Números enteros. Capítulo 1

Transcripción

1 Capítulo 1 Números enteros El conjunto de los números enteros (Z). Representación en la recta numérica. El orden en Z. Módulo o valor absoluto. Números opuestos y consecutivos. Adición y sustracción. Multiplicación y división. Potenciación y radicación. Operaciones combinadas.

2 El conjunto de los números enteros Teoría Los números naturales (N) se utilizan básicamente para contar y para expresar cantidades enteras. Pero no son suficientes para expresar, por ejemplo, deudas o temperaturas bajo cero, por eso, es necesario recurrir a los números negativos. Los números naturales, el cero y los números negativos forman el conjunto de los números enteros (Z). Z {...,,, 1, 0, 1,,,... } El 0 no es positivo ni negativo, como tampoco es par ni impar. 1 Colocar el número entero que represente cada situación. a) Tengo una deuda de noventa pesos. b) Estoy a setenta metros sobre el nivel del mar. c) La temperatura es de siete grados bajo cero. d) Tengo ahorrados ciento cincuenta pesos. e) El hecho ocurrió cien años antes de Cristo. f) El ascensor está en el quinto subsuelo. g) La temperatura es de veinte grados. h) Un buzo está a doscientos metros de profundidad. Fernando trabaja como mozo en un bar. La tabla muestra las propinas que recibió en una semana. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Propina $ 55 $ 8 $ 5 $ 7 $ 6 $ 58 $ a) Calcular el promedio diario de propinas. b) Asignar a cada día un número entero que represente cuánto más o cuánto menos del promedio recibe de propina. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Número entero Pensar y responder. c) Cuánto recibe de propina si el número entero es 8? d) Y cuánto si el número entero es 9? 8 e) Y cuánto si es 0?

3 Se pesan diez bolsas cuyo peso promedio es de 650 g y se coloca en cada una un número entero que indica cuánto más o cuánto menos del promedio pesa cada una. Colocar el peso de cada bolsa teniendo en cuenta el número entero que le corresponde. a) 9 b) c) e) 17 d) 6 g) i) f) h) 11 j) Colocar el número entero que corresponda. a) Un buzo está a 5 m y desciende 10 m, ahora está a. b) La temperatura es de C y aumenta 8 C, ahora es de. c) Un ascensor que está en el piso 6 y baja 10 pisos llega al. d) El saldo de una cuenta es $ 10. Si se depositan $ 00, el saldo es de. e) Un soldado romano falleció en el 5 d. C. y vivió 60 años. Nació en. 5 El saldo de una caja de ahorros en un banco se calcula según los depósitos y las extracciones. a) Completar los movimientos del mes de mayo. Fecha Movimiento de la cuenta Saldo 01/05 Depósito $ 600 $ 50 08/05 Extracción $ 00 11/05 Extracción $ 00 15/05 Depósito $ 550 1/05 $ 100 7/05 $ 00 1/05 $ 00 Responder. b) Cuál era el saldo antes del primer depósito? c) Cuánto dinero se extrajo en total durante el mes? d) Cuál es la diferencia de saldo entre el primer y último día? Desafío 6 Un submarino estaba a 18 m, descendió una cierta cantidad de metros, ascendió 8 m y quedó a 6 m de la superficie. Calcular cuántos metros descendió. 9

4 La recta numérica. Orden Teoría Para ubicar números enteros en la recta numérica, se toma el 0 como punto de referencia. A su derecha, se ubican los números positivos; a su izquierda, los negativos. La distancia entre dos números consecutivos debe ser igual en toda la recta Los números enteros se ordenan según su ubicación en la recta numérica. Cualquier número es mayor que los ubicados a su izquierda y menor que los ubicados a su derecha. En consecuencia: Cualquier número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo. Cualquier número negativo es siempre menor que cualquier número positivo. El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. 7 Elegir una escala adecuada, ubicar convenientemente el 0 y representar los siguientes números. a) 8, 10, 11,, 17 y. b) 15, 0, 80, 5, 95 y 0. 8 Completar los casilleros con los números que corresponda. a) c) b) d) Unir cada número con el o los intervalos a los que pertenece. a) a e) a 1 a c) a 5 a 1 b) a f) a a 1 10 d) a 0 5 a 0

