TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Transcripción

1 1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30 E, 40º N)..- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sobre una esfera. Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43 O, 43º N), Barcelona (5º 50 E, 41º 4 N) y Las Palmas (11º 44 O, 8º 9 N). 3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a = 60º 00 31, b = 137º 0 40, c = 116º 00 3 b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50, c = 67º38, c. Tres ángulos: A = 70º 00 5, B = 131º 10 15, C = 94º d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos a = 64º 4 03, b = 4º 30 10, C = 58º 40 5 e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos c = 116º 1 05, A = 70º 51 15, B = 131º 0 6 f. Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos a = 58 º46, b = 137 º0 50, B = 131º 5 33 g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos a = 70º, B = 119º, A = 76º 4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54 54, a - b = 13º Resolver, si es posible, los siguientes triángulos esféricos rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07 13, C=59º b) b=167º 03 38, B=157º c) a=11º 4 36, b=76º Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado a y decir si es interior o exterior al triángulo. 7.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

2 b=54º10' A=84º30' C c=104º' B a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C. 8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: 1) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. ) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa. 9.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a) b) sec A - sec a = 1 c) cos (a/) sen (A/) = Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40º 4 ; longitud: Oeste 3º 41 Tokio latitud: Norte 35º 40 ; longitud: Este 139º 45 y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide: a) Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? b) A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30. Sobrevuela el mencionado avión el Círculo Polar Ártico? 11.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geográficas del punto donde se encontrará el avión al cabo de 3 horas de vuelo. Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 4 latitud N, 3º 41 longitud O Coordenadas geográficas de Nueva York: 40º 45 latitud N, 74º longitud O Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avión: 6371 km Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 1.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º35' Norte con velocidad de 0 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 36º5 Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en dirección Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha. NOTA: El arco de un minuto, de longitud 185 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo Un barco que parte del punto A (latitud 36º50' N. y longitud 76º0' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50º 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida Resolver el triángulo esférico tal que: A = 68º 39 07, B = 74º 07 1, a = 51º Un navío parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia máxima. Las coordenadas geodésicas de ambos puntos son: Longitud = 55º48'10'' E Longitud = 0º30'40'' E A B Latitud = 55º45'13'' N Latitud = 48º50'0'' N Calcular la distancia recorrida por el navío y el rumbo del mismo (ángulo CAB, siendo C el polo más próximo A). Nota: Radio de la tierra R 6371 km Resolver el triángulo esférico de que se conocen los datos: a=76º00 00 ; A=70º00 00 ; B=119º Resolver el siguiente triángulo esférico rectángulo: A = 90º, b = 46º 46 04, B = 57º Resolver el triángulo esférico rectángulo (Â = 90º) sabiendo que: ˆB = 157º b = 167º Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitúan 3 puntos, A, B y C, vértices de un triángulo esférico. Los ángulos en A y B valen Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 respectivamente A = 70º y B = 119º, y el lado opuesto al ángulo A tiene como valor a = 76º. Se pide calcular la distancia esférica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a. 0.- Dos triángulos esféricos tienen en común los elementos siguientes: a=51º4, A=68º39, B=74º07. Calcular el lado b en ambos triángulos y analizar si ambas soluciones son válidas. 1. Resolver el siguiente triángulo esférico, sabiendo: a = 79º 48, b = 53º 1 y A = 110º.- a) Resolver el triángulo esférico rectilátero e isósceles tal que b=c=60º00 00 b) Determinar los ángulos de un triángulo esférico equilátero cuya área sea igual a la mitad del área encerrada por una circunferencia máxima 3.- Dadas las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades: Santiago de Compostela: 4º5 N ; 8º33 O Madrid : 40º4 N ; 3º41 O Girona: 41º59 N ; º49 E Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular: a) Distancias esféricas entre estas ciudades b) Superficie del triángulo esférico que tiene por vértices dichas ciudades. 4.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 0º 31 N, longitud 70º 11 E) y llegar al puerto B (latitud 4º N, longitud 10º 45 W). Calcular: a) La distancia AB (llamada distancia ortodrómica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km. b) El rumbo inicial (ángulo PAB, donde P es el Polo Norte) c) El rumbo final (ángulo 180º- PBA donde P es el Polo Norte) 5.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (A = 90), sabiendo que: a = 143º 1 58 y b = 167º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 6.- Un avión vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de m. De Madrid sale con rumbo Noroeste y vuela.000 km hasta llegar a un punto en el cual vira para dirigirse directamente a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son Madrid: 3º 41' Oeste; 40º4' Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte (La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Se pide: a). Distancia entre Madrid y Nueva York. b). Distancia recorrida por el avión. 7.- Un avión parte de un lugar cercano a Nueva York (74º longitud Oeste; 40º45 latitud Norte) con rumbo 30º10 (dirección Norte y Oeste). Dar las coordenadas del punto de su recorrido más cercano al Polo Norte. 8.- Resolver el triángulo esférico rectilátero a=90º, A=36º 5 08, c=10º 00 00, situado sobre una esfera de 5 km de radio. Calcular: a) La superficie que ocupan él y su triángulo polar. b) Hallar la mediana esférica del triángulo dado que parte del vértice B. c) Hallar la distancia esférica desde el vértice A al vértice C, así como desde el vértice B al lado b. 9.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Si A=90º, entonces tgc cosa = senb cotgb. a + c a c b) Si A=90, entonces: = b tg tg tg. c) Si C=90º, entonces cosa senc = sen (c+a) sen (c-a) Demostrar que la bisectriz esférica de un ángulo de un triángulo esférico, divide al lado opuesto en dos arcos cuyos senos son proporcionales a los senos de los lados contiguos En un triángulo esférico se verifica que a+b=180. Calcular el arco de ciclo que es la mediana correspondiente al lado c. 3.- En el triángulo esférico rectilátero en el que c=90 ; obtener la altura esférica correspondiente al lado c en función de los otros dos Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 lados Expresar en función de los lados de un triángulo esférico el producto sena senb senc Demostrar que en todo triángulo esférico se verifica que: < < a + b = 180º A + B = 180º. > > 35.- Demostrar que si dos ángulos de un triángulo esférico son rectos, los lados opuestos a estos ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo está medido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de un triángulo esférico son rectos, demuéstrese que la superficie esférica del triángulo es un octante de la esfera En un triángulo esférico rectángulo la suma de los catetos vale 100º, la hipotenusa mide 80º; calcular el valor del cateto más pequeño Si ε es el exceso esférico del triángulo esférico en el que a=b y C=90º, calcular tgε en función de a 38.- Calcular la distancia mínima en km que hubiera tenido que recorrer las naves de Cristóbal colon en su primer viaje y descubrimiento de América. Datos: Considérese como punto de salida la ciudad de Santa Cruz de Tenerife y llegada la isla de S. Salvador en las Bahamas 39.- Calcular el valor del coseno del exceso esférico del triángulo cuyos lados miden a=b= 3 π y c= π Calcular el área del triángulo esférico y el volumen de la pirámide esférica que determina en una esfera de 6cm de radio un triedro Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

