GEOMETRÍA DEL ESPACIO. ÁREAS

Transcripción

1 Geometría del espacio. Áreas GEOMETRÍA DEL ESPACIO. ÁREAS C on esta unidad comienza el estudio de la geometría en el espacio. En particular, esta unidad se centra en el cálculo de las áreas de diferentes cuerpos geométricos. Se empieza trabajando el concepto de cuerpo geométrico en el espacio así como las diferentes posiciones relativas de rectas y planos. La unidad continúa con el estudio de las áreas de poliedros y cuerpos de revolución. Por un lado se estudia el área de prismas y pirámides, y por otro, el estudio del área de cilindros, conos y esferas. La unidad termina explicando el cálculo del área de los troncos de cono y los troncos de pirámide. La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias. Comunicación lingüística (CL) Es una de las protagonistas de toda la unidad, teniendo especial importancia en la sección Matemáticas vivas. Competencia digital (CD) Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para comprender determinados contenidos relacionados con la geometría del espacio y el cálculo de áreas de cuerpos geométricos. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el mantenimiento de edificios, los alumnos profundizarán en las aplicaciones del cálculo de áreas de cuerpos geométricos. Competencias sociales y cívicas (CSC) La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados. Competencia aprender a aprender (CAA) En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo. Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE) La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío). El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos. Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Identificar las tres dimensiones del espacio y los elementos básicos de la geometría del espacio. Reconocer las posiciones relativas de rectas y planos. Reconocer los poliedros como cuerpos geométricos, sus elementos principales e identificar los poliedros regulares. Identificar y clasificar prismas y pirámides. Calcular su área lateral y total. Identificar los cuerpos de revolución, y los elementos principales de cilindros, conos y esferas, y calcular sus áreas. Identificar figuras esféricas y calcular sus áreas. Identificar los troncos de conos y pirámides como una sección de un cono o pirámide mayor, y calcular sus áreas. 354 Matemáticas.º ESO

2 Geometría del espacio. Áreas Atención a la diversidad Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario. Material complementario En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos, y se proponen actividades para repasar y afianzar dichos contenidos. Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos, pueden acceder a las lecciones 1078, 06, 07 y de la web PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Geometría del espacio Posiciones relativas de rectas y planos Poliedros Poliedros regulares Prismas. Áreas Pirámides. Áreas Cuerpos de revolución Cilindros. Áreas Conos. Áreas Esferas. Áreas Figuras esféricas Troncos de pirámides y conos. Áreas 1. Identificar los elementos básicos de la geometría del espacio.. Determinar la posición relativa entre rectas y planos Reconoce objetos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales..1. Identifica la posición relativa entre dos rectas, dos planos, y una recta y un plano. 3. Describir, clasificar y desarrollar poliedros Reconoce elementos básicos de poliedros, los relaciona y clasifica. 4. Identificar y distinguir prismas y pirámides. 5. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del área de prismas y pirámides. 6. Describir, clasificar y desarrollar cuerpos de revolución. 7. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del área de cilindros, conos y esferas. 8. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo del área de troncos de pirámides y de troncos de conos. 3.. Identifica y clasifica los poliedros regulares Reconoce, determina y dibuja elementos básicos de prismas y pirámides, y su desarrollo Calcula áreas de prismas y pirámides. 5.. Relaciona elementos y áreas de prismas y pirámides, para resolver problemas Reconoce elementos básicos de cuerpos de revolución, los relaciona y clasifica Calcula áreas de cilindros, conos y esferas. 7.. Relaciona elementos y áreas de cilindros, conos y esferas para resolver problemas Calcula áreas de semiesferas, casquetes, zonas y husos esféricos Relaciona elementos y áreas de semiesferas, casquetes, zonas y husos esféricos para resolver problemas Calcula áreas de troncos de pirámides y de troncos de conos. 8.. Relaciona elementos y áreas de troncos de pirámides y de troncos de conos para resolver problemas. Relación de actividades del libro del alumno 1, 4, , 67 G1, G , , 14, Matemáticas vivas , 43-45, 51, 5, , Matemáticas vivas , 93 58, 60, 61 8, 83 59, 6, 63 9 Matemáticas vivas 5 Competencias clave CMCT CL CSC CAA CSIEE CMCT CL CSC CAA CSIEE CMCT CD CL CSC CAA CSIEE CMCT CL CSC CAA CSIEE CMCT CD CL CSC CAA CSIEE CMCT CL CSC CAA CSIEE 355 Matemáticas.º ESO

3 Geometría del espacio. Áreas PARA EL PROFESOR MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Ideas previas Repasa lo que sabes Matemáticas en el día a día Contenido WEB. Euclides de Alejandría Actividades de Refuerzo Actividades de Ampliación 1. Geometría del espacio Posiciones relativas de rectas y planos. Poliedros Poliedros regulares Propuesta de Evaluación A Propuesta de Evaluación B Adaptación curricular 3. Prismas. Áreas 4. Pirámides. Áreas 5. Cuerpos de revolución Vídeo. Área de prisma Vídeo. Área de pirámide 6. Cilindros. Áreas GeoGebra. Área lateral de un cilindro MATERIAL COMPLEMENTARIO 7. Conos. Áreas 8. Esferas. Áreas Figuras esféricas Vídeo. Área de un cono Comprende y resuelve problemas Practica+ 9. Troncos de pirámides y conos. Áreas Qué tienes que saber? Área de un prisma Área de una pirámide Área de un cilindro Área de un cono Actividades finales Actividades interactivas MisMates.es Lecciones 1078, 06, 07 y de la web mismates.es Matemáticas vivas Mantenimiento de edificios Estudio de presupuestos de mantenimiento de edificios de superficies distintas Avanza Área de cuerpos geométricos compuestos Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia es Preparar la tarea, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de David y Roger Johnson Geometría en el arte M. C. Escher y sus poliedros 356 Matemáticas.º ESO

4 Geometría del espacio. Áreas Hoy IDEAS PREVIAS Teorema de Pitágoras. Perímetro y área de polígonos. Longitud de una circunferencia y área de un círculo. GEOMETRÍA DEL ESPACIO. ÁREAS H en día, los servicios de paquetería han aumentado notablemente, de tal manera que podemos comprar lo que sea en la otra punta del mundo, y un mensajero nos traerá una caja con todas nuestras adquisiciones a la misma puerta de casa. Pero cuál es el proceso de elaboración de estos embalajes? Primero hay que cortar las planchas de cartón de modo que formen una figura plana para, posteriormente, plegarla y crear la caja. En el proceso de elaboración, una figura plana se convierte en una figura de tres dimensiones. Es decir, se pasa del plano al espacio. La estructura de estas cajas es, básicamente, la misma siempre: 6 rectángulos que forman las caras, iguales dos a dos. En matemáticas, esta figura recibe el nombre de prisma. REPASO QUE SABES 1. Dado un triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa si los catetos miden y 1 cm.. Halla la apotema de los siguientes polígonos regulares. Un pentágono regular de de lado y 3, de radio. Un hexágono regular de de lado. 3. Determina la longitud de una circunferencia de de radio y el área de un círculo de de radio. mae4 [ Matemáticas en el día a día ] Euclides de Alejandría (ca a.c.), matemático griego, escribió una colección de trece libros llamados Los Elementos en los que se explican los conceptos fundamentales de la geometría en dos y en tres dimensiones. 3 Sugerencias didácticas La unidad comienza relacionando cuerpos bidimensionales con cuerpos tridimensionales. En la entrada de unidad se hace referencia a cómo se construyen las cajas que se utilizan en los servicios de mensajería. Como complemento a la lectura, podemos llevar al aula una de estas cajas e investigar cómo se ha podido construir. Es muy probable que los alumnos propongan diferentes soluciones y, a partir de ellas, se puede establecer un debate sobre cuál es la más conveniente y por qué. Contenido WEB. EUCLIDES DE ALEJANDRÍA En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se introduce la figura de Euclides y su obra Los Elementos, el libro de matemáticas más conocido de la historia. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, situando históricamente el estudio de la geometría desde la Grecia clásica, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial. Repasa lo que sabes Soluciones de las actividades 1. Dado un triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa si los catetos miden y 1 cm. h = h = = 169 h = 169 = 1. Halla la apotema de los siguientes polígonos regulares. Un pentágono regular de de lado y 3, de radio. Un hexágono regular de de lado. a p + = 3,4 a p =,56 4 = 7,56 =,7 a p + 4 = 8 a p = = 48 = 6,9 3. Determina la longitud de una circunferencia de de radio y el área de un círculo de de radio. l = 3,14 4 = 5,1 cm A = 3,14 6 = 3,0 357 Matemáticas.º ESO

5 Geometría del espacio. Áreas 1. Geometría del espacio Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a 1. GEOMETRÍA DEL ESPACIO 1 Clasifica estos objetos en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. Identificar las tres dimensiones del espacio. Identificar los elementos básicos de la geometría del espacio. El espacio en el que nos movemos consta de tres dimensiones: ancho, largo y alto. Este balón, por ejemplo, es un objeto tridimensional. Reconocer las posiciones relativas de rectas y planos. Sin embargo, existen objetos que solo tienen dos dimensiones: ancho y largo. Un folio o un trozo de tela fina, por ejemplo, son bidimensionales. También existen cuerpos con una sola dimensión. Así, solo medimos el largo de una cuerda o de un hilo. Lenguaje matemático Cuando estudiamos la posición relativa de dos elementos del espacio, ya sean rectas o planos, lo que queremos saber es cómo se encuentra un elemento en relación con el otro. Observa cómo podemos generar las tres dimensiones a partir de un punto. 1 Señalamos un punto. Movemos el punto y se genera una recta. 3 Movemos la recta y se genera un plano. 4 Movemos el plano y se genera el espacio. Posiciones relativas de rectas y planos Dos rectas en el espacio pueden ser: Paralelas: no se cortan y tienen la misma dirección. Secantes: se cortan en un punto. Se cruzan: no se cortan y tienen direcciones distintas. 3 Qué posición relativa tienen las dos rectas en cada caso? c) c) e) e) d) d) f) f) Observa este cuerpo geométrico y averigua la posición relativa de los elementos que se indican. A B D E Una recta y un plano en el espacio pueden ser: Paralelos: la recta y el plano no se cortan. Secantes: la recta y el plano tienen un punto de corte. Dos planos en el espacio pueden ser: Paralelos: no se cortan. Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta están contenidos en el plano. Secantes: se cortan en una recta. 4 C El plano ABC y el BEFC. d) El plano ABED y el plano ADFC. La recta AB y el plano BEFC. e) La recta BF y la recta EC. c) La recta AC y la recta DF. f) La recta CF y el plano BEFC. Un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional. Como no conocemos esa cuarta dimensión, existen diferentes formas de realizar este hipercubo en las tres dimensiones en las que nos movemos. Investiga la presencia de este hipercubo en la arquitectura y el arte. F Investiga 4 5 Sugerencias didácticas El salto de trabajar en el plano a trabajar en el espacio no es tan sencillo para los alumnos como parece. Es importante ir introduciendo poco a poco los conceptos y confirmar que todos consiguen dominar la percepción espacial que van necesitando para comprender el objeto de estudio. Por este motivo es bueno llevar al aula diferentes modelos de cuerpos geométricos para que los alumnos los manipulen y conozcan. Sería interesante trabajar con cuerpos geométricos de plástico donde se pueda observar el desarrollo plano de dichas figuras. De esta manera es fácil comprender cómo están formados estos cuerpos. Puede ser muy útil trabajar con cubos construidos solo por sus aristas. Con ayuda de varillas y cartulinas, se puede comprobar cómo se forman las diferentes posiciones relativas de planos y rectas en el espacio. Soluciones de las actividades 1 Clasifica estos objetos en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. Unidimensionales: cable Bidimensionales: marcapáginas, partituras Tridimensionales: taza, globo terráqueo 358 Matemáticas.º ESO