5 Módulo de un entero. Números opuestos y consecutivos Teoría El módulo o valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica y siempre es positiva. Al módulo de un número n, se lo simboliza n Dos números enteros son opuestos cuando tienen distinto signo y el mismo módulo y 9 son números opuestos El anterior de un número entero es el que está inmediatamente a su izquierda en la recta numérica; y el siguiente, el que está inmediatamente a su derecha. Un número y su anterior o un número y su siguiente se denominan consecutivos a) es el anterior a, y es el anterior a 5; también, 5 es el siguiente de, y es el siguiente de. b) 5 es el anterior a, y es el anterior a ; también, es el siguiente de, y es el siguiente de Colocar o según corresponda. a) c) 7 6 e) 0 6 b) 1 d) 5 f) Escribir el número que cumple con cada condición. a) El opuesto de siete. b) El anterior a menos diez. c) El siguiente de menos tres. d) El módulo es cinco y es negativo. 1 Observar la recta y colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda. g m r 0 a p t a) 0 a c) r a e) m g g) m r b) m r d) t m f) g t h) p g Desafío 1 Escribir todos los valores enteros de a que cumplen con cada condición. a) a b) a c) 5 a 10 11

6 Repaso 1 La tabla muestra los movimientos del ascensor de un edificio de oficinas. Completar la tabla. Parte de Se desplaza Llega a 7 9 pisos hacia abajo 5 pisos hacia arriba 1 piso hacia abajo 5 pisos hacia arriba 6 pisos hacia arriba 0 7 pisos hacia abajo La temperatura promedio en la Antártida argentina en septiembre es de 18 C. La tabla muestra la temperatura promedio en las distintas bases. Colocar un número entero que indique cuántos grados más o menos hace en cada base respecto del promedio. Base Belgrano Esperanza Jubany Marambio Orcadas San Martín Temperatura promedio C 17 C 1 C C 19 C C Número entero 16 Guillermo toma como referencia el momento en que sale de su casa para ir al trabajo y considera los minutos anteriores o posteriores como números enteros. Completar la tabla. Actividad Hora Número entero Se levanta 6:0 Se ducha 5 Desayuna 6:55 Sale de su casa 7:05 Llega al trabajo 7:0 Almuerza 10 Sale del trabajo 16:00 17 Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) 0 d) 7 g) b) 5 6 e) 0 h) 8 9 c) 1 0 f) 0 i)

7 18 Elegir una escala adecuada, ubicar convenientemente el 0 y representar los siguientes números. 75, 00, 50, 15, 150 y Completar los casilleros con los números que corresponda. a) b) Ubicar en la recta numérica todos los números enteros que cumplen con las siguientes condiciones. Tienen módulo 11. Son consecutivos con 5. Tienen módulo menor que. El módulo es mayor que 7 y menor que Completar los casilleros con números consecutivos. a) 5 c) 1 e) 9 b) 10 d) 1 f) Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) El anterior de 8 es 7. b) El siguiente de 10 es 9. c) 1 y 1 son números consecutivos. d) El opuesto de 1 es 1. e) es 5 unidades mayor que. f) es unidades menor que 1. Completar las siguientes frases. a) El opuesto de un número negativo es. b) Un número negativo es que su anterior y que su siguiente. c) El opuesto de un número positivo es. d) Entre dos números negativos, es menor el de módulo. e) Dos números distintos que tienen el mismo módulo son. f) Entre dos números negativos, es mayor el de módulo. 1

8 Adición y sustracción de números enteros Teoría Para sumar y restar números enteros, se realizan los siguientes procedimientos: Si ambos son positivos, se suman; y la suma es positiva Si tienen distinto signo, al de mayor módulo, se le resta el de menor módulo; y el resultado lleva el signo del número de mayor módulo. 6 8 Si ambos son negativos, se suman sus módulos; y la suma es negativa. Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas. Para resolverla, se suman todos los números positivos y se resta la suma de todos los negativos Resolver las siguientes adiciones y sustracciones. a) 7 10 d) 5 g) 1 5 b) 9 e) 1 1 h) 17 c) 11 8 f) 8 15 i) 19 5 En la tabla, figuran algunos hechos históricos. Hechos históricos Año Se establece la República en Roma. 509 Comienza la Primera Guerra Púnica. 6 Grecia es convertida en provincia romana. 16 Augusto toma el título de Emperador. 7 Trajano asume como Emperador. 98 Se divide el Imperio en Imperio de Oriente e Imperio de Occidente. 95 Cae el Imperio Romano de Occidente en poder de los invasores. 76 Calcular y responder. a) La primera Guerra Púnica duró años. En qué año terminó? b) Augusto murió 1 años después de lograr el título de Emperador, en qué año murió? c) Cuánto años pasaron desde que en Roma se estableció la República hasta que Grecia fue anexada como provincia romana? d) Cuántos años pasaron desde que Augusto asumió como Emperador hasta la caída del Imperio Romano de Occidente? e) Cuántos años pasaron desde que se establece la República hasta que se divide el Imperio? 6 Resolver las siguientes sumas algebraicas. a) c) b) d)