7 equilátero cuyos diedros miden 100 y cuyo vértice es el centro de dicha esfera De un triángulo esférico trazado en una superficie esférica cuyo radio es 10 dm se conocen: A = 71º 0 ; B = 119º 5 ; C = 60º 45. Se pide: a) Resolver el triángulo. b) Hallar su área. c) Hallar el volumen de la pirámide esférica cuyo vértice es el centro de la esfera y su base el triángulo dado. 4.- Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden 87 16, , 16 3, 150 y en una esfera de 16 dm de radio En todo triángulo esférico isósceles (b=c), se verifican las relaciones siguientes: a A a) sen = senb sen A a b) cos = senb cos 44.- De un triángulo esférico se conocen: a = 74º 05 00, b = 63º 17 00, A = 113º 4 00 a) Analizar cuántos triángulos esféricos se adaptan a estos datos. b) Resolver el ó los triángulos, según proceda En un triángulo esférico se verifica p=a+b+c=180º. Demostrar que cosa+cosb+cosc= Calcular la distancia en km, entre Madrid y Málaga, siendo las coordenadas de Madrid longitud 3º 41 Oeste y latitud Norte, y las de Málaga Oeste y Norte Resolver el triángulo esférico conociendo el lado a= , la altura h= y la mediana m= que parten del vértice A. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 48.- Determinar los ángulos A y B de un triángulo esférico conocida su diferencia B-A=3º14 y los lados opuestos a=67º5 35 y b=143º En un triángulo esférico rectángulo (A=90º) la suma de los catetos vale 100º y la hipotenusa 80º, calcular los catetos Un avión parte de un punto de la Tierra de coordenadas 40º N, 3º O. Su rumbo es 78º NE, su altitud de vuelo es de m y su velocidad de 610 km/h. Se pide obtener las coordenadas del punto en el que el avión atraviesa el paralelo 30ºN y calcular el tiempo que tarda en llegar a dicho lugar, considerando el radio de la tierra de 6373 km En la Tierra, sea el círculo máximo que pasa por los puntos A (latitud 0º, longitud 60º O) y B (latitud 60º N, longitud 0º) Se pide: a) Distancia en kilómetros entre los puntos A y B. b) Puntos en que dicho círculo máximo corta el Ecuador c) Puntos en que dicho círculo máximo corta el paralelo 60º N Nota: Radio de la Tierra R = 6378 km 5.- Sea el triángulo esférico, situado sobre la superficie de la Tierra, cuyos vértices son el Polo Norte y los puntos B y C de coordenadas: B (longitud: 10º Este, latitud: 40º Norte), C (longitud: 30º Oeste, latitud: 60º Norte) Se pide: a) Resolver el triángulo. b) Calcular la superficie del triángulo Un barco navega 000 km hacia el Este a lo largo del paralelo de latitud 4º Cuál es la longitud del punto de llegada?, si: a) Parte de la longitud 15º O. b) Parte de la longitud 160º E. (Tomar como radio de la tierra 6370 km) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

9 54.- Un barco navega a lo largo de una circunferencia máxima desde la localidad de Dutch Harbor (latitud: 53º 53 N, longitud: 166º 35 O) hasta un punto M (latitud: 37º 50 S, longitud: 144º 59 O). Se pide: a) Calcular la distancia y el rumbo de salida (ángulo que forma la trayectoria con el meridiano del punto de salida indicando polo y dirección Este u Oeste). b) Localizar el punto donde la trayectoria corta al Ecuador. c) Hallar el área del triángulo esférico determinado por el Polo Norte y ambos lugares Un avión parte del aeropuerto de Talavera la Real. Encontrar el rumbo y la distancia para un vuelo a Nueva York. Sabiendo que las coordenadas de Talavera la Real y Nueva York son: Talavera la Real: 6º 46 4' Oeste; 38º5'35 Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º45' Norte (La Tierra se considera una esfera de radio 6371 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Determinar cual es la máxima latitud que alcanza dicho vuelo 56.- Un avión parte de Kopervik (Noruega) hacia Fortaleza (Brasil). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: Kopervik (longitud: 5º 18 E, latitud: 59º 17 N) Fortaleza (longitud: 38º 9 O, latitud: 3º 41 S) Tomando como radio de la tierra R = 6371 km, hallar: a) La distancia entre ambas ciudades. b) La distancia recorrida por el avión que vuela a 10 km de altura. c) Las coordenadas geográficas del punto H en que la trayectoria corta al ecuador Dado el triángulo esférico de ángulos B = 34º49 11 y C = 118º58 36 y siendo c (el lado opuesto al ángulo C), de valor c = 100º. Se pide: a) Hallar la altura esférica sobre el lado a (opuesto al ángulo A) indicando si es interior o exterior al triángulo b) Resolver el triángulo Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 58.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: a) Mediana sobre el lado c. b) Bisectriz del ángulo C a) Hallar la distancia entre Puerto Cabello (Venezuela) (10º 9 N, 68º 00 O) y Cádiz (España) (36º 30 N, 6º 0 O). b) Hallar el rumbo inicial y el rumbo final de un barco que se dirija de Puerto Cabello a Cádiz. c) Calcular la latitud y longitud de la posición del barco cuando haya recorrido 3000 km. d) Si el barco no parase en Cádiz, sino que siguiera navegando por la circunferencia máxima que une ambas ciudades, localizar el punto del recorrido más próximo al polo norte (dar su latitud y longitud). Nota: tomar como radio de la tierra 6370 km Un barco realiza un viaje desde Bergen (Noruega) (60º 4 00 N, 5º E) hasta St. John s (Canadá) (47º N, 5º O). Se pide calcular: a) La distancia entre ambas ciudades. b) El rumbo inicial (ángulo entre el norte del meridiano y la trayectoria medido en sentido de las agujas del reloj). c) La distancia más corta del Polo Norte a la trayectoria Un avión parte de una ciudad A(Cádiz) hacia otra ciudad B(Bristol). Las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: A (longitud: 6º 0 O, latitud: 36º 30 N); B (longitud: º 38 O, latitud: 51º 7 N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades d(a B). b) Sabiendo que las coordenadas geográficas de otra ciudad C(Oviedo) son (longitud: 5º 50 O, latitud: 43º N) y conocidas las distancias: d(a, C) = km, d(b, C) = km, hallar la distancia aproximada a la que pasa el avión de la ciudad C. Nota: tomar, en ambos apartados, el radio de la esfera sobre la que realizar los cálculos R = 6370 km. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 10