6 Geometría del espacio. Áreas Qué posición relativa tienen las dos rectas en cada caso? c) c) e) e) d) d) f) f) Se cruzan. c) Son secantes. e) Son secantes. Se cruzan. d) Se cruzan. f) Son paralelas. 3 Observa este cuerpo geométrico y averigua la posición relativa de los elementos que se indican. A D B E C El plano ABC y el BEFC. La recta AB y el plano BEFC. c) La recta AC y la recta DF. d) El plano ABED y el plano ADFC. e) La recta BF y la recta EC. f) La recta CF y el plano BEFC. Se cortan en una recta. Se cortan en un punto. c) Son paralelas. d) Se cortan en una recta. e) Se cortan en un punto. f) La recta está contenida en el plano. F Investiga 4 Un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional. Como no conocemos esa cuarta dimensión, existen diferentes formas de realizar este hipercubo en las tres dimensiones en las que nos movemos. Investiga la presencia de este hipercubo en la arquitectura y el arte. Respuesta abierta. 359 Matemáticas.º ESO

7 Geometría del espacio. Áreas. Poliedros Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Reconocer los poliedros como cuerpos geométricos. Identificar los elementos principales de los poliedros. Identificar los poliedros regulares.. POLIEDROS La lata de atún y la caja de cartón donde viene la lata tienen forma de distintos cuerpos geométricos. Ambos envases son muy diferentes: la caja está formada por polígonos, lo que no ocurre con la lata, que tiene caras circulares y superficies curvas. Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos. Los elementos principales de un poliedro son: Caras: son cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. NO POLIEDRO Vértice POLIEDRO Diagonal Arista Aristas: son los lados de las caras del Cara poliedro. Dos caras tienen una arista en común. Vértices: son los vértices de cada una de las Ángulo Ángulo caras del poliedro. Tres caras coinciden en poliedro diedro un mismo vértice. Diagonales: son segmentos que unen dos vértices que no están en la misma cara. Ángulos diedros: formados por dos caras que tienen una arista en común. Ángulos poliedros: formados por tres o más caras con un vértice común. Poliedros regulares Raquel utiliza polígonos para construir los poliedros regulares. Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares e iguales, y en cuyos vértices concurre el mismo número de caras. Tetraedro Octaedro Icosaedro Indica cuáles de estos objetos tienen forma de poliedro y cuáles no. Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe el nombre de los elementos señalados en este poliedro. 4 1 Dibuja los siguientes poliedros. Tiene una cara que es un triángulo rectángulo. Todas sus caras son rectángulos. c) Una de sus caras es un pentágono y las demás caras son triángulos. d) Tiene dos caras que son hexágonos. Copia y relaciona cada poliedro regular con la característica que cumple. Poliedro regular Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Característica Tiene 30 aristas. Tiene 6 vértices. No tiene diagonales. Tiene 1 caras. Icosaedro Todos sus ángulos diedros son de 90º. Es esta figura un poliedro regular? Explica por qué. Presta atención En un poliedro, los ángulos poliedros miden menos de 360. En cada vértice se unen 3 triángulos equiláteros. Hexaedro En cada vértice se unen 3 cuadrados. En cada vértice se unen 4 triángulos equiláteros. Dodecaedro En cada vértice se unen 3 pentágonos regulares. En cada vértice se unen 5 triángulos equiláteros. No existen más poliedros regulares porque, si fuera posible utilizar otros polígonos, sus ángulos poliedros sumarían 360º o más, y sería imposible construir el poliedro. 10 Copia y completa la tabla con el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro. Investiga Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro N.º de caras O O O O O N.º de vértices O O O O O N.º de aristas O O O O O El matemático Leonhard Euler descubrió que hay una relación entre el número de caras, vértices y aristas de algunos poliedros. Busca cuál es esa relación y comprueba que los poliedros regulares sí la cumplen. 6 7 Sugerencias didácticas Una vez conocido el concepto de poliedro, se puede pedir a los alumnos que traigan de casa un objeto con forma de poliedro y otro que no tenga forma de poliedro. Jugar con todos los objetos: clasificarlos, describirlos, averiguar cómo son a través del tacto y con los ojos cerrados, etcétera. Con un material similar al que aparece en el epígrafe, los polígonos regulares encajables, se puede pedir a los alumnos que intenten construir diferentes poliedros con las características de los poliedros regulares. Cuando terminen las diferentes construcciones, realizar una puesta en común de los resultados obtenidos: tipo de poliedro y repaso de características. Soluciones de las actividades 5 Indica cuáles de estos objetos tienen forma de poliedro y cuáles no. Tienen forma de poliedro: rompecabezas de colores y caja No tienen forma de poliedro: catalejo y gorro de fiesta 6 Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe el nombre de los elementos señalados en este poliedro Vértice 4. Ángulo poliedro. Arista 5. Diagonal 3 3. Cara 6. Ángulo diedro Matemáticas.º ESO

8 Geometría del espacio. Áreas 7 Dibuja los siguientes poliedros. Tiene una cara que es un triángulo rectángulo. Todas sus caras son rectángulos. c) Una de sus caras es un pentágono y las demás caras son triángulos. d) Tiene dos caras que son hexágonos. Respuesta abierta. Comprobar que los dibujos de los alumnos respetan las condiciones que se piden en cada caso. 8 Copia y relaciona cada poliedro regular con la característica que cumple. Poliedro regular Característica Tetraedro Tiene 30 aristas. Hexaedro Tiene 6 vértices. Octaedro No tiene diagonales. Dodecaedro Tiene 1 caras. Icosaedro Todos sus ángulos diedros son de 90º. Tetraedro: No tiene diagonales. Hexaedro: Todos sus ángulos diedros son de 90º. Octaedro: Tiene 6 vértices. Dodecaedro: Tiene 1 caras. Icosaedro: Tiene 30 aristas. 9 Es esta figura un poliedro regular? Explica por qué. No, porque hay vértices en los que concurren 3 caras y otros en los que concurren 4 caras. Investiga 10 Copia y completa la tabla con el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro. Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro N.º de caras O O O O O N.º de vértices O O O O O N.º de aristas O O O O O El matemático Leonhard Euler descubrió que hay una relación entre el número de caras, vértices y aristas de algunos poliedros. Busca cuál es esa relación y comprueba que los poliedros regulares sí la cumplen. La relación es: Caras + Vértices = Aristas + Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro N.º de caras N.º de vértices N.º de aristas = = = = = Matemáticas.º ESO

9 Geometría del espacio. Áreas 3. Prismas. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Identificar y clasificar prismas. Calcular el área lateral y el área total de un prisma. Lenguaje matemático Los paralelepípedos son prismas de 6 caras que son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Cubo: sus caras son cuadrados. Ortoedro: sus caras son rectángulos. Romboedro: sus caras son rombos. Romboidedro: sus caras son romboides. 3. PRISMAS. ÁREAS Samuel ha comprado una caja de bombones. La tapa y la base de la caja tienen la misma forma de pentágono regular. Además, todas las caras laterales son rectángulos. Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases que son polígonos iguales, mientras que el resto de caras son paralelogramos y reciben el nombre de caras laterales. Los prismas se nombran según el número de lados de las bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal Atendiendo a la forma de sus caras laterales, los prismas se clasifican en: Prismas rectos: sus caras laterales son rectángulos o cuadrados. Prismas oblicuos: sus caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados. Además, los prismas rectos se clasifican en: Prismas regulares: sus bases son polígonos regulares. Prismas irregulares: sus bases son polígonos irregulares. Samuel toma las medidas necesarias en la caja para construirla con cartulina. Tiene que dibujar el desarrollo plano del prisma pentagonal regular. mae Identifica qué cuerpos geométricos son prismas y clasifícalos. d) e) c) f) Dibuja el desarrollo plano de estos prismas. Calcula el área total de estas figuras. c) 1 cm d) Cuál es el área total de estos prismas rectos regulares? Base pentagonal de de lado y,0 de apotema, y 10 cm de altura. Base octogonal de de lado y 4,8 de apotema, y cm de altura. Con los datos del plano, unos pintores tienen que reparar la fachada de un torreón de planta pentagonal que tiene una altura de 8,5 m. Si cobran 30 /m, a cuánto dinero ascenderá la obra? María quiere comprar un acuario con las siguientes medidas: 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto. Por cada metro cuadrado de cristal le cobran 37. Cuánto le costará el acuario? Un prisma de base cuadrada y 7 dm de altura tiene un área total de 5 dm. Cuánto mide el lado de la base del prisma? Calcula cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 94 dm. Cuál es el área total de un prisma de base hexagonal regular de de lado y de altura? cm 0 Una empresa de instrumentos musicales va a diseñar cajas en forma de prisma triangular para guardar sus flautas. Si la base es un triángulo equilátero de de lado y la caja mide 3 de largo, cuánto material se necesita para fabricar una? Así pues, Samuel necesita 333,90 cm de cartulina para construir la caja. El área lateral de un prisma es el perímetro de la base por la altura del prisma. = P h El área total de un prisma es la suma del área lateral más el área de las dos bases. = + 1 Simón tiene un cubo formado por 7 cubitos más pequeños, como muestra la figura. Recolocando los cubitos pequeños, cuántos prismas diferentes podrías construir? DESAFÍO 8 9 Sugerencias didácticas Para el trabajo con áreas de cuerpos geométricos, resulta muy útil fabricar estos cuerpos con cartulina. De esta forma, los alumnos pueden estudiar su desarrollo y calcular sobre él las áreas de los polígonos que los forman. También es conveniente recordar las unidades de medida de superficie y cómo se transforma una unidad en otra. Vídeo. ÁREA DE PRISMA En el vídeo se muestra el cálculo del área total de un prisma recto pentagonal regular, indicando el procedimiento completo. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen más tarde el cálculo de áreas de prismas. Soluciones de las actividades Identifica qué cuerpos geométricos son prismas y clasifícalos. c) e) d) f) No es un prisma Prisma. Cubo c) Prisma cuadrangular irregular recto d) Prisma cuadrangular irregular recto e) No es un prisma f) Prisma hexagonal regular oblícuo 36 Matemáticas.º ESO

10 Geometría del espacio. Áreas 1 Dibuja el desarrollo plano de estos prismas. Comprobar que los alumnos dibujan correctamente cada uno de los desarrollos. 13 Calcula el área total de estas figuras. 1 cm c) cm = 7 1 = = ( 7 + 1) 3 = 4 = = = 4 = = ( 4 + ) 7 = 8 = = 100 cm c) = 6 6 = 3 = (4 6) 3 = = = 14 d) = 5 6 = 30 cm = ( 5 + 6) 4 = 8 = = Cuál es el área total de estos prismas rectos regulares? Base pentagonal de de lado y,0 de apotema, y 10 cm de altura. Base octogonal de de lado y 4,8 de apotema, y cm de altura. d) = (5 3),06 = 15,4 = (5 3) 10 = 150 cm = ,45 = 180,9 cm = (8 4) 4,83 = 77, = (8 4) = 6 = ,8 = 18,5 15 Con los datos del plano, unos pintores tienen que reparar la fachada de un torreón de planta pentagonal que tiene una altura de 8,5 m. Si cobran 30 /m, a cuánto dinero ascenderá la obra? Calculamos el área lateral: = ( + + 1, ) 8,5 =,5 8,5 = 97,75 m Por tanto, el precio de la obra será: 97,75 30 = 93,50 16 María quiere comprar un acuario con las siguientes medidas: 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto. Por cada metro cuadrado de cristal le cobran 37. Cuánto le costará el acuario? Calculamos el área lateral más el área de una base: + = ( ) = = cm = 0,79 m Por tanto, el acuario le costará: 0,79 37 = 9,3 363 Matemáticas.º ESO

