MATEMÁTICAS I Soluciones Hoja 1:Trigonometría Esférica Curso 09-10

Transcripción

1 1.- Razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a) a=60º00 31, b=137º0 40, c=116º00 3 b) A=70º00 5, B=131º10 15, =94º50 53 c) a=64º4 03, b=4º30 10, =58º40 5 d) c=116º1 05, A=70º51 15, B=131º0 6 e) a=58º46, b=137º0 50, B=131º5 33 f) A=70º, B=119º, b=76º g) a=90º,c=67º38, b=48º50 a) Aplicando el teorema del eno: a bc a = b c + sen b sen c A A = = 0, A=73º Análogamente: b a c b = a c + sen a sen c B B = = -0, B=131º3 45 c a b c = a b + sen a sen b = = -0, =96º56 15 omprobación: Usando el teorema del seno obtenemos información acerca de la validez o precisión de los resultados. = 0,905355; = 0,905353; = 0, sen (5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error menor que 1 segundo) b) Aplicando el teorema del eno para ángulos: A + B A = B + sen a a = = 0, sen a=57º Análogamente, B + A B = A + sen b b = = 0, sen b=137º A B = A B + c = = 0, c=115º57 16 omprobación: = 0,90369; = 0,90369; = 0, sen c) Aplicando el teorema del eno: c = a b + sen a sen b = 0, c = 50º

2 Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del eno para calcular A y B: a bc A = = -0, A = 93º b a c B = = 0, B = 48º omprobación: = 0,90405; = 0,90405; = 0, sen d) Aplicando el teorema del eno para ángulos: = A B + c = 0, = 95º 3'1'' Y ahora teorema del eno para los ángulos de nuevo para calcular a y b: A + B a = = 0, a = 58º sen B + A b = = -0, b = 137º sen omprobación: = 0,901456; = 0,901457; = 0, sen e) or el teorema del seno: sen a sen b A = 69º 08' 09'' < B a < b = sen A = sen A sen B A = 110º 51' 51'' < B a < b Las dos soluciones son válidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos soluciones. Resolvemos ahora dos triángulos esféri: Uno para A 1 =69º y otro para A =110º Datos conocidos del 1º triángulo: A 1 = 69º08 09, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A + B 1 c1 a+ b tg = tg = 1, A1 B c 1 = 56º c1 = 113º 54 1 a b 1 1 tg = = 1, = 46º = 9º a + b A1 + B tg omprobación: = = 0,915143; 1 = 0, sen1 Datos conocidos del º triángulo:: A =110º51 51, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A + B c a + b c tg = tg = 3, = 75º c = 150º A B - -

3 tg a b = = 3, = 73º = 147º a + b A + B tg omprobación: = = 0,915143; = 0, sen f) or el teorema del seno: sen76ºsen70º = = = >1 IOSIBLE! sen119º g) Se trata de un triángulo rectilátero en a = 90º luego su polar es rectángulo en A p = 90º y los elementos conocidos de dicho polar son: A p =180º- a = 90º; B p =180º- b =131º 10 ; p = 180º- c = 11º Aplicamos las reglas del pentágono de Neper al triángulo polar: p a p a p B p B p A p =90º p A p c p a p = cotgb p cotg p = tg ( B ) tg( ) 1 p p B p =sen(90º-b p )sen p = b p sen p b p = 135º 54. B p 90º-c p =0, a p = 68º B p b p = = -0, sen( ) p p =sen(90º-c p ) p = c p p c p = = -0, sen( B p ) c p = 10º omprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos = 0,933058; = 0,933060; = 0, sen Y ahora calculamos los datos del triángulo dado que nos faltaban: A = 180º - a p = 111º (si queremos dar solo hasta los minutos A 111º 5 ) B = 180º - b p = 44º (si queremos dar solo hasta los minutos B 44º 37 ) = 180º - c p = 59º (si queremos dar solo hasta los minutos 59º 38 ) p 90º-b p - 3 -

