I.2.1 Tópicos Importantes

Transcripción

1 I..1 Tópicos Importantes Fluidos viscosos Como se ha señalado explícitamente anteriormente, nos hemos restringido a estudiar el comportamiento de fluidos ideales en movimiento, es decir, fluidos que tienen la propiedad de ser incompresibles y no-viscosos. En esta parte final del tema de fluidos en movimiento, abordaremos algunos aspectos relacionados con fluidos no-ideales por ser estos viscosos. Viscosidad? Activar: Real Media Player

2 Para ilustrar el comportamiento de los fluidos viscosos veamos a un fluido sujeto a un esfuerzo tangencial generado con la aplicación de la fuerza F a partir del instante t 0, sobre una placa colocada sobre su superficie: y F Fluido en reposo x t 0 = 0 y deformación Fluido en movimiento x t > 0

3 La deformación del fluido se debe a que sus partes no se movieron todas con igual velocidad, manifestando una nueva propiedad de los fluidos. Este comportamiento se puede representar esquemáticamente, concibiendo al fluido como formado por capas delgadas: perfil de velocidades Esfuerzo de Corte Aplicado (causa) σ F A? Deformación Producida (efecto) dy

4 La forma en que esta modificación de velocidades se produce puede ser muy compleja, y dependerá del tipo de fluido: Relación esfuerzo-deformación plástico Bingham Esfuerzo pseudo-plástico dilatante Newtoniano Deformación

5 Para la situación ilustrada en la figura, es sencilla: O bien: σ dy σ = η dy Esfuerzo Deformación Coeficiente de Viscosidad

6 σ = η dy F A =η dy F =ηa dy Fluido Newtoniano Relación Lineal Fluidos viscosos mas sencillos Viscosidad es una constante en el sentido de que no depende de las características del flujo (esfuerzo, deformación) Viscosidad es una propiedad de los fluidos en movimiento, función de la temperatura

7 Análisis dimensional: [ ] [ ][ ] [ F = A A ] η η dy = [ dy] De donde se obtiene que: Unidades: [ ] [ ][ ] [ ] η = [ ][ ] [ Longitud ] Fuerza L Fuerza tiempo η = = L [ L] t Sistema de Unidades Densidad Absoluta [ F ][ dy] [ A][ ] Internacional c.g.s. Inglés N is m Dinais cm Lbis ft

8 Importante: La unidad más utilizada para la viscosidad es el Poise (p) definido como: 1Poise = 1 D s cm y sus submúltiplos más comunes son el centipoise (cp) y el micropoise ( µ p). 1cp = p 6 µ p= p En la tabla que se incluye a continuación se ilustra el comportamiento de la viscosidad de un líquido y un gas como función de la temperatura: T ( ) 0 C Agua ( cp ) Aire ( µ p )

9 Tarea: Investigar bibliográficamente el comportamiento de la viscosidad como función de la temperatura para otras substancias liquidas y gaseosas. Reportar el resultado de sus consultas. (Se recomiendan los Handbooks de Física y Química).

10 Checando datos (Práctica de Laboratorio): Viscosidad. Una aproximación lúdica a los Fluidos asombrosos

11 Ecuación de Bernoulli Fluidos ideales: no-viscosos Cómo podríamos modificar la Ecuación de Bernoulli cuando los fluidos son viscosos? Teorema de Trabajo y la Energía Cinética Fluidos ideales Δ K = W1+ W + Ww Fluidos Viscosos Δ K = W1+ W + Ww + Wf Trabajo realizado por las fuerzas viscosas

12 Siguiendo un procedimiento similar al seguido para la obtención de la Ecuación de Bernoulli, podemos escribir: Δ K = W1+ W + Ww + Wf ρ d p+ v + ρgy = w f Energía por unidad de volumen disipada por la presencia de las fuerzas viscosas Si el fluido es 0 no-viscoso f ρ d p+ v + ρgy = w = 0 ρ + + =. Ecuación de p v ρgy cte Bernoulli

13 Flujo de Poiseuille Consideremos el flujo de un líquido que se mueve en el interior de una tubería cilíndrica: v a Flujo Viscoso v Fluido Newtoniano De lo visto anteriormente, sabemos que para un fluido viscoso se satisface que: ρ d p+ v + ρgy = w f dp + ρv + ρgdy = w f (1) Además de la Ecuación de Continuidad para fluidos incompresibles: Q = av = cte R Como: a = cte v = cte = 0 ()

