SÓLIDOS

Transcripción

1 SÓLIOS Los alumnos ya han trabajado con sólidos y han calculado el volumen y el área de superficie de prismas y de otras formas construidas con bloques. hora, estas nuevas habilidades se extienden para calcular los volúmenes y las áreas de superficie de pirámides, conos, y esferas. onsulta los recuadros de puntes de matemáticas de las Lecciones , , , , y jemplo 1 Un hexaedro regular tiene una longitud de arista de 20 cm. uáles son el área de superficie y el volumen de este sólido? unque el nombre hexaedro regular podría sonar intimidante, solo se refiere a un sólido regular con seis (hexa) caras. omo se definió anteriormente, regular significa que todos los ángulos son congruentes y que todas las longitudes de lado son congruentes. Un hexaedro regular es solo un cubo, de modo que las seis caras son cuadrados congruentes. Para calcular el volumen del cubo, podemos usar nuestros conocimientos previos: multiplicar el área de la base por la altura. omo la base es un cuadrado, su área es de 400 cm 2. La altura es de 20 cm, por lo tanto, el volumen es (400)(20) = 8000 cm 3. Para calcular el área de superficie, hallaremos la suma de las áreas de las seis caras. omo cada cara es un cuadrado y estos son todos congruentes, será bastante fácil. l área de un cuadrado es de 400 cm 2, y hay seis caras. Por lo tanto, el área de superficie es de 2400 cm cm 20 cm 20 cm jemplo 2 La base de la pirámide de la derecha es un hexágono regular. Usando las medidas incluidas, calcula el área de superficie y el volumen de la pirámide. 14" l volumen de cualquier pirámide es V = 1 3 bh (h es la altura de la pirámide y b es el área de la base). alculamos el área de 8" superficie del mismo modo que lo hacemos en el caso de todos los sólidos: hallamos el área de cada cara y de la base, y luego las sumamos. Las caras laterales de la pirámide son triángulos congruentes. La base es un hexágono regular. omo necesitamos el área del hexágono tanto para el volumen como para el área de superficie, la calcularemos en primer lugar. Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

2 Hay varios modos de calcular el área de un hexágono regular. Uno de ellos es cortar el hexágono en seis triángulos equiláteros congruentes, cada uno con un lado de 8". Si podemos calcular el área de un triángulo, luego podemos multiplicar por 6 para hallar el área del hexágono. Para calcular el área de un triángulo, necesitamos hallar el valor de h, la altura del triángulo. Recuerda que estudiamos estos triángulos anteriormente y que aprendimos que la altura corta el triángulo equilátero en dos triángulos congruentes de Para hallar h, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras o, si recuerdas el patrón para un triángulo de , podemos usarlo. on cualquiera de los dos métodos, hallamos que h = 4 3 ". Por lo tanto, a la derecha se muestra el área de un triángulo equilátero. 4 = 1 2 bh h 4 8 ( ) = 1 2 ( 8) = plg 2 l área del hexágono es = plg 2. hora, calcula el volumen de la pirámide usando la fórmula que se incluye a la derecha. V = 1 3 b h = 1 3 ( 96 3 ) 14 ( ) = plg 3 Luego, debemos hallar el área de una de las caras triangulares. stos triángulos están inclinados, y la altura de uno de ellos se denomina altura de inclinación. l problema no nos da el valor de la altura de inclinación (denominada c a la derecha), pero podemos calcularla sobre la base de la información que ya tenemos. Una sección transversal de la pirámide de la derecha muestra un ángulo recto en su interior. Un cateto se denomina a; otro, b; y la hipotenusa, c. l dibujo original nos informa que a = 14. ntes ya habíamos hallado la longitud de b: es la altura de uno de los triángulos equiláteros de la base hexagonal. Por consiguiente, b = 4 3 ". Para calcular c, usamos el Teorema de Pitágoras. La base de uno de los triángulos inclinados es de 8", la longitud del lado del hexágono. Por lo tanto, el área de un triángulo inclinado es plg 2, como se muestra abajo a la derecha. omo hay seis de estos triángulos, el área de las caras laterales es 6(8 61 ) = plg 2. a c b a 2 + b 2 = c (4 3) 2 = c = c 2 c 2 = 244 c = 244 = " = 1 2 b h = 1 2 ( 8 ) 2 61 ( ) = plg 2 hora, tenemos todo lo que necesitamos para hallar el área total de la superficie: plg PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