4 .- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado a y decir si es interior o exterior al triángulo. Si la altura sobre el lado a es interior (h), al B triángulo AB, entonces h, B y han de ser c todos agudos o todos obtusos, pues son ángulos b=54º10' a h que se oponen al cateto h, en los triángulos rectángulo en que h),divide al triángulo B AB. b A=84º30' Si la altura es exterior c=104º' (h), entonces han de ser h, A B y (180º- ) agudos u obtusos simultáneamente es decir, B y han de tener distinto carácter. h H or tanto, hemos de calcular primero los ángulos B y : b a c B= = B = 34º 49' 11'' c a b = = =118º 58' 36'' Luego al ser B = 34º < 90º y = 118º > 90º, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo AB y su valor es un ángulo agudo. onsiderando el triángulo ABH rectángulo en H senh= = h = 34º 1' 59'' 1 47' 1'' > 90º 3.- alcular los ar de circunferencia máxima correspondientes a la: a. Altura sobre el lado c. b=54º10' b. ediana sobre el lado. B c. Bisectriz del ángulo. A=84º30' c=104º' a) Se descompone el triángulo en dos triángulos rectángulos y la altura se obtiene por el teorema del seno: odemos, previamente, comprobar que la altura es interior investigando si el ángulo B es agudo, para lo cuál basta hallar el lado a. a = bc + A= a = 94º omo b<a B<A<90º, luego la altura h es interior. senh =.= º 48' 11'' < b A < H h = 16 º 11' 49'' > 90º A agudo, luego su cateto opuesto h ha de ser agudo

5 b=54º10' A=84º30' m c/ c=104º' B b) uesto que, en el triángulo de la izquierda, conocemos dos lados y el ángulo comprendido, utilizamos el teorema del eno: m = b(c/) + sen(c/)a = 0, (con c/ = 5º 11 ) luego la mediana es: m = 65º c) Es necesario calcular el ángulo en el triángulo AB: reviamente hemos de obtener a (obtenido en b=54º10' / z el apartado a) B a = 94º A=84º30' Z c=104º' Aplicando otra vez el teorema del eno: c a b = = 104º50'30'' Hallamos ahora el ángulo AZ (que designamos Z) en el triángulo AZ el teorema del eno para ángulos: Z= -A + sen b = 0, Z = 66º Aplicamos ahora el teorema del eno para obtener z: A + Z A= -Z + senz sen z z = = 0, senz sen la bisectriz es z = 61º Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a. Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. b. Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa. a) or el pentágono de Neper: B=sen(90º-b)sen=bsen B b < 90º y B<90º sen = > 0 b b>90º y B>90º b y B ambos agudos o ambos obusos. b) Ahora es: a=sen(90º-b)sen(90º-c)=bc b< 90º b > 0 a = b c > 0 a < 90º c< 90º c > 0-5 -

6 b > 90º b< 0 a = b c > 0 a < 90º c > 90º c< 0 b< 90º b > 0 a = b c < 0 a > 90º c > 90º c< 0 Recíprocamente: a < 90º a = b c > 0 signo( b) = signo( c) b y c son ambos agudos o ambos obtusos. a > 90º a = b c < 0 signo( b) signo( c) b y c son de distinto cuadrante. (Esta demostración se puede ver también en los apuntes de teoría) 5.- Desde un punto de la Tierra situado sobre el meridiano de Greenwich y con latitud N parte un avión hacia otro punto. Este punto equidista del olo Norte, del unto y de un punto Q de coordenadas (65º º E, N). El avión se ve obligado a aterrizar en un punto A, cuando lleva recorridos /3 de su camino, al Este de. Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio y que la altitud de vuelo del avión es despreciable frente a esta magnitud. Hallar: a) Las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje b) El tiempo que tardó en efectuar éste si llevó una velocidad constante de 800 km/h c) El área del triángulo esférico definido por los puntos, A y el olo Norte ara obtener las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje se procederá como sigue. 1º) Obtener el punto hacia el que se dirige el avión. ás concretamente interesa la medida angular del arco de círculo máximo -, que se ha denominado d º) Obtener el punto de aterrizaje a partir de la magnitud /3 d. Esto permitirá obtener las coordenadas del punto A 3º) A partir de la distancia -A que corresponde a /3 d y conocida la velocidad se obtiene el tiempo recorrido. 4º) A partir de los ángulos N,, A se obtiene la superficie del triángulo esférico N (olo Norte) A d d Q N (olo Norte) Resolución del triángulo NQ Se conocen los tres lados. Aplicando el teorema del eno para lados se obtiene: lado n = =Q=65º d Q - 6 -

