lo it. de regul. y control 3.3 diagrama de bloque

45 4. Ejemplo de modelizado de itema 4. itema mecánico M B amortiguador muelle K R C /M 2 B/MK/M yt deplazamiento ft fuerza M K M B M K B M F Y F Y K B M F KY BY Y M t f t y K dt t dy B dt t y d M t f t Ky dt t dy B dt t y d M = = = = = = ] [ ] [ ] [ ] [ λ λ λ λ

46 u t entrada u 2 t alida R L C i t LC L R LC C L R C C L R C U U G I C U I C L R U dt t i C t u dt t i C t u dt t i C dt t di L t i R t u dt t i C dt t di L t Ri t u / / ; ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ = = = = = = = = = = λ λ λ λ λ λ R C /LC 2 R/L/LC 4. Ejemplo de modelizado de itema 4.2 itema eléctrico

47 5. Análii de lo itema de regulación y control Lo objetivo fundamentale del análii de lo itema de control on: Etudio de la etabilidad aboluta y relativa del itema. Etudio de la repueta del itema en régimen tranitorio. Etudio de la preciión del itema en régimen permanente. La do técnica utilizada en el análii de lo itema de regulación on: ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA El análii en el dominio del tiempo e apoya en la olución de la ecuación diferencial del itema para hallar la repueta correpondiente al régimen tranitorio y al régimen permanente. El método utiliza diferente eñale de excitación para conocer dicha repueta. El método de análii en el dominio de la frecuencia utiliza como eñal una función enoidal de frecuencia variable. El comportamiento del itema queda determinado por u repueta a ea eñal en frecuencia y amplitud.

48 5. Análii en el dominio del tiempo 5. Análii de lo itema de regulación y control Se denomina aí al análii del comportamiento de lo itema de regulación ante una determinada eñal de excitación. Eto equivale a conocer la repueta temporal del itema. Se denomina repueta temporal a la evolución de la eñal de alida en función del tiempo cuando al itema e aplica una eñal de entrada epecífica. La repueta temporal del itema e puede conocer: º Si e conoce de antemano la función de tranferencia que decribe al itema de control: e obtiene la repueta en el campo de Laplace C=GR, y depué e halla la tranformada invera ct= -[C]. 2º Si no e conoce de antemano la función de tranferencia: e omete al itema a una función de Dirac δt función impulo con el fin de conocer u repueta impulional y por extenión u función de tranferencia. Conocida la función de tranferencia e puede calcular de forma inmediata la repueta del itema ante una eñal cualquiera.

49 5. Análii en el dominio del tiempo 5. Análii de lo itema de regulación y control La repueta temporal conta de do término: uno correpondiente a la parte tranitoria, y el otro a la permanente: ct = - [C] = c rt t c rp t Repueta temporal tranitoria Repueta temporal permanente La repueta tranitoria ha de anulare cuando ha trancurrido un tiempo coniderable dede la aplicación de la eñal de excitación: ESTABILIDAD lim t = c rt t La repueta permanente e la que e obtiene del itema depué de haber trancurrido un largo período de tiempo dede la aplicación de la eñal de excitación: PRECISIÓN c rp 0 t = limc t t

50 Se denomina repueta impulional a la repueta eñal de alida del itema cuando en u entrada e introduce una eñal impulo de Dirac. rt /ε R 5. Análii de lo itema de regulación y control 5.. repueta a la eñale normalizada G dominio del tiempo ct C ct=gt*rt ε rt =δt = t /ε, 0 t ε 0, t > ε R = [rt]= [δt] = t C = GR = G - [C] = - [GR] = - [G] ct = gt repueta impulional o función ponderatriz La repueta al impulo permite conocer la función de tranferencia del itema, y por lo tanto u repueta frente a otra eñale de entrada.

51 5. Análii de lo itema de regulación y control 5.. repueta a la eñale normalizada dominio del tiempo Se denomina repueta al ecalón unitario a la repueta eñal de alida del itema cuando en u entrada e introduce una eñal ecalón unidad. rt R G C ct 0 t t rt =, t 0 0, t < 0 R = [rt]= [] = / C = GR = G/ - [C] = - [G/] ct = - [G/] La repueta al ecalón unitario permite conocer el comportamiento del itema frente a una eñal que e mantiene contante en el tiempo.

