Tema 5: Razonamiento no monótono

Transcripción

1 Tema 5: Razonamiento no monótono Félix Lara Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Seminario de Inteligencia Artificial, Curso SIA, Razonamiento no monótono 2.1

2 Limitaciones del razonamiento basado en la lógica de primer orden Ningún lenguaje puede expresar todo el conocimiento sobre el entorno: Un conjunto de fórmulas es sólo una aproximación. Una regla general está sujeta a una serie (infinita) de restricciones no codificables. Problema importante: Las reglas de inferencia son adecuadas. Los teoremas son válidos en todos los modelos de la base de conocimiento (no descartan modelos no deseados; no refinan). Las reglas de inferencia sólo hacen expĺıcito conocimiento que estaba impĺıcito en la base de conocimiento. Otro problema: La LPO sólo utiliza hechos eternamente verdaderos o eternamente falsos. Cómo tratar la incertidumbre o la revisión? SIA, Razonamiento no monótono 2.2

3 Problemas y ejemplos (I) Un ejemplo del lenguaje natural: Como Juan no me ha dicho que Pedro es su hermano, yo presupongo que no lo es = Hermano(Juan, Pedro) = Hermano(Juan, Pedro). Otro ejemplo: Si consultamos un horario de trenes entre dos ciudades, A y B, y no encontramos ninguno que salga a las 11:00, entonces concluimos que no hay ningún tren que salga a esa hora. Este modo de proceder es típico de la consulta de bases de datos, pero difiere radicalmente del modo en que la LPO utiliza la información contenida en una base de conocimiento. SIA, Razonamiento no monótono 2.3

4 Problemas y ejemplos (II) Distinción entre enunciados universales y genéricos: Un enunciado universal es válido para todos los elementos considerados. Un enunciado genérico es válido para todos los elementos típicos (sin características especiales) considerados. Representación de relaciones (o reglas). La fórmula x(pajaro(x) Vuela(x)) es, en muchas situaciones, válida. Sin embargo, es más correcta la regla x(pajaro(x) Avestruz(x) Vuela(x)) Aún así no es fidedigna en general (pajáros muertos, crías,...) SIA, Razonamiento no monótono 2.4

5 Cualificación Cualificación: Precisión a una regla. Problema de la cualificación: Toda regla necesita infinitas restricciones (presupuestos) para ajustarse a la realidad. Sin embargo, es práctica común usar reglas y/o fórmulas como si fueran válidas. Por defecto, asumimos presupuestos (cualificaciones) que pueden ser revisados. SIA, Razonamiento no monótono 2.5

6 Reglas no monótonas Diseñar reglas R que no sean correctas ; es decir, que no tengan la propiedad R F = = F. Usualmente, la aplicación de este tipo de reglas depende del conjunto completo, no sólo de un subconjunto de premisas. Propiedad de este tipo de reglas: La base + {F } tienen menos modelos que. Los modelos de que no son modelos de F son descartados con + {F }. Las reglas que verifican esta propiedad se llaman reglas no monótonas. SIA, Razonamiento no monótono 2.6

7 Algunas soluciones Hipótesis del mundo cerrado (CWA): Si un hecho (fórmula atómica cerrada) no es demostrable, suponemos que su negación es cierta. Completación: Calcular F tal que + F impone que los elementos que verifican cierto predicado son sólo los que certifica. Razonamiento por defecto: Aplicar las reglas sin cualificación, y revisarlas en caso necesario Otros: Circunscripción, Lógica Autoepistémica. SIA, Razonamiento no monótono 2.7

8 La hipótesis del mundo cerrado (CWA) Es una formalización lógica de la correspondiente hipótesis utilizada en la consulta de bases de datos. Las bases de conocimiento ideales son completas, es decir, dado cualquier átomo cerrado, contienen (o es consecuencia lógica) a éste o a su negación. Ejemplo de BC no completa: sea la base formada por {P(A), P(A) Q(A), P(B)} Los átomos cerrados que son consecuencia lógica de son {P(A), Q(A), P(B)}. No contiene ni Q(B) ni Q(B). Idea de CWA: Si A es un átomo cerrado tal que = A, añadir A a. NO monótona: En el ejemplo, la base obtenida, + { Q(B)}, descarta los modelos de K donde Q(B) es válido. SIA, Razonamiento no monótono 2.8

