Modelos de Pérdidas Agregadas No Vida

Transcripción

1 Modelos de Pérdidas Agregadas No Vida XXVI Congreso Nacional de Actuarios Act. Patricio Belaunzarán

2 Modelo de pérdidas agregadas El modelo de pérdidas agregadas tiene como objetivo obtener una función de distribución, la cual incorpore los conceptos de frecuencia yseveridad. Bajo el supuesto de que las severidades son independientes entre sí, yéstas, asu vez, independientes de la frecuencia, se procede al modelado por separado de ambas variables.la determinaciónes igual a: Z = X 1 + X 2 + X X N donde Z = Pérdida agregada (siniestralidad anual) N = Número total de siniestros en el periodo (Frec.); y X i = Monto de cada siniestro (Sev.) Ambos son desconocidos por lo que deben ser modelados como variable aleatoria. Lamedia de Zes igual ala frecuencia media por el monto medio. Es decir, E(z) = E(N) * E(X i ) Page 2

3 Modelo de pérdidas agregadas Paraobtener la distribución de pérdidas agregadasse realizalo siguiente: Ajuste de la distribución de frecuencia. Se parte de distribuciones probabilísticas discretas de conteo entre las que se encuentran las siguientes: Poisson, Binomial, BinomialNegativayBeta-Binomial. Ajuste de la distribución de severidad. Se obtienen los parámetros de las distribuciones probabilísticas que mejor ajusten alos datos observados. Apriori las distribuciones que se proponen son las siguientes: Lognormal, Gamma y Pareto Generalizada Page 3

4 Ajuste de distribuciones de monto de siniestros

5 Estimador de Máxima Verosimilitud (EMV) Page 5 Presentation title

6 Método de Momentos. Page 6 Presentation title

7 Modelos de frecuencia

8 Modelo Beta Binomial Si disponemos de datos de frecuencias relativos a distribuciones binomiales, de modo que, donde y. Puesto que representa una proporción, elegimos como distribución a priori una beta de primera especie, con función de densidad; Page 8 Modelode PérdidasAgregadas Fuente: Documentos ffundación Mapfre

9 Modelo Beta Binomial Los parámetros y pueden venir de la historia o de juicio experto. Se establecemos que y entonces: La función de verosimilitud basada en una muestra por, viene dada Haciendo uso del teorema de Bayes, la función de densidad a posteriori es, Page 9 Modelo de Pérdidas Agregadas Fuente: Documentos ffundación Mapfre

10 Construcción del modelo de pérdidas agregadas

11 Construcción La manera de obtener la distribución de pérdidas es a través de métodos numéricos, debido a que en este se necesita obtener convoluciones de la distribución de pérdida que no es tratable desde el punto de vista analítico. Métodos recursivos Métodos de inversión Métodos de aproximación Métodos de simulación Page 11 Modelo de Pérdidas Agregadas

12 VaR y TailVaR

13 Value at Risk (VaR) Page 13 Presentation title

14 Tail VaR o Conditional Tail Expectation (CTE) Page 14 Presentation title

15 Aplicación a una cartera de Gastos Médicos

16 Datos Frecuencia Estimación de parámetros. Beta Binomial Cifras al 31 de diciembre del 2012 Año Número de Expuestos Siniestros Probabilidad de Trimestre Siniestros Número de Expuestos Promedio ultimos Últimos 12 ocurrencia Qtr ,039 20,039 1, % Qtr ,928 20,484 1, % Qtr ,408 21,458 2, % Qtr ,904 22,070 2, % Qtr ,282 23,131 2, % Qtr ,467 23,765 2, % Qtr2 1,006 24,145 23,950 2, % Qtr ,481 24,344 2, % Qtr ,843 25,234 2, % Qtr ,453 26,480 2, % Qtr ,491 27,567 2, % Qtr ,535 28,580 2, % Qtr ,343 29,455 2, % Total 8, , ,557 30, % Expuestos Promedio 33,343 p= % Varianza de la p Parámetros de la Beta alfa= beta= Page 16 Modelode PérdidasAgregadas

