INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS FÍSICOS

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1 TEMA. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS FÍSICOS CONTENIDO INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS FÍSICOS SISTEMAS MECÁNICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS: MOTORES Y GENERADORES SISTEMAS TÉRMICOS SISTEMAS ELECTRÓNICOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES 1

2 INTRODUCCIÓN A LA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS FÍSICOS En esta sección se derivan ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de sistemas mecánicos, eléctricos, electromecánicos, térmicos electrónicos. Dichas ecuaciones se usan para obtener la función de transferencia entre las variables seleccionadas. Regresar

3 SISTEMAS MECÁNICOS K (t) M d dt ( t) M f(t) K(t) M f(t) B d ( t ) dt B Primero obtener un diagrama de cuerpo libre que represente la interacción de fuerzas correctamente usando las ecuaciones que lo gobiernan físicamente 3

4 SISTEMAS MECÁNICOS d d() t M + B + K () t f () t dt dt d B d() t K f () t t () + dt M dt M M Obteniendo la transformada de Laplace, considerando las condiciones iniciales nulas B K F () s sy() s sy() s Y() s + M M M F() s B K Y () s s + s+ M M M Finalmente Y () s 1 1 M F() s s M + Bs+ K B s + s+ M K M 4

5 SISTEMAS MECÁNICOS Otro ejemplo de un sistema mecánico (t) () 1(t) f() t K( ) 1 d d 1 + K( ) M B dt f () t 1 + K dt M d dt ( t) d( t) B dt M K(1(t)-(t)) f(t) Regresar 5

6 SISTEMAS ELÉCTRICOS E o 1 R + sc 1 R+ + R sc 1 E i E E o i τ s + 1 / s + 1 ( τ α) Donde τ RC α R R + R 1 6

7 SISTEMAS ELÉCTRICOS R 1 E i 1/sC 1 R E o 1/sC E o 1 R + sc 1 ( R 1 ) 1 sc1 R + + sc 1 ( R1 ) + sc1 E i ( RCRC 1 1 ) s + ( RC 1 1+ RC ) s+ ( ) ( ) E 1 o E RCRC s + RC + RC + RC s+ 1 i Regresar 7

8 SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS: MOTORES Y GENERADORES ( ) Tt () Jθ () t+ Bθ () t di f ef Rfif Lf dt T() s s Js+ B Θ() s E R + L s I + ( ) f f f f J Inercia B Constante de amortiguamiento T Ki t f T KtI f K t Constante de torque del motor Kt / ( RfB) ( 1)( f 1 ) Θ E sts+ Ts+ f m f T m J / B Constante de tiempo del motor T f L f / R f Constante de tiempo del campo 8

9 SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS: MOTORES Y GENERADORES () () () ( ) Tt () Jθ () t+ Bθ () t di e R i L e dt e K θ () t a a a a a m m T () s s Js+ B Θ () s E R + L s I + E + + ( ) e E m KsΘ e a a a a m J Inercia B Constante de amortiguamiento T Ki t a T K I K t Constante de torque del motor t a Θ 1/ K e E stts + T + T s+ + ( ( γ ) γ 1) a a m m a T m JR a / (K e K t ) Constante de tiempo del motor T a L a / R a Constante de tiempo de la armadura γ BR a / (K e K t ) Factor de amortiguamiento Regresar 9

10 SISTEMAS TÉRMICOS Un tanque de volumen V contiene un fluido incompresible de densidad de masa ρ calor específico c. Se asume que el tanque está lleno, por lo que f i f o el flujo másico entrando saliendo esff i ρ. Por lo queel flujo de calor a la entrada esff i ρctt i el que sale esff i ρct T, elflujonetoesf i ρc(t i T). Este es el flujo neto de calor por segundo debe ser igual al cambio por segundo del calor almacenado en el tanque. ρ ( ) VρcT f ct T i i V T + T T Ti i f i T() s 1 T() s V / f s + 1 i ( ) i 10

