Distribuciones de probabilidad

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1 UNIDAD 5: UTILICEMOS PROBABILIDADES. Distribuciones de probabilidad Introducción Estudiaremos aquí en qué consiste una distribución de probabilidades y los distintos tipos de variables que aparecen en el trabajo con probabilidad. Además, se conocerán con cierto detalle dos tipos de distribución de probabilidad: la binomial, como distribución especial de variable discreta, y la normal, como principal de las distribuciones probabilísticas para variable continua. El tema de las distribuciones implica no sólo conocer sus peculiaridades, sino también calcular probabilidades. El caso de la distribución normal supone obtener probabilidades con ayuda de la tabla, la cual tendrá que ser manejada con soltura. La distribución normal es la más importante por su gran utilidad en la inferencia estadística y porque son muchas las variables que siguen o se aproximan a su patrón entre otros aspectos. Objetivos: Que el alumno o la alumna pueda: 1. Definir una distribución de probabilidades 2. Distinguir entre variable discreta y variable continua. 3. Obtener probabilidades para valores específicos de la variable 4. Enlistar características de una distribución normal 5. Definir y calcular valores de z 6. Determinar la probabilidad de que una observación esté entre dos puntos, utilizando la distribución normal estándar 7. Determinar la probabilidad de que una observación esté por arriba o por abajo de un valor, utilizando la.. distribución normal estándar. 1. Tipos de variable. Objetivos conceptuales. Conceptualizar qué es una variable discreta y qué es una variable continua. Objetivos procedimentales. Dada una variable, determinar si es continua o discreta. En primer año vimos que una variable cuantitativa puede ser discreta o continua. Una variable discreta es aquella que sólo puede tomar ciertos valores. Por ejemplo, cuando a alguien se le pregunta cuántos hermanos tiene, responderá con números enteros: 1, 2, 3, 4... No podrá responder diciendo que tiene tres y medio hermanos. Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Este valor depende de la precisión del instrumento de medición. Para el caso, si se pregunta por la masa de una barra de oro, la respuesta puede ser kilogramos. O si se pregunta por la estatura, la respuesta puede ser 1.75 metros. En el caso de un automóvil que se mueve de 60 km/h a 80 km/h, éste pasa por infinitas velocidades. Lo que se debe tener presente es que en una variable continua no hay saltos: no pasamos de 2 a 3, sino que podemos tomar cualquier valor entre 2 y 3; por ejemplo 2.25

2 Una forma fácil para determinar si una variable es discreta o continua es la siguiente: si es el resultado de contar es discreta; y si es el resultado de medir es continua. 2. Distribución de probabilidades. Objetivos conceptuales. Comprender lo que es una distribución de probabilidades y lo que son eventos independientes Se tiene una distribución de probabilidades cuando se conocen todos los valores posibles que una variable aleatoria puede tomar y la probabilidad de cada uno de esos valores. Gildaberto Bonilla nos presenta el ejemplo del lanzamiento de 4 monedas, o lo que es lo mismo, lanzar 4 veces una moneda. El diagrama de árbol nos da todos los posibles resultados: Esta es una distribución de probabilidades, dado que se conocen todos los valores posibles que la variable aleatoria puede tomar y la probabilidad de cada uno de esos valores. Para nuestro caso, la probabilidad de cada evento es 1/16, pues existen 16 posibles resultados. La probabilidad es la misma para todos porque son eventos independientes. Es oportuno aclarar que 2 eventos son independientes cuando el resultado de uno no influye en el resultado del otro. Por ejemplo, si al lanzar un dado obtenemos 4, este resultado no influye en el segundo lanzamiento, que también nos puede dar 4. Distinto es sacar una canica de una urna de 5 y no devolverla. En la segunda extracción, habrá sólo 4 canicas, lo que influirá en el resultado. No es lo mismo sacar una canica de un total de 5, que de un total de 4. Cara: Corona: Si la variable aleatoria es el aparecimiento de cara en los 4 lanzamientos, dicha variable toma los siguientes valores: 0, 1, 2, 3 ó 4. Es decir, puede NO aparecer una cara o pueden aparecer 1, 2, 3 ó 4. Al observar los 16 casos, vemos que sólo en un caso no aparece la cara, y sólo en un caso aparecen las 4. También observamos que 2 caras aparecen en 6 casos. En la tabla siguiente se resume 6 el resultado. N o de caras Casos Probabilidad / / / / / Los datos de la tabla aparecen en un diagrama de barras, que se utiliza para variables discretas