14 Además, como el tubo es horizontal: y = cte dy = 0 (3) Sustituyendo las ecs. () y (3) en la ec. (1), obtenemos: dp = w f (4) Recordemos que w f es el trabajo (energía) por unidad de volumen debido a la presencia de las fuerzas viscosas, de esta forma podemos expresar: w f = dw Considerando un elemento de volumen cilíndrico de radio r y longitud dx, tendremos que: V = π V f r dx w f = dw f πr dx (5)

15 Sustituyendo la ec. (5) en la ec. (4), obtenemos: dp dw f = (6) π rdx Como el fluido es Newtoniano y el fluido se mueve perpendicularmente a la dirección radial: Fuerza Viscosa F =η A dr Como el flujo se mueve en dirección horizontal: (7) Deformación dwf = Fdx Sustituimos en esta la ec. (7) para obtener: dwf =η A dx dr ηa dx ηa dp = dr = dr πrdx πr en ec. (6)

16 Esta ecuación puede escribirse como: dp η A πr dr = (8) Es importante diferenciar entre las áreas a y A, veamos la figura: a a = πr A A= ( π ) r dx Sustituyendo A en la ec. (8) tenemos: dp dp ηπrdx = π r dr η dx r dr = (9)

17 Agrupando términos podremos escribir la ec. (8) como: r = dp dr η dx Deformación (radial) dr = r dp η dx Gradiente de presión (horizontal) = = r dp η dx ( dp dx) η rdr (10) La ec. (10) nos permitirá obtener el Perfil de Velocidades v(r)

18 Integremos con la siguiente condición a la frontera: veamos: = ( dp dx) η rdr vr ( ) vr ( = R) = 0 = 0 vr ( ) ( dp dx) η = ( dp dx) 0 R r R rdr r No deslizamiento en la pared Como el gradiente de presión no depende de r, podemos escribir: De esta forma: vr () 0= ( ) dp dx r η ( dp dx) vr () = r R 4η r R η (11) rdr

19 Como se observa experimentalmente (Práctica 7), conforme el fluido viscoso se desplaza horizontalmente en la tubería, se presenta una caída de presión, es decir, el gradiente de presión es negativo. Esto nos permite escribir: dp dx Δp = L Diferencia de presión (positiva) entre dos regiones separadas una distancia L Δp vr () = R r 4ηL Perfil de Velocidades de Poiseuille (1) 1.0 Perfil de Velocidades de Poiseuille r v(r)

20 Ejercicio: Mostrar que la velocidad máxima del flujo de Poiseuille es en el centro. Ejercicio: Siguiendo un procedimiento similar, obtener el perfil de velocidades de Poiseuille si el flujo se presenta entre dos placas planas paralelas en lugar del interior de una tubería cilíndrica. Ejercicio: Mostrar que la velocidad máxima del flujo de Poiseuille entre dos placas planas paralelas es también en el centro. Cuál es su valor?.

21 Si la velocidad varia con el radio, por la Ecuación de Continuidad, también el gasto debe depender del radio. veamos: Cuál es la expresión del gasto en Flujo de Poiseuille? dv () r Qr () = vrdar () () dt Qr () = vr ()πrdr Sustituyendo la ec. (1) del perfil de velocidad radial: Δp 4η L Qr () = R r π rdr Gasto a una distancia r del centro de la tubería cilíndrica Para obtener el gasto total que pasa por la tubería cilíndrica de radio R, deberemos sumar las contribuciones al gasto para cada r: R R πδp Q = Q() r dr = R r rdr Gasto Total η L 0 0

22 integrando: R R πδp 3 πδp Q= R r rdr R r r dr ηl = ηl πδp R R πδp R = ηl 4 = ηl 4 Finalmente tendremos que: Gasto o Ley de Poiseuille Q 4 π R Δp = 8η L Directamente proporcional al gradiente de presión ( Δp L) y a la cuarta potencia del radio ( 4 R ) de la tubería. Inversamente proporcional a la viscosidad ( η ). Ejercicio: Muestre que el gasto de Poiseuille, coincide con el gasto de un fluido que se mueve con una velocidad uniforme e igual a la mitad de la velocidad máxima del perfil de velocidades de Poiseuille. Describa gráficamente los perfiles de velocidad de los dos flujos y comente sobre la equivalencia.