9 Supresión de paréntesis Teoría Para suprimir un paréntesis, se debe tener en cuenta el signo que lo antecede. Si es un, los signos que están dentro del paréntesis NO cambian. a) 7 7 b) 9 9 c) d) Si es un, los signos que están dentro del paréntesis CAMBIAN. a) b) 8 8 c) 7 7 d) Suprimir previamente los paréntesis y luego resolver. a) 9 6 d) 8 g) b) 7 e) 9 6 h) c) 5 5 f) i) La amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima registrada en un día. Calcular las siguientes amplitudes térmicas. a) Temperatura máxima: 8 C y temperatura mínima: C Amplitud térmica: b) Temperatura máxima: 5 C y temperatura mínima: C Amplitud térmica: c) Temperatura máxima: 0 C y temperatura mínima: 6 C Amplitud térmica: d) Temperatura máxima: C y temperatura mínima: 8 C Amplitud térmica: Calcular y responder. e) Cuál es la temperatura máxima si la amplitud térmica es de 8 C y la mínima es de C? f) Cuál es la temperatura mínima si la amplitud térmica es de 7 C y la máxima es de C? 9 Colocar los signos que faltan para que se verifiquen las siguientes igualdades. a) 7 b) 5 c) d) 9 5 Desafío 0 Colocar los números que faltan para que se verifiquen las siguientes igualdades. a) 7 1 c) 1 9 b) 1 5 d)

10 Multiplicación y división de números enteros Teoría Para multiplicar o dividir dos números enteros, se aplica la regla de los signos. Signo de un factor Signo del otro factor Para resolver más de dos multiplicaciones o divisiones, se respeta el orden de izquierda a derecha. Si se altera ese orden, el resultado puede no ser el correcto. Por ejemplo: ( ):. ( ) Signo del producto o cociente. 8 o 15 : o 0 : o 5 : o 6 : 9 7 ( 6 ). ( ) + 18 resultado correcto ( ): ( 1) + resultado incorrecto 1 Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones. a) 8. 8 e) 1. 5 i) 10 : : 8 b) 8 : 7 c) 6. 9 f) 76 : g) 8. 6 : 1 j) 9.. k) 1 : d) 51 : h) 8 : 7. l) 1. 9 : 1 Completar con el número entero que verifique las igualdades. a) b). 6 5 c) 0 : 5 d) : 1 e). 6 f) : 5 1 g) h) : 19 i) Colocar, o según corresponda. a) 6 :. 6 b) c) 9 : d) e) 5 : f) 0 0 :. Resolver las siguientes operaciones. a) 1 : 10 6 e) 1 : 1 5 b) 8 : 5 f) 15 7 : c). 7 1 d) g) : 15 h) 7 6 : 15

11 5 Resolver los siguientes cálculos combinados. a) 18 : 6 5 : 7 11 f) : 8 b) : 7 g) 6 6 :. 17 : 7 1 c) 1 5 : : 7 h) 56 : : d) 16 : : 6 1 i) 67 9 : 7 : : e) 7 : : 5 : 1 j) 8 : Desafío 6 Completar con el número que verifique la igualdad. a). 6 8 b). 10 c) : 9 d) 60 : 5 7 e). 0 f) 6 :

12 Repaso 7 Plantear el cálculo y resolver. a) Un ascensor está en el segundo subsuelo, sube seis pisos, luego baja cinco, vuelve a subir ocho y finalmente baja trece. En qué piso se quedó el ascensor? b) El saldo de una caja de ahorros es de $ 0. Se depositan $ 180 y luego se retiran $ 0. Cuánto hay que depositar para que el saldo sea de $ 190? 8 Colocar el número que verifique las siguientes igualdades. a) b) 5 11 c) 9 5 d) 1 e) 7 1 f) 15 g) 8 17 h) 6 0 i) Suprimir los paréntesis y luego resolver. a) c) b) d) Unir los cálculos con el mismo resultado. a) b) c) d) : : 7 1 e) f) g) : : 15 7 : : 1 : 6 : 5 : 7. 0 : 8. 1 : 7. 5 : : 1 1 Escribir tres pares de números que verifiquen cada condición. a) Su producto es menor que menos doce. c) Son opuestos, y su producto es mayor que menos diez. b) Su cociente es menos cuatro. d) Su cociente es menor que menos seis. 18