11 Geometría del espacio. Áreas 17 Un prisma de base cuadrada y 7 dm de altura tiene un área total de 5 dm. Cuánto mide el lado de la base del prisma? = + = P B h + = 4l 7 + l = l + 8l l + 8l = 5 l + 14l = 16 l + 14l 16 = 0 l = 14 ± 14 4( 16) 14 ± ± ± 6,46 = = = = +6,3 0, 3 La solución negativa no es válida porque se refiere a la medida del lado de la base. Por tanto: l = 6,3 dm 18 Calcula cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 94 dm. Como todas las caras de un cubo son iguales e iguales a su base, entonces: = 6 94 = 6 l l = 94 : 6 = 49 l = 7 La arista del cubo mide 7 dm. 19 Cuál es el área total de un prisma de base hexagonal regular de de lado y de altura? Primero, calculamos la apotema de la base. a p + 3 = 6 a p = 36 9 = 7 a p = Después, calculamos el área de la base. (6 6) 5, = = 93, Por último, hallamos el área total: 7 = 5, cm = + = (6 6) ,6 = 331, cm 0 Una empresa de instrumentos musicales va a diseñar cajas en forma de prisma triangular para guardar sus flautas. Si la base es un triángulo equilátero de de lado y la caja mide 3 de largo, cuánto material se necesita para fabricar una? Para calcular el material que se necesita para fabricar una caja, calculamos su área total: = + = (3 5) 35 = 5 = 5 h Para hallar el área de la base, necesitamos calcular la altura de la misma. Calculamos la altura del triángulo equilátero de lado : h +,5 = 5 h = 5 6,5 = 18,75 h = 18,75 = 4, Por tanto: = 5 4,3 = 10,7 Finalmente: = + = ,75 = 546, Se necesitan 546, de material para fabricar una de las cajas. Desafío 1 Simón tiene un cubo formado por 7 cubitos más pequeños, como muestra la figura. Recolocando los cubitos pequeños, cuántos prismas diferentes podrías construir? Dos más, uno formado por cubitos, y las diferentes formas de colocar los 7 cubitos con dos caras unidas, y otro formado por y las diferentes formas de colocar los 3 o los 9 cubitos con dos caras unidas. 364 Matemáticas.º ESO

12 9 cm cm 9 cm cm Geometría del espacio. Áreas 4. Pirámides. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Identificar y clasificar pirámides. Calcular el área lateral y el área total de una pirámide. Lenguaje matemático Pirámide pentagonal oblicua Pirámide pentagonal regular Pirámide pentagonal irregular 4. PIRÁMIDES. ÁREAS Estos cuerpos están apoyados sobre un cuadrilátero y tienen un vértice en el que concurren el resto de caras, que son triángulos. Una pirámide es un poliedro una de cuyas caras, llamada base, es un polígono, mientras que el resto de caras son triángulos que concurren en un vértice común llamado cúspide o vértice de la pirámide. Las pirámides se nombran según el número de lados de la base: triangular, cuadrangular, pentagonal Según la forma de sus caras laterales, las pirámides se clasifican en: Pirámides rectas: sus caras laterales son triángulos isósceles. Pirámides oblicuas: sus caras laterales son triángulos escálenos. La altura, h, de una pirámide es la distancia de la cúspide a su base. Además, las pirámides rectas se clasifican en: Pirámides regulares: sus bases son polígonos regulares. Pirámides irregulares: sus bases son polígonos irregulares. La apotema, a p, de una pirámide regular recta es la altura de los triángulos que conforman las caras laterales. Samuel calcula el área de la base y el área lateral de esta pirámide. Calcula el área lateral de estas pirámides. c) d) 1 cm 3 Halla el área lateral y el área total de las siguientes pirámides, cuya base es un cuadrilátero. cm 1 cm 10 cm 4 Cuál es él área de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3, cm de lado y que tiene una apotema de? 5 Halla el área total de estas pirámides regulares. EJERCICIO RESUELTO } Calcula el área total de una pirámide regular cuya base es un hexágono de de lado y de altura. Solución Primero calculamos la apotema de la base. a B + 3 = 6 a B = 36 9 = 7 6 a B = 7 = 5, cm 3 El área de la base es: = 6 6 5, = 93, A continuación, calculamos la apotema de la pirámide. a p = 5, + 7 a p = = 76 7 a p = 76 = 8, El área lateral es: = 6 6 8,7 = 156, El área total es: = + = 156,6 + 93,6 = 50, cm 6 Calcula el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal de 10 cm de lado, y de 1 de altura. 7 Halla el área total de estas figuras. Pirámide triangular de lado y apotema de la pirámide 9 cm. Pirámide pentagonal de lado, apotema de la base 3,4 y altura 10 cm. 5, 8 Halla el área de las siguientes pirámides. cm 4,1 cm,, 1 0 cm mae44 El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de los triángulos que forman sus caras laterales. = P a p El área total de una pirámide es la suma del área lateral más el área de la base. = + 9 La pirámide del museo del Louvre de París es una de las más famosas del mundo. Se trata de una estructura piramidal de vidrio que tiene una base cuadrada de 35 m de lado y una altura de 0,6 m. Cuánto mide la superficie de esta estructura? DESAFÍO Sugerencias didácticas De manera análoga al epígrafe anterior, la construcción de una pirámide en cartulina a partir de su desarrollo puede ayudar a la comprensión de la fórmula del área de dicha figura. Es importante recordar a los alumnos la diferencia que existe entre la apotema de la pirámide y la apotema de la base, así como mostrarles que la apotema de la pirámide es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la apotema de la base, el cateto de otro triángulo rectángulo. Video. ÁREA DE PIRÁMIDE En el vídeo puede verse cómo hallar el área total de una pirámide recta hexagonal regular, indicando el cálculo del área lateral, el de la base y el área total. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen más tarde el cálculo de áreas de pirámides. Soluciones de las actividades Calcula el área lateral de estas pirámides. c) d) 10 cm 1 cm = = (5 6) 9 (3 5) 10 = 13 c) A L = (6 4) (4 8) 1 = 1 d) A L = = 7 = 19 cm 365 Matemáticas.º ESO

13 Geometría del espacio. Áreas 3 Halla el área lateral y el área total de las siguientes pirámides, cuya base es un cuadrilátero. 1 cm cm ( 3 + ) 8 = = 40 cm = 3 = = = 4 ( 7 + 3) 1 = = 10 cm = 7 3 = 1 cm = = 141 cm 4 Cuál es él área de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3, cm de lado y que tiene una apotema de? (4 3,) 8 = = 51, cm = 3, = 10, = 51, + 10,4 = 61,4 5 Halla el área total de estas pirámides regulares. cm, 4,1 cm, (6 6) (6 6) 4,1 = = 19 A B = = 73, A T = ,8 = 71, (6 3),5 (6 3),6 = = 103, A B = = 3, A T = 103,5 + 3,4 = 16,9 cm 6 Calcula el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal de 10 cm de lado, y de 1 de altura. El área lateral de la pirámide se calcula mediante esta fórmula: = P a p Tenemos que hallar la apotema de la pirámide y, para ello, previamente calculamos la apotema de la base. a b + 5 = 10 a b = 8,7 a p = ,7 a p = = 300 a p = 300 = 17, (6 10) 17,3 Por tanto: = = 519 cm 7 Halla el área total de estas figuras. Pirámide triangular de lado y una apotema de la pirámide 9 cm. Pirámide pentagonal de lado, apotema de la base 3,4 y altura 10 cm. Calculamos el área de la base y el área lateral. Para hallar el área de la base, calculamos la altura del triángulo de la base: h + 1,5 = 3 h = 9,5 = 6,75 h = 6,75 =, = 3,6 (3 3) 9 = 3,9 cm A L = = 40, A T = + = 40,5 + 3,9 = 44, 366 Matemáticas.º ESO

14 Geometría del espacio. Áreas (5 5) 3,44 = = 4 Para hallar el área lateral, calculamos la apotema de la pirámide: a p = ,44 a p = 100 +,83 = 1,83 a p = (5 5) 10,57 = = 13,1 = + = 13, = 175,1 8 Halla el área de las siguientes pirámides. 1,83 = 10,5 1 0 cm Calculamos la apotema de la base: a b + 4 = 8 a b = = 48 a b = 48 = 6,9 cm (6 8) 6,9 = = 165, Calculamos la apotema de la pirámide: a p = ,9 a p = ,61 = 7,61 a p = 7,61 = 16, (6 8) 16,5 = = 39 Por tanto, el área total es: = + = ,6 = 561, Calculamos la apotema de la base: a b + = 4 a b = 16 4 = 1 a b = 1 = 3, (6 4) 3,5 = = Calculamos la apotema de la pirámide: a p = 0 + 3,5 a p = ,5 = 41,5 a p = (6 4) 0,3 = = 43,60 cm Por tanto, el área total es: 41,5 = 0, Desafío = + = 43,6 + 4 = 85, 9 La pirámide del museo del Louvre de París es una de las más famosas del mundo. Se trata de una estructura piramidal de vidrio que tiene una base cuadrada de 35 m de lado y una altura de 0,6 m. Cuánto mide la superficie de esta estructura? Para calcular cuánto mide la superficie de la estructura, tenemos que hallar el área lateral de la pirámide. Calculamos la apotema de la pirámide: a p = 0,6 + 17,5 a p = 44, ,5 = 730,61 a p = (4 35) 7,03 Por tanto, el área lateral es: = = 189,1 m 730,61 = 7,03 m 367 Matemáticas.º ESO

15 Geometría del espacio. Áreas 5. Cuerpos de revolución Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Identificar los cuerpos de revolución. Identificar los elementos principales de cilindros, conos y esferas. 5. CUERPOS DE REVOLUCIÓN Mónica hace girar una moneda en el suelo. Raúl, que está a su lado, observa sorprendido cómo la forma plana de la moneda se pierde con ese movimiento y se genera un cuerpo geométrico. La moneda, al girar sobre un diámetro, genera un cuerpo geométrico nuevo cuyas caras no son polígonos. En este caso, se ve una esfera. Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje. Mónica experimenta con los cuerpos de revolución. Corta distintas formas de cartulina y las pega en un palillo. Al hacerlas girar sobre el palillo, se forman distintos cuerpos geométricos. Un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados genera un cilindro Indica cuáles de estos cuerpos son de revolución. Explica por qué. Señala la figura que se genera al hacer girar estos polígonos en torno al eje. Calcula la medida del radio y la de su generatriz. c) e) cm cm 1 cm 1 Presta atención En un cilindro, la longitud de la generatriz y la de la altura es la misma. g r h 1, d) f) 10 cm El cilindro es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre uno de sus lados. El segmento que genera el cilindro se denomina generatriz, y la distancia entre sus bases, altura. Un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto genera un cono. El cono es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. El segmento que genera el cono se llama generatriz, y la distancia entre el vértice y su base, altura. g r h 3 33 Indica el radio y el área del círculo máximo de las esferas que se forman al hacer rotar estos semicírculos. c) cm Cuáles son las dimensiones de las figuras planas con las que han sido generados los siguientes cuerpos de revolución? c) 1 h 1 Lenguaje matemático Al cortar una esfera con un plano que pasa por el centro se obtiene un círculo que se denomina círculo máximo. Una semicircunferencia que gira sobre su diámetro genera una esfera. d 34 DESAFÍO Los alfareros utilizan un torno para hacer girar un plato sobre el que se pone una pieza de arcilla. El alfarero, con sus manos, le va dando forma a la arcilla según va girando. Cuáles de las siguientes piezas de alfarero no se han hecho con un torno? c) d) La esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un semicírculo sobre su diámetro Sugerencias didácticas Para que los alumnos vean cómo se forman los cuerpos de revolución, se pueden recortar figuras planas, pegarlas sobre una varilla y hacerlas girar. De esta forma los alumnos visualizan y reconocen el cuerpo geométrico que se genera. Para los cuerpos que se estudian en el epígrafe (cilindro, cono y esfer es conveniente marcar, en la figura plana que los genera, los elementos que luego aparecen en el cuerpo geométrico. Soluciones de las actividades 30 Indica cuáles de estos cuerpos son de revolución. Explica por qué. Son cuerpos de revolución: el cilindro (azul), el cono (ros y la esfera (verde claro); porque se generan al hacer girar una figura geométrica plana sobre uno de sus lados. 368 Matemáticas.º ESO

