RELACIÒN ENTRE LOS PROMEDIOS

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1 Capítulo : RELACIÒN ENTRE LOS PROMEDIOS INTRODUCCIÓN La Estadística es una ciencia matemática que se utiliza para describir, analizar e interpretar ciertas características de un conjunto de individuos llamado población. Cuando nos referimos a muestra y población hablamos de conceptos relativos pero estrechamente ligados. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo. Podemos dividir la estadística en dos ramas; la estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio; y la estadística inferencial, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión. La estadística trata en primer lugar, de acumular la masa de datos numéricos provenientes de la observación de multitud de fenómenos, procesándolos de forma razonable. Mediante la teoría de la probabilidad analiza y explora la estructura matemática subyacente al fenómeno del que estos datos provienen y, trata de sacar conclusiones y predicciones que ayuden al mejor aprovechamiento del fenómeno. 188

2 .1 RELACION EMPIRICA ENTRE LOS PROMEDIOS: El calculo ó valor aproximado de la moda puede obtenerse a partir del siguiente relación conocida también con el nombre de Relación Empírica de Karl Pearson. _ Mo = 3 Md - 2X Nota: se aproxima al valor pero no es el verdadero. Ejemplo: 1.- Calcular la relación empírica del siguiente cuadro de distribución de frecuencias. Solución: _ X = 380 = Md = = Reemplazar: Mo = 3 ( 69.5) - 2 ( 69.6) Mo = Mo = 69.3

3 L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi ni Ni ni.yi Clase Modal 70 2 Mediana N = 50 ni.yi =

4 Ejemplo: 1.- Calcular la relación empírica del siguiente cuadro de distribución de frecuencias. L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi ni Ni ni.yi Clase Modal Mediana N = 50 ni.yi =

5 Solución: _ X = 380 = Md = = Reemplazar: Mo = 3 (69.5) - 2 (69.6) Mo = Mo = 69.3 Ejercicios: Determinar la relación empírica entre los promedios de los siguiente cuadrados de distribución de frecuencia: X = 1.62 Md = _ X= niyi = 16.2 = 1.62 N 0 Mo = Mo = 3(1.6362) - 2(1.62) Mo =

6 L1 - L2 Yi1 - Yi Yi ni niyi 1,95-1,55 1,52 5 7,6 1,55-1,595 1, ,8 1,595-1,65 1,62 0 6,8 1,65-1,695 1, ,2 1,695-1,75 1, ,92 1,75-1,795 1,77 6,62 N = 0 niyi=16,2 193

7 .2 COMPORTAMIENTO DE LOS PROMEDIOS (Md, X, Mo) En las distribuciones de frecuencias simétricas los valores de la media, la mediana y la moda son idénticas si la distribución es unimodal, es decir si tiene un máximo sencillo. En las distribuciones de frecuencia oblicuas o sesgadas, la media aritmética se encuentra entre la X y la Mo, pudiendo establecerse relaciones de mayor a menor, que nos indica el sesgo. 1.- Simétrica X = Md = Mo X Md Mo 19

8 2.- Sesgo Positivo ó Sesgado a la Derecha X >Md > Mo + Mo Md X 3.- Sesgo Negativo ó Sesgado a la Izquierda X < Md < Mo -- X Md Mo 195

9 Ejercicios:1. - Determinar el comportamiento Md, X, Mo e indique si tiene sesgo positivo ó negativo ubicando los valores en el histograma y polígono de frecuencia de la siguiente distribución. L1 - L2 Yi ni Ni ni.yi Yi'-1 - Yi Clase Modal Mediana N = 50 ni.yi =

10 Mo = 69. Md = 69.5 X = 69.6 Ejercicios: 1.- Determinar el comportamiento Md, X, Mo e indique si tiene sesgo positivo ó negativo ubicando los valores en el histograma y polígono de frecuencia de la siguiente distribución. 197

11 L1 - L2 Yi'-1 - Yi Yi ni Ni ni.yi Clase Modal Mediana N = 50 ni.yi = 380 Solución: Mo = 69. Md = 69.5 X =

12 Ejercicio: Determinar el comportamiento de los promedios media, mediana y moda del siguiente cuadro de frecuencias. L1 - L2 Yi ni Ni ni yi N= n i y i =

13 X = niyi X = 1,95 = 0,0075 N Md = = N i i L I + N/2 Ni M d Datos: 2 N = = 130 N i = 120 Ni M d = 20 i Md = Md = / 20 Md =