23 Número de Reynolds Dependiendo de las condiciones del flujo, este puede manifestar lo que se conoce como regimenes Laminar o Turbulento. Osborne Reynolds estudió las condiciones en las que la circulación de un fluido en el interior de una tubería pasaba del régimen laminar al régimen turbulento. Fruto de estos estudios, propone en 1883 el llamado Número de Reynolds, por similitud entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. Motivación Y sabemos además de la ecuación (4) que: Término inercial dp = w f Término viscoso

24 Y sabemos además de la ecuación (4) que: dp η A A = = η a dr a dr (1) Lo que haremos es adimensionalizar esta ecuación. Veamos: [ dp] [ ] [ Area] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Fuerza M L M L M L = = = = 3 3 L t L t L t [ dp] = [ ρ][ v] [ ] Si deseamos adimensionalizar el termino dp en la ec. (1), necesitamos dividir por un termino que tenga unidades de densidad y velocidad al cuadrado.

25 Tomando para tal efecto a: Densidad del fluido que fluye por la tubería ρ v Velocidad media del fluido que fluye por la tubería ρv Factor para adimensionalizar Dividiendo la ec. (1) por el factor de adimensionalización: dp η A = ρv ρv a dr () Como: dr = v v dr D D (3)

26 Sustituyendo la ec. (3) en la ec. (), tenemos que: v dp η A v η A = = ρv ρv a dr D ρvd a D v dr D (4) Definamos las variables adimensionales siguientes: p * p ρv v * v v r * r A D a A = D a D Sustituyendo las variables adimensionales en la ec. (4), obtenemos: A a * * dp * η A = ρvd a dr * * * * ρvd η A a dp dr * * * * = (5) *

27 Observemos que el miembro derecho de la ec. (5) es adimensional: A a dp dr * * * * Luego entonces, el miembro izquierdo de la ec. (5), también debe ser adimensional: * ρvd η Este numero adimensional fue el introducido por Osborne Reynolds y en su nombre se le denota por N R : N R ρvd η Número de Reynolds Cuál es la importancia de este número?

28 Experimental y aproximadamente Si: N R < 000, el flujo es Laminar N R = ρvd η Si: 3000 < N R < 000, el flujo es Inestable Si: N R > 3000, el flujo es Turbulento ü Densidad Dependiendo solamente de: ü Viscosidad ü Velocidad media ü Geometría (D)

29 Fuerza de Stokes Se conoce como Fuerza de Stokes o Ley de Stokes a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos Números de Reynolds. En 1851, George Stokes obtuvo que la fuerza que un fluido viscoso ejerce sobre un objeto es proporcional a la velocidad con la que este se mueve: F S v Específicamente, para un cuerpo esférico de radio r, la constante de proporcionalidad α depende de los siguientes parámetros: A mayor viscosidad, mayor fuerza viscosa sobre la esfera α = 6πηr F S = αv A mayor tamaño (radio) de la esfera, mayor fuerza viscosa F 6πηrv S = Ley de Stokes

30 Consideremos la caída de un cuerpo esférico en un fluido viscoso, como el que se muestra en la figura: Cómo se mueve en el medio fluido viscoso? ρ Fuerza de Stokes: F S ρc > ρ ρ C Empuje: E Peso de la esfera: W De la Segunda Ley de Newton, tendremos que: W + E + F S = ma Como las fuerzas y el movimiento es unidimensional (vertical): E+ FS W = ma (1)

31 Sabemos que: Sustituyendo en la ec. (1) E W F S = ρgv = ρ gv C = 6πηrv ρ πη ρ gv + 6 rv CgV = m dt Ordenando términos podemos escribirla como: m = ( ρc ρ) gv 6πηrv dt Importante. Si el fluido NO fuera viscoso m = ( ρc ρ) gv 6πηrv m = ( ρc ρ) gv dt dt Movimiento con aceleración uniforme Si el fluido SI es viscoso, como la Fuerza de Stokes depende de la velocidad de la esfera: m = ( ρc ρ) gv 6πηrv dt Movimiento con aceleración nouniforme ()