9 Formalización de CWA Como obtener CWA( ): 1. Considerar T ( ) = {F : = F }. 2. Obtener el conjunto de creencias asumidas, a : A a A / T ( ) (donde A es un átomo cerrado). 3. CWA( ) = {F : + a = F } (es decir, CWA( ) = T ( + a )). En general, no se determina todo CWA( ). Se pregunta sobre la pertenencia de instancias concretas: F CWA( ) + a = F Ejemplo: Sea la base anterior Q(B) a (pues = Q(B)), luego CWA( ) = x Q(x) SIA, Razonamiento no monótono 2.9

10 Análisis y limitaciones de CWA Aplicación: Bases de datos Sea la base de conexión entre provincias de Andalucía: C(Sevilla, Huelva) C(Sevilla, Cádiz) := C(Huelva, Sevilla) C(Huelva, Cádiz)... = C(Huelva, Granada). + a = C(Huelva, Granada). = C(Huelva, Granada). SIA, Razonamiento no monótono 2.10

11 Dependencia sintáctica El método CWA depende fuertemente de la sintaxis: Si posee los símbolos de predicados {P 1,..., P n } y utilizamos Q i P i para reescribir la base a, el resultado puede ser distinto con respecto a los predicados originales. En el ejemplo anterior, si tomo D C, es D(Sevilla, Huelva) D(Sevilla, Cádiz) D(Huelva, Sevilla) D(Huelva, Cádiz)... entonces a = + { D(Sevilla, Almería),... }. Con menos hechos positivos, más eficiente (refina más). SIA, Razonamiento no monótono 2.11

12 Consistencia de CWA Problema: CWA( ) puede ser inconsistente (aunque sea consistente). Ejemplo: si = {P(A) P(B)}, entonces CWA( ) contiene a P(A) P(B), P(A), P(B); luego CWA( ) es inconsistente. Teorema. Son equivalentes: 1. CWA( ) es consistente. 2. Para toda disyunción de átomos cerrados L 1 L n tal que = L 1 L n existe i tal que = L i. SIA, Razonamiento no monótono 2.12

13 Consistencia de CWA según el lenguaje Problema: La consistencia de CWA( ) depende de los términos del lenguaje. En el lenguaje {P, A, B}, la base = {P(X) Q(X), P(A), Q(B)} tiene CWA( ) consistente. Si L = {P, A, B, C} CWA( ) no es consistente: P(C) Q(C), P(C), Q(C) CWA( ) SIA, Razonamiento no monótono 2.13

14 Clausura de dominio Consiste en: 1. Restringirse al lenguaje L( ) (símbolos no lógicos de ) y 2. Utilizando la igualdad, expresar que los únicos elementos existentes son los que tienen nombre. Si las constantes de L( ) son {C1,... C n }, añadimos a la fórmula G := x(x = C 1 x = C n ) Ventaja: Cada fórmula existencial del tipo xf(x) puede ser sustituida por F(C 1 ) F(C n ) Desventajas: Finitud del dominio, tratamiento de la igualdad... En el caso de la base de datos, anterior, la fórmula obtenida sería G := x(x = Sevilla x = Huelva...). Si F x C(x, Sevilla), entonces F es equivalente en + {G} a la fórmula C(Huelva, Sevilla) C(Sevilla, Sevilla)... SIA, Razonamiento no monótono 2.14

15 Principio de Nombres Únicos Consiste en no utilizar constantes distintas para denotar el mismo elemento. Si las constantes de L( ) son C1,..., C n, entonces equivale a añadir la fórmula C i C j i j Una forma débil puede obtenerse aplicando CWA al predicado de igualdad: = t 1 = t 2 = CWA( ) = t 1 t 2 donde t 1, t 2 son términos cerrados. En el ejemplo, como = Sevilla = Huelva, entonces CWA( ) = Sevilla Huelva. Tanto para la Clausura de dominio como para Nombres únicos es posible que la teoría obtenida sea inconsistente. SIA, Razonamiento no monótono 2.15