16 Geometría del espacio. Áreas 31 Señala la figura que se genera al hacer girar estos polígonos en torno al eje. Calcula la medida del radio y la de su generatriz. c) e) cm cm 1 cm 1 1, d) 10 cm f) Cono de radio, altura y generatriz d) Cono de radio, altura y generatriz 10 cm Cilindro de radio 1, y altura e) Cono de radio, altura 1 cm y generatriz 1 c) Cilindro de radio cm y altura cm f) Cilindro de radio y altura 3 Indica el radio y el área del círculo máximo de las esferas que se forman al hacer rotar estos semicírculos. c) cm Radio 1,. Área del círculo máximo: 3,14 1,5 = 7,06² Radio. Área del círculo máximo: 3,14 3 = 8,² c) Radio 1 cm. Área del círculo máximo: 3,14 1 = 3,1 33 Cuáles son las dimensiones de las figuras planas con las que han sido generados los siguientes cuerpos de revolución? c) 1 h 1 Rectángulo de lados y 1 Semicírculo de radio c) Triángulo rectángulo de catetos y h cm, e hipotenusa 1. Desafío Calculamos la altura del triángulo: h + 5 = 13 h = = 144 h = 144 = 1 cm Por tanto, la figura plana es un triángulo rectángulo de lados, 1 cm y Los alfareros utilizan un torno para hacer girar un plato sobre el que se pone una pieza de arcilla. El alfarero, con sus manos, le va dando forma a la arcilla según va girando. Cuáles de las siguientes piezas de alfarero no se han hecho con un torno? c) d) Con un torno de alfarero no se pueden hacer las figuras de los apartados y d). 369 Matemáticas.º ESO

17 Geometría del espacio. Áreas 6. Cilindros. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Calcular el área lateral y el área total de un cilindro. 6. CILINDROS. ÁREAS El departamento de marketing de una empresa cosmética ha diseñado el envase para su nuevo perfume. El envase es muy simple: se trata de un cilindro de 1 cm de alto y bases de de radio. El departamento de producción necesita saber cuánto material tienen que encargar para la construcción de cada envase. A fin de calcularlo, dibujan el desarrollo del cilindro y calculan el área de su superficie. 35 Estos son los desarrollos de dos cilindros. Calcula el área de sus bases, las áreas laterales y el área total de cada cilindro. 36 Cuál es el área total de los siguientes cilindros? cm c) 1 1 cm 1 Área de una de las bases del cilindro: es el área de un círculo de de radio. = r = 3,14 4 = 50, Área lateral del cilindro: es el área de un rectángulo. El largo del rectángulo coincide con la longitud de la circunferencia de la base, y el alto, con la altura del cilindro. 37 Halla el área total de los cilindros con los siguientes datos. Altura de 4, y radio de 1 cm. Diámetro de 1 y altura de 8,. c) Altura de 8, y radio de 5, cm. 38 Calcula la altura de un cilindro sabiendo que la superficie de la base mide 31 y que el área lateral es La altura de un cilindro mide 8 m y su área lateral es Cuánto mide el radio de la base? 40 Calcula la cantidad de metal necesaria para fabricar las siguientes latas de conserva. mae45 9 cm 10 cm 7, = ( r) h = 3, = 301,4 Área total del cilindro: es la suma del área lateral más el área de las dos bases. = + = 301, ,4 = 401,9 cm Para construir el envase, necesitan 401,9 cm de material. El área lateral de un cilindro recto es el área de un rectángulo cuyo largo es la longitud de la circunferencia de la base y cuyo alto es la altura del cilindro. = rh El área total es la suma del área lateral más las áreas de las dos bases. = + = rh + r = r (h + r) 41 Paolo tiene que pintar con aislante un depósito cilíndrico de 7 de radio y,5 m de altura. Cuántos metros cuadrados tiene que pintar? 4 Cuánto mide la varilla de mayor longitud que se puede introducir en este cilindro sin que sobresalga? Explica tu respuesta. 30 cm DESAFÍO Sugerencias didácticas Es muy importante que los alumnos manipulen el desarrollo plano de cilindros para comprender bien cómo calcular el área de este cuerpo geométrico. Especial relevancia tiene la relación entre la longitud de la circunferencia de las bases con uno de los lados del rectángulo que forma la cara lateral del cilindro. Se puede reforzar esta relación comprobando que dicho lado del rectángulo equivale a algo más de 3 veces el diámetro de la base del cilindro. GeoGebra. ÁREATERAL DE UN CILINDRO En este recurso se muestra el desarrollo del área lateral de un cilindro que aparece al mover el deslizador verde de la parte izquierda de la pantalla. Este deslizador controla un punto de la circunferencia de una de las bases del cilindro. Puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del área del cilindro o para que los alumnos investiguen y reflexionen sobre la relación entre la longitud de la circunferencia de una de las bases del cilindro y las dimensiones del rectángulo que resulta al realizar el desarrollo plano del mismo. Soluciones de las actividades 35 Estos son los desarrollos de dos cilindros. Calcula el área de sus bases, las áreas laterales y el área total de cada cilindro. Tenemos en cuenta que: = π r = π r h = + = 78, = 15, = 8, = 8, = 150, = 07, 370 Matemáticas.º ESO

18 9 cm 7, Geometría del espacio. Áreas 36 Cuál es el área total de los siguientes cilindros? cm c) 1 1 Tenemos en cuenta que: = π r = π r h = + = 3,0 = 78,50 cm c) = 6,86 = 60,8 = 6,80 cm = 47,0 = 88,9 = 19,80 cm = 880,7 37 Halla el área total de los cilindros con los siguientes datos. Altura de 4, y radio de 1 cm. Diámetro de 1 y altura de 8,. c) Altura de 8, y radio de 5, cm. = 3,14 1 = 45,1 = ( 3,14 1) 4,5 = 339,1 cm = 143,4 = 3,14 7,5 = 176,6 = ( 3,14 7,5) 8,5 = 400,3 = 753, c) = 3,14 5, = 84,905 = ( 3,14 5,) 8,3 = 71,044 = 440,85 38 Calcula la altura de un cilindro sabiendo que la superficie de la base mide 31 y que el área lateral es 15. Para calcular la altura del cilindro, necesitamos el radio y el área lateral, porque: = ( 3,14 r) h Como conocemos el área de la base, podemos calcular el radio: = 3,14 r 314 = 3,14 r r = 10 cm Como ahora conocemos el radio y el área lateral, podemos calcular la altura: = ( 3,14 r) h 156 = ( 3,14 10) h 156 = 6,8 h h = 0 cm 39 La altura de un cilindro mide 8 m y su área lateral es Cuánto mide el radio de la base? La altura del cilindro, mide: 8 m = 800 cm Conocida el área lateral y la altura, podemos calcular el radio de la base: = π r h = 3,14 r 800 r = : ( 3,14 800) = cm 40 Calcula la cantidad de metal necesaria para fabricar las siguientes latas de conserva. 10 cm = 50, = 78, = 153,8 = 6,0 = 31 = 39, = 36,5 = 471 cm = 637, 41 Paolo tiene que pintar con aislante un depósito cilíndrico de 7 de radio y,5 m de altura. Cuántos metros cuadrados tiene que pintar? Expresamos el radio del cilindro en metros: 7 = 0,75 m = 3,14 0,75 = 1,77 m = ( 3,14 0,75),5 =,78 m = 15,3 m Desafío 4 Cuánto mide la varilla de mayor longitud que se puede introducir en este cilindro sin que sobresalga? Explica tu respuesta. La mayor varilla que se puede introducir es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 30 cm y a = a = 31,0 30 cm 371 Matemáticas.º ESO

19 Geometría del espacio. Áreas 7. Conos. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Calcular el área lateral y el área total de un cono. 7. CONOS. ÁREAS Un artesano ha creado unos 10 cm pisapapeles con forma de cono que tienen una capa de pintura que brilla en la oscuridad. El diámetro del cono mide 1, y su generatriz, 10 cm. En el almacén, el artesano tiene un bote de pintura con el que puede pintar 50 dm de superficie; dispone, 10 cm además, de 10 conos fabricados, listos para el proceso de pintura. Con objeto de saber si tendrá suficiente con un bote de pintura, dibuja el desarrollo del cono y calcula el área de la superficie de cada parte. Área de la base del cono: es el área de un círculo cuyo radio mide. = r = 3,14 8 = 00,9 Área lateral del cono: es la de un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono y cuyo arco tiene la longitud de la circunferencia que forma la base. El área de un sector circular se escribe de forma similar al de un triángulo. A = b h = ( π r ) g = πrg Por tanto, el área lateral del cono es: = rg = 3, = 51, cm Área total del cono: es la suma del área lateral más el área de la base. = + = 51, + 00,96 = 45,1 Cada cono tiene una superficie de 45,1, que equivalen a 4,516 dm. Por tanto, para los 10 conos necesitará 45, dm. El área lateral de un cono recto es el área de un sector circular de radio g y cuya amplitud es la longitud de la circunferencia de la base. = rg El área total es la suma del área lateral más el área de la base. = + = rg + r = r (g + r) 43 Calcula el área de los siguientes conos. c) cm 9 cm 44 Halla el área de la base, el área lateral y el área total de estos conos. c) dm 3 6 dm 45 Calcula el área de los conos que tienen las siguientes dimensiones. Generatriz de 6 m y altura de 4 m. Radio de la base de cm y altura de 61 cm. c) Generatriz de 1 dm y radio de la base de 19 dm. 46 Cuánto mide el radio de un cono cuya área lateral es 339, cm si su generatriz es tres veces su radio? Explica cómo lo has calculado. 47 Dos conos de 1 cm de radio se han unido por sus bases. Uno de los conos mide de altura, y el otro, 3. Si queremos pintar la superficie de la figura así formada, cuántos centímetros cuadrados tendremos que pintar? 48 Calcula el área de un cono generado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden. 49 Una empresa comercializa conos de galleta para helados. Cada cono tiene una base con un diámetro de, así como una altura de 10 cm. Para envolver los conos, se utiliza papel de color dorado que cuesta 1 el metro cuadrado. Cuánto dinero cuesta el papel que se necesita para envolver los 100 conos que se fabrican en un día? EJERCICIO RESUELTO } Calcula el área de un cono de 1 cm de altura y 10 cm de diámetro. Solución Para calcular el área del cono hallamos el área lateral y el área de la base. 50 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo de esta figura. Cuál es su área total? Explica tu respuesta. DESAFÍO 1 mae Sugerencias didácticas Es muy importante que los alumnos manipulen el desarrollo plano de conos para comprender bien cómo calcular el área de este cuerpo geométrico. Especial relevancia tiene la relación entre la longitud de la circunferencia de la base con el arco del sector circular que forma la cara lateral del cono. Se puede reforzar esta relación comprobando que dicho arco equivale a algo más de 3 veces el diámetro de la base del cono. Vídeo. ÁREA DE UN CONO En el vídeo se muestra el cálculo del área total de un cono recto del que se conocen la altura y el diámetro, por lo que en primer lugar se aplica el teorema de Pitágoras, para determinar su generatriz, y después se hallan el área lateral, el de la base y la total. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen el cálculo de áreas de conos más tarde. Soluciones de las actividades 43 Calcula el área de los siguientes conos. c) cm 9 cm 3 dm 6 dm = π r g = 43,9 = π r g = 169,5 c) = π r g = 56,5 dm = π r = 1,5 = π r = 3,0 = π r = 8,6 dm = + = 56, = + = 8, = + = 84,78 dm 37 Matemáticas.º ESO

