Transformaciones Geométricas: Definición Transformaciones Básicas:

Transcripción

1 Tema 4

2 Indice Transformaciones Geométricas: Definición Transformaciones Básicas: Traslación Rotación Escalado Transformaciones en Coordenadas Homogéneas Componer Transformaciones Otras Transformaciones Transformaciones Afines 2

3 Definición Transformación geométrica: mecanismo para alterar las descripciones de las coordenadas de un objeto 3D. Las transformaciones implican cambios en: Posición Orientación Tamaño Forma Transformaciones básicas Traslación Rotación Escalado 3

4 4 Traslación Cambia la posición de un objeto Viene dada por un vector de traslación T=(t,t,t ) Un punto trasladado se calcula como: = + t = + t = + t En forma matricial: P=(,,) P =(,, ) T P T P t t t,

5 5 Rotación Cambia la orientación de un objeto Viene dada por un eje de rotación un ángulo P.ej., para rotar un punto alrededor del eje : = = - = + En forma matricial: P=(,,) P =(,, ) P R P,

6 Rotación El ángulo es positivo en tido antihorario visto desde la parte positiva del eje. Sentido detrógiro (mano derecha) > < 6

7 7 Escalado Cambia el tamaño de un objeto Viene dada por un vector de escalado S=(s,s,s ) Un punto escalado se calcula como: = s = s = s En forma matricial: S=(s,s,s ) P S P s s s,

8 Escalado Si s = s = s, se mantienen las dimensiones relativas del objeto, el objeto es proporcional al original El escalado se realia con respecto al origen. Para definir otro punto fijo es necesario primero trasladar la figura para que el punto fijo se encuentre en el origen. 8

9 Coordenadas Homogéneas. Definición Las matrices de rotación escalado se multiplican, mientras que la de traslación se suma no se pueden componer Para transformar la traslación en un producto de matrices coordenadas homogéneas Se añade una cuarta componente: (,,) (,,,w), por cille ser el elemento neutro del producto se elige w= 9

10 Coordenadas Homogéneas. Traslación La traslación, en forma matricial con coordenadas homogéneas queda: La traslación inversa se realia con la matri: t t t t t t

11 Coordenadas Homogéneas. Rotación Rotación alrededor del eje Su matri inversa coincide con su traspuesta

12 2 Coordenadas Homogéneas. Rotación Rotación alrededor del eje Su matri inversa coincide con su traspuesta

13 3 Coordenadas Homogéneas. Rotación Rotación alrededor del eje Su matri inversa coincide con su traspuesta

14 4 Coordenadas Homogéneas. Escalado El escalado en coordenadas homogéneas es: La inversa de esta matri es: s s s s s s

15 Componer Transformaciones En coordenadas homogéneas, la composición de transformaciones se realia mediante el producto matricial Aplicar varias transformaciones es equivalente a componer sus matrices aplicarla una sola ve: P = T n...(t 3 (T 2 (T P))) = (T n T 3 T 2 T ) P La composición de transformaciones es: Asociativa No conmutativa en general 5

16 Componer Transformaciones. Rotación con respecto al centro de masas Eje de rotación paralelo a un eje de coordenadas:. Trasladar el objeto desde CM al origen de coordenadas T(-CM) 2. Realiar rotación alrededor del eje elegido R() 3. Deshacer traslación T(CM) M = T(CM) R eje () T(-CM) 6

17 Otras Transformaciones. Refleiones Produce una imagen de espejo Refleión con respecto a un eje: Con respecto al eje Espejo Con respecto a un punto general: trasladar el punto al origen 7

18 8 Otras Transformaciones. Refleión Refleión con respecto a un plano: Con respecto al plano Con respecto al plano Con respecto al plano Rfl Rfl Rfl

19 Otras Transformaciones. Decajado (Shear) Distorsiona la forma del objeto como si estuviera decajado Los puntos situados sobre uno de los ejes se quedan fijos. Los demás se desplaan Decajado dejando fijo el eje (d, d son los desplaamientos en ) D d d 9

20 2 Otras Transformaciones. Decajado Decajado dejando fijo el eje Decajado dejando fijo el eje d d D d d D

21 Transformaciones Afines. Definición Características Son transformaciones afines: Traslación Rotación Refleión Escalado Decajado De cuerpo rígido: conservan longitudes ángulos De cuerpo no rígido: no conservan longitudes ángulos Características de las transformaciones afines: Conservan las líneas paralelas Conservan los puntos finitos Toda transformación afín es una combinación de las anteriores 2

22 Recortado Cohen-Sutherland Área de recortado rectangular Criterios: Rechaar si C(P ) AND C(P ) Aceptar si C(P ) OR C(P ) = ma Código de Punto 3 2 / i = si pertenece región i min min ma 22

23 Recortado Crus-Beck Área de recortado convea Ecuación paramétrica de la recta P(t)=P +(P -P )t N i F i P Fi P(t) P N i [P i (t)-p Fi ]> N i [P i (t)-p Fi ]= N i [P i (t)-p Fi ]< P 23

24 Recortado Polígonos Sutherland-Hodgeman Área de recortado convea Polígono conveo o concavo. Divide vencerás P i+ N i a P i+ P i I j b F i Caso a: se añade I j P i+ Caso b: se añade I j Caso c: NO se añade nada Caso d: se añade P i+ P i+ c P i I j P i P i d P i+ 24

25 Recortado Polígonos Weiler-Atherton Área de recortado convea o cóncava con sin agujeros Polígono cóncavo o conveo, con o sin agujeros El eterior se da en orden horario Los agujeros en tido antihorario Estrategia: en cada cruce se elige la dirección de más a la derecha 25