16 Principio de Información Completa Tanto CWA, como Clausura de Dominio y el Principio de Nombres Únicos son formas de expresar un principio general: Principio de información completa: Toda la información positiva existente acerca de un predicado está disponible en la base de conocimiento. Una forma fuerte de expresar este principio es usar simultáneamente CWA + Clausura de Dominio. Si el lenguaje L( ) sólo contienen un número finito de constantes y ningún símbolo de función, CWA + Clausura de Dominio reduce la base de conocimiento a una base proposicional. SIA, Razonamiento no monótono 2.16

17 Refinamientos Refinamiento del resultado de consistencia: Si cada cláusula de tiene a lo sumo un literal positivo (cláusulas de Horn) y es consistente, entonces CWA( ) también lo es. Consecuencia: La base de datos de Andalucía tiene una extensión CWA consistente. Estrategia: Representar el conocimiento con cláusulas de Horn para tener garantizada la consistencia. SIA, Razonamiento no monótono 2.17

18 Ejemplo Sea la base formada por las siguientes fórmulas: { xpadre(x, Ana) x y(padre(x, y) zmadre(z, y)) Con esta representación no podemos asegurar la consistencia de CWA( ). La forma clausal de, C es Padre(C, Ana) Padre(x, y) Madre(f 2 (x, y), y) Padre(x, y) Madre(f 2 (x, y), y) son cláusulas de Horn. Luego CWA( C ) es consistente. La condición no es necesaria; existen bases formadas por cláusulas que no son de Horn y que tienen CWA extensiones consistentes. SIA, Razonamiento no monótono 2.18

19 Refinamientos (II) Podemos evitar el problema de la consistencia modificando la definición de CWA. Hipótesis del Mundo Cerrado Generalizada (GCWA): Dada una base de conocimiento, y un átomo cerrado, A, por definición A g si para cualesquiera átomos cerrados B 1,..., B m, se verifica que Se define, = A B 1 B m = = B 1 B m. GCWA( ) = {F : + g = F }. Si es consistente, entonces GCWA( ) es consistente. GCWA( ) = F = CWA( ) = F. Si CWA( ) es consistente, entonces CWA( ) = F GCWA( ) = F. SIA, Razonamiento no monótono 2.19

20 Refinamientos (III) Localizar CWA en uno o varios predicados. Justificación: En algunas situaciones CWA es una hipótesis exagerada, sólo es aceptable para algún predicado concreto. Si la base contiene información muy completa sobre un predicado, P, es razonable aplicar CWA respecto de P. Pero si la información contenida en acerca de P es escasa (o poco relevante) no es razonable aplicar CWA a P. Definición: Dado P un símbolo de predicado, CWAP ( ) se define de manera análoga a CWA( ) pero a sólo contiene literales negativos en el lenguaje P. Se pierde la garantía de completitud con respecto a cualquier átomo cerrado del lenguaje original. SIA, Razonamiento no monótono 2.20

21 Ejemplo Consideremos la base de conocimiento x(padre(x, Pedro) Hermano(x, Pablo)) := Padre(Antonio, Pablo) Madre(Paula, Pablo) Hermano(Paula, Pablo) Se verifica que CWA Hermano ( ) = Hermano(Paula, Pablo) pues = Hermano(Paula, Pablo). Luego CWA Hermano ( ) = Madre(Paula, Pablo) SIA, Razonamiento no monótono 2.21

22 Ejemplo (II) Nótese que CWA( ) es inconsistente, pues Madre(Paula, Pablo), Hermano(Paula, Pablo) CWA( ) Ejercicio: Analizar la consistencia de CWAPadre ( ) y de CWA Madre ( ). Que CWAP ( ) sea consistente para todo predicado P no implica que CWA( ) lo sea. Ejemplo: = {Padre(Pablo, Pedro) Hermano(Pedro, Pablo)} SIA, Razonamiento no monótono 2.22

23 Completación bajo CWA Sea un conjunto de creencias, y P un predicado de. Cómo expresar el hecho de que los únicos elementos que satisfacen P son los que se concluyen lógicamente de? Una primera aproximación sería utilizar CWA, pero este método no ofrece una fórmula lógica, sino un conjunto (posiblemente infinito). SIA, Razonamiento no monótono 2.23