20 Geometría del espacio. Áreas 44 Halla el área de la base, el área lateral y el área total de estos conos. c) Primero calculamos el radio: r + 15 = 17 r = 89 5 = 64 r = = π r g = 47,0 = π r = 00,9 = + = 6 = π r g = 04,1 cm = π r = 78, = + = 8, c) Primero calculamos la generatriz: g = g = = 50,9 = π r g = 5 917,0 = π r = 4 98,6 = + = 10 15,71 cm 45 Calcula el área de los conos que tienen las siguientes dimensiones. Generatriz de 6 m y altura de 4 m. Radio de la base de cm y altura de 61 cm. c) Generatriz de 1 dm y radio de la base de 19 dm. Calculamos el radio: r + 4 = 6 r = = 100 r = 10 m = 3, = 816,4 m = 3,14 10 = 314 m = + = 816, = 1 130,4 m Calculamos la generatriz: g = 61 + g = 61 + = 61,9 = 3,14 = 379,9 = 3,14 61,98 = 140,79 cm = 140, ,94 = 50,7 c) = 3,14 19 = 1 133,54 dm = 3, = 1 5,86 dm = 1 5, ,54 = 386,40 dm 46 Cuánto mide el radio de un cono cuya área lateral es 339, cm si su generatriz es tres veces su radio? Explica cómo lo has calculado. Si llamamos r al radio y 3r a la generatriz, se tiene que: = 3,14 r g = 3,14 r 3r 339, = 3,14 3 r r = 36 r = 373 Matemáticas.º ESO

21 Geometría del espacio. Áreas 47 Dos conos de 1 cm de radio se han unido por sus bases. Uno de los conos mide de altura, y el otro, 3. Si queremos pintar la superficie de la figura así formada, cuántos centímetros cuadrados tendremos que pintar? Calculamos el área lateral de los dos conos. Para ello, se necesita la generatriz de ambos conos. g 1 = g 1 = = 169 g 1 = 1 g = g = = g = 3 1 = 3, = 489,8 = 3, = 1 394,1 Tienen que pintar: 1 + = 489, ,16 = Calcula el área de un cono generado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden. Calculamos la generatriz del cono: g = g = = 18 g =,31 = 3,14 8,31 = 84, cm = 3,14 8 = 00,9 = 84, + 00,96 = 485,0 49 Una empresa comercializa conos de galleta para helados. Cada cono tiene una base con un diámetro de, así como una altura de 10 cm. Para envolver los conos, se utiliza papel de color dorado que cuesta 1 el metro cuadrado. Cuánto dinero cuesta el papel que se necesita para envolver los 1 00 conos que se fabrican en un día? Primero calculamos la generatriz de estos conos: g = 1, g =, = 10,5 g = 10,1 cm Calculamos el área lateral de uno de estos conos, expresada en metros cuadrados: = 3,14 1,5 10,1 = 47,571 cm = 0, m Multiplicamos el área lateral por el número de conos y por el precio del metro cuadrado de papel: 0, = 68,504 El papel cuesta 68,50. Desafío 50 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo de esta figura. Cuál es su área total? Explica tu respuesta. Comprobar que el dibujo de los alumnos es correcto: está formado por dos sectores circulares y dos triángulos rectángulos. = 3 4 (3,14 18 ) = 763,0 cm = (3, ) + = 171, = 1703, 4 = + = 763,0 cm , = 466, 374 Matemáticas.º ESO

22 Geometría del espacio. Áreas 8. Esferas. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Calcular el área de la superficie esférica. Identificar las intersecciones que se obtienen al cortar la esfera por uno o más planos. Calcular el área de figuras esféricas. 8. ESFERAS. ÁREAS Teo quiere envolver un balón para regalárselo a Juana, pero, por más que lo intenta, no logra que quede bien. El problema es que la esfera no tiene desarrollo plano y no puede cortar un trozo de papel que la cubra de forma exacta. Para calcular el área de una esfera, podemos realizar este experimento. 1 Cortamos una esfera en dos partes iguales. Enrollamos una cuerda sobre el círculo de una base. 3 Recubrimos la otra zona con otra cuerda Calcula el área de una superficie esférica que tiene estos radios. c),8 dam e) 3, m 10 dm d) 0,5 km f) 0,15 hm Halla el área de estas superficies esféricas. c) 1 7 dm 1 m Presta atención El área de una esfera es igual al área lateral del cilindro que se ajusta por completo a ella. r r Al estirar las cuerdas, observamos que la que cubre la semiesfera mide el doble que la que cubre el círculo de la base. Por tanto, el área de la superficie esférica es cuatro veces la del círculo máximo. A = 4 ( πr ) = 4πr Una cuadrilla de pintores tiene que pintar un depósito esférico de 1 m de diámetro. Cuánto mide la superficie del depósito en metros cuadrados? La superficie de una esfera mide 803,8. Cuánto mide su radio? Calcula las siguientes áreas. Un casquete esférico de cm de altura en una esfera de de radio. Una zona esférica de 1 cm de altura en una esfera de de radio. c) Un huso esférico de 15º en una esfera de 10 cm de radio. EJERCICIO RESUELTO cilindro = πr r = 4πr Presta atención El área de un casquete esférico y de una zona esférica coinciden con el área lateral de un cilindro de la misma altura y el mismo diámetro. h r El área de una superficie esférica de radio r es: 4 r Figuras esféricas Teo toma otra esfera y realiza los siguientes cortes. Corte por un solo plano: la esfera queda dividida en dos partes llamadas casquetes esféricos. El área de un casquete esférico es: A casquete esférico = rh Corte por dos planos paralelos: la parte de la superficie esférica situada entre estos dos planos paralelos se llama zona esférica. El área de una zona esférica es: h h r r } Calcula el área de media esfera de 1 de radio. Solución El área de una semiesfera equivale al área de media superficie esférica más el área de su círculo máximo. 56 = A = 4πr + πr = 3, ,14 16 = 4, Calcula el área de las siguientes figuras esféricas. Casquete esférico Zona esférica c) Huso esférico de 45º r h A zona esférica = rh Corte por dos planos secantes que pasan por el centro: la parte de la superficie esférica localizada entre estos dos planos paralelos se llama huso esférico. El área de un huso esférico es: A huso esférico = 4πr nº 360 r nº cm Investiga La Tierra es una especie de esfera achatada en los polos que no tiene un desarrollo en el plano. Las proyecciones cartográficas son el método con el que se representa la superficie de la Tierra sobre un plano y resultan esenciales para la confección de mapas. Investiga sobre las distintas proyecciones existentes Sugerencias didácticas Para calcular el área de una superficie esférica, llevar unas pelotas de tenis al aula, por ejemplo, y pedir a los alumnos que recorten en un papel una forma con la que puedan cubrir toda la esfera, sin que sobre ni falte papel. De esta manera, los alumnos comprobarán la imposibilidad de construir el desarrollo plano de la esfera. Puede ser muy útil realizar en clase la experiencia descrita en el epígrafe. Existen medias esferas de corcho o poliespán con las que se puede realizar ese ejemplo fácilmente. Para estudiar las partes de una esfera, se puede construir una esfera de plastilina y realizar los cortes necesarios para comprobar cómo es el cuerpo del que se va a calcular el área. Soluciones de las actividades 51 Calcula el área de una superficie esférica que tiene estos radios. 10 dm c),8 dam d) 0,5 km e) 3, m f) 0,15 hm A = 4 3,14 3 = 3,0 c) A = 4 3,14,8 = 98,4704 dam e) A = 4 3,14 3, = 18,6144 m A = 4 3,14 10 = 156 dm d) A = 4 3,14 0,5 = 0,785 km f) A = 4 3,14 0,15 = 0,1965 hm 5 Halla el área de estas superficies esféricas. 1 7 dm c) 1 m A = 4 3,14 9 = 1 017,3 A = 4 3,14 3,5 = 153,86 dm c) A = 4 3,14 1 = 1 808,64 m 375 Matemáticas.º ESO

23 Geometría del espacio. Áreas 53 Una cuadrilla de pintores tiene que pintar un depósito esférico de 1 m de diámetro. Cuánto mide la superficie del depósito en metros cuadrados? A = 4 3,14 6 = 45,16 m La superficie del depósito mide 45,16 m. 54 La superficie de una esfera mide 803,8. Cuánto mide su radio? 803,84 = 4 3,14 r r = 64 r = 55 Calcula las siguientes áreas. Un casquete esférico de cm de altura en una esfera de de radio. Una zona esférica de 1 cm de altura en una esfera de de radio. c) Un huso esférico de 15º en una esfera de 10 cm de radio. A = 3,14 6 = 75,3 A = 3, = 50, c) A = 4 3, = 5, 56 Calcula el área de las siguientes figuras esféricas. Casquete esférico Zona esférica c) Huso esférico de 45º 1 1 cm A casquete esférico = 3,14 r h Calculamos la altura del casquete esférico: h + x = 1 x + 1 = 13 x = 5; h + 5 = 13 h = x 1 1 h 1 cm A casquete esférico = 3, = 653,1 cm A zona esférica = 3,14 r h r Calculamos el radio de la esfera: r = r = = 100 r = 10 cm A zona esférica = 3, = 376,80 cm c) A huso esférico = 4πr nº 360º = 4 3, = 100,4 Investiga 57 La Tierra es una especie de esfera achatada en los polos que no tiene un desarrollo en el plano. Las proyecciones cartográficas son el método con el que se representa la superficie de la Tierra sobre un plano y resultan esenciales para la confección de mapas. Investiga sobre las distintas proyecciones existentes. Respuesta abierta. Existen diversos tipos de proyeccciones, como la cónica, cilíndrica, etcétera. 376 Matemáticas.º ESO