32 E W E W F S E F S E F S W W W + E + F S = 0 t = 0 t >0 t >>0 Condición inicial v 0 = 0 Régimen acelerado a = a(t) (3) Régimen terminal v = v T 6 πηrv = ( ρ ρ) Vg Como: V = v = v = C ( ρc ρ) Vg v = 6πηr 4 πr 3 4 ( ρ ρ) π 3 6πηr 3 C r g 4 ( ρc ) 3 6η ρ r g ( ρc ρ) rg v = v 9 η 3 T

33 El comportamiento de la velocidad para todo tiempo, se obtiene como solución de la ecuación diferencial: Aceleración de la esfera m + 6 πηrv= ( ρc ρ) Vg dt Peso efectivo de la esfera constante Ecuación diferencial de primer orden no-homogénea Forma general de la ecuación diferencial: Av B dt + = donde: 6πηr A = m ρ B= (1 ) g ρ C Ejercicio: Mostrar que la solución de esta ecuación diferencial es la siguiente: B vt () = 1 e A At (4)

34 Observemos que, en el limite de tiempos muy largos ( t ), la ec. (4) se reduce a: B At lim t vt ( ) = 1 limt e = A B A Ejercicio: Mostrar que: B lim t vt ( ) = = A v T Ejercicio: Integrar la ecuación de la velocidad, ec. (4), para obtener la posición de la esfera como función del tiempo siguiente: ( At 1 e ) y = vt t A Ejercicio: Mostrar que el movimiento en el régimen terminal es un movimiento rectilíneo uniforme.

35 Qué tanto es tantito y que tan grande es infinito? 10 9 Ejemplo. Balines de hierro en aceite vegetal: ρ = 8.5 g/cm 3, η = 50cp 0.5 Ejemplo. Balines de hierro en aceite vegetal: ρ = 8.5 g/cm 3, η = 50cp 8 r=0.94 cm v(t) (cm/seg) r=0.81 cm r=0.66 cm r=0.47 cm y(t) (cm) t (seg) t (seg) Checar datos

36 Importante 1: Medir la velocidad terminal de un balín que cae en un fluido viscoso, nos permite conocer la viscosidad del fluido en el que se mueve. η = 9 ( ρ ρ) C v T rg Importante : La Ley de Stokes lleva implícita la suposición de que el cuerpo esférico se mueve en el fluido en el bulto, es decir, sin fronteras cercanas. Al dejar caer la esfera de radio r en un recipiente de radio R, la aplicación de la Ley de Stokes estará sujeta a la condición: R >> r.

37 Ley de Darcy Fue encargado del estudio de la red de abastecimiento de agua de la ciudad. En 1847, el agua entubada llega a todos los pisos de todos los edificios de Dijon, transformando así a esta ciudad en la segunda ciudad europea en lo que se refiere a abastecimiento de agua, después de Roma. Se interesó en el diseño de filtros de arena para purificar el agua. Henry Darcy (Francia, ) Investigación sobre el flujo de fluidos en medios porosos Esbozo del sistema experimental de Darcy

38 Observando que se presentaba una caída de presión en el agua al pasar a través de una columna de arena, procede a cuantificar el fenómeno. Midió el gasto de agua Q y la caída de presión Δh, que pasa a través de la columna de arena de área transversal A: Gradiente de presión Caída de presión Gasto Obteniendo la siguiente relación fenomenológica: Q A Δp L El gasto por unidad de área, es proporcional al gradiente de presión

39 Además, concluyó que la razón de proporcionalidad dependía del tipo de arena o medio poroso por donde fluía el agua. De esta forma, planteo lo siguiente: Q KA L Δp = Ley de Darcy Permeabilidad o Conductividad Hidráulica Experimentos subsiguientes sobre flujo en medio porosos, han permitido conocer sobre la dependencia de la constante de permeabilidad K: No solamente depende del medio poroso sino también de las propiedades del fluido Permeabilidad intrínseca K ρg = κ η porosidad, tortuosidad, temperatura.

40 Interesante: Q A Δp = K Ley de Darcy D L 4 Q π R Δ p R Δ p p K Δ R = = = Ley de Poiseuille A 8ηL 8η L L Flujos Q A = K G Δp L Relación lineal? Comportamiento General? Fuerzas solo en hidrodinámica? T.I.L.