17 Metodología propuesta El modelo de pérdidas agregadas se obtuvo de la siguiente manera: 1. Obtención de la distribución de pérdidas agregadas. a) Se consideróque la frecuenciase distribuye beta-binomial(parámetros α= ,β= ). a.1) El número de expuestos promedio para 2013 se espera que sea de 33,343 yla probabilidad de que una persona se enferme se estima de 11.78%. Esta información se obtuvo a partir de los expuestos al 31 de diciembre de 2012, así como de la proyección realizada. b) Se consideró que el monto de siniestros se distribuye Pareto generalizada con media $86,182. Page 17

18 Datos Severidad Muestra de siniestros E(x) 86, Var(x) 50,187,242, Fórmulas Parámetros Pareto Generalizada E(x)= ba (a-1) k= Parámetro de Forma Var(x)= b 2 a (a-1) 2 (a-2) σ= 44, Parámetro de Escala Page 18 Modelo de Pérdidas Agregadas

19 Histograma Lognormal Page 19 Modelo de Pérdidas Agregadas

20 Histograma Pareto Generalizada Page 20 Modelo de Pérdidas Agregadas

21 Histograma Gamma Page 21 Modelo de Pérdidas Agregadas

22 Resultados de Ajuste Resultados de ajuste Posición Distribución Parámetros 1 Gamma a= b=5.8234e+5 2 Pareto Generalizada k= s= m= Lognormal s= m= Page 22 Modelo de Pérdidas Agregadas

23 Pruebas de bondad de ajuste Prueba de Kolmogorov - Smirnov Sea F 0 (x) la función de distribución teórica para la variable aleatoria X, y representa la probabilidad de que la variable aleatoria Xtome un valor menor oigual ax(también se interpreta como la proporción esperada de observaciones que tengan un valor menor o igual a x). Es decir: Sea S n (x) la función de distribución empírica, calculada con base en los valores observados de la muestra n observaciones. Sn (x) representa la proporción de valores observados que son menores oiguales ax, yestá definida como: S n (x) =P(X x/ dados losresultados muestrales) =m/n Donde mes el número de valores observados queson menores oigualesax. En la prueba de Kolmogorov-Smirnov- se está interesado en la mayor desviación entre la función de distribución teórica yla empírica, es decir entre F 0 (x) ys n (x), para todo el rango de valores de x. Bajo la hipótesis nula se espera que estas desviaciones sean pequeñas yestén dentro de los límites de errores aleatorios. Por lo tanto, en la prueba S-K se calcula la mayor desviación existente entre F 0 (x) y S n (x), denotada por Dmax(x)yestá dada por: Dmax(x)=Max FX (x)-s n (x) La distribución de Dmax(x) es conocida ydepende del número de observaciones n. Se acepta la hipótesis nula de que no existe diferencia significativa entre las distribuciones teóricas y empíricas si el valor de Dmax(x) es menor oigual que el valor crítico Dmaxp(a,n). Esta prueba se puede realizar para valores agrupados en intervalos de clase ytambién para valores sin agrupar. Page 23

24 Pruebas de bondad de ajuste Prueba Anderson-Darling (A-D) A La última estadística de adaptación que se puede usar con datos de muestra continuos es la Anderson-Darling, que se define como Como la estadística K-S, la A-D no requiere el establecimiento de compartimentos. Pero a diferencia de la estadística K-S, que se enfoque en el medio de la distribución, la estadística A- D destaca las diferencias entre los extremos de la distribución adaptada y los datos de entrada. El test Anderson-Darling determina si los datos vienen de una distribución específica. La fórmula para el estadístico A determina si los datos (observar que los datos se deben ordenar) vienen de una distribución con función acumulativa F 2 n 1 = n (2i 1) [ln F( X i) + ln(1 F( X n t n i= ))] La hipótesis en cuanto a la forma distribucional es rechazada en el nivel de importancia escogido (a) si la estadística de prueba, A 2, es mayor que el valor crítico obtenido de una tabla. Los valores fijos a ( 0.01, 0.05 etc.) generalmente son usados evaluar la hipótesis (H 0 ) nula en varios niveles de importancia. Un valor de 0.05 es usado comúnmente para la mayoría de sus aplicaciones, sin embargo, en algunas industrias críticas, un valor inferior puede ser aplicado. El estadístico de la prueba se puede entonces comparar contra las distribuciones del estadístico de prueba (dependiendo que F se utiliza) para determinar el P-valor. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Los dátosse apegan a la distribución; H A : Los dátosno se apegan a la distribución. Page 24