24 Geometría del espacio. Áreas 9. Troncos de pirámides y conos. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Aprenderás a Identificar los troncos de conos y pirámides como una sección de un cono o pirámide mayor. Calcular el área lateral y el área total de un tronco de cono y un tronco de pirámide. 9. TRONCOS DE PIRÁMIDES Y CONOS. ÁREAS Roberto está construyendo pirámides y conos de arcilla. Corta cada pirámide y cada cono por un plano paralelo a sus bases y obtiene dos cuerpos en cada caso: una pirámide y un cono más pequeños, por un lado, y, por otro, dos nuevos cuerpos llamados tronco de pirámide y tronco de cono, respectivamente. 58 Cuál es el área de estos troncos de cono? Calcula. R =, r =, g = R = 10 cm, r =, g = 10 cm c) R =, r =, g = 9 cm 59 Halla el área lateral de los siguientes troncos de cono. cm 10 cm c) cm Presta atención Para calcular el área lateral de un tronco de cono, del que se conocen los radios y la altura, se calcula la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras. r g h Al cortar una pirámide o un cono por un plano paralelo a sus bases, el cuerpo comprendido entre los dos planos se llama tronco de pirámide o tronco de cono, respectivamente. Para hallar el área del tronco de cono y la del tronco de pirámide, dibujamos sus desarrollos y calculamos el área de cada figura cm Calcula el área de la figura que se genera al hacer girar los siguientes trapecios rectángulos sobre el eje que se indica en cada caso. cm R Presta atención El área de un trapecio circular se calcula de la misma forma que el área de un trapecio rectilíneo con las mismas bases y altura. b h Área del tronco de cono cm Área de las bases: es el área de dos círculos. g r R 61 Calcula el área de los siguientes troncos de pirámide. 9 cm B ASES = πr + πr = 78,5 + 1,56 = 91,0 Área lateral: es el área de un trapecio circular. (B + h A = = ( π R + π r ) g = π(r + r ) g = 3,14 (5 + ) 8 = 175,8 Área total: es el área de las bases más el área lateral. Área del tronco de pirámide = ASES + = 91, ,84 = 66,9 cm h B b 6 1 Cuánto mide la superficie de estos troncos de pirámide? 1 cm 1 cm 1 Presta atención Para calcular el área lateral de un tronco de pirámide, del que se conocen las bases y la altura, se calcula la apotema del tronco aplicando el teorema de Pitágoras. h ap Presta atención El área lateral de un tronco de cono o de pirámide se puede calcular restando del área del cono o de la pirámide mayor el área del cono o de la pirámide menor. Área de las bases (en este tronco): es el área de dos cuadrados. ASES = L + l = = 89 cm Área lateral: es la suma del área de los trapecios de las caras laterales. (B + h (8 + 5) 7 = 4 = 4 = 4 91 = 1 Área total: es el área de las bases más el área lateral. = ASES + = = 71 cm 63 Calcula el área total de un tronco de pirámide de base rectangular como el de la figura. 1 cm DESAFÍO Sugerencias didácticas Los troncos de pirámide y los troncos de cono suelen crear bastantes dificultades a los alumnos. A la hora de construirlos, su desarrollo suele ser bastante más complejo que el de otros cuerpos geométricos. Se pueden crear pirámides o conos de plastilina, pues se pueden cortar fácilmente y los alumnos observan cómo se forman dos cuerpos: uno similar al original pero más pequeño, y otro nuevo, el tronco de pirámide o tronco de cono. Con esta construcción, los alumnos intuyen cómo deben proceder para calcular el área de un tronco de pirámide o el área de un tronco de cono: restar del área lateral de la pirámide o del cono originales, el área lateral de la pirámide o del cono pequeños, y añadir el área de la base de estas últimas figuras. También sería interesante construir los troncos de pirámides y conos en cartulina para comprender cómo son sus desarrollos planos. Soluciones de las actividades 58 Cuál es el área de estos troncos de cono? Calcula. R =, r =, g = R = 10 cm, r =, g = 10 cm c) R =, r =, g = 9 cm A bases = 04,1 cm A bases = 47,0 c) A bases = 78, = 17, = 50, = 197, = 376, = 99,4 = 76, 59 Halla el área lateral de los siguientes troncos de cono. cm 10 cm cm c) 1 cm 377 Matemáticas.º ESO

25 Geometría del espacio. Áreas g = 4 + (5 ) g = = 3,14 ( + 5) 5 = 109,9 cm g = 5 + ( 10) g = 1 = 3,14 ( + 10) 13 = 1 306, c) g = 4 + (1 5) g = = 3,14 (1 + 5) 5 = 1 334, 60 Calcula el área de la figura que se genera al hacer girar los siguientes trapecios rectángulos sobre el eje que se indica en cada caso. cm Calculamos la generatriz: g = 5 + (8 3) g = 50 g = 7,0 A bases = 9, cm = 44,0 cm = 473, Calculamos la generatriz: g = 4 + (8 ) g = 5 g = 7,1 cm A bases = 13, = 6,40 cm = 439,9 cm 61 Calcula el área de los siguientes troncos de pirámide. 9 cm 1 A bases = 30 = 33 = 6 A bases = 5 = 160 cm = 1 6 Cuánto mide la superficie de estos troncos de pirámide? 1 cm 1 cm Calculamos la altura del trapecio: h = 4 + (6 3) h = A bases = 180 cm = 180 cm = 360 cm Calculamos la altura del trapecio: h = 1 + (7,5,5) h = 1 A bases = 50 cm = 50 cm = 770 cm Desafío 63 Calcula el área total de un tronco de pirámide de base rectangular como el de la figura. Calculamos las alturas de los trapecios que forman las caras. h 1 = 1 + (,5,5) h 1 = = 5 h 1 = 1 h = 1 + (7 ) h = = 169 h = 1 A bases = = 3 (5 + 3) 13 (4 + 14) 15 = + = 63 = A bases + = = 97 1 cm Matemáticas.º ESO

26 Geometría del espacio. Áreas Qué tienes que saber? QUÉ tienes que saber? Actividades Finales Ten en cuenta Prisma: poliedro con dos bases paralelas que son polígonos iguales y cuyas caras laterales son paralelogramos. Área lateral = P h Área total = + Ten en cuenta Pirámide: poliedro cuyas caras laterales son triángulos que comparten un único vértice llamado cúspide o vértice de la pirámide, y cuya base es un polígono. Área lateral Área total = P a base p = + Ten en cuenta Cilindro recto: cuerpo geométrico que se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre un eje que contiene a uno de sus lados. Área lateral = πrh Área total = + = + πr Área de un prisma Halla el área total de un prisma de 9 cm de altura, con una base rectangular cuyos lados miden 1 cm y, respectivamente. = (1 + 5) 9 = 30 = 1 5 = 60 cm = + = = 4 Calcula el área total de una pirámide hexagonal regular sabiendo que el lado de la base mide 1 cm, la apotema de la base, 10,, y la apotema de la pirámide, 0 cm. (6 1) 0 = = 70 cm (6 1) 10,4 = = 374, = + = ,4 = 1 094, Área de una pirámide Área de un cilindro Determina el área total de un cilindro de de radio y 1 de altura. = π 5 18 = 565, cm = π 5² = 78, = + = 565, + 78,5 = 7, cm Cuerpos en el espacio Imagina que varios folios y varillas se encuentran sobre las caras de un dado de 6 caras. Indica sus posiciones relativas teniendo en cuenta que, en un dado, la suma de los puntos de las caras opuestas siempre suman 7. Dos varillas que están sobre sendas caras que suman 7. Un folio y una varilla sobre dos caras que no suman 7. c) Dos folios sobre dos caras que suman 7. Señala cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros. Explica tu respuesta. c) d) Clasifica estos poliedros según sean regulares o no. Indica el nombre de los que sí lo son. c) d) Prismas y pirámides. Áreas Clasifica estos poliedros según sean prismas o pirámides. Indica su nombre en cada caso. c) d) Son ciertas o falsas estas afirmaciones? En un prisma recto, todas las caras laterales son cuadrados. Una pirámide tiene dos caras iguales. c) Una pirámide pentagonal recta tiene cinco triángulos isósceles por caras laterales. d) Un prisma hexagonal regular tiene 8 caras. Estos son los desarrollos planos de dos cuerpos geométricos. Dibújalos e indica sus nombres. Ten en cuenta Cono recto: cuerpo geométrico que se genera al hacer girar un triángulo rectángulo sobre un eje que contiene a uno de sus catetos. Área lateral = πrg Área total = + = + πr Área de un cono Calcula el área total de un cono recto de de radio y 1 cm de generatriz. = π 6 1 = 6,0 = π 6 = 3,0 = + = 6,08 + 3,04 = 339,1 cm 67 Dibuja un poliedro en tu cuaderno y señala los siguientes elementos. Cara Arista c) Vértice d) Diagonal e) Ángulo diedro f) Ángulo poliedro 71 Cómo se llaman los elementos señalados en esta pirámide? d e a b c 4 43 Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Calcular el área lateral y total de prismas y de pirámides. Calcular el área lateral y total de cilindros y de conos. Actividades finales Soluciones de las actividades 64 Imagina que varios folios y varillas se encuentran sobre las caras de un dado de 6 caras. Indica sus posiciones relativas teniendo en cuenta que, en un dado, la suma de los puntos de las caras opuestas siempre suman 7. Dos varillas que están sobre sendas caras que suman 7. Un folio y una varilla sobre dos caras que no suman 7. c) Dos folios sobre dos caras que suman 7. Paralelas Secantes en un punto c) Paralelos 65 Señala cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros. Explica tu respuesta. c) d) Son poliedros las figuras de los apartados y d), ya que son cuerpos geométricos limitados por polígonos. 379 Matemáticas.º ESO

27 Geometría del espacio. Áreas 66 Clasifica estos poliedros según sean regulares o no. Indica el nombre de los que sí lo son. c) d) Poliedros regulares: apartados (octaedro) y c) (dodecaedro) Poliedros no regulares: apartados y d) 67 Dibuja un poliedro en tu cuaderno y señala los siguientes elementos. Cara Arista c) Vértice d) Diagonal e) Ángulo diedro f) Ángulo poliedro Comprobar que los alumnos dibujan un poliedro y sus elementos correctamente. 68 Clasifica estos poliedros según sean prismas o pirámides. Indica su nombre en cada caso. c) d) Pirámide oblicua de base rectangular c) Prisma irregular recto de base un cuadrilátero Pirámide regular recta de base hexagonal d) Prisma regular recto de base pentagonal 69 Son ciertas o falsas estas afirmaciones? En un prisma recto, todas las caras laterales son cuadrados. Una pirámide tiene dos caras iguales. c) Una pirámide pentagonal recta tiene cinco triángulos isósceles por caras laterales. d) Un prisma hexagonal regular tiene 8 caras. Falso. Las caras laterales pueden ser rectángulos. c) Falso. Solo si es regular. Verdadero d) Verdadero 70 Estos son los desarrollos planos de dos cuerpos geométricos. Dibújalos e indica sus nombres. Prisma recto de base rectangular Pirámide regular recta de base hexagonal 71 Cómo se llaman los elementos señalados en esta pirámide? a e b c Vértice Altura c) Apotema de la base d) Base e) Apotema de la pirámide d 380 Matemáticas.º ESO