11 SISTEMAS TÉRMICOS Sea T la diferencia con una temperatura ambiente constante. q i T C t q o q T / R La pérdida de calor q o al ambiente se puede modelar por o t, donde es la resistencia i térmica. Si q i es el flujo de calor del calentador eléctrico, el flujo neto i t por segundodebeseriguala CT,elcambioporsegundoolarazóndecambiodelcalor t almacenado, donde C t es la capacitancia térmica. Por lo tanto, el comportamiento se puede modelar por la ecuación diferencial R CT + T Rq t t t i T() s Rt Q () s RCs+ 1 Q i t t R t ( q T / R ) Regresar 11

12 SISTEMAS ELECTRÓNICOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES E o ( R ) R R sc 1 sc 1 sc 1 E i E o Z f Z i E i Eo RCs 1 E RCRC s + RC + RC s+ i ( ) ( )

13 SISTEMAS ELECTRÓNICOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES R 1 R 1 R - e i + C e o R - E i + 1/sC E o E o Z f Eo 1+ Ei 1 Zi ( R1 ) sc 1 R1 + sc 1 + Ei R Eo RR Cs + R + R Ei RR1 Cs + R 1 1 Regresar 13

14 Las gráficas de flujo de señal son una alternativa a los diagramas de bloques. Para sistemas complejos, con la fórmula de ganancia de Mason se determina la función de transferencia total sin la necesidad de reducciones sucesivas. H R G 1 G + G 3 C H 1 14

15 Diagramas de flujo de señal: Considere que un sistema lineal está descrito por un conjunto de N ecuaciones algebraicas. N a para j 1,,..., N j kj k k 1 N k 1 Y s j() G kj () s Y k () s para j 1,,..., N 15

16 Cuando se construe un diagrama de flujo, los puntos de unión o nodos se utilizan para representar variables. Los nodos están conectados por segmentos llamados ramas estos tienen dirección ganancia. Ejemplo: a1 1 a 1 Siendo: 1 la entrada, la salida a 1 la ganancia 1 16

17 Ejemplo de la construcción de diagrama de flujo de señal Considere el siguiente conjunto de ecuaciones: 4 + a1 1 a3 3 3 a3 a434 + a + a + a a 5 + a

18 Ecuación 1: + a1 1 a3 3 a 3 a

19 Ecuación 1 : a + 3 a a a a 3 a 43 a 1 a

20 Ecuación 1, 3: 3 4 a a a a + a + a a

21 Ecuación 1,, 3 4: a + a a + a a + a + a a + a

22 Propiedades de los diagramas de flujo: Los Diagramas de Flujo (DF) se aplican solamente a sistemas lineales. Las ecuaciones a partir de las cuales se dibuja un DF deben ser algebraicas en la forma de causa-efecto. Los nodos se utilizan para expresar variables. Normalmente, los nodos se arreglan de izquierda a derecha desde la entrada a la salida siguiendo una sucesión de relaciones de causa efecto a través del sistema. La señal viaja a través de las ramas solamente en la dirección descrita por las flechas. La dirección de la rama desde el nodo k a j, representa la dependencia de j sobre k, pero no al contrario. Unaseñal k queviajaatravésdeunaramaentre k j se multiplica por la ganancia de la rama, a kj,porloquelaseñala kj k es entregada en j.

23 Terminología útil para el álgebra de diagramas de flujo de señal Nodo de entrada: Es un nodo que solamente tiene ramas de salida 3

24 Nodo de salida: Es un nodo que solamente tiene ramas de entrada a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a 45 a 3 a 34 a a 4 a5 4

25 Opciones para hacer un nodo de salida si se desea conocer el efecto de la entrada a1 a a 3 Sin nodos de salida Misma ecuación pero 3 son nodos de salida 5

26 Traectoria: Es cualquier colección de una sucesión continua de ramas que se dirigen en la misma dirección 1 3 a 1 a 3 a 3 6

27 Traectoria directa: Es una traectoria que empieza en un nodo de entradaterminaenunnododesalidaalolargodelacualnose atraviesa ningún nodo más de una vez. a 3 a 43 a44 a1 a 3 a 34 a a 4 a 5 7

28 Malla: Es una traectoria que se origina termina en el mismo nodo en donde ningún nodo se encuentra más de una vez. Malla 1 8

29 Malla a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 9

30 Malla 3 a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 30

31 Malla 4 a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 31

32 Ganancia de traectoria: Es el producto de las ganancias de la ramas que atraviesan una traectoria. a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 ganancia a a a a