24 Ejemplo Ejemplo: Supongamos que = {P(A)}, y sea C otra constante. = P(C). En este caso CWA + Clausura de Dominio nos permite obtener la base = {P(A), x(x = A x = C), P(C)} La fórmula obtenida sería P(A) x(x = A x = C) P(C) Con símbolos de función, la base obtenida no se reduce a una fórmula. Ejemplo = {P(F(A))}. SIA, Razonamiento no monótono 2.24

25 Completación de predicados. Ejemplo Siguiendo con = {P(A)}, la fórmula es equivalente a la expresión x(x = A P(x)) La fórmula que expresa que A es el único elemento es x(p(x) x = A) Se denomina la fórmula de completación de P en. En este caso, se define la completación de P en como COMP( ; P) = { x(p(x) x = A)} { x(p(x) x = A)}. La fórmula anterior se denomina completación de. Si = {P(A), P(B)}, entonces COMP( ; P) debe ser x(p(x) x = A x = B). SIA, Razonamiento no monótono 2.25

26 Aislando el predicado a completar Sólo estudiaremos un caso especial en el que es un conjunto de cláusulas. Una base aísla a P si para cada cláusula C que posee una estancia positiva de P, dicha estancia es la única estancia de P en C. Si C aísla a P, se puede escribir de la forma: y(l 1 L n P( t)) donde t = t 1,... t n son términos. SIA, Razonamiento no monótono 2.26

27 Aislando el predicado La fórmula x(e P( x)) Reescribiendo la fórmula anterior y x( x = t L 1 L n P( x)) donde x son nuevas variables. Es equivalente a x( y( x = t L 1 L n ) P( x)) donde E y( x = t L 1 L n ) es una fórmula existencial. Es la llamada forma completable. SIA, Razonamiento no monótono 2.27

28 Definición de COMP( ; P) Supongamos que aísla a P, y sean x(e 1 P( x)). x(e n P( x)) las formas completables (cerradas) de las cláusulas donde ocurre P. Son equivalentes a x(e1 E n P( x)). Su completación es COMP( ; P) = { x(p( x) E 1 E n )}. Si es consistente y aísla a P, entonces COMP(, P) es consistente. Si se añade una nueva cláusula, la completación es distinta. SIA, Razonamiento no monótono 2.28

29 Ejemplo Sea aísla a Pajaro. Avestruz(x) Pajaro(x) := Pajaro(Curro) Avestruz(Pedro) Las formas completables son: x(avestruz(x) Pajaro(x)) x(x = Curro Pajaro(x)) luego La completación con respecto a Pajaro, COMP( ; Pajaro), es { x(pajaro(x) x = Curro Avestruz(x))} SIA, Razonamiento no monótono 2.29

30 Razonando bajo completación En este caso, si añadimos el axioma de nombres únicos, la completación expresa: Los únicos pájaros son las avestruces o Curro. Pedro Curro. En este caso, también se concluye que Pedro no es un pájaro; COMP( ; Pajaro) = Pajaro(Pedro) SIA, Razonamiento no monótono 2.30

31 Completación circular Si no aísla a P, se obtienen definiciones circulares, que en algunos casos proporcionan resultados útiles: Consideremos la siguiente base, que no aísla a Fact: x = 0 Fact(x, 1) x 0 Fact(Menos(x, 1), y) Fact(x, Producto(x, y)) Su forma completable es: x = 0 z = 1 Fact(x, z) y [x 0 z = Producto(x, y) Fact(Menos(x, 1), y)] Fact(x, z) La completación es Fact(x, z) (x = 0 z = 1) y { x 0 z = Producto(x, y) Fact(Menos(x, 1), y)) Que es la definición recursiva (circular) del factorial. SIA, Razonamiento no monótono 2.31

32 Casos especiales Si en la base está la fórmula xp(x) la completación es innecesaria. La forma completable es: x( P(x)) (donde es la fórmula x = x), luego su completación es que es equivalente a xp(x). x( P(x)) Si en la base no aparece ninguna estancia positiva de P, entonces podemos tomar la cláusula x( P(x)) (donde es la fórmula x x). Esta cláusula aísla a P y su completación es x( P(x)) que es equivalente a x P(x). SIA, Razonamiento no monótono 2.32