11 6.- Un barco sale de un punto A (38º 3 N, 40º 0 O) con un rumbo N 3º 0 E. Tras haber realizado una travesía por una circunferencia máxima entra en un punto B con un ángulo de 43º 15 (43º 15 =ángulo ABN). Se pide, calcular: a) Las coordenadas del punto B. b) La distancia entre A y B 63.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston (EEUU) con dirección a Monrovia (Liberia). Sabiendo que las coordenadas geográficas de dichas ciudades son: Boston (longitud: 71º 03 O, latitud: 43º 3 N) Monrovia (longitud: 10º 49 O, latitud: 6º 0 N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades. b) Hallar la longitud del punto donde la trayectoria corta al Ecuador Desde un punto M de la Tierra situado sobre el meridiano de Greenwich y con latitud 45ºN parte un avión hacia otro punto P. Este punto P equidista del Polo Norte, del Punto M y de un punto Q de coordenadas (65º º E, 45º N). El avión se ve obligado a aterrizar en un punto A, cuando lleva recorridos /3 de su camino, al Este de M. Se considera la Tierra como una esfera 6370 km de radio y que la altitud de vuelo del avión es despreciable frente a esta magnitud. Hallar: a) Las coordenadas geográficas del punto de aterrizaje b) El tiempo que tardó en efectuar éste si llevó una velocidad constante de 800 km/h c) El área del triángulo esférico definido por los puntos M, A y el Polo Norte 65.- Calcular la superficie del triángulo esférico que tiene por vértices las siguientes ciudades Rio de Janeiro (Brasil) (latitud: º54 0 S; longitud: 43º13 59 O) Atenas (Grecia) (latitud: 37º58 40 N; longitud: 3º43 40 E) Kingston (Jamaica) (latitud: 17º59 0 N; longitud: 76º48 0 O) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 11

12 66.- Dadas las coordenadas de las siguientes ciudades: Tokio (Japón): (35º45 50 N; 140º3 30 E) Tahití (Polinesia Francesa): (17º40 00 S; 157º49 34 O) Y conocidas las distancias esféricas entre Tokio y Honolulu (Hawaii) que es de 6.146,81 km y entre Tahití y Honolulu que es de 4.430,31 km. Siendo el radio de la Tierra es de km. Se pide: a) Calcular la distancia esférica entre Tokio y Tahití, expresada en km. b) Calcular la superficie esférica del triángulo formado por Tokio, Tahití y Honolulu. EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver los siguientes triángulos esféricos: 1) A=90º, b=38º 17 46, c=37º ) A=90º, B=5º 38 34, C=50º ) b=114º 31 18, B=119º 4 34, C=7º ) A=11º 4 3, B=61º 1 40, a=7º ) A=161º 16 3, B=16º 57 15, a=163º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

13 1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30 E, 40º N). O RP 50º RT P 360º π R P π R P 1º L =. 1º L 360º Hay que hallar el radio del paralelo de Pequín R P. O sen 50º Llamando R T al radio de la tierra (6371 km) y llamando O y O a los centros del ecuador y del paralelo de Pequín P, respectivamente, se tiene que: O' P R P = = R P = R T sen 50º = km. OP R T Sustituyendo en π R P 1º L =, se obtiene L= km. 360º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 13

14 .- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como en el caso de un triángulo situado sobre una esfera. Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43 O, 43º N), Barcelona (5º 50 E, 41º 4 N) y Las Palmas (11º 44 O, 8º 9 N). Planteamiento: N Con las coordenadas geográficas de las tres ciudades podemos C calcular las distancias entre ellas, lo que nos proporciona el valor de los lados del triángulo esférico PBN determinado por B P las tres ciudades. Con los tres lados y aplicando el teorema del coseno podemos calcular los tres ángulos de dicho triángulo necesarios para la obtención del área pedida. En el triángulo esférico CBN (Coruña, Barcelona, Polo Norte): CN = colatitud de la Coruña = 90º - 43º = 46º 38 BN = colatitud de Barcelona = 90º - 41º 4 = 48º 36 Ángulo CNB= long. Coruña + long. Barcelona = 4º º 50 = 10º 33 Por el teorema del coseno: coscb = coscn cosbn + sencn senbn cos(cnb) = 0, CB=8º Análogamente en el triángulo CNP (Coruña, Las Palmas, Polo Norte): CN = Colatitud de la Coruña = 90º - 43º = 46º 38 PN= colatitud de Las Palmas = 90º - 8º 9 = 61º 51 Ángulo PNC = long. Las Palmas - long. Coruña = 11º 44-4º 43 = 7º 1 Por el teorema del coseno: coscp = coscn cospn + sencn senpn cos(pnc) = CP=16º Y para el triángulo PBN (Las Palmas, Barcelona, Polo Norte): PN= colatitud de Las Palmas = 90º - 8º 9 = 61º 51 BN = colatitud de Barcelona = 90º - 41º 4 = 48º 36 Ángulo PNB = long. Las Palmas + long. Barcelona = 11º º 50 = 17º 34 Por el teorema del coseno: Cos PB = cos PN cos BN + sen PN sen BN cos(pnb) = PB= 19º Ahora calculamos los ángulos del triángulo PBN. (Para facilitar la notación les vamos a designar por la letra de la ciudad, es decir: P= ángulo(cpb); B= ángulo (PBC); C = ángulo (BCP)) Por el teorema del coseno cos CB - coscp cos PB cos P = = P = sencp senpb cos CP - coscb cos PB cos B = = B = sencb senpb 4º 8'1.06" 54º 53' 0.3" Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 14

