Apuntes de Aritmética de la Economía

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1 Apuntes de Aitmética de la Economía 1. Pocentajes Definición: Paa calcula un pocentaje % de una cantidad C, se multiplica dicha cantidad po y se divide po : % de C C Aumento pocentual: consiste en aumenta una cantidad C un %: aumenta C %: C + C = C (1 + ) El númeo (1 + ) es el coeficiente de vaiación, CV. Po tanto, aumenta una cantidad C un % consiste en multiplicala po este coeficiente. Aumenta 120 en un 3%. Coeficiente de vaiación: CV = (1 + 3 ) = 1, ,03 = 123,6 Disminución pocentual: consiste en disminui una cantidad C un %: disminui C %: C C = C (1 ) El númeo (1 ) es el coeficiente de vaiación. Po tanto, disminui una cantidad C un %, consiste en multiplicala po este coeficiente. Disminuye 120 en un 3%. Coeficiente de vaiación: CV = (1 3 ) = 0, ,97 = 116, Pocentajes encadenados: son los sucesivos aumentos o disminuciones pocentuales sobe una cantidad. El coeficiente de vaiación final es el poducto de los coeficientes de vaiación paciales. Cuál es el pecio de un eloj de 50 después de aplicale una subida del 10% de su valo y después una ebaja de oto 10%? aumento 10%: CV 1 = = 1,1 disminución 10%: CV 2 = 1 10 = 0,9 coeficiente de vaiación final CV = CV 1 CV 2 = 1,1 0,9 = 0,99 El pecio final del eloj es 50 0,99 = 9,5 1

2 2. Poblemas con pocentajes En la mayoía de poblemas con pocentajes, habá una cantidad inicial C i, una cantidad final C f y un coeficiente de vaiación. La egla a segui es: C i CV = C f Hoy ha subido el pecio del pan el 10%. Si una baa me ha costado 0,77, cuánto valía aye? C f = 0,77 C i desconocida aumento 10%: CV = = 1,1 C i 1,1 = 0,77 C i = 0,77 1,1 = 0,7 El pecio de la baa de pan aye ea 0,7. He pagado 2 po unas zapatillas que tienen un 30 % de descuento. Cuánto costaban antes de la ebaja? C f = 2 C i desconocida disminución 30%: CV = 1 30 = 0,7 C i 0,7 = 2 C i = 2 0,7 = 60 El pecio de las zapatillas antes de la ebaja ea de 60. Un hotelano vende sus tomates a un mayoista. El mayoista los vende a un intemediaio ganando un 20%. El intemediaio los vende a un almacén ganando un 20%. El almacén los vende a un minoista y éste al público, ganando cada uno de ellos, un 15%. En qué pocentaje se ha aumentado el pecio que cobó el agiculto cuando el poducto sale finalmente al público? 20% 20% hotelano mayoista intemediaio almacén minoista público El coeficiente de vaiación CV que efleja el aumento final, es el poducto de los coeficientes de vaiación finales. 15% CV = 1,2 1,2 1,15 1,15 = 1,90 Se ha aumentado el pecio en un 90,%. 3. Inteés Simple Cuando depositamos una deteminada cantidad C de dineo en un banco, éste a cambio nos da un tanto po ciento % de esa cantidad. Definición: El inteés simple I es el beneficio que poduce una cantidad de dineo C 0, llamada capital inicial, en un tiempo t, expesado en años, a un édito anual del %. C t I = C t = 15% 2

3 El capital final es C + I = C (1 + t) Se colocan 720 euos al % de inteés simple. a) Qué inteeses habán poducido en dos años y medio? (Sol: 72 ) b) Cuál seá el capital final al cabo de 8 años? (Sol: 950. ) El capital inicial es C 0 = 720, el inteés anual es = % a) Los inteeses al cabo de 2 años y medio son: 720 2,5 I = 720 2,5 = = 72 b) El capital al cabo de 8 años seá: C f = = 950,. Inteés Compuesto Se utiliza cuando los inteeses al final de cada peiodo de invesión, no se etian, sino que se acumulan al capital y se einvieten. El capital final C f obtenido al inveti un capital inicial C 0 a un édito % duante un peiodo de tiempo t, a un inteés compuesto es: C f = C o (1 + )t Nota: el édito () y el peiodo (t) de tiempo están efeidos a la misma unidad de tiempo, no necesaiamente años. En cuánto dineo se convetián 5.00 si los ingesamos duante 6 años a un inteés compuesto del % anual. C f = 5.00 (1 + 6 ) = 6.832,72 En cuánto dineo se convetián si los ingesamos duante 6 años a un inteés compuesto del % anual con pago de inteeses semestal. C o = 2000 % anual = % = 2% inteés semestal 2 C f = 2000 (1 + 2 ) 12 = 2000 (1 + 2 ) 12 = 2.536,8 3