33 Diferencias entre CWA y COMP CWA COMP. Si L = {A, B} y = {P(A)}, entonces CWA( ) se obtiene añadiendo P(B). La completación de se obtiene añadiendo x(p(x) x = A) Las dos fórmulas no son equivalentes: tomar M con M = A = B; M = COMP( ) pero M = CWA( ). CWA + Clausura de Dominio: + { P(B), x(x = A x = B)} = x(p(x) x = A) Completación + Unicidad de Nombres: + { x(p(x) x = A), B A} = P(B) (es decir, se concluye CWA( )). SIA, Razonamiento no monótono 2.33

34 No monotonía de la completación Si añadimos una nueva cláusula aislando a P, entonces se descartan modelos. Algunos hechos válidos según la base original dejan de serlo. Ejemplo Avestruz(x) Pajaro(x) := Pajaro(Curro) Avestruz(Pedro) La completación con respecto a Pajaro, COMP( ; Pajaro), es { x(pajaro(x) x = Curro Avestruz(x))} COMP( ; Pajaro) + {Curro Pedro} = Pajaro(Pedro). SIA, Razonamiento no monótono 2.34

35 No monotonía de la completación (II) Si = + {C}, donde C es la cláusula Gallina(x) Pajaro(x). La completación de es más x(pajaro(x) x = Curro Avestruz(x) Gallina(x)). Pero COMP( ; Pajaro) + {Curro Pedro} = Pajaro(Pedro) (existen modelos M con M = Gallina(Pedro)). SIA, Razonamiento no monótono 2.35

36 Completación en paralelo Definición de COMP( ; P1,... P n ). Supongamos que se pueden ordenar los Pi de tal manera que si la forma completable de P i es x(e i P i (x)) entonces, en E i no aparecen P i, P i+1,... P n, ni las negaciones de P 1,... P i 1 (decimos que la base es ordenable). En tal caso, si las formas completables son La completación es x(e 1 P 1 (x)). x(e n P n (x)) + { x(p 1 (x) E 1 ),, x(p n (x) E n )} Si es ordenable para {P1,..., P n }, entonces COMP( ; P 1,... P n ) es consistente. SIA, Razonamiento no monótono 2.36

37 Completación circular (II) Ejemplo de completación circular en paralelo: Sea Arco(A, B) Arco(C, A) := Conectado(x, y) Arco(x, z), Conectado(z, y) Conectado(x, y) Arco(x, y) = Conectado(B, C) (sea M tal que M = Arco(B, C)). La base no es ordenable. No obstante, si consideramos el orden {Arco, Conectado} para la completación, entonces COMP( ; Arco, Conectado) contiene a x y(arco(x, y) (x = A x = B) (x = C x = A)) x y(conectado(x, y) Arco(x, y) z(arco(x, z) Conectado(z, y))) COMP( ; Arco, Conectado) = Conectado(B, C). SIA, Razonamiento no monótono 2.37

38 Razonamiento por defecto Ejemplo: Es usual utilizar sentencias del tipo: Todos los pájaros saben volar Aunque, deberíamos añadir normalmente. Para precisar la regla, es necesario hacer un conjunto infinito de precisiones (cualificaciones). Este problema invalida formalmente cualquier tipo de razonamiento monótono. Solución: Añadir excepciones a las reglas cuando aparecen anomaĺıas: Un pajaro x sabe volar salvo que sea anormal (una excepción) Aplicable al análisis de sistemas jerárquicos (las propiedades se heredan de las superclases, salvo que expresamente se declare lo contrario). Por ejemplo, el retículo de conceptos. SIA, Razonamiento no monótono 2.38

39 Ejemplo Consideremos una base de conocimiento = H P, en la que existen predicados taxonómicos (contenidos en H ) y predicados que se refieren a propiedades (en P ). Pajaro, Avestruz,... son taxonómicos, y Vuela una propiedad de los objetos. La base P está formada por las fórmulas en las que aparece los predicados no taxonómicos, y H el resto. Sea H := Cosa(Piolin) Pajaro(x) Cosa(x) Avestruz(x) Pajaro(x) Avestruz voladora(x) Avestruz(x) SIA, Razonamiento no monótono 2.39