14 Md = Mo = LI + d1 i d1 + d2 Mo = = Mo = X = Md = Mo = X = Md < Mo = <

15 .3 CUARTILES Son medidas de posición que se caracterizan por dividir a una distribución en Cuartiles, Deciles y Percentiles. 1. Cuartiles: (Q1, Q2,... Q3) son aquellos valores que dividen a un conjunto de datos ordenados según su magnitud en cuatro partes iguales. 2. Deciles: (D1, D2,... D9 ) son aquellos valores que miden a un conjunto de datos ordenados según su magnitud en diez partes iguales 3. Percentiles: (P1, P2,... P99 ) son aquellos valores que dividen a un conjunto de datos ordenados según su magnitud en cien partes iguales. 202

16 .3.1CALCULO DE CUANTILES calculo de los cuantiles se basa en la formula de la mediana. N - ( Ni)1 Md = L1 + 2 i nimd Con las siguientes variaciones: 1.- Para los cuartiles se cambia ó reemplaza N por: 2 N Q1 2N Q2 3N Q3 203

17 N - ( Ni)1 Q1 = L1 + i niq1 2N - ( Ni)1 Q2 = L1 + i niq2 3N - ( Ni)1 Q3 = L1 + i niq3 2.- Para los deciles se cambia ó reemplaza N por: 2 N 2N 9N 20

18 D1 D2 D9 N - ( Ni)1 D1 = L1 + i nid1 5N - ( Ni)1 D2 = L1 + i nid2 9N - ( Ni)1 D9 = L1 + i nid9 3. Para los percentiles se cambia ó reemplaza N por: 205

19 2 N2 N 0 0 P1 3N... 99N 0 0 P2 P3 P99 3. Para los percentiles se cambia ó reemplaza N por: 2 N2 N 0 0 P1 P2 3N... 99N 0 0 P3 P99 50N - ( Ni)1 P50 = L1 + 0 i nip50 206

20 50N - ( Ni)1 P50 = L1 + 0 i nip50 El espacio comprendido entre el 1 y 3 cuartil recibe el nombre de espacio intercuartilico y contiene generalmente el 50 % de las observaciones. EJERCICIOS: Del siguiente cuadro (a) de distribución de frecuencia determina: 1. Q1,Q2,D,P,P25,P75,P90 207

21 L1 - L2 YI ni NI N = Q1 = L1 + N/ - ( Ni ) i niq2 Q1 = Q1 = Q1 = Q1 = 55 + (7.0833) 208

22 2.- Datos: 2N/ = N/2 = 25 Li = 65 ( Ni)1 = 16 Ni Q2 = 20 i Q2 = = L1 + 2N/ - ( Ni )i i Q2 = 69.5 niq2 Q2 = Q2 = 65 + (.5) 3.- Datos: 5N/ = N/2 = 25 Li = 65 ( Ni )1 = 16 Ni D5 = 20 i = 209

23 D5 = L1 + 5N/ - ( Ni )i i NiD5 D5 = D5 D5 = 69.5 = 65 + (.5) D5 = Datos : N/0 = N/ = 5 Li = 55 ( Ni )1 = Ni P = 12 i = P = L1 + N/0 - ( Ni )i i PP== P = nip P = P =

24 5.- Datos : 25N/0 = N/ = 12.5 Li = 55 ( Ni )1 = Ni P = 12 i = P25 = L1 + 25N/0 - ( Ni )i i nip25 P25 = P = P = P =

25 6.- Datos : 75N/0 = 37.5 Li = 75 ( Ni )1 = 36 Ni P75 = i = P75 = L1 + 75N/0 - ( Ni )i i nip75 P75 = P75 = P75 = 76.5 P75 = Datos : 90N/0 = 5 Li = 75 ( Ni )1 = 36 Ni P = i = 212

26 P90 = L1 + 90N/0 - ( Ni )i i nip90 P90 = P90 = P90 = 8 NOTA: Dado que el espacio intercuartílico presenta el 50% de las observaciones lo que interesa saber a partir de que valor va a medirse la desviación cuartil. La desviación cuartil se mide a partir del promedio que existe entre el promedio 1 y 3 cuartil. ½ (Q1 + Q3) + D.G. ½ ( ) ½ ( ) =

