CONVERGENCIA GLOBAL DE UN ALGORITMO DE DESCENSO MULTIDIRECCIONAL PARA UN PROBLEMA DE ESTIMACION DE PARAMETROS EN EDP

Transcripción

1 CONVERGENCIA GLOBAL DE UN ALGORITMO DE DESCENSO MULTIDIRECCIONAL PARA UN PROBLEMA DE ESTIMACION DE PARAMETROS EN EDP Mauricio Carrillo Oliveros Prof. Guía: Juan Alfredo Gómez Universidad de la Frontera, Temuco Enero 2010

2 OBJETIVO Diseñar un algoritmo de descenso para el problema de optimización continuo, basado sobre aproximaciones discretas del mismo, usando las condiciones de Wolfe. Si es posible hacer esto, la convergencia global del algoritmo queda asegurada por un teorema de optimización en dimensión in nita.

3 ASPECTOS TEORICOS Min q2q J : Q! R, J 2 C 1 donde J(q) = kc (u(q)) Q espacio normado. χk 2 V ), u(q) solución de alguna EDP y

4 ASPECTOS TEORICOS ALGORITMO DE DESCENSO A1) Elegir q 0 2 Q, k = 0 A2) Buscar d k 2 Q dirección de descenso ( e.d: rj(q k ), d k < 0). A3) Buscar un paso λ k > 0. A4) Hacer q k+1 = q k + λ k d k A5) Test de detención.sí,parar. No, ir a A2).

5 ASPECTOS TEORICOS En un contexto más formal: Un algoritmo A para Γ = fq 2 Q : rj(q) = 0g está dado por, A i : Q! P(Q) tal que: 1 A i (q) 6=?, 8q /2 Γ, 8i 2 I N 2 J(q 0 ) < J(q), 8q 0 2 A i (q), 8q /2 Γ y los siguientes pasos: A 1 ) Elegir q 0 2 Q, i = 0 A 2 ) Calcular A i (q i ) A 3 ) Elegir q 2 A i (q i ) A 4 ) Test de detención( por ejemplo: J(q ) J(q i )).Sí, parar y tomar q i como último punto. Si no, seguir a A 5. A 5 ) Hacer q i+1 = q, i + 1! i, ir a A 2.

6 Se anota: A(q 0 ) = fq n g. Se dice que A es globalmente convergente a Γ si 8q 0 2 Q: q N 2 Γ, si fq n g = fq 1,...q N g,o bien der fq n g 2 Γ si fq n g es in nita Se escribe: A! Γ

7 ALGORITMO DE DESCENSO CON BUSQUEDA MULTIDIRECCIONAL Sea p 2 N y ρ, α, β 2 (0, 1), β > α. Se de nen A p : Q! P(Q) tq: 8 q >< 2 Q/q = q + λd, λ 2 R p, D 2 Q p 9, tq : >= 1) hrj(q), λdi ρ krj(q)k kλdk A p (q) := 2)J(q >: ) J(q) + α hrj(q), λdi >; 3) hrj(q ), λdi β hrj(q), λdi 1) de ne el conjunto de direcciones ρ no ortogonales. 2) y 3) son las llamadas condiciones de Wolfe. Obs: Podemos considerar también el algoritmo A pn con número variable de direcciones en cada paso.

8 Para el caso nitodimensional, e.d dim Q < y p = 1, se sabe que el algoritmo A 1 es globalmente convergente a Γ. Los métodos Quasi-Newton son diferentes formas de implementar este algoritmo. Para el caso general, se tiene el siguiente teorema:

9 THEOREM Sea Q espacio normado y J : Q! R, J 2 C 1 y acotada inferiormente. Sean ρ, α, β 2 (0, 1), β > α y fp n g N. Luego: A pn!γ. Para el problema: y su discretización: (P) Minq2Q J(q) = kc (u(q)) χk 2 V s/t a(q, u(q)) = f (v), 8v 2 V (P h ) Minqh 2Q h J h (q h ) = kc (u h (q h )) χ h k 2 V h s/t A h (q h, u h ) = f (v h ), 8v h 2 V h