3 Es importante hacer notar que la suma de las probabilidades es la unidad: 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = ( )/16 = 16/16 = 1 Es importante recalcar que la variable aparecimiento de cara es una variable discreta, pues toma valores enteros. La cara puede aparecer CERO veces, o también 1, 2, 3 ó 4 veces. Pero nunca aparecerá una vez y media (1.5) 3. Distribución binomial. Objetivos conceptuales. Conceptualizar lo que es una distribución binomial. Objetivos procedimentales. Calcular la probabilidad en una distribución normal Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre los eventos de la vida cotidiana que implican eventos probabilísticos. En el ejemplo del lanzamiento de la moneda, existen sólo 2 posibilidades: cara o corona. Además, la probabilidad para cada evento es la misma: 1/16. Esto se debe a que son eventos independientes. Cuando se dan estas 2 condiciones se dice que se trata de un experimento binomial, o de una distribución binomial. Otra distribución binomial es la de hacer una extracción de una canica blanca, con reemplazo, de una urna con 5 canicas: 2 blancas y 3 negras. En este caso sólo hay 2 posibilidades: blanca o negra. Además, la probabilidad de que sea blanca es SIEMPRE 2/5, pues son eventos independientes (la canica se remplaza: vuelve a la urna) Si P es la probabilidad de éxito y Q la probabilidad de fracaso, entonces Q = 1 P. Para nuestro caso Q = 1 2/5 = 3/5. Volvamos a la urna y hagamos 10 extracciones (con reemplazo), cuál será la probabilidad de tener éxito en 3 ocasiones?... Se calcula de la siguiente manera: Recordemos que: 10 C 3 = 10! 3! (10 3)! C 3 P Q Para este caso específico, se tiene que: = 120 (2/5) 3 (3/5) 7 = C 3 P 3 Q 10 3 En general, la probabilidad de tener éxito x veces en n experimentos es: En la tabla siguiente se muestran las probabilidades para diversos números de éxitos. x n x P(x) = n C x P Q Exitos Probabilidad

4 Ejemplo. Resolver cada caso. 1. En una urna hay 20 canicas: 10 blancas y 10 negras. Si se hacen 10 extracciones (con reemplazo), encontremos las probabilidades de obtener cero blanca, una blanca, dos blancas blancas. 2. Se lanza una moneda 5 veces, encontremos las probabilidades de obtener de cero a 5 caras 3. Un tirador con arco tiene una probabilidad de 0.8 de dar en el blanco. Si hace 12 disparos, cuál es la probabilidad de acertar 10 veces 4. En una urna hay 20 canicas: 8 blancas, 7 negras y 5 rojas. Cuál es la probabilidad de obtener 3 blancas en 5 extracciones? 4b. En una urna hay 20 canicas: 7 blancas, 6 negras y 7 rojas. Cuál es la probabilidad de obtener 3 blancas en 5 extracciones? 4c. En una urna hay 20 canicas: 6 blancas, 6 negras y 8 rojas. Cuál es la probabilidad de obtener 3 blancas en 5 extracciones? 4d. En una urna hay 20 canicas: 5 blancas, 6 negras y 9 rojas. Cuál es la probabilidad de obtener 3 blancas en 5 extracciones? Solución. El total de extracciones es 10. Esto implica 10 experimentos: n = 10. Necesitamos tener desde cero éxito hasta 10 éxitos. Es decir que x variará desde cero hasta 10. Además, la probabilidad de éxito en cada evento es 0.5, pues hay 10 blancas y 10 negras. Es decir que P = 0.5 y Q = 0.5 En la tabla siguiente se encuentran las probabilidades para cada valor de x. Blancas Probabilidad Es importante observar cómo se distribuyen las probabilidades. Vemos que son iguales la probabilidad de: 0 y 10, 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6. Para x = 5 se obtiene la máxima probabilidad. Esta forma se debe a que la probabilidad de blanca y de negra son iguales: 0.5 Al graficar los pares ordenados (éxito, probabilidad), utilizando líneas, se obtiene lo siguiente: Se lanza 5 veces: n = 5. x variará desde cero hasta 5. En cada evento, la probabilidad de obtener una cara es 0.5 En la tabla se muestra la probabilidad para cada x,. Caras Probabilidad Observemos de nuevo cómo se repiten las probabilidades: 0 y 5, 1 y 4, 2 y 3.