28 Geometría del espacio. Áreas Geometría del espacio. Áreas Actividades Finales 7 Identifica el poliedro del siguiente desarrollo. Calcula su área total cm Observa el siguiente desarrollo plano. Cuerpos de revolución. Áreas 77 Empareja cada figura con el cuerpo de revolución que genera. I) II) c) d) 78 Calcula el área total de los siguientes cuerpos de revolución. 3, c) III) IV), Troncos de cono y de pirámide 8 Halla el área lateral de estos troncos de cono y de pirámide cm 1 cm Cuál es el área total de este cuerpo? Calcula Hugo tiene un papel que mide 37,3 de largo y 5,1 cm de ancho. Cuántos cilindros diferentes puede construir utilizando todo ese papel? Calcula la longitud del radio de la base de cada uno de esos posibles cilindros. 88 Se quiere pintar un depósito cilíndrico de 3, m de diámetro y 3 m de altura. Un litro de pintura da para una superficie de 4,5 m. Cuántos litros se necesitan para pintar el depósito completo? 89 El tejado de una torre cilíndrica que tiene forma de cono está en muy mal estado y necesita una reparación urgente. La empresa encargada del arreglo elabora un presupuesto para una superficie de 75 m. Si la altura del cono es,8 m y el radio mide 4,5 m, está bien elaborado el presupuesto? De qué figura se trata? Utiliza instrumentos de medida para calcular su área total. 74 Halla el área total de estos cuerpos. c) 1 cm 0 cm 1 cm d) 5, cm cm cm 4,13 75 Calcula el área total de una pirámide recta con base hexagonal de lado y apotema de la pirámide 0 cm. 76 Halla el área total de una pirámide hexagonal de de lado y 1 de altura. d) 9, 4, 79 Calcula el área total de los siguientes conos. Altura de 1, y generatriz de cm. Radio de y altura de. c) Altura de y radio de 1. d) Generatriz de 5, y radio de,. 80 Halla el radio de estos cuerpos de revolución. Un cilindro de 07, de área lateral y cm de altura. Un cono de 3,0 de área lateral y 9 cm de generatriz. c) Un esfera de 45,1 de área. 81 Calcula el área de estas figuras esféricas. cm 5º Problemas de áreas de cuerpos geométricos 84 Unos albañiles están construyendo una piscina de 0 m de largo por 13 m de ancho con una profundidad de 1,90 m. Si quieren cubrir las paredes y el suelo con azulejos especiales para piscina, cuántos metros cuadrados de azulejo deben comprar como mínimo? 85 Lisa ha comprado un chocolate que viene guardado en una caja con forma de prisma, cuyas bases son triángulos equiláteros de base y altura 4,. La altura de la caja es de 0 cm. Cuánto papel, como mínimo, necesita para envolver la caja de chocolate? 86 En la terraza de una cafetería tienen 6 sombrillas con forma de pirámide de 50 cm de altura y una base cuadrada de,40 m de lado. Si tienen que renovar la tela de todas las sombrillas, cuántos metros cuadrados de tela tendrán que reponer? 90 Esta esfera está cortada en ocho partes iguales. Si el radio de la esfera mide 1 dm, cuál es el área de cada pieza? 91 Si cortas una esfera de de radio por un plano que dista 1 cm del centro, cuál es el área de los dos casquetes esféricos resultantes? 9 Una empresa fabrica dos tipos de envase para las palomitas. Cuál de estos dos envases tiene menor superficie? 93 Pablo pinta una esfera cuyo diámetro mide. Calcula: El área de la superficie que pinta Pablo. El área de un huso esférico de 45 de amplitud Identifica el poliedro del siguiente desarrollo. Calcula su área total. Es un prisma recto de base hexagonal. Calculamos la apotema y el área de la base: a b + 4 = 8 a b = = 48 a b = 48 = 6,9 cm (6 8) 6,9 A 0 cm B = = 165, Calculamos el área lateral y el total: A L = (0 8) 6 = 960 cm = ,6 = 191, cm 73 Observa el siguiente desarrollo plano. De qué figura se trata? Utiliza instrumentos de medida para calcular su área total. Pirámide regular recta hexagonal Apotema de la pirámide, y lado de la base 1,. = 9,7 a B = 1,1 = 4,41 cm = 14,1 381 Matemáticas.º ESO

29 Geometría del espacio. Áreas 74 Halla el área total de estos cuerpos. c) d) 1 cm 0 cm 5, cm 1 = + = = 660 cm 1 cm 1 cm 1 4,1 = + = ,6 = 95, cm c) = + = = 57 d) = + = ,95 = 71,9 75 Calcula el área total de una pirámide recta con base hexagonal de lado y apotema de la pirámide 0 cm. a B = 6,0 = 17, = 40 cm = 547, 76 Halla el área total de una pirámide hexagonal de de lado y 1 de altura. a B = 4, = 64, a p = 15, = 3 = 98, 77 Empareja cada figura con el cuerpo de revolución que genera. c) d) a II b III c IV d I I) II) III) IV) 78 Calcula el área total de los siguientes cuerpos de revolución. 3, c) d) 9,, 4, = 38,46 = 175,8 = + = 5,7 = 7,0 = 44,7 = + = 51,34 c) = 4 3,14,8 = 98,470 d) = 4 3,14,4 = 7, Matemáticas.º ESO

30 1 cm Geometría del espacio. Áreas 79 Calcula el área total de los siguientes conos. Altura de 1, y generatriz de cm. c) Altura de y radio de 1. Radio de y altura de. d) Generatriz de 5, y radio de,. r + 1,4 = r = 4 1,96 =,04 r = 1,4 = 3,14 1,4 = 6,3 = 3,14 1,4 = 8,917 = + = 15,47 g = = 65 g = = 3,14 7 = 153,8 = 3, = 549, = + = 703,3 c) g = = 89 g = 1 = 3,14 15 = 706, = 3, = 800, = + = 1 507, cm d) = 3,14,8 = 4,617 = 3,14,8 5,3 = 46,597 = + = 71,1 80 Halla el radio de estos cuerpos de revolución. Un cilindro de 07, de área lateral y cm de altura. Un cono de 3,0 de área lateral y 9 cm de generatriz. c) Una esfera de 45,1 de área. ( 3,14 r) = 07,4 69,08r = 07,4 r = 3,14 r 9 = 3,04 8,6r = 3,04 r = c) 4 3,14 r = 45,16 1,56r = 45,16 r = 36 r = 81 Calcula el área de estas figuras esféricas. cm 5º A = 3,14 7 = 87,9 cm A = 4 3, = 1,81 cm 8 Halla el área lateral de estos troncos de cono y de pirámide. 1 cm = 3,14 (8 + 1) 7 = 439, (7 + 5) 1 = 5 = 360 cm 383 Matemáticas.º ESO

31 Geometría del espacio. Áreas 83 Cuál es el área total de este cuerpo? Calcula. 1 g = g = = 100 g = 10 cm A bases = 3,14 ( ) = 684,5 = 3,14 (7 + 13) 10 = 6 = + A bases = ,5 = 1 31, 84 Unos albañiles están construyendo una piscina de 0 m de largo por 13 m de ancho con una profundidad de 1,90 m. Si quieren cubrir las paredes y el suelo con azulejos especiales para piscina, cuántos metros cuadrados de azulejo deben comprar como mínimo? Calculamos el área lateral y le sumamos el área de una base. = (0 + 13) 1, = 385,4 m Deben comprar 385,4 m de azulejo como mínimo. 85 Lisa ha comprado un chocolate que viene guardado en una caja con forma de prisma, cuyas bases son triángulos equiláteros de base y altura 4,. La altura de la caja es de 0 cm. Cuánto papel, como mínimo, necesita para envolver la caja de chocolate? Calculamos el área total de un prisma de base triangular. = + = (3 5) ,3 = ,5 = 31, Necesita 31, de papel como mínimo. 86 En la terraza de una cafetería tienen 6 sombrillas con forma de pirámide de 50 cm de altura y una base cuadrada de,40 m de lado. Si tienen que renovar la tela de todas las sombrillas, cuántos metros cuadrados de tela tendrán que reponer? Calculamos el área lateral de una pirámide de base cuadrada. a p = 0,5 + 1, a p = 0,5 + 1,44 = 1,69 a p = 1,3 m,4 1,3 Luego el área lateral es: = 4 = 6,4 m Se necesitan 6,4 m² de tela para cada sombrilla. Como son 6 sombrillas, se necesitan: 6 6,4 = 37,44 m² 87 Hugo tiene un papel que mide 37,3 de largo y 5,1 cm de ancho. Cuántos cilindros diferentes puede construir utilizando todo ese papel? Calcula la longitud del radio de la base de cada uno de esos posibles cilindros. Dos cilindros, uno con altura 37,3 y otro con altura 5,1 cm. El de altura 37,3 tiene como perímetro de la base 5,1, por tanto: 3,14 r = 5,1 r = 5,1 3,14 = El de altura 5,1 cm tiene como perímetro de la base 37,3, luego se tiene que: 3,14 r = 37,38 r = 37,38 = 5,9 3, Matemáticas.º ESO

32 Geometría del espacio. Áreas 88 Se quiere pintar un depósito cilíndrico de 3, m de diámetro y 3 m de altura. Un litro de pintura da para una superficie de 4,5 m. Cuántos litros se necesitan para pintar el depósito completo? Calculamos el área total del cilindro. = + = (3,14 3,) 3 + ( 3,14 1,6 ) = 30, ,08 = 46, cm 46, : 4,5 = 10,7 L Se necesitan 10,7 L para pintar el depósito completo. 89 El tejado de una torre cilíndrica que tiene forma de cono está en muy mal estado y necesita una reparación urgente. La empresa encargada del arreglo elabora un presupuesto para una superficie de 75 m. Si la altura del cono es,8 m y el radio mide 4,5 m, está bien elaborado el presupuesto? Calculamos el área lateral del cono que forma el tejado. Para ello, necesitamos su generatriz. g =,8 + 4,5 g = 7,84 + 0,5 = 8,09 g = 5,3 m Luego el área lateral es: = 3,14 4,5 5,3 = 74,89 m El presupuesto está bien elaborado porque han redondeando el resultado. 90 Esta esfera está cortada en ocho partes iguales. Si el radio de la esfera mide 1 dm, cuál es el área de cada pieza? La superficie de la pieza es equivalente a la superficie de una octava parte de la esfera (parte exterior), más tres sectores circulares con ángulo de 90º y radio 1 dm (dos sectores laterales y el otro como base de la figur. El área de estos tres sectores equivale a tres cuartos del cículo de radio 1 dm. A figura = 1 8 4πr πr = 5 4 πr 5 3,14 1 = = 3,95 dm 4 91 Si cortas una esfera de de radio por un plano que dista 1 cm del centro, cuál es el área de los dos casquetes esféricos resultantes? A 1 = 3, = 45,1 A = 3, = 351,6 9 Una empresa fabrica dos tipos de envase para las palomitas. Cuál de estos dos envases tiene menor superficie? Generatriz tronco de cono: g = 15 + g = 9 g = 15,1 C = A base pequeña + A lateral = 3, ,14 (6 + 4) 15,13 = 55, Apotema tronco de pirámide: a = 15 + a = 9 a = 15,1 ( + 7) 15,13 P = A base pequeña + A lateral = = 593,6 Tiene menos superficie el envase con forma de tronco de cono. 93 Pablo pinta una esfera cuyo diámetro mide. Calcula: El área de la superficie que pinta Pablo. El área del un huso esférico de 45º de amplitud. A esfera = 4 3,14 14 = 461,7 A huso = 4 3, = 307, 385 Matemáticas.º ESO