10 Consideremos, por ejemplo, Q = L (Ω).La discretización de la EDP por elementos nitos y: q h = (q h1,..., q hm (h) ) 2 R M (h) donde M(h) es el número de elementos de la discretización: Ω h = [ M (h) j=1 K j Ω. De nimos q h (.) 2 L (Ω): q h (x) = q hj, 8x 2 K j, j = 1,...M(h) y para la variable de estado discreta u h = (u h1,..., u hn (h) ) 2 R N (h), consideramos la función de interpolación u h (.) 2 V dada por: u h (x) = N (h) u hj φ j (x) j=1

11 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0.

12 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0. 2 Determinar ρ 1, α 1, β 1 para el problema continuo.

13 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0. 2 Determinar ρ 1, α 1, β 1 para el problema continuo. 3 Elegir qh 0,calcular u0 h =) q0 h (.), u0 h (.), k = 0.

14 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0. 2 Determinar ρ 1, α 1, β 1 para el problema continuo. 3 Elegir qh 0,calcular u0 h =) q0 h (.), u0 h (.), k = 0. 4 Test de detención.

15 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0. 2 Determinar ρ 1, α 1, β 1 para el problema continuo. 3 Elegir qh 0,calcular u0 h =) q0 h (.), u0 h (.), k = 0. 4 Test de detención. 5 Veri cación de desigualdad. Cambio de paso?h 0 < h. Rede nir q k h 0! u k h 0

16 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0. 2 Determinar ρ 1, α 1, β 1 para el problema continuo. 3 Elegir qh 0,calcular u0 h =) q0 h (.), u0 h (.), k = 0. 4 Test de detención. 5 Veri cación de desigualdad. Cambio de paso?h 0 < h. Rede nir q k h 0! u k h 0 6 Determinar M q k h 0 tal que q k+1 h 0 = q k h 0 + M q k h 0 satisface condiciones ρ, α, β.aplicar algún algoritmo Quasi-Newton.

17 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO 1 Elegir ρ, α, β 2 (0, 1) para los problemas discretos.(valores típicos: ρ = 1 2, α = 1 10, β = 9 10.).h > 0. 2 Determinar ρ 1, α 1, β 1 para el problema continuo. 3 Elegir qh 0,calcular u0 h =) q0 h (.), u0 h (.), k = 0. 4 Test de detención. 5 Veri cación de desigualdad. Cambio de paso?h 0 < h. Rede nir q k h 0! u k h 0 6 Determinar M q k h 0 tal que q k+1 h 0 = q k h 0 + M q k h 0 satisface condiciones ρ, α, β.aplicar algún algoritmo Quasi-Newton. 7 Hacer q k+1 h 0 (.) = q k h 0 (.)+ M q k h 0 (.). k! k + 1. Ir a IV.

18 OBSERVACIONES 1. El número de iteraciones en cada problema discreto hasta encontrar un punto adecuado es el número de direcciones que tomamos en ese paso del algoritmo para el problema continuo. Este número puede variar de paso en paso. Esto hace aplicable el teorema anterior para demostrar la convergencia global del algoritmo hacia una solución óptima local del problema continuo.

19 OBSERVACIONES 2. Este enfoque, novedoso, fue aplicado para construir un algoritmo globalmente convergente para el siguiente problema de control optimal en EDO(J.A.Gómez,"Global Convergence of a multidirectional algorithm for unconstrained optimal control problems",num. Func.Analysis and optimization,1998): MinJ(u(.)) = ϕ [x(t 1 )], s.t ẋ(t) = f (x(t), u(t)), a.a t 2 [t 0, t 1 ], x(t 0 ) = bx 0 u(t) 2 U, a.a. t 2 [t 0, t 1 ]

20 Gracias