CÁLCULO DEL RADIO TERRESTRE

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Salvador Macías Belmonte
hace 6 años
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1 CÁLCULO DEL RADIO TERRESTRE El objetivo de esta actividad consistió en calcular el radio terrestre siguiendo el método que Eratóstenes empleara hace más de veinte siglos.

1 1 CÁLCULO DEL RADIO TERRESTRE El objetivo de esta actividad consistió en calcular el radio terrestre siguiendo el método que Eratóstenes empleara hace más de veinte siglos. Fue llevada a cabo conjuntamente por los institutos de Santa Marta (IES Sierra la Calera), Don Benito (IES Cuatro Caminos) y Jerez de los Caballeros (IES El Pomar). Participaron de manera activa de cinco a ocho alumnos de cada centro. En clase de matemáticas se explico el procedimiento analítico y en Sociales se habló de la figura de Eratóstenes. La toma de datos se realizó simultáneamente, el miércoles 18 de febrero, en las tres localidades y, posteriormente, se analizaron. Los profesores coordinadores de cada centro fueron respectivamente D. Vicente Valero, D. José Antonio Pio Cancho y D. Ricardo Aguilar. MATERIALES: Un gnomon Un colaborador en otra localidad distante de la tuya INTRODUCCIÓN: Eratóstenes de Sirene ( a.c.), por referencias obtenidas de un papiro de la biblioteca de Alejandría, de la que fue su tercer director durante 30 años, sabía que en el solsticio de verano los rayos solares incidían perpendicularmente sobre Siena. Suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la altura de un edificio y la longitud de la sombra que proyecta en Alejandría, más al norte, el mismo día del solsticio de verano al mediodía. De esta forma pudo determinar el ángulo formado con el plano de la eclíptica, en el que se encuentran el Sol y la ciudad de Siena, ángulo que es precisamente la diferencia de latitud entre ambas ciudades. Conocida el ángulo midió el arco de circunferencia y extrapoló el resultado a la circunferencia completa (360º). La distancia entre ambas ciudades la estimo por las caravanas que comerciaban entre ellas, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría,

2 2 fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de estadios, resultado que posteriormente elevó hasta estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara. Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio de 185 m, el error cometido fue de kilómetros (alrededor del 17%), sin embargo hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de ,4 km, frente a los km considerados en la actualidad, es decir, un error menor del 1%. 150 años más tarde, Posidonio rehízo el cálculo de Eratóstenes obteniendo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría Ptolomeo y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente; quizá con las mediciones de Eratóstenes el viaje no se hubiera llegado a realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, y seguramente sea ése el error que más ha influido en la historia de la humanidad. PROCEDIMIENTO: Dos estacas (gnomon) clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, dan sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta. Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son:

3 3 Siendo c y c la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es b en ambos casos. Si observamos ahora la siguiente figura, en el triángulo que se forma con ángulos, donde es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que sumando los tres ángulos del triángulo:, es decir: Conocido el ángulo, y la longitud L del arco de meridiano entre ambas estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta: Conocida la expresión de la longitud de una circunferencia, deducimos el radio medio de la Tierra: Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los

4 dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente (como era el caso de la ciudad de Siena), entonces, se tendría que el ángulo, por lo cual, es decir, el ángulo, que corresponde al arco

FABRICACIÓN DEL GNOMON: Por ejemplo podemos utilizar una varilla de madera de 50 cm a la que hemos sacado punta para facilitar la medida de la longitud de la sombra.

4 4 dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente (como era el caso de la ciudad de Siena), entonces, se tendría que el ángulo, por lo cual, es decir, el ángulo, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente, el ángulo que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana. FABRICACIÓN DEL GNOMON: Por ejemplo podemos utilizar una varilla de madera de 50 cm a la que hemos sacado punta para facilitar la medida de la longitud de la sombra. El soporte puede ser una tabla de madera de longitud superior a la sombra que prevemos tener. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA: Si el ángulo de incidencia del sol provoca una sombra de 40 cm., el ángulo se calcularía de la siguiente forma:

11:15 h 50 cm 87 cm 1,74 60,1135 Medida 2: 11:20 h 50 cm 83 cm 1,66 58,9348 Medida 3: 11:25 h 50 cm