13 Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones. a) 5 : 5 11 d) b) e) c) 1 16 : 10 0 f) 5 65 : 15 8 Completar las siguientes frases. a) La suma de dos números opuestos es. b) La diferencia entre un número y su siguiente es. c) El cociente de dos números opuestos es. d) El producto de dos números opuestos es siempre. Resolver los siguientes cálculos combinados. a). ( 7+ 18) ( 9 8:7 ). b) : ( 0 ). + ( 1 8. ). + 1 ( ) c) + 9. ( ) : ( + 11) 7. ( 5 1) d) ( ). ( 18 ) : ( 7 10) + 7. ( 8 + 1) + 1 e) ( ). 18 : 6 60 : ( ) + 10 : ( 1 ) f) : ( 5+ ) + ( ) : ( 5 ) 8. ( 9) 19

14 Potenciación de números enteros Teoría La potenciación expresa una multiplicación de factores iguales y su resultado se denomina potencia. n Exponente a.a.a.a...a a a 0 1 n veces Base Cuando la base es un número negativo, el signo de la potencia dependerá del exponente Si el exponente es par, la potencia es positiva Si el exponente es impar, la potencia es negativa. Aclaración importante: ( 6) 6 ( 6) ( 6 ). ( 6) Calcular las siguientes potencias. a) 10 b) 8 c) d) 1 7 e) f) 9 0 g) h) 7 0 i) 6 6 Colocar o según corresponda. a) 5 5 b) c) d) e) 1 f) g) 6 h) 8 16 i) Unir cada cálculo con su resultado. a) 5 d) b) 7 e) c) 8 5 f) Resolver los siguientes cálculos. a) 10 e) 10 9 b) 1 f) 0 c) 5 1 d) 5 g) 7 10 h) 8 6 9

15 Propiedades de la potenciación Teoría Propiedad Simbólicamente Ejemplos Producto de potencias de igual base a n. a m a n m Cociente de potencias de igual base a n : a m a n m 7 5 : Potencia de otra potencia a n m a n. m. 6 Distributiva respecto de la multiplicación a. b n a n. b n Distributiva respecto de la división a : b n a n : b n 6 : 6 : La potenciación NO es distributiva respecto de la adición y de la sustracción: a b a b a) ( + ) b) ( 5 ) a b a b. a b a ab ab b a ab b 9 Resolver aplicando las propiedades. 5 a) ( ) : ( ) b) ( ). ( ) c) ( ). ( ) 6 d) ( 8 ) : ( 8 ) 5 e). 7 ( ) : (. ) ( ) ( ) f). :. g) ( ) :( 5.5 ) 7 10 ( ) ( ) 5 h).. 6 :. 50 Reducir a la mínima expresión utilizando las propiedades. a) x.x.x.x 7 b) y : y c) ( m.m) d) ( n. n ) 5 8 : n e) ( a. a. a ) : ( a. a ) 5 5 f) ( p. r ) : ( p. r ) 51 Desarrollar los siguientes cuadrados. a) x 5 b) x 1 Desafío c) x d) 5x 5 Probar que a b a ab b. 1

16 Radicación de números enteros Teoría La radicación se define como: índice n a b si se cumple que b n a radical base 8 porque 8 5 porque 5 Hay raíces como 9 y 16 que no tienen solución en el conjunto de los números enteros. 5 Calcular las siguientes raíces. a) 16 d) 89 g) 100 b) 81 e) 7 5 h) 5 c) f) 65 7 i) 1 5 Unir las operaciones con el mismo resultado. a) b) d) c) e) Completar con el número que corresponda. a) c) e) 10 8 b) 1 d) 1 5 f) Calcular las siguientes raíces. a) ( 8. 5 ). ( 1 ) b) ( ) c) d) e) 57 : +. ( )

17 Propiedades de la radicación Teoría Distributiva respecto de la multiplicación y división: a.b a. b n n n a:b a: b n n n Raíz de otra raíz: n m n.m a a Simplificación del índice: > Si a 0 n a n a 57 Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) a + a a b) b. b b e) e. e e 5 5 f) s: s 0 c) k 6 k g) m 8 m d) n + n + n. n h) r. r. r r 58 Resolver aplicando las propiedades. a) : ( 8) c) e) 1 : 9 b) 65 d) 6 : 8 f) 6 59 Resolver los siguientes cálculos combinados. a) (. + 1 ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) b) 8. + : ( 8) c) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) : Desafío 60 Unir las expresiones equivalentes. a) 18 c) 1 b) 0 d) 7 f) e) 8 5 5