25 Pruebas de bondad de ajuste Prueba Chi Cuadrada de Pearson La prueba Chi cuadrada (X 2 ) permite calcular la probabilidad de obtener resultados que únicamente por efectos del azar se desvíen de las explicativas en la magnitud observada si el modelo es correcto. Para realizar la prueba Chi cuadrada, el primer paso es comparar el número de individuos observado en cada categoría con los números esperados considerando el tamaño de la muestra y el modelo propuesto. Las desviaciones son elevadas al cuadrado y divididas por los valores esperados, lo cual proporciona un valor de Chi cuadrada. Se utiliza el número de individuos y no las proporciones, X 2 toma en consideración el tamaño de la muestra. La fórmula para X 2 es como se indica a continuación: 2 2 ( ) i i Donde: clase i. X O E Ei = O i = Número de individuos observados de la E i = Número esperado de la clase i (teórico) El siguiente paso es determinar los grados de libertad. Los grados de libertad son el número de categorías o clases variables independientes que existe. Generalmente, esto es igual a uno menos el número total de clases. El paso final de la aplicación de la prueba Chi cuadrada es buscar el valor X 2 calculado y grados de libertad en una tabla X 2 y determinar el valor de la probabilidad. Este valor es la probabilidad de que el azar por sí mismo pudiera ser responsable de una desviación tan grande o mayor que la observada, si la hipótesis es correcta. Si la probabilidad es alta se considera que los datos están de acuerdo con el modelo, lo cual no prueba que el modelo sea correcto, sino que simplemente no se puede demostrar que sea incorrecto. Si la probabilidad es baja, la desviación no es debida al azar y se considera que los datos no respaldan al modelo. Seguidamente se tiene que decidir que tan baja probabilidad es posible aceptar antes de rechazar el modelo propuesto. Generalmente, el nivel de confiabilidad escogido es del 5%. Si la probabilidad es menor de 0.05, la diferencia es significativa. Las probabilidades en estos intervalos generalmente causan el rechazo de un modelo, sin embargo, el rechazo de la hipótesis al nivel del 5% significa que se rechazan hipótesis correctas 5% de las veces. Page 25

26 Bondad de Ajuste Posición Distribución Kolmogorov Smirnov Anderson Darling Chi-cuadrado Estadística Rango Estadística Rango Estadística Rango 1 Gamma Gen. Pareto Lognormal Page 26 Modelo de Pérdidas Agregadas

27 Metodología propuesta 1. El modelo de pérdidas agregadas se obtuvo de la siguiente manera (cont.): d) Se simularon 250,000 escenarios de siniestralidad agregada anual a partir de la simulación del mismo número de beta-binomiales(n i p i ~ Beta) y posteriormente se simularon (N i ) paretos generalizadas. e) En total se simularon millones de siniestros (250,000 * E(N i )). A continuación se presenta la gráfica de la distribución de pérdidas agregadas bruta f) Se analizaron diversas distribuciones de montode siniestros a partir de las pruebas de bondad de ajuste (Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling y Chi cuadrada de Pearson) se determinó que la distribución que mejor ajustaba fue la Pareto Generalizada g) Por lo anterior se consideró que el monto de siniestros se distribuye Pareto Generalizada. Con los siguientes parámetros: ={ 1 1 ( x µ ) 1 1 k + k K 0 σ σ f( x ) 1 ( x µ ) K =0 exp σ σ La media de la función de severidad es de $86,182. k= ; σ = 44,577 y µ = 0 Page 27

