NÚMEROS ENTEROS MATEMÁTICA CRISTINA CARPINTERO CUADERNILLO DE TRABAJO

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1 NÚMEROS ENTEROS MATEMÁTICA CUADERNILLO DE TRABAJO CRISTINA CARPINTERO COLABORADORES Fernado Bifano, Cristina Couso, Lucía Covelli, Gema Fioriti, Horacio Itzcovich, Daniel Moirano, Viviana Pavón ESTE MATERIAL FUE ELABORADO EN EL MARCO DEL TRABAJO CONJUNTO ENTRE ESPECIALISTAS DE LA DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Y PROFESORES DE ESCUELAS DE REINGRESO DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 1

2 PROBLEMA 1 Estos son los resultados de la primera fecha de un campeonato de fútbol: Equipo A: 2 vs. Equipo D: 1 y Equipo B: 3 vs. Equipo C: 5 a) Completa la siguiente tabla, la posición de cada equipo queda determinada por sus puntos y diferencia de goles. EQUIPO PUNTOS GOLES A FAVOR GOLES EN CONTRA DIFERENCIA DE GOLES POSICIÓN A B C D b) Completa la tabla de posiciones correspondiente a la segunda fecha y contesta. EQUIPO PUNTOS GOLES A FAVOR GOLES EN CONTRA DIFERENCIA DE GOLES A 3 2 B 4 0 C 0-2 D 4 POSICIÓN Cuáles fueron los partidos y resultados? Cuál es el equipo que hasta el momento resulta campeón? Con qué puntaje y diferencia de goles? VER AYUDA 1 PROBLEMA 2 Un edificio muy moderno de la calle Bolívar, tiene dos ascensores que viajan desde el cuarto subsuelo hasta el piso ochenta. a) Cuántos pisos subió Martín, si viajó del piso 42 hasta el 78? b) Un tiempo después, Juan entró en el ascensor N 1 en el piso 2 y subió veintisiete pisos. En qué piso salió del ascensor? c) Simultáneamente María entró en el ascensor N 2 en el piso 77 y salió en el tercer subsuelo. Cuántos pisos bajó? d) Después Rosa llamó al ascensor N 1, lo tomó, bajó 47 pisos y salió en el piso -4. En qué piso estaba Rosa? e) Luego de estos viajes, cuántos pisos separan el ascensor N 1 del N 2? f) Si al comienzo de estos viajes el ascensor N 1 estaba en el piso 67 y el N 2 en el 3. Cuántos pisos había entre los ascensores? Qué estrategia usaste para calcular en todos los casos anteriores? g) Escribe y responde una serie de tres preguntas para este problema. VER AYUDA 2 DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 2

3 3) Ubica el 0 en cada una de las siguientes rectas: a) b) c) ) Representa en las siguientes rectas los números indicados: a) 6 y su opuesto b) 3 y su siguiente c) 0 y su antecesor ) Representa en una misma recta los siguientes números enteros: a) 0, 1, - 3, 2, 5, - 7, 10, - 5, - 11, - 1 b) 0, 10, - 20, - 35, 56, 72, - 4, 19 c) 0, 100, 120, - 50, 225, - 375, 550 6) Completa el siguiente cuadro y justifica los casilleros sombreados: a b a < > b Opuesto de a Opuesto de b Anterior de a Siguiente de b Op. de a < > Op. de b ) Representa en una misma recta los siguientes números enteros: a) 0, - 3 y su opuesto, 5 y su consecutivo y todos los negativos pares que sean mayores que 10. b) 0, su módulo sea 5, el 7 y su antecesor y todos los enteros mayores que 5 y menores o iguales que 10. ADICIÓN 8) Explica qué estrategia utilizas para hallar el resultado de las siguientes sumas de enteros: a) 5 + ( 2) = 8 + ( 18 ) = 15 + ( + 2) = 18 + ( + 20 ) = b) 3 + ( + 5) = 11 + ( + 2 ) = 8 + ( 4 ) = 5 + ( 5) = 7 + ( + 7) = 0 + ( 17 ) = DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 3