18 Repaso 61 Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda. 0 0 a) 5 7 b) 6 ( ) c) ( ) ( ) d) 6 e) ( ) ( ) 0 0 f) 9 g) ( ) 81 h) 51 ( ) i) ( 1) 0 6 Unir los cálculos que tienen el mismo resultado. a) c) b) (11 ) 7.. ( ( ) ) d) e) 8 ( 6) 1 : ( ) ( ) ( 5) 15 6 ( ) : Completar con el número que verifica las siguientes igualdades. ( ) a) b) 1 7 ( ) c) + 1 ( d) ) e). 9 ( ) f) Resolver aplicando las propiedades. 5 a) ( )( ) : ( ) b) ( ) 7 : ( ) c) ( ) d) e) f) 6 : 65 Factorear las bases, aplicar las propiedades de la radicación y resolver. a) 00 b) 1 96 c) 178 d) 096

19 66 Desarrollar los siguientes cuadrados. a) ( x ) b) ( x + ) c) ( x 5) d) ( x 6x) + 67 Resolver los siguientes cálculos combinados. 0 a) : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b) + : ( ). ( 5) 6 +. ( 5) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 c) ( ) ( ) d) 1 : ( + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 e) : ( ) f) 1 : ( ) : ( ) : 7 ( ) ( ) ( ) g) 1 9 : : : ( ) h) ( ) ( ) : ( 5) + ( 7) 5

20 Integración 68 La tabla muestra el tiempo que tarda Lucas en la semana para llegar desde su casa hasta el trabajo. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Tiempo 5 min 0 min 9 min 51 min 8 min 9 min a) Calcular el tiempo promedio. b) Asignar a cada día un número entero que represente cuánto más o cuánto menos del promedio tarda por día. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Número entero Pensar y responder. c) Cuánto tarda si el número entero es 5? d) Y cuánto, si el número entero es 8? e) Qué número le corresponde si tarda min? 69 Colocar los números que faltan en la siguiente recta. r e d s 0 m b g Escribir el número pedido en cada caso. a) El siguiente de s. b) El anterior a r. Calcular. e) m s g) e d c) El opuesto de b. d) El módulo de d. i) e + b f) b g h) e r j) r + g 70 Suprimir los paréntesis y resolver. a) ( + 1) ( + 17) + ( 8) ( ) ( + 8) ( 1) b) ( 5) + ( 8) ( 1) ( + 7) + ( 18) ( 6) c) 5 ( 8 9 ( 7) 1 ) ( ) d) 8 ( ) ( 11 8 ( 6 ) 1) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones. a) ( ) : ( + 0) c) ( ). ( 8) b) ( 7 85 ). ( 9) d) ( ) : ( 1 + ) 6

21 7 Colocar el número que verifique las siguientes igualdades. a). 1 b) 0 : 6 c) 7. 5 d) 15 : e). 6 : 9 f) 60 : Resolver los siguientes cálculos combinados. a) ( 7.8 ) : 8. ( 5 1) 56: ( 1.) + 8: ( 10 ) b) 6 : ( ) : ( ) ( + 70 ) : ( 7 11) ( 1. 9 ). ( ) c) 60 : ( 9 6) 5 : (. ) + ( 8. 9 ) : ( 5 ). ( 1+ 7) d) ( ). ( ) : ( 10) 7 : ( ) : ( ) 7 Resolver las siguientes potencias y raíces. a) ( : 7) b) c) ( ) 5 d) e) ( : ) f) 781 : Resolver aplicando las propiedades. 6 a) ( 7. 7 ) : ( 7. 7 ) 5 b) c) (. ) 9 5 : (. ) 7 5 d) e)

22 Integración 76 Reducir a la mínima expresión aplicando las propiedades. a) x 1. x : x 19 6 b) y 7. y 16 : y Resolver los siguientes cálculos combinados a) 6 : ( ). ( ) ( ) : ( ) b) ( ) : c) ( ) ( ) ( ) : d) ( ) : ( ) 7 8 : ( ). ( ) e) ( ) : : f) ( ( ) ) : g) ( ) ( ) ( ) 60 : : : 6 h) ( 17 ) :9: :( )