3 jemplo 3 l cono de la derecha tiene las medidas que se incluyen en la figura. uáles son el área de la superficie lateral y el volumen del cono? l volumen de un cono es el mismo que el volumen de cualquier pirámide: V = 1 3 b h. La única diferencia es que la base es un círculo, pero como sabemos calcular el área de un círculo ( = πr 2 ), hallamos el volumen como se muestra a la derecha. V = 1 3 b h alcular el área de la superficie lateral de un cono es una cuestión diferente. Si pensamos en un cono como en un sombrero de cumpleaños para niños, podemos imaginar cortarlo y abrirlo para que quede plano. Si lo hiciéramos, hallaríamos que el cono es, en realidad, un sector de un círculo: no del círculo que forma la base del cono, sino un círculo cuyo radio es la altura de inclinación del cono. Usando razones, podemos obtener la fórmula para el área de la superficie lateral del cono, S = πrl, donde r es el radio de la base y l es la altura de inclinación. n este problema, tenemos r, pero no tenemos l. Hállala tomando una sección transversal del cono para crear un triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo son de 11 cm y de 4 cm, y l es la hipotenusa. Usando el Teorema de Pitágoras, podemos calcular l 11.7 cm, como se muestra abajo a la derecha. hora, podemos calcular el área de la superficie lateral: S = π(4)(11.7) cm 2 ( ) h = 1 3 πr2 = 1 3 ( π 42 ) 11 ( ) = 176π = π cm l 11 cm 4 cm 11 cm 4 cm l = l = l 2 l 2 = 137 l = cm jemplo 4 La esfera de la derecha tiene un radio de 6 pies. alcula el área de superficie y el volumen de la esfera. 4 omo las esferas están relacionadas con los círculos, deberíamos esperar que las fórmulas para el área de superficie y el volumen incluyan π. l área de superficie de una esfera con radio r es 4πr 2. ebido a que sabemos que el radio de la esfera es 6, S = 4π(6) 2 = 144π pies 2. Para hallar el volumen de la esfera, usamos la fórmula V = 4 3 πr3. Por lo tanto, V = 4 3 π(6)3 = π 3 = 288π pies 3. 6' Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

4 Problemas 1. La figura de la derecha es una pirámide con base cuadrada. alcula su área de superficie y su volumen. 9 cm 2. Otra pirámide, congruente con la del problema anterior, está pegada a la parte inferior de la primera pirámide, de modo que sus bases coinciden. uál es el nombre del nuevo sólido? alcula el área de superficie y el volumen del nuevo sólido. 7 cm 3. Un pentágono regular tiene una longitud de lado de 10 plg. alcula el área del pentágono. 4. l pentágono del problema anterior es la base de una pirámide recta con una altura de 18 plg. uál es el área de superficie y el volumen de la pirámide? 5. uál es el área de superficie total y el volumen del cono de la derecha? 5 pies 6. Un cono entra perfectamente dentro de un cilindro, tal como se muestra. Si el volumen del cilindro es de 81π unidades cúbicas, cuál es el volumen del cono? 12 pies 7. Una esfera tiene un radio de 12 cm. uáles son el área de superficie y el volumen de la esfera? alcula el volumen de cada figura. 15 cm m 10 cm 36 pies 36 pies 4 m 4 m 12 cm 40 pies 25 pies plg 3.5 plg 12.1 m 2 m 5 m 6.3 m 2015 PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

5 pies 11 cm 8 cm 11 cm 2 pies 4 pies 4 cm plg 5 plg 13 plg 11 cm 12 plg 10 plg 1.0 m plg m 8 cm 2.6 m 16 plg 16 plg 18 m cm 5 cm 7 plg 6.2 cm 8.3 cm 2 cm 8 plg 8 plg 26. alcula el volumen del siguiente sólido. 27. alcula el volumen del sólido restante luego de que se lo atraviesa con un agujero de un diámetro de 4 mm. 14 pies 18 pies 35 pies 9 pies 10 mm 15 mm 8 mm alcula el área total de la superficie de las figuras de los problemas de volumen anteriores. 28. Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema 19 Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

6 Utiliza la información dada para calcular el volumen del cono. 40. radio = 1.5 plg 41. diámetro = 6 cm 42. área de base = 25π altura = 4 plg altura = 5 cm altura = circunferencia 44. diámetro = área lateral = 12π del base = 12π altura de radio = 1.5 altura = 10 inclinación = 10 Utiliza la información dada para calcular el área lateral del cono. 46. radio = 8 plg 47. altura de 48. área de base = 25π altura de inclinación = 10 cm altura de inclinación = 1.75 plg altura = 8 cm inclinación = radio = 8 cm 50. volumen = 100π 51. volumen = 36π altura = 15 cm altura = 5 radio = 3 Utiliza la información dada para calcular el volumen de la esfera. 52. radio = 10 cm 53. diámetro = 10 cm 54. circunferencia del gran círculo = 12π 55. área de 56. circunferencia del 57. área de superficie = 100 superficie = 256π gran círculo = 20 cm Utiliza la información dada para calcular el área de superficie de la esfera. 58. radio = 5 plg 59. diámetro = 12 plg 60. circunferencia del gran círculo = volumen = circunferencia del 63. volumen = 9π 2 gran círculo = π 2015 PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