52 Se denomina repueta a la rampa unitaria a la repueta eñal de alida del itema cuando en u entrada e introduce una rampa de pendiente la unidad. rt 5. Análii de lo itema de regulación y control 5.. repueta a la eñale normalizada ct dominio del tiempo rt = t R G C 0 t t rt = t, t 0 0, t < 0 R = [rt]= [t] = / 2 C = GR = G / 2 - [C] = - [G/ 2 ] ct = - [G/ 2 ] La repueta a la rampa unitaria permite conocer el comportamiento del itema frente a una eñal que varía de forma contante en el tiempo.

53 n n n m m m a a a b b b R C G = = Ya e ha indicado que la función de tranferencia de un itema obedece a la expreión: Y en forma factorizada: i n i i m i p z K R C Π Π = = = La etabilidad del itema quedará determinada por la poición de lo polo de u ecuación de tranferencia en el plano complejo. Según el valor de la parte real σ e imaginaria jω de cada uno de lo polo e dan lo iguiente cao: 5. Análii de lo itema de regulación y control 5..2 etabilidad aboluta de lo itema dominio del tiempo

54 5..2 etabilidad aboluta de lo itema 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Un itema erá etable i todo u polo etán ituado en el emiplano complejo negativo. jω jω 3 C tr t modo tranitorio -σ 2 -σ σ -jω 3 t Un itema erá inetable i exite algún polo ituado en el emiplano complejo poitivo, o i exiten polo multiple en el eje imaginario o el origen. jω jω 2 C tr t -σ 2 -σ σ -jω 2 t

55 5..2 etabilidad de lo itema 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Un itema erá limitadamente etable i exite un olo polo en el origen, etando lo demá ituado en el emiplano complejo negativo. jω C tr t -σ σ t Un itema erá marginalmente etable i exiten pareja imple no múltiple de polo complejo conjugado obre el eje imaginario, etando lo retante polo ituado en el emiplano complejo negativo. jω jω 2 jω -jω σ C tr t -jω 2 t

56 5..3 itema de er orden 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Se denomina itema de er orden al que e decrito mediante una ecuación diferencial de primer orden. dc t T c t = Kr t; K, T > 0 dt que repreentada en el campo de Laplace, reulta: dc t λ[ T ] λ[ c t] = λ[ Kr t] TC C = KR T C = KR dt con función de tranferencia: G = C R = K T el orden del itema erá el de u ecuación caracterítica D, o lo que e lo mimo, el mayor exponente de la variable compleja en el denominador.

57 5..3 itema de er orden 5. Análii de lo itema de regulación y control Repueta impulional La repueta impulional e obtiene hallando la tranformada invera de la función de tranferencia: K c t = g t = λ [ G ] = λ [ ] = T K T e t T dominio del tiempo Repueta al ecalón unitario La repueta al ecalón unitario e obtiene hallando la tranformada invera del producto: K c t = λ [ G R ] = λ [ ] = λ T Repueta a una rampa unitaria T [ K ] = K e T t T La repueta a la rampa unitaria e obtiene hallando la tranformada invera del producto de la función de tranferencia por / 2: c K t = λ [ G R ] = λ [ ] = K t T T 2 KTe t T

58 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..3 itema de er orden rt, ct δt t repueta rampa repueta ecalón repueta impulo t

59 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..4 itema de 2º orden Lo itema de 2º orden on aquello cuya variable de entrada y alida etán relacionada por medio de una ecuación diferencial de 2º orden. Tienen una gran importancia en el campo de la regulación automática debido a que multitud de itema fíico pueden decribire mediante ete tipo de ecuación. La ecuación diferencial que define el comportamiento de un itema de 2º orden imple e: 2 2 d c t dc t T 2aT c t = dt dt Kr t que expreada en el campo de Laplace e: 2 2 T 2aT C = KR y, por lo tanto, u función de tranferencia: C G = = 2 2 R T K 2aT

60 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..4 itema de 2º orden Bajo un punto de vita práctico e intereante caracterizar lo itema de 2º orden mediante cierto parámetro que tengan una ignificación fíica, y e por ello por lo que la función de tranferencia e expreará como: donde: G = C R = 2 2 Kωn 2ξω n ω 2 n K = ganancia del itema ω n = frecuencia natural no amortiguada = /T rad/ ξ = coefieciente de amortiguamiento y definiendo nuevo término: σ = ξ ω n = contante de amortiguamiento o factor de decrecimiento ω d = ω n -ξ 2 /2 = frecuencia amortiguada rad/

61 Repueta impulional 0 < ξ < : itema ubamortiguado in 2 t e t c d t n ω ξ ω σ = ecuación que ecrita en otro término queda: in ] 2 [ ] [ t e K K G t c n n t n n n n n n n = = = ξω ω ξω ω ω ω ξω ω ξω λ λ ct/k ω n t ξ = 0. ξ = 0.5 ξ = Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..4 itema de 2º orden