5 En este caso n = 12: número de disparos. Necesitamos conocer la probabilidad de acertar 10 veces; es decir que x = 10. Como la probabilidad de acierto es 0.8, entonces P = 0.8; por lo tanto Q = 0.2 Se tiene n C x P x Q n x = 12 C 10 P 10 Q 2 = 66(0.8) 10 (0.2) 2 = Vemos que hay 8 canicas blancas, 7 negras y 5 rojas. Se podría pensar en 3 posibilidades: blanca, negra o roja. Pero se reducen a 2 posibilidades: es blanca o no es blanca. La probabilidad de que salga una blanca es 8/20 = 0.4, P = 0.4 Se realizarán 5 extracciones: n = 5. Se necesita saber la probabilidad de que en 3 de ellas salga una blanca. Se tiene n C x P x Q n x = 5 C 3 P 3 Q 5-3 = 10 (0.4) 3 (0.6) 2 = Actividad 1. Resuelve cada caso. 1. En una urna hay 10 canicas: 2 blancas y 8 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 3 ocasiones. 2. En una urna hay 10 canicas: 2 blancas y 8 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 4 ocasiones. 3. En una urna hay 10 canicas: 2 blancas y 8 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 5 ocasiones. 4. En una urna hay 10 canicas: 2 blancas y 8 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 6 ocasiones. 5. En una urna hay 10 canicas: 3 blancas y 7 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 3 ocasiones. 6. En una urna hay 10 canicas: 4 blancas y 6 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 3 ocasiones. 7. En una urna hay 10 canicas: 5 blancas y 5 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 3 ocasiones. 8. En una urna hay 10 canicas: 6 blancas y 4 negras. Si se hacen 12 extracciones, cuál es la probabilidad de sacar una blanca en 3 ocasiones. 9. Un tirador novato tiene 0.4 de probabilidad de dar en el círculo central de un disco de tiro. Si hace 15 tiros cuál es la probabilidad de que acierte en 6, 8 y 10 ocasiones? 10. Un tirador medalla de oro tiene 0.2 de probabilidad de fracasar en dar en el círculo central de un disco de tiro. Si hace 8 tiros cuál es la probabilidad de que acierte en 4 ocasiones? 11. Un basquetbolista falla 3 de cada 10 tiros libres al aro. Si efectúa 12 tiros, cuál es la probabilidad de que acierte en 5 ocasiones?

6 12. Se tiene un tablero con 6 orificios blancos, 5 negros y 7 rojos. Se lanza al tablero una canica 7 veces. Cuál es la probabilidad de que caiga en un orificio negro en 3 ocasiones? 13. Se rifarán 5 objetos de entre 8 bicicletas, 5 cocinas, 12 ventiladores y 7 mesas. En una urna se halla una bolita por cada premio. Si se hacen 5 extracciones (con reemplazo), cuál es la probabilidad de que salgan 2 ventiladores? 14. Un examen consta de 10 preguntas de selección múltiple. Por cada pregunta hay 5 opciones y sólo una es la verdadera. Cuál es la probabilidad de que una estudiante acierte 4 preguntas? 15. Un examen consta de 10 preguntas de selección múltiple. Por cada pregunta hay 4 opciones y sólo una es la verdadera. Cuál es la probabilidad de que una estudiante acierte 4 preguntas? discusión 1. Se tienen en un cilindro 5 canicas blancas y 5 negras. Se hacen 5 extracciones y se obtiene para las blancas una probabilidad de Cuántas veces salió la blanca? 4. Distribución normal. Objetivos conceptuales. Comprender la distribución de probabilidades en una curva normal. Objetivos procedimentales. Calcular probabilidades en distribuciones normales. Objetivos actitudinales. Reflexionar, después de leer el ejemplo, sobre la importancia del ejercicio físico. Recordemos el diagrama de barras de la página 28. Se ha construido para una variable discreta. Si trazamos una curva por todos los puntos superiores de cada barra, conseguimos una curva que se aproxima a la siguiente: Esta curva se obtiene para variables continuas. Se conoce como distribución normal o curva normal. El estudio de esta curva se centra en el área que encierra.