27 Ejercicio: Del siguiente cuadro calcular el primer y tercer cuartil. L1 - L2 Yi1-Yi Yi ni niyi x 67x y 73y N =

28 1. X = x + 73y = 67x + 73y x y = x + y = 30 x + y = 12 x = 12 y 2 en = 67 (12 y) + 73y 816 = 80 67y + 73y 12 = 6y y=2 x = N = 30 = 7.5 alrededor Q1 = (7.5 5) 3 N ( ni ) 1 i Q1 Li NiQ1 7 Q1 = Q3 = ( )

29 3 N ( ni ) 1 i Q3 Li NiQ3 Q3 = Ejercicio: Determinar el primer cuartil del siguiente cuadro de distribución de frecuencia: L1 - L2 Yi ni Ni niyi N =

30 N ni i Q1 Li NiQ1 = (16.5 9) 50 Q1=

31 Capítulo 5: MEDIDAS DE DISPERCIÒN O VARIABILIDAD INTRODUCCIÓN Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado Se conoce con el nombre de dispersión o variación al grado en que un conjunto de datos numéricos u observaciones tienden a diseminarse, extenderse o concentrarse alrededor de su valor central. Las principales medidas de dispersión son: 1. El rango o amplitud total también llamado horquilla R. 2. La desviación cuartil D.Q. 3. La desviación media D.M.. La varianza S² ó T² 5. La desviación estandar o desviación típica S o T. 218

32 5.1 RANGO DE AMPLITUD TOTAL DE HORQUILLA Se define el rango como la diferencia entre las medidas máximas y mínimas y se caracteriza por ser la más inestable de las medidas de dispersión pero tienen la ventaja de ser fácil de interpretar y calcular su valor. Ejemplo: a) Determinar el rango de los números: 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90, 92. R = MAX. MIN = R = 1 b) Determinar el rango o amplitud total de los sgtes. números: 0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3., 3.7, 9.2, 7.1, 5.6, 6., 2.3 y 5.6 R= MAX. MIN = R=

33 5.2.- DESVIACIÓN QUARTIL D.Q Se define la desviación quartil como la semidiferencia entre el tercer y el primer cuartil y esta asociada generalmente con la mediana y las distribuciones ligeramente asimétricas. D.Q. = Q3 - Q1 2 Ejemplo: Determinar la desviación cuartil del cuadro de distribución de frecuencias anterior sabiendo que : Q1 = y Q3 =76.5 D.Q.= = Nota: Dado que el espacio intercuartílico contiene el 50% de las observaciones, lo que interesa es saber a partir de que valor se va a medir la desviación cuartil. La desviación cuartil se mide a partir del promedio que existe entre el primero y el tercer cuartil. 220

34 Ejercicio: Del siguiente cuadro calcular la desviación cuartilica. L1 - L2 Yi1-Yi Yi ni niyi x 67x y 73y N =

35 3. X = x + 73y = 67x + 73y x y = x + y = 30 x + y = 12 x = 12 y 2 en = 67 (12 y) + 73y 816 = 80 67y + 73y 12 = 6y y = 2 x = N = 30 = 7.5 alrededor Q1 = (7.5 5)

36 Q1 = Q3 = ( ) 3 6 Q3 = D.Q = Q3 Q1 2 D.Q = DQ = Nota: Dado que el espacio intercuartílico contiene el 50% de las observaciones, lo que interesa es saber a partir de qué valor se va a medir la desviación cuartil. La desviación cuartil se mide a partir del promedio que existe entre el primero y el tercer cuartil. 223

37 1 (Q1 +Q3 ) + D.Q. = Q3 = % Q1 = DESVIACIÓN MEDIA (D.M.): X G H RMS Q1 Md Q3 Mo Q2 D5 P50 Esta medida surge por los defectos que tiene el R y la D.Q. de considerar únicamente valores extremos dejando de lado las medidas de centralización. 22

38 5.3.1 CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA Dado que la desviación media se define como la media aritmética de los valores absolutos de los datos de la serie con respecto de la media se utiliza las siguientes fórmulas: Datos Simples D.M. = /Yi - x / N Datos Agrupados D.M. = ni /Yi - x/ N 225

39 Ejercicio: Determinar la Desviación media de los siguientes números:, 6, 8,, 12 y 1. X = = 5 6 D.M. = / Yi - / N = 9 6 = 5 9 =

40 Ejercicio: Determinar la Desviación media de la siguiente. Distribución de frecuencias absolutas: L1-L2 Yi ni NiYi Yi - X ni Yi - X ni/yi- /=387.2 N=50 niyi=

41 X = niyi = N 380 = D.M = ni/yi- / N = =