Serie de razones Geométricas equivalentes

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1 Serie de razones Geométricas equivalentes El saldo de la cuenta de Rogelio Mi amigo Rogelio tiene una gran afición a las matemáticas. Su obsesión son los números. Vive siempre con su mente ocupada al menos por una docena de dígitos. El otro día descubrió una curiosa relación. Comprobó que los números de su casa y los de las casas de sus amigas Silvia y Lucía eran primos consecutivos. Si se multiplicaban los tres entre sí, el resultado era el saldo de su cuenta bancaria. La casa de Rogelio está entre las de Silvia y Lucía. El saldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de cinco cifras. Cuál es el número de la casa de Rogelio y el saldo de su cuenta en el banco? Objetivos Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en capacidad de: igualando: 5 0 = 8 = 50 = 0 = Serie de razones - Reconocer los elementos de una serie de razones geométricas equivalentes. En general, podemos escribir: - Construir una serie de R.G.E. dado un conjunto de números. a a a an - Aplicar las propiedades adecuadamente.... K c c c c n Valor de la razón Introducción Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidades son proporcionales a los números ; 5 y 8. Esto quiere decir que sus capacidades podrían ser: x 0 = 60 litros o también x 5 = 75 litros 5 x 0 = 00 litros 5 x 5 = 5 litros 8 x 0 = 60 litros 8 x 5 = 00 litros Como podemos ver existen muchas opciones pero los volúmenes siguen guardando la misma proporción. Si A es la capacidad del primer tonel, B la del segundo y C la del tercero, podremos escribir las razones geométricas. Donde: a, a, a,..., a n : Antecedentes c, c, c,..., c n : Consecuentes K : Constante de proporcionalidad o valor de la razón. Propiedades: Propiedad Suma de antecedentes Suma de consecuentes = Const. de proporcionalidad A B C K 5 8 A la que denominaremos serie de razones geométricas equivalentes. Serie de razones geométricas equivalentes Es decir: Por ejemplo: a a... an K c c c... c n Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen Propiedad el mismo valor. Suma de antecedentes = (Const. de Proporcionalidad)n Ejemplo: Suma de consecuentes 5 0 ; ; ; Donde n es el número de antecedentes o consecuentes que se multiplican.

2 Es decir: J.E.S.I. K 5 a. a. a.... a n K n 97. J.E.S.I c. c. c.... c n K 5 97 Por ejemplo : K 5 K Luego podemos escribir: Observación Si tenemos una serie de razones geométricas de la forma: J E S I 97 J E S 08 6 a b c d... K 08 6 I b c d e J + E + S + I = J + E + S + I = 80 Se denomina serie de razones geométricas continuas. En esta serie continua también se cumplen las propiedades Problemas para la clase mencionadas. Nivel I Ejercicio. Si se cumple: En una serie de razones geométricas los consecuentes a son 5; 7; 0 y. Si la suma de los dos primeros antecedentes es 8, hallar los otros antecedentes. 5 b 7 c Solución: Hallar a + b + c Formamos la serie con los datos proporcionados: a) 8 b) 6 c) 5 d) e) 7 a b c d K ; a + b = Si : Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad : Luego: Ejercicio Si se cumple: 8 K b K 5 7 K 7 c d K 7 K 7 0 c = 70 d = 8 J E S I K 97 J E S I a + b = 8, hallar c.d a b 5 c d 8 6 a) 576 b) 78 c) 88 d) 86 e) 56. En la serie : b c d Se cumple : a. c = 05, hallar b + d a) 5 b) 6 c) 6 d) 8 e) 96 Hallar J + E + S + I Solución:. Dada la serie : b c Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparece como antecedente y consecuente de las diferentes razones, entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todos los consecuentes resultará: Se cumple : a.b.c = 96 Hallar a + b + c a) 6 b) 8 c) 50 d) 56 e) 7