7 Respuestas 1. V = 147 cm 3, S cm 2 2. Octaedro, V = 294 cm 3, S cm plg 2 4. V = plg 3, S plg 2 5. V pies 3, S = 90π pies π unidades cúbicas 7. S = 576π cm 2, V = 2304π cm m cm pies m m m pies cm cm plg plg cm m m m cm cm plg pies mm m cm pies m π + 20π m pies π cm cm plg plg plg pies π 9.42 plg π cm π unidades π unidades π unidades unidades π plg π cm π unidades π cm unidades unidades π cm π cm π unidades π 3 unidades unidades unidades π unidades π unidades unidades unidades π 3.14 unidades π unidades 2 Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

8 OORNS N UN SFR y urante el año, los alumnos han alternado su estudio entre objetos bidimensionales y tridimensionales. sta sección aplica dicho estudio a la geometría en un globo terráqueo. Los alumnos aprenden términos asociados con el globo terráqueo (longitud, latitud, cuador, gran círculo), cómo se divide el globo y cómo localizar las ciudades en él. demás, pueden calcular la distancia entre dos ciudades con la misma latitud. Los alumnos también advierten que algunos de los hechos que son verdaderos en superficies planas cambian en una superficie curva. Por ejemplo, es posible que, en una esfera, haya un triángulo con dos ángulos rectos. jemplo 1 Si nnapolis, Maryland, está aproximadamente a 75 al oeste del meridiano de Greenwich y a 38 al norte del cuador, y Sacramento, alifornia, está aproximadamente a 122 al oeste del meridiano de Greenwich y a 38 al norte del cuador, haz un cálculo aproximado de la distancia entre las dos ciudades. (l radio de la Tierra es de aproximadamente 4000 millas.) Sacramento, nnapolis, M Las dos ciudades están en la misma latitud, de modo que ambas están en la circunferencia del círculo sombreado. l ángulo central que conecta ambas ciudades es de = 47. llo significa que la longitud de arco entre las dos ciudades es de la circunferencia del círculo. Para hallar la circunferencia sombreada del círculo, debemos hallar el radio del círculo sombreado. paralelo 38 cuador O r R Si miramos una sección transversal del globo, vemos algo familiar: triángulos. n el diagrama, R es el radio de la Tierra, mientras que r es el radio del círculo sombreado. omo el círculo sombreado está a 38 al norte, m O = 38º. omo las líneas de latitud son paralelas, también sabemos que m O = 38. Usamos la trigonometría para resolver r, como se muestra a la derecha. ste es el radio del círculo en el que se encuentran ambas ciudades. Luego, hallamos la fracción de su circunferencia, que es la distancia,, entre ambas ciudades. Por lo tanto, las ciudades están aproximadamente a 2586 millas de distancia. cos 38 = r R cos 38 = 2015 PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría r 4000 r = 4000 cos 38 r 3152 = = ( 2 π r ) ( 2 π 3152 ) 2586 millas

9 Problemas 1. Lisboa, Portugal, también está 38 al norte del cuador, pero se encuentra a 9 al oeste del meridiano de Greenwich. uán lejos está nnapolis, M, de Lisboa? 2. uán lejos está Sacramento,, de Lisboa? 3. Port lizabeth, Sudáfrica, está a alrededor de 32 al sur del cuador y a 25 al este del meridiano de Greenwich. Perth, ustralia, también está a alrededor de 32 al sur, pero a 115 al este del meridiano de Greenwich. qué distancia están Port lizabeth y Perth? Respuestas millas millas millas Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

10 TNGNTS Y SNTS n esta lección, los alumnos consideran las longitudes de los segmentos y las medidas de los ángulos que se forman cuando las tangentes y las secantes se cortan dentro y fuera de un círculo. Recuerda que una tangente es una recta que interseca el círculo en exactamente un punto. Una secante es una recta que interseca el círculo en dos puntos. omo en el caso anterior, las explicaciones y las justificaciones de los conceptos dependen de los triángulos. onsulta el recuadro de puntes de matemáticas de la Lección jemplo 1 I n el círculo de la derecha, miy = 60 y mn = 40. Qué es m IPY? Las dos rectas, I y YN, son secantes, dado que ambas intersecan el círculo en dos puntos. uando las dos secantes se cortan en el interior del círculo, las medidas de los ángulos que se forman son, cada una, la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados. Por consiguiente, m IPY = 1 2 (miy + mn ) dado que IY y N son los arcos interceptados para este ángulo. ntonces: 60 Y P N 40 m IPY = 1 2 (miy + mn ) = 1 2 ( ) = 50 jemplo 2 n el círculo de la derecha, mo = 140 y mrh = 32. Qué es m O? sta vez, las secantes se intersecan fuera del círculo en el punto. uando esto sucede, la medida del ángulo es la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. ntonces: R H 32 m O = 1 2 (mo mrh ) = 1 2 = 54 ( ) O PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