4 9) Escribe como suma las siguientes situaciones y resuelve cada una de ellas: a) En el comercio de Víctor Casares, las pérdidas en el año 2003 fueron de $ 7200 y en el año 2004, de $ Cuál fue la situación financiera de este negocio al finalizar 2004? b) María y Juan entran al ascensor en el 3º subsuelo, suben 8 pisos y baja Juan, 3 pisos más arriba baja María. En qué piso está Juan? En cuál María? c) El piloto de un avión en vuelo detecta un desperfecto mecánico que le provoca un brusco descenso de 550 m, luego de una maniobra exitosa logra recuperar 125 m. A qué altura se encuentra actualmente el avión? d) Cuando Pedro salió de su casa a la mañana la temperatura era de 3º C, al mediodía había aumentado 12º C y al volver a su casa había disminuido 5º C. Cuál era la temperatura cuando regresó? 10) a) Encuentra un número sabiendo que sumado a 27 de por resultado -12. b) Encuentra un número sabiendo que sumado a 35 de por resultado c) Encuentra un número sabiendo que sumado a -13 de por resultado d) Encuentra un número sabiendo que sumado a -28 de por resultado ) Escribe en cada un número entero que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades: + d) 52 = 27 a) ( 35 ) = 0 + g) + ( 15 ) + 7 = 15 b) = 3525 e) 83 + = 12 h) 15 + = 30 c) = 32 f) = i) ( 20) = 5 12) a) Encuentra un número entero m de modo tal que al sumarle 8 el resultado sea negativo. Habrá una posibilidad? Cuáles son todos los números enteros m que cumplan esta condición? b) Indica un número entero p que al sumarle 2 se obtenga un número positivo. Cuáles son todos los enteros p que verifican el enunciado anterior? 13) a) Dónde ubicarías el número -a en la siguiente recta numérica? 0 1 a b) Y dónde ubicarías estos números: a + 1 ; a + 1 ; a 1; 2a ; 2ª en la recta anterior? 14) Señala en la recta numérica el punto donde puede ubicarse un número a sabiendo que es negativo. Dónde ubicarías el número a? Y a 1? Y a + 1? DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 4

5 SUSTRACCIÓN 15) Observa la figura y contesta las siguientes preguntas: a) A qué altura vuela el helicóptero? b) A qué distancia del nivel del mar está el hombre sujetado a la cuerda? c) Qué distancia hay entre el hombre y el helicóptero? d) Qué distancia hay entre el helicóptero y el fondo del mar? e) Y entre el hombre y el fondo del mar? f) Escribe los cálculos de los puntos anteriores. 16) La tabla muestra las temperaturas máximas y mínimas de un día de invierno en ciudades de nuestro país. CIUDAD TEMPERATURA TEMPERATURA AMPLITUD MÁXIMA (en ºC) MÍNIMA (en ºC) TÉRMICA Tucumán = 14 Buenos Aires 13 3 Rosario 14 0 Mendoza 15-3 Río Gallegos 4-4 Ushuaia -1-2 a) La amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima y mínima que se registra cada día. Completa la tabla calculando la amplitud térmica de cada localidad (ver ejemplo de Tucumán). b) Responde: I. Cuál fue la ciudad más fría en ese día? Con qué temperatura? II. Cuál fue la ciudad menos fría en ese día? Con qué temperatura? III. Cuál fue la que tuvo la menor variación de temperatura ese día? Por qué? 17) Cuál es la distancia entre los siguientes pares de números? Escribe en cada caso el cálculo correspondiente. (AYUDA: recta numérica). a) 7 y 3 f) 2 y 6 b) 8 y 13 g) 5 y 10 c) 5 y 2 h) 7 y 7 d) 11 y 20 i) 52 y 19 18) Calcula: e) 73 y 73 j) 0 y 13 3 ( 4)= = 46 ( 34)= = 57 0 = 0 46 = 256 ( 256)= = 256 ( 256)= = DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 5