28 Metodología propuesta 2. Obtención de la distribución de pérdidas agregadas considerando diversos límites de retención. a) A partir de los millones de siniestros simulados se consideró el efecto que tendría en la retención el incluir un límite máximo de retención. Esto se logró limitando el monto del siniestro a un nivel LR, es decir: A A continuación se presentan las gráficas de las distribuciones de pérdidas considerando diferentes límites de retención: X LRj i = min(, ) b) Con dichos siniestros de recalcularon las 250,000 pérdidas anuales y se obtuvo una nueva distribución de pérdidas agregadas. X i LRj Z LR j LR j LR j = X con r = 1,2,, 250,000 X + r 1 2 X LR Nr j c) Lo anterior se realizó para diversos límites de retención (j). Page 28

29 Histograma Bajo diferentes límites de retención Page 29 Modelo de Pérdidas Agregadas

30 Escenarios de PérdidasAgregadas Nivel Retenido Modelo de Pérdidas Agregadas Escenarios de Límites de Retención y Pérdidas Agregadas Al 31 de diciembre 2012 Tomando en cuenta el número de expuestos podemos decir que la pérdida por expuesta se determina de la siguiente forma: Media de la pérdida agregada (PoC) 338,637, # expuestos (promedio anual) 33, Pérdida promedio x expuesto anual 10, Primas 463,706, ,068, Capital Social 100,000, De Riesgos en Curso (Parte de riesgo) 208,667, Margen de Solvencia 5,000, Disponible 213,667, % de Retención 60% Nivel de Confianza Límites 95.00% 99.00% 99.50% 99.95% 500, ,823, ,625, ,830, ,144,701 1,000, ,488, ,334, ,808, ,382,908 1,500, ,242, ,512, ,158, ,038,041 2,000, ,256, ,721, ,370, ,485,770 2,500, ,115, ,752, ,482, ,927,960 3,000, ,374, ,142, ,007, ,307,214 3,500, ,285, ,191, ,035, ,733,874 4,000, ,999, ,972, ,868, ,633,822 4,500, ,558, ,611, ,544, ,416,384 5,000, ,023, ,149, ,052, ,978,616 6,000, ,733, ,980, ,953, ,975,870 7,000, ,256, ,622, ,615, ,536,855 8,000, ,656, ,098, ,118, ,939,864 9,000, ,970, ,508, ,550, ,239,525 10,000, ,254, ,804, ,902, ,766,489 15,000, ,120, ,020, ,186, ,323,977 20,000, ,635, ,825, ,005, ,447,508 50,000, ,001, ,199, ,823, ,374,773 60,000, ,232, ,799, ,672, ,082,725 Sin Límite 235,504, ,943, ,043, ,636,832 Page 30 Modelo de Pérdidas Agregadas

31 Escenarios de PérdidasAgregadas Nivel Bruto Bruto Nivel de Confianza Límites 95.00% 99.00% 99.50% 99.95% 500, ,038, ,042, ,050, ,907,835 1,000, ,147, ,891, ,347, ,304,846 1,500, ,737, ,187, ,930, ,396,735 2,000, ,760, ,535, ,284, ,142,950 2,500, ,859, ,921, ,804, ,213,266 3,000, ,957, ,237, ,345, ,512,023 3,500, ,475, ,985, ,059, ,889,790 4,000, ,665, ,288, ,447, ,389,703 4,500, ,597, ,352, ,574, ,693,973 5,000, ,371, ,249, ,421, ,631,026 6,000, ,556, ,633, ,923, ,293,117 7,000, ,427, ,703, ,025, ,228,091 8,000, ,094, ,498, ,864, ,899,773 9,000, ,617, ,180, ,583, ,399,209 10,000, ,090, ,673, ,170, ,277,482 15,000, ,534, ,701, ,311, ,873,295 20,000, ,391, ,042, ,676, ,745,847 50,000, ,668, ,998, ,373, ,624,622 60,000, ,053, ,998, ,787, ,471,208 Sin Límite 392,507, ,572, ,072, ,061,387 Page 31 Modelo de Pérdidas Agregadas