15 cos PB - coscp coscb cos C = = C = 10º sencp sencb 6' 4.81" Así, el exceso esférico es E = P + B + C 180º = 1º , al ser un valor muy pequeño nos indica que el triángulo tiene poca deformación con respecto al triángulo plano PBC. π 6370 El área es S = (1º 07' 6.19" ) = ,056 km 180º Nota: del triángulo PCB hemos calculado todos sus elementos y conviene comprobar que los cálculos son correctos: sencb sencp senpb Comprobación: = 0, ; = 0, ; = 0, senp senb senc Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 15

16 3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a = 60º 00 31, b = 137º 0 40, c = 116º 00 3 b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50, c = 67º38, c. Tres ángulos: A = 70º 00 5, B = 131º 10 15, C = 94º d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos a = 64º 4 03, b = 4º 30 10, C = 58º 40 5 e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos c = 116º 1 05, A = 70º 51 15, B = 131º 0 6 f. Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos a = 58 º46, b = 137 º0 50, B = 131º 5 33 g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos a = 70º, B = 119º, A = 76º a) Aplicando el teorema del coseno: cos a cosbcosc cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos A = = senb senc 0, A=73º Análogamente: cosb cos a cosc cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B cos B = = - sena senc 0, B=131º3 45 cosc cos a cosb cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C cosc = = - sena senb 0, C=96º56 15 Comprobación: Usando el teorema del seno obtenemos información acerca de la validez o precisión de los resultados. sena senb senc = 0,905355; = 0,905353; = 0, sena senb senc (5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error menor que 1 segundo) b) Se trata de un triángulo rectilátero en a = 90º luego su polar es rectángulo en A p = 90º y los elementos conocidos de dicho polar son: A p =180º- a = 90º; B p =180º- b =131º 10 ; C p = 180º- c = 11º Aplicamos las reglas del pentágono de Neper al triángulo polar: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 16

17 C p a p a p bp B p A p =90º C p A p c p B p 90º-c p 90º-b p cosa p = cotgb p cotgc p = tg ( B ) tg( ) 1 p C p cosb p =sen(90º-b p )senc p = cosb p senc p b p = 135º 54. cosc p =sen(90º-c p )senb p = cosc p senb p = 0, a p = 68º cos B p cosb p = = -0, sen( C ) p cosc p cosc p = = -0, sen( B ) c p = 10º Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos sena senb senc = 0,933058; = 0,933060; = 0, sena senb senc Y ahora calculamos los datos del triángulo dado que nos faltaban: A = 180º - a p = 111º (si queremos dar solo hasta los minutos A 111º 5 ) B = 180º - b p = 44º (si queremos dar solo hasta los minutos B 44º 37 ) C = 180º - c p = 59º (si queremos dar solo hasta los minutos C 59º 38 ) c) Aplicando el teorema del coseno para ángulos: cos A + cos Bcos C cos A = cos Bcos C + senbsenc cos a cos a = = 0, senbsenc a=57º Análogamente, cos B + cos A cos C cos B = cos A cos C + senasenccos b cos b = = 0, senasenc b=137º1 51 cos C + cos A cos B cos C = cos A cos B + senasenbcos c cos c = = 0, senasenb c=115º57 16 p Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 17

18 sena senb senc Comprobación: = 0,90369; = 0,90369; = 0, sena senb senc d) Aplicando el teorema del coseno: cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C = 0, c = 50º Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para calcular A y B: cos a cosbcosc cos A = = -0, A = 93º senb senc cosb cos a cosc cos B = = 0, B = 48º sena senc sena senb senc Comprobación: = 0,90405; = 0,90405; = 0, sena senb senc e) Aplicando el teorema del coseno para ángulos: cos C = cos A cos B + senasenbcos c = 0, C = 95º 3'1'' Y ahora teorema del coseno para los ángulos de nuevo para calcular a y b: cos A + cos B cosc cos a = = 0, a = 58º senb senc cos B + cos AcosC cosb = = -0, b = 137º sena senc sena senb senc Comprobación: = 0,901456; = 0,901457; = 0, sena senb senc f) Por el teorema del seno: sen a sen b A = 69º 08' 09'' < B a < b = sen A = sen A sen B A = 110º 51' 51'' < B a < b Las dos soluciones son válidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos soluciones. Resolvemos ahora dos triángulos esféricos: Uno para A 1 =69º y otro para A =110º Datos conocidos del 1º triángulo: A 1 = 69º08 09, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A1 + B cos c1 a+ b c 1 tg = tg = 1, = 56º c1 = 113º 54 1 A1 B cos a b cos C1 C 1 tg = = 1, = 46º C1 = 9º a + b A1 + B cos tg Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 18

19 sena senb senc Comprobación: = = 0,915143; 1 = 0, sena senb senc 1 Datos conocidos del º triángulo: A =110º51 51, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A + B cos c a + b c tg = tg = 3, =75º c = 150º A B cos a b cos C C tg = = 3, = 73º C = 147º a + b A + B cos tg sena senb senc Comprobación: = = 0,915143; = 0, sena senb senc g) Por el teorema del seno: senasenb sen70º sen119º senb = = = 0, sena sen76º b1 = 57º53'6" b =.pero al ser B>A ha de verificarse que b > a =70º, b = 180º 57º53'6" = 1º6'34" luego, en este caso b = b = 1º 6 34 y solo hay una solución válida. Aplicando las analogías de Neper: A + B cos c a + b c tg = tg = 1, = 5º 54 7 c= 105º A B cos a b cos C C tg = = 1, = 48º 16.4 C= 96º a + b A + B cos tg sena senb senc Comprobación: = = 0,968460; = 0, sena senb senc Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 19