40 Propiedades de la jerarquía La jerarquía representada por H es: COSA PAJARO PIOLIN AVESTRUZ AVESTRUZ VOLADORA SIA, Razonamiento no monótono 2.40

41 Propiedades de la jerarquía P : (a) Ninguna cosa, salvo los pájaros pueden volar Cosa(x) Pajaro(x) Vuela(x) (b) Los pájaros, salvo las avestruces, pueden volar Pajaro(x) Avestruz(x) Vuela(x) (c) Ningún avestruz, salvo las avestruces voladoras, vuela Avestruz(x) Avestruz voladora(x) Vuela(x) Avestruz voladora(x) Vuela(x) SIA, Razonamiento no monótono 2.41

42 Razonamiento con la jerarquía Opción: Utilizar (b) como regla general (nuestro sentido común nos dice que no es válida). Idealmente, es posible listar todas las excepciones, pero en la práctica no es realizable. Cualquier revisión de un principio general puede provocar una revisión de toda la base. Problemas: Cómo evitar esa revisión contínua? Como cancelar la herencia de propiedades en la jerarquía? SIA, Razonamiento no monótono 2.42

43 Solución Entender, p.e. (b) como Típicamente, los pájaros no avestruces vuelan salvo casos anormales. Anormal(x) es un nuevo predicado para la regla. Nueva fórmula: Pajaro(x) Avestruz(x) Anormal(x) Vuela(x). Cada vez que encontremos una anormalidad a la regla, p.e. Pingüino, basta añadir a la base Pinguino(x) Anormal(x) De esta forma podemos cancelar la herencia de ciertas propiedades en la jerarquía, para evitar razonamientos como: Las cosas no vuelan. Todo pajaro es una cosa. Luego los pajaros no vuelan. SIA, Razonamiento no monótono 2.43

44 Transformando la jerarquía (I) Las cosas, salvo excepciones, no vuelan se expresa Cosa(x) Anormal 1 (x) Vuela(x) Cada excepción encontrada es un hecho añadido a la base: Anormal 1 (BOEING 747),... Así, para cancelar la herencia entre cosa y pajaro añadimos Pajaro(x) Anormal 1 (x) Si se transforman todas las fórmulas de, la revisión de la base consiste en añadir excepciones, como p.e. Avion(x) Anormal 1 (x) El proceso se puede repetir en todos los niveles. SIA, Razonamiento no monótono 2.44

45 Transformando la jerarquía (II) Las restantes herencias quedan como sigue: Pajaro(x) Anormal 2 (x) Vuela(x) Avestruz(x) Anormal 2 (x) Avestruz(x) Anormal 3 (x) Vuela(x) Avestruz voladora(x) Anormal 3 (x). La base de conocimiento de la jerarquía H es Avestruz voladora(x) Avestruz(x) Avestruz voladora(x) Anormal 3 (x) Avestruz(x) Pajaro(x) Avestruz(x) Anormal 2 (x) Pajaro(x) Cosa(x) Pajaro(x) Anormal 1 (x) Cosa(Piolin). SIA, Razonamiento no monótono 2.45

46 La jerarquía revisada La jerarquía obtenida es: ANORMAL_1 COSA ANORMAL_2 PAJARO PIOLIN AVESTRUZ ANORMAL_3 AVESTRUZ_VOLADORA SIA, Razonamiento no monótono 2.46

47 Completando la jerarquía Completamos H en paralelo utilizando los predicados: {Anormal 1, Anormal 2, Anormal 3, Avestruz voladora, Avestruz, Pajaro, Cosa} H es ordenable para este conjunto de predicados. La completación es: Cosa(x) Pajaro(x) x = Piolin Pajaro(x) Avestruz(x) Avestruz(x) Avestruz voladora(x) Avestruz voladora(x) Anormal 1 (x) Pajaro(x) Anormal 2 (x) Avestruz(x) Anormal 3 (x) Avestruz voladora(x) SIA, Razonamiento no monótono 2.47

48 La revisión de P P se revisa como: Cosa(x) Anormal 1 (x) Vuela(x) Pajaro(x) Anormal 2 (x) Vuela(x) Avestruz(x) Anormal 3 (x) Vuela(x) Avestruz voladora(x) Vuela(x) Se deduce, utilizando COMP( H ) + P : Avestruz voladora(piolin) Avestruz(Piolin) Pajaro(Piolin) Anormal 1 (Piolin) SIA, Razonamiento no monótono 2.48