7 Ocurre que muchas distribuciones de variables continuas tienen el mismo comportamiento general. Variables que tienen un comportamiento normal son pesos, estaturas, velocidades, tiempos, volúmenes... La curva normal se extiende indefinidamente hacia los lados, pero nunca toca al eje X, es decir que dicho eje es una asíntota. Esto no es de mucha importancia, pues el área en los extremos es de poco valor para el análisis. Como se observa, la curva tiene la forma de una campana. Además, es siempre simétrica. Esto significa que una mitad es el reflejo en un espejo de la otra mitad. Qué implica esta simetría? Observa la normal siguiente: P = 0.5 P = La probabilidad en una mitad es 0.5, por lo tanto en la otra mitad es también 0.5 De aquí resulta que el área encerrada por la campana es igual a la unidad. En la curva anterior, cero es la media aritmética. Se dice que una población es normal si cumple con las siguientes características: 1. La población se distribuye simétricamente a ambos lados de la media. Una mitad es menor que la media y la otra mitad es mayor. 2. Aproximadamente el 68% de la población se encuentra en el entorno de la media, a una desviación típica de distancia. 3. Los elementos de la población decrecen uniformemente a partir de la media. Un ejemplo sencillo nos introducirá en el uso de la curva normal. Ejemplo. En una feria deportiva, miles de habitantes de San Salvador participaron en una carrera. Al finalizar, los datos obtenidos se presentaron en la curva normal que se muestra. Analicemos los datos de la curva % 25% 25% 2% 5 8% 15% 15% 8% Minutos

8 Podemos observar que el 50% de los corredores se tardaron entre 35 y 55 minutos. Evidentemente allí se agrupa la mayoría. Es probable que ese grupo esté formado por personas sanas, que practican algún deporte, pero que lo hacen por salud física. El 80% se tardó entre 25 y 65 minutos. Aquí están incluidas personas más ágiles y también personas bastante lentas. El 80% se calcula sumando todos los porcentajes: 15% + 25% + 25% + 15% = 80%. El 96% se tardó entre 18 y 72 minutos. Aquí están incluidas personas muy ágiles, pues algunas de ellas se tardaron 18 minutos en el recorrido. Seguramente son atletas profesionales: futbolistas, basquetbolistas, nadadores... Pero también están incluidas personas muy lentas, pues algunas de ellas se tardaron 72 minutos en el recorrido. Quizá se trate de personas extremadamente obesas o con algún problema respiratorio. El 100% se tardó entre menos de 18 minutos o más de 72. Se incluyen en el total de personas algunas que se tardaron menos de 18 minutos. Son, con seguridad, corredores profesionales, talvez medallistas de juegos olímpicos. Pero también están incluidas, en el total, personas que se tardaron más de 72 minutos. Quizás se trata de personas extremadamente gordas y que, seguramente, se tomaron un descanso en el trayecto. También se observa que 200 personas llegaron a la meta en 45 minutos. Es decir que la mayoría se agrupa en torno de la media aritmética (45). Además, sólo 5 llegaron en 18 minutos y sólo 5 llegaron en 72 minutos. Es decir que son pocas las personas muy veloces y también son muy pocas las personas muy lentas. Cálculo de probabilidades en distribuciones normales Ya se dijo que el área encerrada por la campana representa la probabilidad total (=1). Un segmento de área representa una probabilidad determinada. Las curvas que se muestran están dadas para una misma media aritmética y una misma desviación típica. Puede observarse, a simple vista, que el área de la derecha representa una probabilidad mayor. Las curvas anteriores corresponden a una misma media aritmética y a una misma desviación típica. Estas variables son las que generan la curva normal. Esto significa que la normal para una media ( ) y una desviación típica (σ) determinadas es única: sólo existe una distribución normal para una desviación típica y una media determinadas. La desviación típica define la

9 altura: a mayor desviación típica, menor altura. La media desplaza la curva hacia la derecha o hacia la izquierda. Esto se muestra en los gráficos siguientes. = 6 σ = 4 = 6 σ = = 6 σ = 4 = 10 σ = = 5 σ = 4 = 9 σ = = 5 σ = 8 = 9 σ =

10 Cuando se conocen la desviación típica y la media, es posible determinar el área bajo la curva normal. Existen tablas con valores distintos de desviación típica y media aritmética. Aquí presentamos una para = 0 y σ = 1. La tabla representa el área de la mitad de la curva. Es decir, una probabilidad de 0.5 En efecto, la tabla se inicia con cero y finaliza con 0.5 La tabla nos da la mitad del área buscada. Para encontrar el área total simplemente multiplicamos por 2. También se hacen restas cuando se busca la no probabilidad... Areas bajo la curva normal típica de 0 a z

11 Z En la tabla anterior, en el margen izquierdo está el dígito unitario y una décima (2.8, 3.4), y en el margen superior están las centésimas. Para el caso, el área para z = 2.75 (= ),