11 jemplo 3 MI y MK son tangentes al círculo. milk = 199 y MI = 13. alcula mik, m IMK, y la longitud de MK. K M 13 uando las tangentes intersecan un círculo, obtenemos un resultado similar al que obtuvimos con las secantes. quí, la medida del ángulo nuevamente es la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. Sin embargo, antes de poder hallar la medida del ángulo, tenemos que hallar mik. Recuerda que hay un total de 360 en un círculo, y aquí el círculo está dividido en solo dos arcos. Si milk = 199, entonces mik! = 360º 199º = 161º. hora, podemos hallar m IMK siguiendo los pasos incluidos a la derecha. L 199 m IMK = 1 2 (milk mik ) = 1 2 = 19 I ( ) Por último, cuando dos tangentes se intersecan, los segmentos desde el punto de tangencia hasta el punto de tangencia son congruentes. Por lo tanto, MK = 13. jemplo 4 n la figura de la derecha, O = 20, NO = 6, y NU = 8. alcula la longitud de UT. N U O Ya hemos visto qué sucede cuando las secantes se intersecan dentro del círculo. (Lo hicimos cuando consideramos las longitudes de las partes de las cuerdas que se intersecan. La cuerda era solo una porción de la secante. onsulta el recuadro de puntes de matemáticas de la Lección ) hora, tenemos secantes que se intersecan fuera del círculo. uanto esto sucede, podemos escribir NO N = NU NT. n este ejemplo, no conocemos la longitud de UT, pero sí sabemos que NT = NU + UT. Por lo tanto, podemos escribir y resolver la ecuación de la derecha. NO N = NU NT T ( ) = 8 (8 +UT ) 156 = UT 92 = 8UT UT = 11.5 Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

12 Problemas n cada círculo, es el centro y es tangente al punto del círculo. alcula el área de cada círculo º 18 45º n la figura de la derecha, el punto es el centro y m = 55º. uál es el área del círculo? 5 5 n los siguientes problemas, es el centro del círculo. alcula la longitud de F dadas las longitudes incluidas abajo. F 10. = 14, = = 35, = F = 5, F = F = 9, F = n R, si = 2x 7 y 15. n O, MN PQ, = 5x 22, calcula x. MN = 7x + 13, y PQ = 10x 8. alcula PS. N P x R x M T O S Q 16. n, si = 5 y 17. n J, el radio JL y la T = 2, calcula T. cuerda MN tienen un largo de 10 cm. alcula la 5 distancia de J a MN. T 2 L 10 J 10 M N 2015 PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría

13 18. n O, O = 13 y OT = Si es tangente al círculo y alcula. H GI, es GH ~? emuestra tu respuesta. 13 O 5 T G H I 20. Si H biseca a GI y es tangente al círculo en el punto, y GI son paralelas? emuestra tu respuesta. omputa el valor de x xº 25º P xº 80º 148º xº 40º 41º 43º xº 15º 20º n F, m = 84º, m = 38º, m = 64º, m = 60º. alcula la medida de cada ángulo y arco. 25. m 26. m 27. m m m m F Si m = 212, qué es m? 32. Si m = 47 y m = 47, qué es m? 33. Si m = 3 m, qué es m? 34. Si m = 60, m = 130, y m = 110, qué es m? 35. Si RN es una tangente, RO = 3, y R = 12, cuál es la longitud de RN? R O N Guía para padres con práctica adicional 2015 PM ducational Program. ll rights reserved.

14 36. Si RN es una tangente, R = 4x, RO = x, y RN = 6, cuál es la longitud de R? N U 37. Si LT es una tangente, LU = 16, LN = 5, y L = 6, cuál es la longitud de LW y de NU? 38. Si TY es una tangente, T = 20, UT = 4, y T = 6, cuál es la longitud de y de? L U T Y T W Respuestas π unidades π unidades π unidades π unidades π unidades π unidades π unidades π unidades unidades cm Sí, GH (reflexivo). es perpendicular a dado que es tangente, entonces GH, porque todos los ángulos rectos son congruentes. ntonces, los triángulos son similares por ~. 20. Sí. omo H biseca a GI, también es perpendicular a ella (LLL). omo es una tangente, es un ángulo recto. Por consiguiente, las rectas son paralelas, puesto que los ángulos correspondientes son ángulos rectos y todos los ángulos rectos son iguales LW = 40 3 y NU = = 22 3 y = PM ducational Program. ll rights reserved. ore onnections en español, Geometría