49 Añadiendo nuevo conocimiento Si añadimos a la base Pajaro(Piolin), la fórmula Pajaro(x) Avestruz(x) cambia a Pajaro(x) Avestruz(x) x = Piolin En ese caso, se deduce Anormal 2 (Piolin) (pero no se deduce Anormal 1 (Piolin)). Por tanto se deduce de p que Vuela(Piolin) La revisión puede ser contínua. SIA, Razonamiento no monótono 2.49

50 Completación delimitada Nótese que hacemos completación sobre H solamente, no hemos completado P. Se le denomina completación delimitada. Es más natural cerrar la jerarquía taxonómica. El resultado es distinto de la completación de toda la base y es posible obtener obtener inconsistencias. Ejercicio: Calcular la completación en paralelo que se habría obtenido utilizando toda la base. SIA, Razonamiento no monótono 2.50

51 Lógica para el razonamiento por defecto Lógica de defecto = Lógica clásica + Reglas de defecto. Reglas de defecto: (R) A : B 1,..., B n C siendo A, B 1,..., B n y C fórmulas de un LPO. A = pre(r) se denomina prerrequisito. {B 1,..., B n } = just(r) se denominan justificaciones. C = conc(r) se denomina conclusión. Una regla de defecto R se denomina normal si just(r) = {conc(r)}. Interpretación intuitiva: Si A es demostrable y para cada j = 1,..., n, no es contradictorio suponer B j, entonces concluimos C. SIA, Razonamiento no monótono 2.51

52 Teorías Sea L un LPO. Una teoría de defecto de lenguaje L es un par T = (W, D) donde: 1. W es un conjunto de fórmulas cerradas de L. 2. D es un conjunto de reglas de defecto. Para cada regla de defecto, R, debe garantizarse la consistencia de just(r) antes y después de aplicar la regla. Esto se expresa formalmente mediante la noción de Extensión. SIA, Razonamiento no monótono 2.52

53 Extensiones (I) Sean 1 y 2 conjuntos de fórmulas de L y R una regla de defecto. Decimos que ( 1, 2 ) dispara la regla R, si 1. 1 = pre(r) y 2. Para cada B just(r), 2 {B} es consistente. Dada una teoría de defecto T = (W, D) decimos que E es una extensión de T si siendo, E 0 = W y para cada j, E = E 0 E 1 E 2 E j+1 = E j {conc(r) : R D, (E j, E) dispara la regla R}. Una teoría de defecto T puede tener 0, 1 o más extensiones. SIA, Razonamiento no monótono 2.53

54 Extensiones (II) Sea T = (W, D) una teoría de defecto. A cada conjunto de fórmulas, E, le asociamos un conjunto de reglas monótonas: D E = { pre(r) : R D y para toda ψ just(r), ψ / E} conc(r) Dada una fórmula ϕ decimos que ϕ CnDE (W ) si existe una sucesión finita de fórmulas ϕ 1,..., ϕ n tal que ϕ n = ϕ y para todo i = 1,..., n, 1. W {ϕ 1,..., ϕ i 1 } = ϕ, o 2. ϕ i se deduce de W {ϕ 1,..., ϕ i 1 } aplicando una regla de D E. Proposición. E es una extensión de T = (W, D) si y sólo si E = Cn DE (W ) SIA, Razonamiento no monótono 2.54

55 Extensiones (III) Sea T = (W, D) siendo W = {Q(a), S(a)} D : (R1 ) Q(x) : P(x) P(x) (R 2 ) S(x) : P(x) P(x) E1 = T (W {P(a)}) y E 2 = T (W { P(a)}) son extensiones de T. T (W ) no es una extensión de T. En general, si T = (W, D) es una teoría de defecto y D sólo contiene reglas normales, entonces 1. T tiene al menos una extensión. 2. Para cualesquiera dos extensiones E 1 y E 2 de T, E 1 E 2 es inconsistente. SIA, Razonamiento no monótono 2.55