4 5. Anualidades de Capitalización Consiste en deposita peiódicamente una cantidad fija de dineo, llamada cuota, con el objetivo de obtene un capital al cabo de cieto tiempo t (en años) a un inteés deteminado. La pimea cuota, al cabo de t años, se conviete en: C o (1 + La segunda cuota, al cabo de t-1 años, se conviete en: C o (1 + La última cuota, al cabo de 1 año, se conviete en: C o (1 + )t ) )t 1 El capital final obtenido, C f, es la suma de todas las cantidades anteioes. Se tata de la suma de los t pimeos téminos de una pogesión geomética de azón (1 + tanto: Si llamamos i = C f = C o (1 + ) (1 + )t 1 entonces obtenemos la expesión simplificada: C f = C o (1 + i) (1 + i)t 1 i Qué capital obtendíamos al cabo de 12 años si depositamos una anualidad de 90 al 7% anual? C o = 90 = 7% anual i = 7 = 0,07 t = 12 años C f = 90 (1 + 0,07) (1 + 0,07)12 1 0,07 = 17,992,2 ). Po Capitalización no anual: cuando la cuota se apota n veces al año, el inteés seá, siendo el n inteés anual. Llamando T al númeo de peiodos de capitalización, el capital obtenido seá: C f = C o (1 + i) (1 + i)t 1 i

5 Una pesona, al cumpli los 0 años, decide hace un plan de ahoo. Llega a un acuedo de capitalización timestal con el banco a un inteés anual del 6%, depositando 90 euos al inicio de cada timeste. Qué capital obtendá al cumpli 60 años? C o = 90 6% anual = 6 % = 1,5% inteés timestal i = 1,5 = 0,015 T = 20 = 80 timestes 6. Anualidades de Amotización C f = 90 (1 + 0,015) (1 + 0,015)80 1 0,015 = ,1 Consiste en devolve peiódicamente una cantidad fija de dineo C 0, llamada cuota, con el objetivo de salda un péstamo C f al cabo de un tiempo t. El péstamo C f, al cabo de t años, se conviete en: C f (1 + )t La pimea cuota, al cabo de t-1 años, se conviete en: C o (1 + )t 1 La segunda cuota, al cabo de t-2 años, se conviete en: C o (1 + La penúltima cuota, al cabo de 1 año, se conviete en C o (1 + ) La última cuota es C o y no poduce inteeses. )t 2 La suma de todas estas cantidades (suma de los t pimeos téminos de una pogesión geomética de azón 1+ ) debe salda el péstamo concedido inicialmente más los inteeses que éste ha geneado duante los t años. Así, la anualidad de amotización es: C 0 = C f i (1 + i) t (1 + i) t 1 siendo i = Un concesionaio vende un coche po Cuál es la amotización anual paa pode compa el coche a un % anual en 8 años? C f = ; = % ; t = 8 ; i = 0,0 5

6 C 0 = ,0 (1 + 0,0)8 (1 + 0,0) 8 1 = 3.713,2 al año Amotización no anual: cuando la cuota se apota n veces al año, el inteés seá, siendo el n inteés anual. Llamando T al númeo de peiodos de amotización, la cuota seá: C 0 = C f i (1 + i) T (1 + i) T 1 Con los datos del ejemplo anteio, cuál seía la cuota de amotización timestal? C f = % anual = % = 1% inteés timestal i = 1 = 0,01 T = 8 = 32 timestes 0,01 (1 + 0,01)32 C 0 = (1 + 0,01) 32 = 916,77 al timeste 1 7. Tasa anual equivalente (TAE) En geneal, los inteeses que se aplican suelen se anuales. Sin embago, en ocasiones los plazos pueden se infeioes a un año (timestales, cuatimestales, semestales ). Si % es el édito de una opeación y T el númeo de veces al año que se liquidan inteeses (timestales T=, cuatimestales T=3, semestales T=2 ), la Tasa anual equivalente (TAE) es el inteés poducido en un año. Un banco tiene un poducto financieo que ofece un inteés anual del 3% con pago de inteeses timestales. Cuál es la TAE de este poducto? o Inteeses geneados del poducto en un año paa un capital C: C (1 + 0,75 ) o Inteeses geneados con % anual paa un capital C: C (1 + TAE ) Igualando ambos inteeses: 1 + TAE 0,75 = (1 + ) 1 + TAE = (1,0075) 1 + TAE = 1, TAE = 0, TAE = 3,0339% anual TAE 6