33 Geometría del espacio. Áreas Matemáticas vivas. Mantenimiento de edificios MATEMÁTICAS VIVAS Cada cierto tiempo, las fachadas de los edificios necesitan una mano de pintura. Existen empresas especializadas en este tipo de trabajos de alto riesgo, ya que se tienen que realizar a gran altura. REFLEXIONA Mantenimiento de edificios 5 Si paseas por las zonas empresariales de las grandes ciudades, la mayoría de sus edificios no tienen fachadas hechas de ladrillo o cemento. En su lugar, están formadas por grandes paneles de vidrio que necesitan una limpieza periódica. Además, estos edificios tienen forma de cuerpos geométricos diferentes de los que aparecen en las zonas residenciales. RESUELVE COMPRENDE 1 Un edificio tiene una planta rectangular de 40 m de largo por 35 m de ancho y una altura de 1 m. a. Qué forma tiene el edificio? b. Cuál es el área de la base? c. Calcula el área lateral de la figura. d. Cuánto mide su superficie total? RESUELVE Una empresa tiene que realizar un presupuesto para pintar la fachada del edificio. La empresa presupuesta a 3 el metro cuadrado. A cuánto dinero asciende el presupuesto? ARGUMENTA 3 La misma empresa de la actividad anterior recibe el encargo de dar una capa de una pintura especial para filtraciones. Cada bote de pintura cuesta 55 y con él se pueden pintar 1 m. Cuántos botes de pintura se necesitan para terminar toda la azotea? RELACIONA 4 La empresa tiene tres métodos para realizar los trabajos de pintura en la fachada del edificio. Brocha para superficies pequeñas. Rodillo para superficies medias. Pistola con compresor para superficies grandes. Una de las fachadas grandes no dispone de ventanas ni terrazas, las dos pequeñas tienen un 30 % de superficie ocupada por ventanas y la otra grande tiene ventanas y terrazas en un 60 % de su superficie. La siguiente tabla muestra los tiempos estimados que se necesitan para pintar superficies con los diferentes métodos: Brocha Rodillo Pistola 1 h/m 30 min/m 10 min/m La empresa va a utilizar pistola para la pared sin ventanas, rodillo para las dos que tienen ventanas y brocha para la ocupada con terrazas y ventanas. Cuánto tiempo va a necesitar para pintar el edificio? PIENSA Y RAZONA Calcula cuánto mide la superficie que hay que limpiar en los siguientes edificios. TRABAJO COOPERATIVO TAREA Construid con cartulina una maqueta de una zona de oficinas de una gran ciudad. Elegid una gran ciudad e investigad la forma geométrica de los edificios de sus zonas de oficinas. Comparad los resultados de vuestra investigación con los de vuestra maqueta. Qué diferencias encontráis? Qué semejanzas? Sugerencias didácticas En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el mantenimiento de edificios, en la que intervienen áreas de cuerpos geométricos. En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Argumenta o Piensa y razona. Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Preparar la tarea, Adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de David y Roger Johnson. Los alumnos construyen una maqueta de una zona de oficinas con cartulina. Además, elegirán una gran ciudad e investigarán sobre la forma geométrica de los edificios de su zona financiera. Compararán finalmente los resultados de la investigación con los de la maqueta que han realizado. Cómo se realizará la tarea? Los alumnos se organizan en grupos. Un alumno de cada grupo explica el trabajo y el resto de compañeros puntualiza los detalles. Deciden cómo desarrollar el trabajo asegurándose de que todos entienden lo que hay que hacer. Si la tarea consta de varios pasos, varios alumnos van explicando las distintas fases. Soluciones de las actividades Cada cierto tiempo, las fachadas de los edificios necesitan una mano de pintura. Existen empresas especializadas en este tipo de trabajos de alto riesgo, ya que se tienen que realizar a gran altura. 386 Matemáticas.º ESO

34 Geometría del espacio. Áreas Comprende 1 Un edificio tiene una planta rectangular de 40 m de largo por 35 m de ancho y una altura de 1 m. Qué forma tiene el edificio? Cuál es el área de la base? c) Calcula el área lateral de la figura. d) Cuánto mide su superficie total? Prisma recto de base rectangular. = = m c) = ( ) 1 = m d) = = m Una empresa tiene que realizar un presupuesto para pintar la fachada del edificio. La empresa presupuesta a 3 el metro cuadrado. A cuánto dinero asciende el presupuesto? El área de la fachada coincide con el área lateral = = El presupuesto asciende a La misma empresa de la actividad anterior recibe el encargo de dar una capa de una pintura especial para filtraciones. Cada bote de pintura cuesta 55 y con él se pueden pintar 1 m. Cuántos botes de pintura se necesitan para terminar toda la azotea? El área de la azotea coincide con el área de la base = : 1 = 6,6 botes Por tanto, se necesitan 7 botes, que suponen: 7 55 = Relaciona 4 La empresa tiene tres métodos para realizar los trabajos de pintura en la fachada del edificio: Brocha para superficies pequeñas Rodillo para superficies medias Pistola con compresor para superficies grandes. Una de las fachadas grandes no dispone de ventanas ni terrazas, las dos pequeñas tienen un 30 % de superficie ocupada por ventanas y la otra grande tiene ventanas y terrazas en un 60 % de su superficie. La siguiente tabla muestra los tiempos estimados que se necesitan para pintar superficies con los diferentes métodos: Brocha Rodillo Pistola 1 h/m 30 min/m 10 min/m La empresa va a utilizar pistola para la pared sin ventanas, rodillo para las dos que tienen ventanas y brocha para la ocupada con terrazas y ventanas. Cuánto tiempo va a necesitar para pintar el edificio? Fachada grande 1 con pistola: 40 1 = 480 m = min = 80 h Fachadas pequeñas con rodillo: 0, = 94 m = 8 80 min = 147 h Fachada grande con brocha: 0, = 19 m 19 h En total, tardan en pintar el edificio: = 419 h 387 Matemáticas.º ESO

35 Geometría del espacio. Áreas Reflexiona 5 Si paseas por las zonas empresariales de las grandes ciudades, la mayoría de sus edificios no tienen fachadas hechas de ladrillo o cemento. En su lugar, están formadas por grandes paneles de vidrio que necesitan una limpieza periódica. Además, estos edificios tienen forma de cuerpos geométricos diferentes de los que aparecen en las zonas residenciales. Calcula cuánto mide la superficie que hay que limpiar en los siguientes edificios. Edificio cilíndrico = 3, = 940 m Edificio con forma de prisma de base hexagonal = = 4050 m Edificio con forma de tronco de cono Primero calculamos la generatriz del tronco de cono. g = = 650 g = 5,50 m = 3,14 (0 + 15) 5,50 = 80,45 m Edificio piramidal Primero calculamos la apotema de la pirámide. a p = ,5 = 1756,5 a p = 41,91 m ,91 = = 095,50 m Trabajo cooperativo TAREA Construid con cartulina una maqueta de una zona de oficinas de una gran ciudad. Elegid una gran ciudad e investigad la forma geométrica de los edificios de sus zonas de oficinas. Comparad los resultados de vuestra investigación con los de vuestra maqueta. Qué diferencias encontráis? Qué semejanzas? Respuesta abierta. 388 Matemáticas.º ESO

36 Geometría del espacio. Áreas Avanza. Área de cuerpos geométricos compuestos Geometría del espacio. Áreas AVANZA A la hora de hallar el área un cuerpo geométrico compuesto, calculamos la suma de las áreas laterales de los cuerpos geométricos que lo componen. Ahora bien, debemos tener cuidado con las bases. Por ejemplo, para calcular el área del siguiente cuerpo compuesto, procedemos de la siguiente forma: Calculamos el área lateral del cono de de radio y 1 de generatriz. cono = 3, = 04,1 cm Calculamos el área lateral del prisma. prisma = = 10 cm Calculamos el área de una base del prisma. prisma = = 100 cm Al área de la otra base del prisma hay que restarle el área de la base del cono. prisma cono = 100 3,14 5 = ,5 = 1, Por último, sumamos todas las áreas calculadas. A figura = 04, ,5 = 445, 10 cm A1. Halla el área de estos cuerpos geométricos cm Área de cuerpos geométricos compuestos A. Cuál es el área de los siguientes cuerpos geométricos? Sugerencias didácticas En la sección Avanza de esta unidad se introduce el cálculo del área de cuerpos geométricos compuestos. Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores. Soluciones de las actividades A1. Halla el área de estos cuerpos geométricos. 1 GEOMETRÍA EN EL ARTE 9 cm cm M. C. Escher y sus poliedros Son muchos los artistas que han incluido figuras poliédricas en sus obras. Pero seguramente sea el holandés Maurits Cornelis Escher uno de los que más fascinación ha demostrado por estos cuerpos geométricos. En la foto podemos ver un dodecaedro en cuyas caras Escher ha dibujado la misma figura, que encaja con las otras caras del dodecaedro. G1. Investiga sobre la obra de M. C. Escher y su relación con las matemáticas. G. Construye un poliedro regular y decóralo con un estilo similar al de Escher. 1 1 A = pirámide + prisma + pirámide = 391 cm A = cubo + cubo + pirámide = 4 48 A. Cuál es el área de los siguientes cuerpos geométricos? A = cilindro + A semiesfera + A semicírculo = 137,37 A = cono + A semiesfera = 197, 9 cm 1 cm Geometría en el arte. M. C. Escher y sus poliedros Sugerencias didácticas Para finalizar la unidad se trabaja la aparición de los cuerpos geométricos en el arte, en particular cómo trabaja los cuerpos geométricos el artista M. C. Escher, cuya obra está muy relacionada con las matemáticas. Soluciones de las actividades G1. Investiga sobre la obra de M. C. Escher y su relación con las matemáticas. Respuesta abierta. G. Construye un poliedro regular y decóralo con un estilo similar al de Escher. Respuesta abierta. 389 Matemáticas.º ESO

37 Geometría del espacio. Áreas 1. Dibuja un poliedro regular con 6 caras. Indica cómo se llama y señala en él una cara, una arista y un vértice. Se llama hexaedro o cubo. Comprobar que los alumnos dibujan correctamente el cubo, y señalan una de sus caras, aristas y vértices.. Calcula el área total de un prisma de base rectangular de de largo y de ancho, y 1 cm de altura. A base = 6 4 = A lateral = ( 6 + 4) 1 = 40 cm A total = A lateral + A base = = 8 El área total del prisma es Halla el área total de un cilindro cuyo diámetro y altura miden 10 cm. A base = 3,14 5 = 78, A lateral = ( 3,14 5) 10 = 31 A total = A lateral + A base = ,5 = 471 cm El área total del cilindro es 471 cm. 4. La generatriz de un cono mide 1 y el radio de su base,. Cuánto mide su área total? A base = 3,14 6 = 3,0 A lateral = 3, = 339,1 cm A total = A lateral + A base = 339,1 + 3,04 = 45,1 El área total del cono mide 45,1. 5. Si una esfera tiene una superficie de 00,9, cuál es su diámetro? Como la esfera tiene una superficie de 00,9, se tiene que: 4 3,14 r = 00,96 r = 00,96 4 3,14 PROPUESTA DE EVALUACIÓN PRUEBA A = 16 r = 16 = Como el radio de la esfera mide, el diámetro mide el doble, es decir,. 390 Matemáticas.º ESO

38 Geometría del espacio. Áreas 1. Calcula el área total de un prisma de base heptagonal de lado y apotema de la base 3, cm, y una altura de. A base = (7 3) 3, = 3,6 A lateral = (7 3) 5 = 10 A total = A lateral + A base = ,66 = 170, El área total es 170,.. El área lateral de un cilindro de 1 cm de altura es 376,. Cuál es el área de la base? Como el área lateral es 376, se tiene que: 3,14 r 1 = 376,8 r = Luego el área de la base es: A base = 3,14 5 = 78, El área de la base es 78,. 376,8 3,14 1 r = 3. Calcula el área lateral de una pirámide de base cuadrada de lado 10 cm y altura 1 cm. Para calcular el área lateral necesitamos conocer la apotema de la pirámide. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la mitad del lado, la altura y la apotema de la pirámide. a p = a p = a p = 169 a p = 169 = A = 4 = 60 cm El área lateral es 60 cm. 4. Calcula el área total de un cono de diámetro cm y altura,. Aplicamos Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por el radio, la altura y la generatriz del cono. g =,4 + 1 g = 5, g = 6,76 g = Luego tenemos que: A base = 3,14 1 = 3,1 A lateral = 3,14 1,6 = 8,16 A total = A lateral + A base = 8, ,14 =,30 El área total es,30. 6,76 =, 5. Halla el área total de un tronco de cono cuya generatriz mide 3, y cuyos radios de las bases miden y, respectivamente. A bases = 3, ,14 6 = 163, A lateral = 3,14 (4 + 6) 3,5 = 109,9 cm A total = A lateral + A bases = 109, ,8 = 73,1 El área total es 73,1. PROPUESTA DE EVALUACIÓN PRUEB 391 Matemáticas.º ESO