62 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..4 itema de 2º orden Repueta al ecalón unitario 0 < ξ < : itema ubamortiguado 2 Kωn 2ξωn c t = λ [ G R ] = λ [ ] = λ [ K ] ξω ω ξω ω ecuación que ecrita en el campo real queda: n n n d c t = K[ e ω ξ t n 2 ξ in ω t ϑ]; d con ϑ = arccoξ ct/k ξ = 0 ξ = 0.3 ξ = 0.6 ξ = 0.8 ξ = ξ = 2 ω n t

63 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..4 itema de 2º orden Repueta al ecalón unitario 0 < ξ < : itema ubamortiguado ct CARACTERIZACIÓN DE LA RESPUESTA TRANSITORIA ritmo de decrecimiento.05 rt= t d M t r t p t régimen tranitorio régimen permanente t r tiempo de ubida t p tiempo de pico t d tiempo de retardo t tiempo de etablecimiento M obreocilación t t r = π ϑ ; ω d t p = π ω d = ω n π 2 ξ ; M p % = e ξπ ξ 2 2 π ξ 00; t ξω n

64 ] in 2 [ 2 ϑ ω ξ ω ω ξ ξω = t e t K t c p t n n n ] 2 [ ] [ K R G t c n n n ω ξω ω = = λ λ 2ζ/ω n ct/k ω n t 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..4 itema de 2º orden Repueta a la rampa unitaria 0 < ξ < : itema ubamortiguado

65 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..5 itema de orden uperior Criterio de etabilidad de Routh n a 0 a 2 a 4 a 6 n- a a 3 a 5 a 7 n-2 b b 2 b 3 b 4 n-3 c c 2 c 3 c 4 n-4 d d 2 d 3 d 4 2 u u 2 v v 2 0 w w 2 El criterio de etabilidad de Routh dice que el número de raíce de la ecuación caracterítica con parte real poitiva e igual al número de cambio de igno en lo coeficiente de la primera columna de la tabla. Para que un itema ea etable e condición necearia y uficiente que todo lo coeficiente de la primera columna tengan el mimo igno. cuyo coeficiente reultan de: a b = a a a c = b b 0 b d = c c a a a b b c ; ; ; a0 b2 = a a a c2 = b b b d2 = c c a b b c a a ; ; a b3 = a a a c3 = b b 0 a b a a ; b 4 = a a a 0 a a 8 9

66 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..5 itema de orden uperior Aplicación del criterio de etabilidad de Routh Ejemplo: Determinar la ganancia K para que el itema en lazo cerrado de la figura ea etable R K/[25] C La función de tranferencia del itema erá: C G K M = = = = 3 2 R G 2 5 K 8 K 7 0 K La ecuación caracterítica reulta: K = 0

67 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..5 itema de orden uperior Criterio de etabilidad de Routh Contruyendo la tabla de Routh: K [36-0K]/8 0 S 0 0K La primera condición para que el itema ea etable e que 0 K > 0 K > -0. La egunda condición de etabilidad obliga a: 36-0K > 0 K < 26-0 < K < 26

68 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error Una vez coneguida la etabilidad del itema, el fin principal que e perigue con el etudio de la repueta en régimen permanente e determinar u comportamiento tra haber trancurrido un largo período de tiempo depué de la aplicación de una eñal de excitación. El análii en régimen permanente e de gran interé pueto que facilita mucha información obre la capacidad del itema a la hora de eguir la eñale de mando o conigna que le on dada, eto e, información obre u preciión. La preciión de un itema de regulación automático e exprea normalmente en término de error de la repueta del mimo en régimen permanente, para una eñale de entrada epecífica.

69 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error Se denomina como error del itema et la diferencia entre el valor deeado para u alida y u valor real. realimentación unitaria realimentación no unitaria R E G C R ε G C B H et = rt ct E = R C εt = rt bt ε = R B = R HC En lo itema con realimentación unitaria la eñal que actúa obre la planta o proceo e la eñal de error.

