FUNCIONES DE VARIABLE REAL

Transcripción

1 Cálculo Diferencial

2 FUNCIONES DE VARIABLE REAL

3 LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce, interpreta y aplica la función de una variable real para modelar problemas de las Ciencias Básicas.

4 ESQUEMA DE LA CLASE FUNCIONES DEFINICIÓN y=f(x) Regla de correspondencia. Entrada, salida. Salida única para cada entrada DOMINIO Y RANGO Variable independiente (x) Variable dependiente (y) GRÁFICA Plano cartesiano Regla de la recta vertical Tabulación.

5 CONCEPTO DE LA FUNCIÓN Una función relaciona una entrada con una salida. Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a: a(edad) = edad 20 Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

6 EJEMPLO La función es un tipo de relación que expresa que una cantidad (la salida) depende de otra (la entrada). Al invertir dinero a una tasa de interés, el interés I (salida) depende del tiempo t (entrada) en que el dinero este invertido. Entonces, I es una función de t. Me hago rico Las funciones en general se indican con una fórmula que muestra lo que se hace con la entrada para hallar la salida.

7 REGLA DE CORRESPONDENCIA Si S/.100 gana un interés simple a una tasa anual del 12%, el interés y el tiempo están relacionados por la fórmula I =100(0,12)t (1) donde I está en soles y t en años. Dado t=0,5 entonces I =100(0,12)(0,5)=6 Así la formula (1) asigna a la entrada 0,5 la salida 3. La formula (1) es una regla que asigna a cada número de entrada t exactamente un número de salida I

8 DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN Una función relaciona cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de otro conjunto. (Conjuntos de números Reales). Se vuelve operativo con una regla de correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la regla se llama el dominio de la función. Al conjunto de números de salida se llama rango.

9 NOTACIÓN FUNCIONAL Si decidimos llamar f a una función y x es una de las entradas en el dominio de f, entonces f (x), que se lee f de x, representara el numero de salida en el rango de f que corresponde a la entrada x. Entrada Nombre de la función f ( x ) Salida 9

10 DETERMINACIÓN DEL DOMINIO Es el conjunto de los números Reales para los cuales la variable independiente está definida. El dominio es el conjunto de todos los reales excepto en las funciones: 1. Racionales. Se eliminan los valores para los cuales el denominador es cero. 4 h(x) 3x 18 0 x 6 Do min io x R / x 0 3x Irracionales. En índice par de la raíz la cantidad sub radical no puede ser negativa. f (x) 5x 15 5x 15 0 x 3 Do min io 3, 10

11 GRÁFICAS DE FUNCIONES El método más común para visualizar una función es su gráfica en el plano cartesiano en el caso de funciones de una variable real. Por definición la grafica de una función f es la grafica de la ecuación y=f (x) para x en el dominio de f. Criterios para gráficas: 1. Puntos de corte con los ejes. 2. Simetrías con los ejes y con el centro 3. Extensión y tabulaciones. 11

12 Comportamiento de la función La grafica muestra el comportamiento de una función. La coordenada y de un punto (x;y) de la gráfica es f(x) y se lee en la gráfica, como la altura dirigida de ésta última a partir del punto x. La gráfica también permite tener una imagen del dominio y del rango. y (x,f (x)) f (2) f (x) 0 f (1) 1 2 x x 12

13 PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Toda recta vertical corta a la grafica de una función a lo mas en un punto. y y (a,c) (a,b) a x (a,b) a x Es gráfica de una función No es grafica de una función 13

14 EJERCICIO RETO Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados de alta al final de t días de hospitalización está dada por: 300 f ( t) t Cuántos días después se habrá dado de alta al 99% del grupo? a)1200 b)980 c)42 d)1093 e)

15 Muchas gracias! Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar. Hipatía