33 Ganancia de la traectoria directa: es la ganancia de cada una de las traectorias directas. Ganancia de malla: Es la ganancia de cada una de las mallas presentes en el diagrama. Mallasquenosetocan:Dosmallasnosetocansinocomparten ningún nodo en común. 33

34 Álgebra de diagramas de flujo de señal El valor de la variable representada por un nodo es igual a la suma de todas las variables que entran al nodo. + 1 a 1 + a a 41 4 a

35 El valor de la variable representada por un nodo se transmite a través de todas las ramas que dejan el nodo. a a a

36 Dos ramas paralelas en la misma dirección se pueden reemplazar por una sola con ganancia igual a la suma de las ganancias de las ramas paralelas. 36

37 Una conexión en serie de ramas unidireccionales, como se muestra en la figura, se puede reemplazar por una sola rama con ganancia igual al producto de las ganancias de las ramas. 37

38 Un sistema retroalimentado de una función de transferencia también se puede dibujar como diagrama de flujo de señal. 38

39 Fórmuladegananciaparagráficasdeflujodeseñal:Dado un diagrama de flujo de señal con N traectorias directas L mallas, la ganancia entre el nodo de entrada ent el nodo de salida sal es el siguiente. Siendo: M N Δ sal M k ent k 1 Δ k ent nodo de entrada sal nodo de salida M ganancia entre ent sal N Número de traectorias directas entre la entrada la salida M k ganancia de la k-ésima traectoria entre ent sal 39

40 Continuando... Δ 1 L + L L +... i 1 j k 3 i j k L mr producto de la ganancia de la combinación posible m- ésima (mi,j,k,...) ijk de las mallas de no contacto. Δ 1 (suma de las ganancias de las mallas individuales) + (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos mallas que no se tocan)- (suma de los productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de tres mallas que no se tocan)+... Δ k La Δ para aquella parte del DF que no toca la k-ésima traectoria directa. 40

41 Ejemplo: obtener la función de transferencia Y(s)/R(s) 1. Existe solamente una traectoria t directa en el diagrama entre Y(s) R(s). R(s) ( ) E(s) ( ) Y(s) Y(s) ( ) 1 G(s) 1 -H(s) M G( ( ) 1 s 41

42 . Ha solamente una malla. R(s) 1 E(s) Y(s) G(s) 1 Y(s) -H(s) L11 G( s) H ( s) 4

43 3. No ha mallas que no se tocan a que solamente existe una malla. Además, la traectoria directa está en contacto con la única malla. Δ 1 1 Δ 1 L 1 ( GsHs ( ) ( )) 1 + GsHs ( ) ( ) 11 43

44 4. Al usar la fórmula de ganancia queda: M Y ( s ) R( s) N 1 1 k 1 Δ 1+ M Δ G ( s ) G( s) H ( s) Esta expresión es la misma que se obtuvo usando álgebra de bloques. 44

45 Ejemplo. obtener la función de transferencia Y 5 (s)/y 1 (s). 45

46 1. Obtención de la ganancia de las traectorias directas. a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 M 1 a 1 a 3 a 34 a 45 M a 1 a 5 M 3 a 1 a 4 a 45 46

47 a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a L L L a a L a a a 44 a a a a 3 a 4 a 5 47

48 3. Ganancias de las mallas dobles. a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 El producto de las mallas que no se tocan es: L a 1 3a3a44 48

49 4. Ganancias de las mallas que no se tocan con las traectorias directas posibles. a 3 a 43 a 44 a 1 a 3 a 34 a a 4 a 5 Todas las mallas tocan con la traectoria roja (M 1 ). Δ 1 1 Dos de las mallas no se tocan con la Δ traectoria naranja (M ). a34a43 + a44 Todas las mallas tocan con la traectoria azul (M 3 ). 1 ( ) Δ

50 5. Obteniendo el valor de Δ. Δ 1 ( L + L + L + L ) + L Δ 1 ( a a + a a + a a a + a ) + a a a

51 6. Finalmente la función de transferencia Y 5 (s)/y 1 (s) es: Y () s M Δ + M Δ + M Δ Y () s Δ Y5() s a1a3a34a45 + ( a1a5)(1 a34a43 a44) + ( a1a4a45) Y () s 1 ( a a + a a + a a a + a ) + a a a Regresar 51