3 5. Los volúmenes de tres recipientes son proporcionales a los números ; 5 y 0. Si la suma de los cuadrados de los dos menores volúmenes es 656. Hallar el volumen mayor. a) 0 b) 0 c) d) 0 e) 8 6. Los consecuentes de razones geométricas equivalentes son ; 5 y 0. Si el producto de los antecedentes es 6 00, hallar la suma de los antecedentes. a) 7 b) 75 c) 8 d) 96 e) 0 7. En una serie de razones geométricas equivalentes continuas el producto de las razones es /7. Si la suma de los consecuentes es, hallar el mayor antecedente. a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) Los antecedentes de una serie de razones geométricas equivalentes son 7; 0; y 5. Si el producto de los dos primeros consecuentes es 0, hallar la diferencia de los dos últimos consecuentes. a) 5 b) 9 c) 0 d) e) 8 9. Dada la serie: a 5 b n c d 0 n 7 Se cumple : a + b + c - d = 0 Hallar a. d a) 0 b) 0 c) 50 d) 680 e) 80 0.En una serie de razones geométricas equivalentes la suma de las razones es /. Si el producto de los antecedentes es 5. Hallar el producto de los consecuentes. a) 00 b) c) 00 d) 00 e) 00 a) d) b) e) 8 c) 5 5 a) 8 b) 6 c) d) 6 e) 5. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 7; y. Cuál es la razón aritmética de los números?. En una serie de razones geométricas equivalentes, el producto de los antecedentes es 576 y el producto de los consecuentes es Hallar la suma de los antecedentes si los 6 términos suman 9. a) 9 b) c) 8 d) e) 6. Dada la serie: A B C a b c Se cumple : (A + B + C) (a + b + c) = 96 Calcular : M A. B.b C.c a) 7 b) c) 6 d) 80 e) 0 5. Si: b c d 6 7 a. c. b + b. c. d = 6 80 Hallar a + b + c + d a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) Si se cumple: K A R Y 6 K A R Y Hallar K + A + R + Y Nivel II. Sabiendo que: T R I a) 50 b) 60 c) 80 d) 00 e) 0 7. Si: L C E a b c K y además: T + R + I = 8 ; m p t L + C + E = 70 a. b. c = 60 Hallar: T.R.I. apt + mbt + mpc = 880 Hallar K L. C.E.

4 a) 0 b) 5 c) a) b) c) d) 0 e) 0 d) 8. Si se cumple: Hallar: a) M e) 8. Dada la serie: a + c + e = a b c Calcular: ; d e f a.b. c d. e. f 7 a b c. d e f b) 6 a b c d e f c) 9 c e ; b d f M ab cd ef b d f a) b) 5 c) 8 d) e). En una serie de cuatro razones geométricas continuas la suma del primer antecedente y del tercer consecuente es 76. Determinar el mayor consecuente si el producto de las cuatro razones es /8. d) 7 e) 8 a) 70 b) 0 c) 6 80 d) 5 0 e) En una serie de razones geométricas equivalentes continuas la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como 5 es a 5. Si la suma de los términos de la segunda razón es 8, hallar la suma del mayor y menor consecuente.. En la siguiente serie de razones equivalentes: A B C D m n p q Se cumple : A + B + C + D = 6 ; m + n + p + q = 75 Hallar : a) 588 b) c) 88 d) 576 e) 5 E A.m B.n C.p D.q 0.Dada la serie de razones equivalentes: a) 05 b) 0 c) 5 a 6 c 65 b 5 0 d) 5 e) d 5. Si : se observa que a, d, b y c forman una proporción aritmética. Hallar a + b + c + d a) 0 b) 60 c) 80 d) 90 e) 00 c e ; b d f (a + b) (c + d) (e + f) = Hallar : M a.c.e. b.d.f Nivel III a) 6 d) 5 b) 96 e) 96 c) 8. Dada la serie de razones: 6. Dada la serie : A B C D ; a b d d a c e K A.B.C.D 096 b d f a.b.c.d Se cumple : a.c.e 5 Hallar: b.d.f A 0 B 0 C 0 D 0 M Hallar : E c e a 0 b 0 c 0 d 0 ab cd ef a) b) c)

5 5 d) 7. En una serie de razones geométricas los antecedentes 5 e) son 9; 5 y. Si la suma de las razones es 9/, 9 hallar el mayor consecuente. 7. Si : Hallar E. V. A E V E V A a) 56 b) 96 c) 00 d) 5 e) 8. Dada la serie: a) b) 8 c) d) 5 e) 0. Dada la serie de razones: R I T A 96 R I T A Hallar R + I + T + A a) 60 b) 75 c) 0 d) 5 e) 90 a b c K a b c. Dada la serie : Si b es el menor número tal que puede ser antecedente 5 7 en cualquiera de las razones y la constante siempre y a. b + a. c + b. c = 69; hallar a. b. c resulte entera. Hallar a + b + c a) 7 b) 9 c) 87 d) 58 e) 56 a) 5 b) 5 c) d) 8 e) En la siguiente serie : b b b 9 7 Calcular a + b a) b) c) 6 d) 0 e) 8 5. Dada la serie : A B C a b c se cumple : A + B + C = 80 a + b + c = 8 A B C Hallar : a b c 0.Si : b c a b c ; m n p m n p Hallar : 96 5 a) 6 6 b) 5 5 d) e) c) 9 a.m b.n c.p M m n p a) 6 b) 9 c) 7 d) 8 e) Autoevaluación. Dada la serie: b c Se cumple que : a.b.c = 80;hallar a + b + c a) b) 5 c) 0 d) 6 e) 8

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