7 omo se observa, se trata de un TRIÁNGULO EQUILÁTERO Resolución del triángulo N (denominando con letras minúsculas los lados opuestos a cada ángulo correspondiente) En este triángulo =N= ½ (65º ) = 3º (También es conocido pues = 10º) OR SER NQ EQUILÁTERO onocidos,n y p se trata de resolver un triángulo conocidos dos n ángulos y el lado comprendido entre ellos. Aplicando el teorema del eno para ángulos se obtiene n=m=6º Ya tenemos el arco entre y, el que denominamos d=6º Resolución del triángulo NA En este caso se conoce a=, n=/3 (6º )= 17º y =3º (pues, A y están sobre el mismo círculo máximo) Se trata de resolver un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Aplicando el teorema del eno para lados se obtiene N = 18º09 18,83 y m = 31º y A = 13º or lo que las coordenadas de A son Longitud (A) = N = 18º Este Latitud (A) = 90º-m = 58º Norte álculo de la distancia recorrida Distancia = d(radianes) R d(radianes) = d π/180 = 17º π/180= rad distancia = = km si el avión vuela a 800 km/h el tiempo de vuelo es de t= /800 que adecuadamente convertido en unidades sexagesimales queda t= h 5m 47s Área del triángulo NA N = 18º09 18,83 = 3º A = 13º N + + A = 183º πr ε πr ( 183º44'51.73" 180º ) S = = = 65415km º S=65415 km N (olo Norte) N (olo Norte) A n 6.- Un avión vuela de adrid a Tokio a una altitud de m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de adrid y Tokio son: adrid latitud: Norte 40º 6 ; longitud: Oeste 3º 4 Tokio latitud: Norte 35º 40 ; longitud: Este 139º 45 : y que el radio de la tierra es 6370 km, se pide: a) Qué distancia recorre el avión entre adrid y Tokio? b) A qué distancia del olo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina írculo olar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El írculo olar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30. Sobrevuela el mencionado avión el - 7 -

8 írculo olar Ártico? lanteamiento: N a) on las coordenadas geográficas de adrid y Tokio h podemos calcular la distancia entre ellas. T b) La distancia h al olo Norte se calcula en el triángulo rectángulo N (donde es el pie del arco perpendicular a T por N). c) El valor obtenido para h nos indicará si la trayectoria del avión corta al írculo olar Ártico o no. a) alculamos T en el triángulo TN donde: N= colatitud de adrid = 90º- 40º 6 = 49º 34 TN= colatitud de Tokio =90º-35º 40 = 54º 0 Ángulo NT= long. adrid + long. Tokio = 3º º45 =143º 7 Aplicando el teorema del eno: T = N TN + senn sentn (NT)= - 0, distancia de adrid a Tokio en unidades angulares = T = 96º Ahora bien, para calcular en unidades lineales la distancia recorrida por el avión hemos de tener en cuenta que vuela a 10 km por encima de la superficie terrestre, luego: π ( ) Distancia recorrida por el avión = d = 96º 48' 43.83" = 10780,30 km 180º b) ara calcular h usamos el triángulo N. En él conocemos = 90º y N = colatitud de adrid 49º 34, necesitamos un dato más, por ello calculamos el ángulo = NT en el triángulo utilizado en el apartado anterior: Aplicando el teorema del eno: NT N T = = 0, = 9º 09 37,68 (rumbo del avión senn sent desde adrid). El pentágono de Neper correspondiente al triángulo N es: sen(90-h) = sen. senn = 0, N 1º 46'11.9" h = pero h y su ángulo opuesto han 180º - 1º 46'11.9" =90º N de tener el mismo carácter luego h ha de ser agudo. or tanto: distancia al olo N es h = 1º Vamos a aproximar esta distancia en unidades de longitud 90º-h 90º-H (km) por la distancia a la vertical del olo a 10 km de altitud: π ( ) Distancia desde el avión = h = 1º 46'11.9" " = 44,14 km 180º c) Al ser h=1º < (90º-60º30 ) =9º30 (colatitud del írculo olar Ártico): SÍ SE SOBREVUELA EL ÍRULO OLAR - 8 -