56 Ejemplos D W Extensiones P(x) : V (x) V (x) P(Piolin) T (W {V (Piolin)}) P(Piolin) P(x) : V (x) V (x) A(Piolin) T (W ) x (A(x) V (x)) P(x) : V (x) V (x) P(Piolin) T (W {V (Piolin)}) A(x) : V (x) V (x) A(Piolin) T (W { V (Piolin)}) P(x) : V (x) A(x) V (x) P(Piolin) T (W { V (Piolin)}) A(x) : V (x) V (x) A(Piolin) (V (x) Vuela(x), P(x) Pajaro(x), A(x) Avestruz(x)). SIA, Razonamiento no monótono 2.56

57 Inferencia en Lógica de Defecto Dada una teoría de defecto T y una fórmula F decimos que: F es consecuencia crédula de T si existe una extensión E de T tal que F E. F es consecuencia escéptica de T si para toda extensión E de T tal que F E. Utilizando consecuencia crédula podemos dar un tratamiento a las teorías de anormalidad utilizadas para el razonamiento por defecto en taxonomías. SIA, Razonamiento no monótono 2.57

58 Ejemplo Recordemos la taxonomía anterior: La jerarquía revisada, H, es: Avestruz voladora(x) Avestruz(x) Avestruz voladora(x) Anormal 3 (x) Avestruz(x) Pajaro(x) Avestruz(x) Anormal 2 (x) Pajaro(x) Cosa(x) Pajaro(x) Anormal 1 (x) Cosa(Piolin) SIA, Razonamiento no monótono 2.58

59 Ejemplo (II) Ahora P se expresa mediante un conjunto D, de reglas de defecto y una fórmula: Cosa(x) Anormal 1 (x) : Vuela(x) Vuela(x) Cosa(x) : Anormal 1 (x) Anormal 1 (x) Pajaro(x) Anormal 2 (x) : Vuela(x) Vuela(x) Pajaro(x) : Anormal 2 (x) Anormal 2 (x) Avestruz(x) Anormal 3 (x) : Vuela(x) Vuela(x) Avestruz(x) : Anormal 3 (x) Anormal 3 (x) x (Avestruz voladora(x) Vuela(x)) SIA, Razonamiento no monótono 2.59

60 Razonamiento por defecto Utilizando la teoría de defecto T = ( H { x (Avestruz voladora(x) Vuela(x))}, D) obtenemos como consecuencias crédulas: Anormal 1 (Piolin) Vuela(Piolin) Avestruz voladora(piolin) Sin embargo, no podemos deducir que Pajaro(Piolin). (Recordemos que utilizando completación paralela SÍ podíamos deducirlo). SIA, Razonamiento no monótono 2.60

61 Añadiendo nuevo conocimiento Si añadimos a la base H la fórmula Pajaro(Piolin), se deduce Anormal 2 (Piolin) (pero no se deduce Anormal 1 (Piolin) (Ejercicio)) Por tanto, ahora se deduce Vuela(Piolin). Este ejemplo muestra que la Lógica de Defecto no es monótona. Ejercicio: Estudiar que ocurre si añadimos Avestruz(Piolin). SIA, Razonamiento no monótono 2.61

62 Conclusiones El razonamiento no monótono es muy útil para manejar conocimiento incompleto. En particular, para Formalizar razonamientos de sentido común. Organizar la revisión de creencias. Gestionar conocimiento actualizable. Ventajas: 1. Proporciona una representación del conocimiento concisa. 2. Facilita la revisión de la base de conocimiento. Desventajas: 1. No existen algoritmos generales para la inferencia en Lógica de Defecto de primer orden. 2. Es necesario restringir la expresividad del lenguaje para obtener algoritmos eficientes. 3. La inferencia en Lógica de Defecto tiene un alto coste computacional, superior en general al de la Lógica Clásica (incluso en el caso proposicional). SIA, Razonamiento no monótono 2.62

63 Bibliografía Bibliografía: Genesereth y Nilsson, Capítulo 6. Jürgen Dix, Ulrich Furbach, Ilkka Niemelä: Nonmonotonic Reasoning: Towards Efficient Calculi and Implementations. En Handbook of Automatic Reasoning, Capítulo 19, páginas Ilkka Niemelä: Automating Default Reasoning. ini/esslli99/niemela2.ps SIA, Razonamiento no monótono 2.63