70 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error En lo itema con realimentación no unitaria la eñal que actúa obre la planta e la eñal de error actuante εt, e decir, la diferencia entre la eñal de entrada y la eñal realimentada. Con fine de implificación de cálculo e analizará el error en itema con realimentación unitaria, i bien, en lo itema con realimentación no unitaria el análii tampoco reulta exceivamente complejo, tranformando el itema con realimentación NO unitaria a uno unitario: realimentación no unitaria R ε G C R E G* C B H G * G = [ H G ]

71 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error Matemáticamente, e define el error en régimen permanente como: e rp t = lim e t t Suponiendo un itema en lazo cerrado con realimentación unitaria y función de tranferencia en lazo abierto G: E = R C = C R G = G = G Aplicando el Teorema del valor inicial: e rp limt e t = lim 0 E = lim 0 = R G Por lo tanto, el error en régimen permanente depende de la función de tranferencia de la planta en bucle abierto y de la eñal de entrada del itema

72 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error La tre eñale normalizada utilizada para el análii de error on: ecalón unitario: rt = rampa unitaria: rt = t parábola: rt = /2t 2 La entrada ecalón también e denomina ecalón de poición y e utiliza para aber como e comporta el itema en régimen permanente ante una eñal contante en el tiempo. El tratamiento del análii del error frente a la tre eñale e idéntico, por lo que únicamente e analizará la entrada de tipo ecalón unitario. El análii del error de un itema frente a una entrada de tipo ecalón e denomina análii del error de poición y e utiliza para aber como e comporta el itema en régimen permanente ante una eñal contante en el tiempo.

73 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error Suponiendo un itema cuya función de tranferencia en bucle abierto forma factorizada ea: K T T2... Tm G = r T T... T a b q En eta expreión: K = ganancia del itema T, 2,..a, b, = coeficiente polinómico r = índice definitorio del tipo de itema El término r indica que la función G tiene un polo de multiplicidad r en el origen integracione del itema. De forma general, cuanto mayor ea el tipo del itema, mayor erá u preciión. Sin embargo peor erá u etabilidad en el régimen tranitorio.

74 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5..6 análii de la repueta en régimen permanente: análii del error Error de poición Definiendo como contante de error de poición al índice K P : K p = lim 0 G e El error en régimen permanente frente al ecalón unitario puede ecribire como: rp = lim 0 E = lim 0 R = lim G 0 G = lim Coniderando un itema de tipo 0: erp = = K lim K 0 0 con lo cual K p = K ganancia del itema en bucle abierto. Si el itema hubiee ido de tipo, 2, K p = y e rp = 0 0 G = K p

75 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5.2 Accione báica de control E abido que en lo itema de regulación automática, el valor real que toma la variable de alida del proceo o planta a controlar e comparado con el valor de conigna o referencia valor deeado, dando lugar a la denominada eñal de error. Eta eñal de error e llevada al REGULADOR, cuya alida o SEÑAL DE CONTROL nt actúa obre el proceo en el entido de que el error del itema tienda a reducire a cero o a un valor muy pequeño. eñal de conigna rt - bt eñal de error et regulador F eñal realimentada nt perturbación enor H zt PLANTA H eñal de alida ct M = F G H F G Exiten tre accione báica de control del regulador F: proporcional P, integral I y derivativa D

76 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5.2. Acción proporcional P En el control proporcional, el regulador entrega a u alida una eñal proporcional a u eñal de entrada. Por lo tanto: et En el campo de Laplace: E Regulador proporcional F = K p nt=k p et N=K p E K p nt et K p = cte. proporcional t

77 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo 5.2. Acción proporcional P Acción PROPRORCIONAL 0.5 2

78 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Acción integral I En el control integral, el regulador entrega a u alida la integral de la eñal de entrada. Por lo tanto: et En el campo de Laplace: E Regulador integral F = K i / nt=k i etdt N=Ki/E nt et /K p K i = cte. integral t

79 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Acción integral I Acción INTEGRAL

80 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Acción derivativa D En el control derivativo, el regulador entrega a u alida la derivada variación de la eñal de entrada. Por lo tanto: et En el campo de Laplace: E Regulador derivativo F = K d nt=k d det/dt N=K d E nt et t K d = cte. derivativa

81 5. Análii de lo itema de regulación y control dominio del tiempo Acción derivativa D Acción DERIVATIVA 2 0.5

82 SISTEMAS DE CONTROL Análii en Frecuencia Mater univeritario en energía y combutible para el futuro Julio Bodega Joé Gorjón

83 ANÁLISIS EN FRECUENCIA ÍNDICE. Repueta en frecuencia - Forma de repreentación. 2. Criterio de Nyquit - Gráfica de Nyquit. 3. Etabilidad - Márgene de fae y ganancia. 4. Criterio de Bode - Gráfica de Bode.