20 4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54 54, a - b = 13º Dividiendo miembro a miembro en las analogías de Neper: a + b A B tg cos = c A + B a + b A + B a + b tg cos tg tg tg = = a b A B a b A B tg 6º 50' 5'' tg sen tg tg = c A + B tg sen a + b a + b tg = = 39º1' 6''.67 a + b = tg 68º 57' 7'' tg 1º 0' 33'' 78º ' 53''.34 Por hipótesis, a = se obtiene: b = a b = 13º 45º 51' 5'' 3º 11' '' 40' 50' '.. Resolviendo el sistema lineal a + b = a b = 13º 78º ' 53' '.34 40' 50'', Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 0

21 5.- Resolver, si es posible, los siguientes triángulos esféricos rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07 13, C=59º b) b=167º 03 38, B=157º c) a=11º 4 36, b=76º a) cos(90º-c) = senasenc = 0, c= 48º00'33'' < a C< A c = 48º 00'33'' 131º 59'7'' cosa =cotgbcotgc B = 50º tgb = = 1, cos atgc cosc=cotga tgb tgb = tga cos C = 0, b= 41º5'14'' sena senb senc Comprobación: = 0, ; = 0, ; = 0, sena senb senc b) sena=senb/senb = 0, a1 = 36º 38'0'' < b A < B a = 143º 1'58'' < b A < B No podemos rechazar ninguno de los valores obtenidos luego: Existen dos soluciones de tal forma que b es obtuso: tg b c = 34º 34' 34'' sen c = = , ya que al ser a 1 aguda, c 1 y b han de tg B c1 = 145º 5' 6'' ser ambos obtusos. cos B C = 7º 00'07'' senc = = 0, cos b C1 = 107º 59'53'', ya que al ser a 1 aguda, C 1 y B han de ser ambos obtusos. Recuerda que a catetos obtusos corresponden ángulos obtusos e hipotenusa aguda. Comprobación: sena1 sena = sena sena = 0, ; senb senb senc1 senc = 0, ; = senc senc = 0, c) Por el teorema del seno: sen bsen A sen 76º 44'15''sen 90º sen B = 1,0551 sen a = sen11º 4'36'' = No existe un triángulo esférico con los datos dados. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

22 6.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado a y decir si es interior o exterior al triángulo. B a C H h b h c A Si la altura sobre el lado a es interior (h), al triángulo ABC, entonces h, B y C han de ser todos agudos o todos obtusos, pues son ángulos que se oponen al cateto h, en los triángulos rectángulo en que h),divide al triángulo ABC. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h, B y (180º- C) agudos u obtusos simultáneamente es decir, B y C han de tener distinto carácter. Por tanto, hemos de calcular primero los ángulos B y C: cosb cosa cosc cosb= = B = 34º 49' 11'' sena senc cosc cosa cosb cosc= = C =118º 58' 36'' sena senb Luego al ser B = 34º < 90º y C = 118º > 90º, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H 34º 1' 59'' senh= senbsenc = h = 145º 47' 1'' > 90º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

23 7.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: a) Altura sobre el lado c. b) Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C. a) Previamente obtenemos a: cosa = cosbcosc + senbsenc cosa= - C a = 94º b=54º10' h Se verifica que al ser b<a<c, entonces B B<A<C, luego Ay B son ambos agudos y, A=84º30' H c=104º' por tanto, la altura es interior y de carácter agudo. Se descompone el triángulo en dos triángulos rectángulos y obtenemos la altura por el teorema del seno en AHC: senh = senb.sena= h = 53º b=54º10' A=84º30' C m c/ c=104º' B b) Puesto que, en el triángulo de la izquierda, conocemos dos lados y el ángulo comprendido, utilizamos el teorema del coseno: cosm = cosbcos(c/) + senbsen(c/)cosa = 0, (con c/ = 5º 11 ) luego la mediana es: m = 65º c) Calculamos, en primer lugar, el ángulo C en el triángulo ABC, aplicando el teorema del coseno: cosc cosacosb cos C = C = 104º50'30'' senasenb Hallamos ahora el ángulo AZC (que designamos Z) en el triángulo ACZ aplicando el teorema del b=54º10' A=84º30' C C/ Z z c=104º' B coseno para ángulos: cos Z= -cosa cos C + sena sen C cosb = 0, Z = 66º Y, por último aplicamos el teorema del coseno para obtener la bisectriz z: C C cos A + cos Z cos cos A= -cosz cos + senz sen cosz cos z = = 0, senz sen C la bisectriz es z = 61º C Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

24 8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. b) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa. a) Por el pentágono de Neper: cosb=sen(90º-b)senc=cosbsenc cos B b < 90º y B<90º senc = > 0 cos b b>90º y B>90º b y B ambos agudos o ambos obtusos. b) Ahora es: cosa=sen(90º-b)sen(90º-c)=cosbcosc b< 90º cosb > 0 cos a = cos b cos c > 0 a < 90º c< 90º cosc > 0 b > 90º cosb< 0 cos a = cos b cos c > 0 a < 90º c > 90º cosc< 0 b< 90º cosb > 0 cos a = cos b cos c < 0 a > 90º c > 90º cosc< 0 Recíprocamente: a < 90º cos a = cos b cos c > 0 signo(cos b) = signo(cos c) b y c son ambos agudos o ambos obtusos. a 90º cos a cos b cos c 0 signo(cos b) signo(cos c) > = < b y c son de distinto cuadrante. (Esta demostración se puede ver también en los apuntes de teoría, publicados en la Escuela)) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

25 9.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a) b) sec A - sec a = 1 c) cos (a/) sen (A/) =1. Equilátero: los tres lados iguales a=b=c Y por el teorema del coseno cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A=cos a + sen a cos A Y despejando cos a cos a cos A = sen a a) cos A = = = = (1 cosa)(1 cosa) 1 cosa cosa cos a cosa(1 cosa) cosa(1 cosa) cosa sen a 1 cos a + + b) Por el apartado cosa 1 1+ cosa 1 anterior: sec A seca = = = = 1 cosa cosa cosa cosa cosa c) Sabemos que: a A cos sen α 1+ cosα cos = α 1 cosα y sen = 1+ cosa 1 cos A = = 1+ cosa 1 cos A = cos a 1 = 1+ cosa 1 = 1+ cosa = 1, por el apartado a). 1+ cosa 1+ cosa y así en nuestro caso: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