6 19) Completa la siguiente tabla: PERSONAJE NACIÓ MURIÓ VIVIÓ CÁLCULO Rodrigo Manuel Sadovsky Einstein Julio César Platón Sócrates Cicerón ) a) Encuentra un número que restado a 6 de por resultado 35. b) Encuentra un número que restado a - 17 de por resultado c) Encuentra un número que restado a 60 de por resultado 36. d) Encuentra un número que restado a de por resultado ) Escribe en cada un número entero que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades: a) 5 + = 23 b) 5 = 23 c) 5 + = 23 d) 5 = 23 22) a) Escribe cuatro sumas que den resultado b) Escribe cuatro sumas que den resultado 83. c) Escribe cuatro restas que den resultado d) Escribe cuatro restas que den resultado ) a) Se sabe que la resta de dos números es 2. Uno de esos números es 10. Cuánto vale el otro? b) Se sabe que la suma de dos números es 4 y su resta 0. Cuáles son esos números? 24) Decide si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. JUSTIFICA TU RESPUESTA. a) Si se suman dos números enteros negativos, el resultado es entero negativo. b) Si se suman un número entero negativo y un número entero positivo, el resultado es un número natural. c) Si se restan dos números enteros negativos, el resultado es entero negativo. d) Si a un número natural se le resta un número entero negativo, el resultado es un número natural. e) Si a un número entero negativo se le resta un número natural, el resultado es entero negativo. 25) Halla un número entero a de modo tal que: a) 10 + ( a + 9) = 21 b) 7 + ( a + 13) = 2 c) 4 ( a + 5) = 70 d) 8 ( a + 32) = 5 e) 13 + ( 13 a ) = 0 f) ( a 1 ) 71 = 72 g) 51 + ( a + 6) = 60 h) 4 ( a 11) = 45 DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 6

7 SUMA ALGEBRAICA 26) Resuelve, transformando previamente en suma: a) + ( 25) ( 14)= 3 e) ( 110)= b) ( 5)= f) ( 2)= c) 120 ( 15) 80 = g) 35 + ( 13) + 18 ( 13) ( 18) 5 = d) ( 9) ( 33)= h) 75 ( 10) ( 12) ( 7) ( 75)= 27) Decide cuáles de las siguientes sumas algebraicas corresponden a la siguiente situación y resuélvela: Una cuenta corriente tiene un saldo inicial deudor de $ 7825, recibe un depósito de $ 2500 y posteriormente otro de $ 1830, luego se extraen sucesivamente $ 1320 y $ 587 y en las dos últimas veces recibe: $ 580 en cada una. Cuál es el saldo actual? a) = c) = b) ( 1310) ( 583) = d) ( 1320) + ( 583) = 28) a) De acuerdo con el diagrama que representa la variación mensual de las finanzas de Mercantiles S.A. Cuál es la situación financiera al cabo de los seis primeros meses del año? Escribe la suma algebraica correspondiente y resuélvela Miles de $ E F M A M J b) Observa el resumen de cuenta, expresa como suma algebraica las operaciones bancarias realizadas y resuélvela. Día Concepto Movimientos Saldo deudor acreedor 1 Depósito Extracción Luz (débito automático) Depósito Gas (débito automático) Cheque Nº DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 7

8 29) Completa las siguientes tablas de multiplicar: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 2 x x x 3 2 x 2 2 x 1 2 x 0 2 x (- 1) 2 x (- 2) (- 4) x 5-20 (- 4) x 4-16 (- 4) x 3 (- 4) x 2 (- 4) x 1 (- 4) x 0 (- 4) x (- 1) (- 4) x (- 2) Qué ocurre con los resultados de la tabla del 2, a medida que descienden los valores por los cuales se multiplica al 2? Y con la del - 4? Cómo podrías explicar esta diferencia? 30) Lee el siguiente texto: Estamos de acuerdo que por definición de multiplicación 5. 3 = (-5) + (-5) + (-5) = Sabemos que - 5. ( ) = 0 entonces aplicando la propiedad distributiva. - 5.(- 3) + (- 5). 3 = 0 entonces 15 + ( - 15 ) = 0 Por qué se escribe allí que (-5). (-3) = 15? 31) Completa estas tablas de productos: ) Sin efectuar la operación, decide el signo de cada multiplicación y coloca en.., el signo > ó < según corresponda. a) 3 ( 2) 5 1 ( 7).. 0 d) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1).. 0 b) ( 5) ( 3) ( 2) e) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2).. 0 c) ( 3) 4 ( 2) ( 5) 7 ( 3) ( 1).. 0 f) ( 1) ( 3) ( 3) ) Escribe en cada un número entero que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades. a) 80 : = 5 b) 57 : = 19 c) 68 : 17 = d) : ( 14) = 112 e) : ( 82) = 0 f) : 380 = g) : 8 ( 32) = 96 h) 15 : = 15 DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 8