12 buscamos 2.7 en la vertical (margen izquierdo) y 5 en la horizontal (margen superior). Se obtiene: probabilidad es igual a Recuerdas que dijimos que la curva normal se extiende indefinidamente hacia los lados y que el área en los extremos es de poco valor para el análisis?... Ocurre que esa área es muy pequeña, insignificante. Esto puede apreciarse en la tabla. El área comienza a medirse a partir de la media: a partir del centro. Se continúa hacia la derecha (valores positivos) Observemos los datos de la primera fila: El crecimiento es acelerado. Dividamos uno entre el anterior: 0.120/0.008 = 15. Al final de la tabla, el crecimiento es muy lento. Incluso en la última fila el crecimiento es nulo: se repite 0.5 También se mencionó como característica que aproximadamente el 68% de la población se encuentra en el entorno de la media, a una desviación típica de distancia. Comprobaremos esto con un ejemplo, el cual nos mostrará el uso de la tabla. Ejemplo. Comprobemos que aproximadamente el 68% de la población se encuentra en el entorno de la media, a una desviación típica de distancia. Solución. La tabla está dada para una media de cero. Le sumaremos y restaremos una desviación típica: 0 ± 1. Es decir que la probabilidad será el área comprendida entre menos una desviación típica y más una desviación típica. Buscamos en la columna de z el valor de 1.0; luego nos ubicamos en la columna cero. Ese es el punto buscado. z Hacia una desviación típica a la derecha, el área es de Esto implica que el total del área es de 2(0.3413) = En porcentaje, equivale al 68.26% es el área bajo la normal entre z = 0 (que es la ubicación de la media de la variable continua) y z = 1; que es una desviación típica mayor que la media -σ 0 +σ Ejemplo. Resolvamos cada caso.

13 1. Calcular el área entre z = -1.8 y z = Calcular el área entre z = 0.45 y z = Calcular el área debajo de z = Calcular el área a la izquierda de z = y a la derecha de z = 1.79 Solución está a la izquierda de la media (por el signo menos) 1.8 = : buscamos en 1.8 y cero. Se tiene que para 1.8 el área es está a la derecha: 2.46 = Para 2.4 y 6 el área es El área entre esos valores es la suma de ambas: = Puede apreciarse que el área es cercano a uno. Para z = 0.45, el área es Para z = 1.62, el área es Lo que se busca es Este es el área buscada Al área que le corresponde a 1.62 le restamos la de 0.45: el área es = Si nos hubiesen pedido el área entre 0.45 y 1.62, hubiésemos obtenido el mismo valor, pues se procede de igual forma. Claro que al graficar, la zona queda a la izquierda de la media. Para z = 1.23, el área es El área debajo de 1.23 es la que está a la izquierda. Por lo tanto, el área buscada es = Esta es el área buscada

14 1.23 Si nos hubiesen pedido el área a la derecha de z = 1.23, la respuesta sería: = Que es el área sin sombrear (la blanca) Para z = -0.67, el área es Y para z = 1.79 es A la izquierda de 0.67 el área es = A la derecha de 1.79, el área es = La suma de ambas es: = Aquí se muestran las 2 áreas. Llegamos a la misma respuesta si de 1 restamos la suma = : = Actividad 2. Resuelve cada caso. 1. Para cada z, encontrar el área. z = 0.23 z = 0.64 z = z = z = 1.5 z = z = 1.93 z = 2.94 z = Para cada área dada, encontrar el valor de z Encontrar las siguientes áreas: a. entre 1.6 y 2.45 b. entre 1.67 y 1.17 c. entre y 1.67 d. entre 0.54 y 2.45 e. entre 0.54 y Encontrar el área a la derecha de z = Encontrar el área a la izquierda de z = Encontrar el área a la derecha de z = Encontrar el área a la izquierda de z = Encontrar las áreas que se señalan en los gráficos.

15 a. a. a b c. d

16 SOLUCIONES. Actividad Como falla 3, significa que acierta 7: P = 7/10 = Aquí P = 5/18. Aunque son 3 los colores, las posibilidades se reducen a 2: cae en negro o no cae Aunque son 4 objetos, las posibilidades se reducen a 2: es ventilador o no es ventilador. Para un ventilador P = 12/32 = Además: n = 5 y x = Aquí P = 1/ Aquí P = 1/4. discusión 1. 2 veces Aquí se procede así: hay igual número de canicas: P = Q = 0.5 Por lo tanto P x Q n x = P n = P 5 = (0.5) 5 = Y tenemos 5 C x ( ) = De donde resulta que: 5 C x = / = 10 Pero 5 C x = 5!/(x!(5-x)!) Finalmente se llega a que: x!(5 - x)! = 12 Probando números desde el UNO, aparece que x = 2. Actividad y 2.95 desde 3.33 hasta a b c d a b c d