26 10.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40º 4 ; longitud: Oeste 3º 41 Tokio latitud: Norte 35º 40 ; longitud: Este 139º 45 y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide: a) Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? b) A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30. Sobrevuela el mencionado avión el Círculo Polar Ártico? Planteamiento: N a) Con las coordenadas geográficas de Madrid y Tokio podemos calcular la distancia entre ellas. h M b) La distancia h al Polo Norte se calcula en el P T triángulo rectángulo MPN (donde P es el pie del arco perpendicular a MT por N. c) El valor obtenido para d nos indicará si la trayectoria del avión corta al Círculo Polar Ártico o no. a) Calculamos MT en el triángulo MTN donde: MN= colatitud de Madrid = 90º- 40º 6 = 49º 34 TN= colatitud de Tokio =90º-35º 40 = 54º 0 Ángulo MNT= long. Madrid + long. Tokio = 3º º45 =143º 7 Aplicando el teorema del coseno: cos MT = cosmn costn + senmn sentn cos(mnt)= - 0, distancia de Madrid a Tokio en unidades angulares = MT = 96º Ahora bien, para calcular en unidades lineales la distancia recorrida por el avión hemos de tener en cuenta que vuela a 10 km por encima de la superficie terrestre, luego: π ( ) Distancia recorrida por el avión = d = 96º 48' 43.83" = 10780,3 km 180º b) Para calcular h usamos el triángulo MPN. En él conocemos P = 90º y MN = colatitud de Madrid 49º 34, necesitamos un dato más, por ello calculamos el ángulo M= NMT en el triángulo utilizado en el apartado anterior: Aplicando el teorema del coseno: cos NT cos MN cos MT cos M = = 0, M = 9º 09 37,68 (rumbo senmn senmt Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

27 del avión desde Madrid). El pentágono de Neper correspondiente al triángulo MPN es: sen(90-h) = senm. senmn = 0, MN 1º 46'11.9" h = pero h y su ángulo opuesto 180º - 1º 46'11.9" M P=90º N M han de tener el mismo carácter luego h ha de ser agudo. Por tanto: distancia al Polo N es h = 1º º-MH 90º-h Vamos a aproximar esta distancia en unidades de longitud (km) por la distancia a la vertical del Polo a 10 km de altitud: π ( ) Distancia desde el avión = h = 1º 46'11.9" " = 44,14 km 180º c) Al ser h=1º < (90º-60º30 ) =9º30 (colatitud del Círculo Polar Ártico: SÍ SE SOBREVUELA EL CÍRCULO POLAR Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

28 11.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geográficas del punto donde se encontrará el avión al cabo de 3 horas de vuelo. Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 4 latitud N, 3º 41 longitud O. Coordenadas geográficas de Nueva York: 40º 45 latitud N, 76º longitud O. Utilizar como radio de la esfera sobre la que se mueve el avión: 6371 km. Sea A = Madrid, B = Polo Norte, C = Nueva Cork, C = Punto donde se encuentra el avión al cabo de tres horas de vuelo. En el triángulo esférico ABC: c = 90º - 40º 4 = 49º 36 B a = 90º - 40º 45 = 49º 15 B B = 76º 3º 41 = 7º 19. a a c Teorema del coseno en ABC para hallar b: C C b A cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B = b b = 53º Teorema del coseno de nuevo, para calcular A: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos a-cos b cos c cos A = A = 64º 15' 4'' senb senc Del triángulo AB C, se conocen: A = 64º 15' 4'', c = 49º 36 y puede calcularse fácilmente b pues es la distancia recorrida por el avión en tres horas de vuelo: b ' = 990 km/h 3h = 970 km. En unidades angulares, resulta ser: π 6371 km 360º b' = 970 km b' 6º 4' 35' '.46. Se aplica el teorema del coseno al triángulo AB C, para obtener el lado a, que corresponde a la colatitud de C : cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A a = 43º Latitud del punto C = 90º - 43º = 46º N. Se aplica el teorema del seno al triángulo AB C, para obtener el ángulo B : sen b' sen a' sen b' sen A = sen B' = B' = 36º 10' 17'' sen B' sen A sen a' Nótese que B ha de ser agudo por ser B < B. Longitud el punto C = 36º º 41 = 39º O Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

29 1.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º35' Norte con velocidad de 0 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 36º5 Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen su paralelo en dirección Oeste. Encontrar la distancia en millas que los separa al cabo de 56 horas de marcha. NOTA: El arco de un minuto, de longitud 185 m, se llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se llama nudo. Se conocen en millas las longitudes de los arcos de paralelos AA y BB ; las millas divididas por los cosenos de las latitudes da en minutos los ángulos A NA y B NB, cuya diferencia es el ángulo A NB : N=Polo Norte r R ϕ paralelo A A Greenwich R ecuador B Paralelo B r R= radio de la Tierra R = siendo ϕ la latitud del paralelo. cos ϕ πr Luego la longitud de la circunferencia máxima será: π R = y la distancia recorrida por cos ϕ cada barco expresada en millas o minutos: 0 56 A ' NA = = cos 48º 35' A ' NB' A ' NA B' = NB = minutos que son B' NB = = cos36º 5' 7º =7º En el triángulo A NB se conocen dos lados: NA =90º-48º35 =41º5 NB =90º-36º5 =53º08 y el ángulo comprendido: cos A 'B' = cos NA 'cos NB' + s enna 's ennb'cos A ' NB' = A 'B' = 1º =1º50'47'' 770,79 millas o minutos Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

30 13.- Un barco que parte del punto A (latitud 36º50' N. y longitud 76º0' O.) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50º 00' O. Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida. * Planteamiento C=Polo Norte Latitud = 36º50' A Longitud = 76º0' b A a Greenwich Latitud = 0º B Longitud = 50º Ecuador B En el triángulo esférico CAB: Conocemos CA: (90º Latitud de A). Conocemos CB: (90º Latitud de B). Conocemos el ángulo C. * datos del triángulo C=76º0-50º00 =6º0 b=90º-36º50 =53º10 a=90º Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C cos c = 0 + 0, ,89685 = 0, de donde c = 44º09 57 la distancia recorrida viene dada por L = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km Obteniéndose L = 4911 km Ahora se calcula el rumbo: Queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. sena=sena.senc/senc= , luego el rumbo será 140º7 1 O bien, cos a = cosb cosc + senb senc cos A 0 = 0, , , , cosa cos A = - 0, A = 140º 7 1 (Rumbo medido desde el Norte ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 30