9 34) Completa colocando el signo <, > ó =. a...b -2a...-2b 3a.3b a:(-2)..b:(-2) - a...-b ) a) Es posible encontrar un número c de modo tal que ( c) 4 sea positivo? Habrá una sola posibilidad? Cuáles son todos los números enteros c que cumplen con esta condición? 7 d sea negativo? Habrá una sola b) Es posible encontrar un número d de modo tal que ( ) solución? Cuáles son todos los números enteros d que verifican esta situación? 36) Qué puntos de la recta representan a: 5 ; 1 ( 5) ; ( 1) ( 5) ; ( 5) ; [ ( 5) ]. 37) Señala en la recta el lugar donde puede ubicarse un número k sabiendo que es negativo. Dónde ubi- k ; 2 ( k) 3 k ; k 1; k + 1? carías el número k? Ahora ubica ( ) ; ( ) 38) Si un número entero m está entre -12 y 7 Entre qué valores estarán m ; 3 m ; 3m ; m + 7 ; m 7? OPERACIONES COMBINADAS 39) Escribe en cada un número entero que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades: a) ( 2) ( 5)= 3 c) ( 2) b) : ( 3) = 16 d) 21 ( 30): 40) Encuentra, en cada caso, un número entero sabiendo que: a) su tercera parte menos 18 da como resultado -16. b) su doble más 25 da como resultado 37. c) su opuesto dividido por 7 da como resultado ) Resuelve, separando en términos: 4 : ( 3) ( 1) = 2 ( 5 ) 2 = 26 [ ]= a) 2 ( 3) ( 4) ( 1) ( 5) ( 6)= c) ( 3 + 6) ( 4) 1 ( 2 + 8) b) : ( 2) + ( 2) ( 4) 1 = d) 2 ( 1) [ 5 + ( 15) : 3] : = DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 9

10 AYUDA 1 Tus compañeros, en grupos, completaron así la TABLA 1 de la primera fecha del campeonato: EQUIPO PUNTOS GOLES A FAVOR GOLES EN CONTRA DIFERENCIA DE GOLES POSICIÓN A ª B ª C ª D ª La TABLA 2 de la segunda fecha terminada es la siguiente: RESPUESTAS: EQUIPO PUNTOS GOLES A FAVOR GOLES EN CONTRA DIFERENCIA DE GOLES POSICIÓN A ª B ª C ª D ª Los partidos jugados en la 2ª fecha fueron: Equipo A: 3 vs. Equipo C: 1 y Equipo B: 4 vs. Equipo D: 4 El equipo que resulta campeón hasta el momento es el A, con 6 puntos y 3 goles de diferencia. AYUDA 2 Las respuestas de tus compañeros fueron las siguientes: a) Martín subió 36 pisos. b) Juan salió en el piso 25. c) María bajó 80 pisos. Se plantearon dos resoluciones: 1) Algunos sumaron los 77 pisos hasta P.B. (nivel 0) con los 3 subsuelos. 2) Otros ubicaron 77 y -3 en la recta y determinaron la distancia entre los puntos. d) Rosa estaba en el piso 43. e) Separan al ascensor Nº 1 del ascensor Nº 2, 1 piso. f) Entre los ascensores había 70 pisos. g) En la clase se formularon estas situaciones problemáticas: Si Juan entró al ascensor en el piso 2, bajó 3 pisos y luego subió 8 pisos. En qué piso se encuentra ahora? RTA: Juan se encuentra en el piso 7. DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 10

11 María se encuentra en el piso 13 y baja 15 En qué piso se encuentra? RTA: María se encuentra en el piso 2. José subió 76 pisos estando en el tercer subsuelo En qué piso salió? RTA: José salió en el piso 73. Diego bajó 53 pisos y salió en el 12 En qué piso estaba? RTA: Diego estaba en el piso 65. DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Y ENSEÑANZA Material elaborado por Cristina Carpintero 11