84 Introducción ANÁLISIS EN FRECUENCIA

85 RESPUESTA ANTE ENTRADA SENOIDAL ANÁLISIS EN FRECUENCIA

86 Función de tranferencia enoidal ANÁLISIS EN FRECUENCIA

87 Decripción en Frecuencia ANÁLISIS EN FRECUENCIA

88 Repueta en Frecuencia Polar ANÁLISIS EN FRECUENCIA

89 Repueta en Frecuencia Carteiana ANÁLISIS EN FRECUENCIA

90 Epecificacione en Frecuencia ANÁLISIS EN FRECUENCIA

91 ANÁLISIS EN FRECUENCIA Harry Nyquit Nació en Suecia emigrando para lo Etado Unido de America. Trabajó en la explicación cuantitativa del ruido térmico en la comunicacione, inventó el itema de tranmiión de banda lateral vetigial TV. Quedó célebre por u famoo diagrama de etabilidad.

92 Etabilidad ANÁLISIS EN FRECUENCIA

93 Etabilidad relativa - Márgene ANÁLISIS EN FRECUENCIA

94 Etabilidad ANÁLISIS EN FRECUENCIA

95 Etabilidad ANÁLISIS EN FRECUENCIA

96 Etabilidad ANÁLISIS EN FRECUENCIA

97 ANÁLISIS EN FRECUENCIA Hendrik Wade Bode Natural de Etado Unido de América, trabajó en filtro eléctrico iendo hoy coniderada cláica u obra Network Analyi and Feedback Amplifier Deign. Trabajó poteriormente durante la 2ª guerra mundial en itema balítico de miile y comunicacione en general.

98 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

99 Fae Mínima ANÁLISIS EN FRECUENCIA

100 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

101 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

102 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

103 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

104 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

105 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

106 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

107 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

108 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

109 Gráfica de Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

110 Gráfica de Bode - Polo y Cero inetable ANÁLISIS EN FRECUENCIA

111 Gráfica de Bode - Polo y Cero inetable ANÁLISIS EN FRECUENCIA

112 Ejemplo ANÁLISIS EN FRECUENCIA

113 Ejemplo - Elemento ANÁLISIS EN FRECUENCIA

114 Ejemplo - Suma ANÁLISIS EN FRECUENCIA

115 Ejemplo - Tralación ANÁLISIS EN FRECUENCIA

116 Repreentación grafica de la función enoidal. ANÁLISIS EN FRECUENCIA

117 Nyquit veru Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

118 Etabilidad ANÁLISIS EN FRECUENCIA

119 Identificación - Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

120 Identificación - Bode ANÁLISIS EN FRECUENCIA

121 SISTEMAS DE CONTROL Sitema Dicreto Mater univeritario en energía y combutible para el futuro Julio Bodega

122 Sitema dicreto Introducción: Sitema en tiempo dicreto y itema muetreado

123 Introducción: Controlador digital. Sitema dicreto

124 Sitema dicreto Introducción: Diagrama de bloque de un itema de control digital.

125 Introducción: Señale Sitema dicreto

126 Muetreo y recontrucción: Secuencia Sitema dicreto

127 Muetreo y recontrucción: Concepto de muetreo I Sitema dicreto

128 Muetreo y recontrucción: Concepto de muetreo II Sitema dicreto

129 Muetreo y recontrucción: Recontrucción Sitema dicreto

130 Muetreo y recontrucción: Problemática del muetreo. Sitema dicreto

131 Teorema de muetreo: Epectro de una eñal muetreada Sitema dicreto

132 Teorema de muetreo: Etudio de la frecuencia de muetreo Sitema dicreto

133 Teorema de muetreo: Etudio de la frecuencia de muetreo Sitema dicreto

134 Teorema de muetreo de Shannon Sitema dicreto

135 Aliaing en el dominio temporal Sitema dicreto

136 Modelado de itema en tiempo dicreto: Tranformada Z. Sitema en tiempo dicreto. Ecuación en diferencia Sitema dicreto

137 Modelado de itema en tiempo dicreto: Tranformada Z. Definición Sitema dicreto

138 Modelado de itema en tiempo dicreto: Tranformada Z. Tranformada Z de una ecuencia Sitema dicreto

139 Modelado de itema en tiempo dicreto: Tranformada Z. Propiedade Sitema dicreto

140 Modelado de itema en tiempo dicreto: Tranformada Z. Función de tranferencia en Z Sitema dicreto

141 Dicretización de itema continuo. Aproximacione Sitema dicreto

142 Dicretización de itema continuo. Técnica de aproximación numérica I Sitema dicreto

143 Dicretización de itema continuo. Técnica de aproximación numérica II Sitema dicreto

144 Dicretización de itema continuo. Técnica de aproximación numérica III Sitema dicreto

145 Bibliografía. Sitema dicreto