31 14.- Resolver el triángulo esférico tal que: A = 68º 39 07, B = 74º 07 1, a = 51º 4 08 Por el teorema del seno: sen a sen b sen b sen A = sen B = b = 54º 08' 6.7'' 1 b = 15º 51' 33.3'' A < B a < b, luego ambos valores de b son válidos. 1ª solución: A, B, a y b 1 = 54º 08' 6.7' ' c 1, C 1? Aplicando las analogías de Neper: A B A + B cos cos a + b1 + = c1 c1 a b1 tg = tg c1 tg tg = º 55' 17'' A + B A B = cos cos c1 = 45º 50' 34'' y luego teorema del coseno para obtener C 1 : cosc1 cosa cos b1 cosc1 = cosa cos b1 + sena senb1 cosc1 cosc1 = = sena senb1 C 1 =58º 4.9 ª solución: A, B, a y b = 15º 51' 33.3' ' c, C? Aplicando las analogías de Neper: A B A + B cos cos a + b + = c c a b tg = tg c tg tg = º 11'.3'' A + B A B = cos cos c = 17º ' 44.6'' y luego teorema del coseno para obtener C : cosc cosa cos b cosc = cosa cos b + sena senb cosc cosc = = sena senb C = 170º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 31

32 15.- Un navío parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia máxima. Las coordenadas geodésicas de ambos puntos son: Longitud = 55º48'10'' E A Latitud = 55º45'13'' N Longitud = 0º30'40'' E B Latitud = 48º50'0'' N Calcular la distancia recorrida por el navío y el rumbo del mismo (ángulo CAB, siendo C el polo más próximo A). Nota: Radio de la tierra R 6371 km. C=Polo Norte Greenwich a B b A ecuador En el triángulo esférico CAB: Conocemos CA: (90º Latitud de A). b=90º-55º45 13 =34º14 47 Conocemos CB: (90º Latitud de B). a=90º-48º50 0 =41º09 58 Conocemos el ángulo C: C=55º º30 40 =35º17 30 Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C cos c = 0, de donde c = º3 10 la distancia recorrida viene dada por D = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6371 km. Obteniéndose 489 km Ahora se calcula el rumbo: queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. sena=sena.senc/senc= 0,853689, luego el rumbo será 86º55 0 o bien, 93º Por el teorema del coseno: cos a cos b cos c cos a = cosb cosc + senb senc cos A cos A = = -0, senbsenc A = 93º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

33 16.- Resolver el triángulo esférico de que se conocen los datos: a=76º00 00 ; A=70º00 00 ; B=119º00 00 Por el teorema del seno: sen a sen b sen a = sen b = senb =0, sen A sen B sen A b = 64º 34' 08'' b = 115º 5' 5'' >a B > A Aplicando las analogías de Neper: A+ B cos c a + b cos(94º 30') tg = tg = tg(95º 4'56'') = 0, , c = 81º 9' 6'' y luego A B cos( 4º30') cos teorema del coseno para obtener C ó bien: a b cos C cos( 19º 4'55'') tg = = = 0, C= 73º a+ b A+ B cos(95º 4'56'')tg(94º 30') cos tg Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 33

34 17.- Resolver el siguiente triángulo esférico rectángulo: A = 90º, b = 46º 46 04, B = 57º 8 03 A = 90º senb 59º 47'4'' = a1 cos( 90º b) = senb = sena senb sena= = a = ; senb 10º1'36'' = a A=90º > B a > b. Luego, ambas soluciones son válidas. Sen c = cotg B cotg (90 b) = tgb tgb = º 43'34'' = c1 c =, ya que al ser 137º16'6'' = c a1 < 90º y b < 90º, debe ser c1 < 90º. cos B Cos b = sen C sen (90º -b) = sen C cos b senc = = cos b 51º 43'57 '' = C1 C =, pues c 1 y C 1 han de ser ambos agudos o ambos obtusos. 18º16'03'' = C Hay, entonces, dos soluciones: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 34

35 18.- Resolver el triángulo esférico rectángulo (Â = 90º) sabiendo que: ˆB = 157º b = 167º 3 38 Por el teorema del seno: sen a sen b sen Asen B a = 36º38'0'' < b A < B = sen a =. sen A sen B sen b a = 143º 41'58'' < b A < B Resolvemos ahora dos triángulos esféricos: 1ª solución: a 1 =36º38 0 Aplicando las analogías de Neper: A+ B cos c1 a1 + b tg = tg c=145º5 6 A B cos a1 b cos C1 tg = C=107º59 53 a1 + b A+ B cos t g ª solución: a =143º1 58 ; Aplicando las analogías de Neper: A+ B cos c a + b tg = tg c=34º34 34 A B cos a b cos C tg = C=7º00 07 a + b A+ B cos t g Soluciones: a=36º38 0 ; c=145º5 6 ; C=107º59 53 y a=143º1 58 ; c=34º34 34 ; C=7º00 07 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 35

36 19.- Sobre una esfera de radio R = 6370 km se sitúan 3 puntos, A, B y C, vértices de un triángulo esférico. Los ángulos en A y B valen respectivamente A = 70º y B = 119º, y el lado opuesto al ángulo A tiene como valor a = 76º. Se pide calcular la distancia esférica (en km) entre el punto A y el lado opuesto, a. b c d C a B H Lo que se pide en el problema es calcular la altura d sobre el lado a Para calcular d se resuelve el triángulo rectángulo A BH, del que se conocen H=90º y B=119º. Se necesita, por tanto, otro dato y éste puede ser el ángulo C. Para calcular el lado c, se resuelve el triángulo ABC Se tiene un triángulo en el que se conocen dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos. sen a. sen B Aplicando el teorema del seno sen b = = 0, sen a b = b=64º34 9 solución no válida pues B > A b > ( a = 76º ) b=115º5 51 A+ B cos c a+ b tg = tg = 0, c = 81º 9 0 A B cos por el teorema del coseno se obtiene C = 73º 17' 40'' (NOTA: se podía haber calculado directamente C sin calcular c/, ya que en este caso no se utilizará c para calcular la altura esférica) Como C es agudo y B obtuso, el triángulo corresponde a la figura dibujada y la altura es exterior. Ahora hay que resolver el triángulo rectángulo A HB conocidos H,B y c senb. senc Por el teorema del seno sen d = = 0, sen 90º d = 59º5 53 d = 10º7 7 solución no válida puesto que C < H d > (b = 115º 5 51 ) Pasando el ángulo a radianes d = 1, rad distancia= d. R = 6657,461 km Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 36