5 5 A continuación se describen los datos que se obtuvieron en los tres centros que participaron en la actividad: Datos IES Sierra la Calera (Santa Marta) Mediciones Altura: Y Sombra: X X/Y Ángulo Medida 1: 11:15 h 50 cm 87 cm 1,74 60,1135 Medida 2: 11:20 h 50 cm 83 cm 1,66 58,9348 Medida 3: 11:25 h 50 cm 81,5 cm 1,63 58,4710 Medida 4: 11:30 h 50 cm 79,5 cm 1,59 57,8329 Alumnos de IES Sierra la Calera (Santa Marta)

6 6 Datos IES Cuatro Caminos (Don Benito) Mediciones Altura: Y Sombra: X X/Y Ángulo Medida 1: 11:15 h 50 cm 88,5 cm 1,770 60,5348 Medida 2: 11:20 h 50 cm 85,4 cm 1,708 59,6519 Medida 3: 11:25 h 50 cm 83,1 cm 1,662 58,9653 Medida 4: 11:30 h 50 cm 81,7 cm 1,634 58,5344 Alumnos de IES Cuatro Caminos (Don Benito)

7 7 Datos IES El Pomar (Jerez de los Caballeros) Mediciones Altura: Y Sombra: X X/Y Ángulo Medida 1: 11:15 h 50 cm 85 cm 1,7 59,5344 Medida 2: 11:20 h 50 cm 83,5 cm 1,67 59,0867 Medida 3: 11:25 h 50 cm 80 cm 1,6 57,9946 Medida 4: 11:30 h 50 cm 78,5 cm 1,57 57,5052 Alumnos de IES El Pomar (Jerez de los Caballeros)

8 8 Relacionando los datos, dos a dos, podemos calcular el radio terrestre: IES Sierra la Calera Santa Marta IES Cuatro Camino Don Benito IES El Pomar Jerez de los Caballeros Medición Angulo Medición Angulo Medición Angulo 11:15 60, :15 60, :15 59, :20 58, :20 59, :20 59, :25 58, :25 58, :25 57, :30 57, :30 58, :30 57,5052 Recordando que: Santa Marta Don Benito Santa Marta Jerez Don Benito - Jerez Distancia Radio Distancia Radio Distancia Radio , , ,35 Km 0, ,36 0, ,32 0, , Km 0, Km 0, , , *La distancia está calculada en línea recta según Datos estadísticos: nº de puntos = 12, media aritmética = Km, desviación típica o estándar = Km, valor mínimo = 3441 Km, valor máximo = Km Representando los valores obtenidos en coordenadas cartesianas y realizando un ajuste lineal de dichos datos,

9 obtenemos una pendiente de la recta de 7872,3 ± 1600,3 Km valor bastante aceptable considerando las cortas distancias entre las localidades (valor real del radio de la tierra 6300 Km).

9 9 obtenemos una pendiente de la recta de 7872,3 ± 1600,3 Km valor bastante aceptable considerando las cortas distancias entre las localidades (valor real del radio de la tierra 6300 Km). En la imagen se muestra como la curvatura de la tierra explica las distintas longitudes de las sombras que tienen objetos de la misma altura. CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE LAS LOCALIDADES: Es interesante saber que para calcular la distancia entre dos puntos de la Tierra nos basta conocer sus latitudes y longitudes. Si queremos programar un algoritmo, como los datos normalmente los tenemos en grados, minutos y segundos, debemos convertirlos a radianes para aplicarlos en la fórmula. Para ello multiplicamos los grados (entero + decimales) por 0, Latitud Sur y longitud Oeste se consideran valores negativos, en tanto que latitud Norte y longitud Este serán valores positivos. Localidad Latitud N Longitud O Santa Marta 38,60º = 0,6737 rad 6,61º = rad Don Benito 38,57º = 0,6732 rad 5,52º = 0,0963 rad Jerez de los Caballeros 38,20º = 0,6667 rad 6,46º = 0,1127 rad El cálculo que debemos realizar es el siguiente: Con ese resultado obtener la distancia en kilómetros viene dada por la expresión: Bibliografía: Wikipedia, la enciclopedia libre,

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