37 0.- Dos triángulos esféricos tienen en común los elementos siguientes: a=51º4, A=68º39, B=74º07. Calcular el lado b en ambos triángulos y analizar si ambas soluciones son válidas. Calcular el lado b en ambos triángulos. sen a sen b sen a sen B Se aplica el T. del seno: = sen b = sen A sen B sen A b 1 = 54º 08' sen b = 0, son las soluciones buscadas, puesto que tanto una como b = 15º 5' otra verifican: b > a y a + b < 180º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 37

38 1. Resolver el siguiente triángulo esférico, sabiendo: a = 79º 48, b = 53º 1 y A = 110º sen a sen b sen A sen b Se aplica el T. del seno: = sen B = sen A sen B sen a B = 49º 51' 01''<A b<a sen B = 0,76436 B = 130º 08' 59'' No valida Aplicando las analogías de Neper: A+ B cos c a + b cos 49º 51'01'' tg = tg = tg 66º30' = 0,4644 A B cos30º05'30'' cos Luego: c = 49º Para calcular el ángulo C, se aplica el T. del coseno para ángulos: cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c cos C = - ( ) = C = arc cos = 46º Entonces C = 46º Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 38

39 .- a) Resolver el triángulo esférico rectilátero e isósceles tal que b=c=60º00 00 b) Determinar los ángulos de un triángulo esférico equilátero cuya área sea igual a la mitad del área encerrada por una circunferencia máxima a) Rectilátero y b = c = ' 00 '', luego, a = 90. cos a cos b cos c 1 cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos A = = sen b sen c 3 A = ' 16 '' cos b cos a cos c 1 cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B cos B = = sen a sen c 3 B = ' 08 ''= C b) Área de un círculo máximo: π r π r π r Área del triángulo esférico: S = ( A + B + C 180 ) = 180 A + B + C 180 = 90 A + B + C = 70 Por tanto, 3A = 70 A = B = C = 90 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 39

40 3.- Dadas las coordenadas geográficas de las siguientes ciudades: Santiago de Compostela: 4º5 N ; 8º33 O Madrid : 40º4 N ; 3º41 O Girona: 41º59 N ; º49 E Y dado el radio de la Tierra de 6371 km Calcular: a) Distancias esféricas entre estas ciudades b) Superficie del triángulo esférico que tiene por vértices dichas ciudades a) distancia Santiago (S) Madrid (M) triángulo P (polo norte), M, S datos lado m = 90º - 4º5 = 47º08 lado s = 90º - 40º4 = 49º36 ángulo P = 8º33-3º41 = 4º5 solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos m * cos s + sen m * sen s * cos P p=4º3 37 la distancia es d (S,M)= 0, (rad)*6371= 48,547 km distancia Madrid (M) Girona (G) triángulo P, G, M datos lado m = 90º - 41º59 =48º01 lado g = 90º - 40º4 = 49º36 ángulo P = 3º41 +º49 = 6º30 solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos g * cos m + sen g * sen m * cos P p=5º08 3 la distancia es d (M,G)= 0, (rad)*6371= 571,511 km distancia Santiago (S) Girona (G) triángulo P, S, G datos lado s = 90º - 41º59 =48º01 lado g = 90º - 4º5 = 47º08 ángulo P = 8º33 +º49 = 11º solución: aplicando el teorema del coseno cos p = cos g * cos s + sen g * sen s * cos P p=8º5 49 la distancia es d (M,G)= 0, (rad)*6371= 937,404 km p b) Se necesita calcular los ángulos del triángulo SGM del que se conocen los tres lados: m = 8º5 49 s = 5º08 3 g = 4º3 37 Resolviendo el triángulo M = 14º11 53 S = 30º1 30 G = 5º36 5 Ahora se aplica la fórmula de la superficie del triángulo esférico S+G+M = 180º S = (πr /180º) (S+G+M-180º) S = (πr /180º) (0º9 48 ) = ,07 km S S g g P M M g s m p G s P G m G Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 40

41 4.- Un barco ha de salir del puerto A (latitud 0º 31 N, longitud 70º 11 E) y llegar al puerto B (latitud 4º N, longitud 10º 45 W). Calcular: a) La distancia AB (llamada distancia ortodrómica), considerando el radio de la tierra, R=6371 km. b) El rumbo inicial (ángulo PAB, donde P es el Polo Norte) c) El rumbo final (ángulo 180º- PBA donde P es el Polo Norte) Punto A. Longitud = 70º 11 E. Latitud = 0º 31 N. Punto B. Longitud = 10º 45 W. Latitud = 4º N. a) Cálculos del triángulo PBA a = 90º - Latitud de B = (90º - 4º N) = 47º 38. b = 90º - Latitud de A = (90º - 0º 31 N) = 69º 9. P = Longitud A + Longitud B = 70º º 45 = 80º 56. Aplicando el t. del coseno para lados: cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P. Luego: cos p = cos(47º 38 ) cos(69º9 ) + sen(47º 38 ) sen(69º 9 ) cos(80º 56 )= = p = arc cos = 69,804537º Considerando la Tierra esférica con radio R = km, el valor de un ciclo es πr = km. Un grado de ciclo valdrá: / 360º = 111, km por grado La distancia AB en km es 69,80 111, km = 776,6 km. b) Rumbo inicial: PAB cos a - cos b cos p 0, cos A = = = 0,68996 A = 51º1' 6'' sen b sen p 0, Rumbo inicial: A = 51º 1 6 c) Rumbo final: 180º - PBA cosb - cos a cos p cos B = = = B = 80º 1' 56'' sen a sen p Rumbo final: 180º - 80º 1' 56' ' = 99º 47 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 41