POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

Transcripción

1 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA ) Introducción Consideremos una red lineal cualquiera de dos terminales. Si le aplicamos una tensión senoidal, podemos escribir tensión y corriente del sig. modo vt () = V $ cos( ω t + ϕ ) it () = I$ cos ωt i(t) v(t) Z La potencia instantánea puesta en juego será p( t) = vtit ( ) ( ),. Como tanto v e i, son funciones del tiempo, también lo será su producto, al que llamaremos potencia instantánea. por lo tanto, p() t = VI $$ cos( ωt+ ϕ )cos ω t. Representemos gráficamente v, i y p. Tensión y corriente en un circuito R-L.5.5 v(t) [V] i(t) [A] Ser Ser tiem po

2 potencia instantánea para un circuito R-L p(t). Serie tiem po En el primer gráfico observamos corriente y tensión, mientras que en el último la potencia. Si bien aquí consideramos un circuito R-L (la tensión adelanta a la corriente), el análisis tiene validez general. Vemos que la potencia tiene valores negativos, lo cual parece asombroso. Hasta el momento, estábamos acostumbrados a que las potencias eran siempre positivas, es decir que un circuito pasivo, sólo puede consumir potencia. Esto es rigurosamente cierto en el caso de corriente continua. No obstante, en C.A. la cosa cambia. Sabemos que tanto inductores como capacitores, son capaces de almacenar energía, unos mediante el campo magnético y otros con el campo eléctrico.. Esa energía almacenada en parte del ciclo, deberá ser, necesariamente, entregada otra parte del mismo ciclo. El significado de una potencia negativa para un elemento pasivo, es pues, que dicha potencia es entregada por la carga al generador. Se trata de una potencia que es devuelta por el circuito al generador.. La potencia instantánea no nos da idea del consumo de una determinada carga, por lo que se introduce el concepto de potencia media, análogo al concepto de corriente o tensión media que hemos visto a lo largo del curso, es decir

3 3 que la potencia media, será el promedio de la potencia instantánea en un período. La definición matemática T estricta será: P = ptdt T (). Si en la expresión anterior aplicamos la identidad trigonométrica sig. cosxcos y= cos( x y) + cos( x+ y) y, tomando x = ω t y= ϕ+ ω t, resulta VI $$ pt () = [ cos ϕ+ cos( ωt + ϕ ) ]. Finalmente, podremos escribir la expresión de la VI $$ VI $$ potencia instantánea del sig. modo p() t = cos ϕ+ cos( ωt + ϕ ). Se ve en esta última expresión que hay dos términos, uno independiente del tiempo y otro dependiente de él. Sabemos que el valor medio de una cosenoide o senoide es nulo, por lo tanto el valor medio de la potencia estará dado por el primer término de la expresión, es decir P VI $$ = = V $ I $ cos ϕ cosϕ, y recordando que V V I = $ ; I = $ son los valores eficaces de la tensión y la corriente, respectivamente, queda finalmente: P = VIcosϕ. De las expresiones anteriores se observa que la potencia instantánea "pulsa" con una frecuencia que es el doble de la de la tensión o corriente. Además queda claro también que la potencia media debe ser siempre positiva (o a lo sumo nula ), lo cual pone de manifiesto que se trata de una potencia consumida en la carga. Es pues la potencia útil, siendo por ello que recibe el nombre de potencia activa. )Potencia reactiva y aparente En virtud de la expresión de la potencia activa, sólo cuando el circuito es resistivo puro, toda la corriente se emplea en suministrar energía a la carga. En cambio, cuando están presentes elementos reactivos (inductores y capacitores), parte de la corriente se emplea en suministrar la energía que es almacenada y entregada periódicamente por la reactancia. Esta corriente que está fluyendo a y desde el campo magnético del inductor o desde el campo eléctrico del capacitor, se suma a la corriente del circuito pero no contribuye a la potencia media. La energía que se mueve entre el generador y la carga sin consumirse, recibe el nombre de "reactiva" y, consecuentemente la potencia correspondiente se llama potencia reactiva. Para un dado circuito podemos dibujar los fasores de tensión y corriente, tomando como referencia la tensión, resulta: 3

4 Ia V 4 φ Ir I IaV V φ IrV IV Gráfico correspondiente al circuito R - L analizado, donde Ia e Ir son las componentes activa y reactiva de la corriente, respectivamente. La componente activa es la que está en fase con la tensión y la reactiva ( la debida a la reactancia) está en cuadratura con la tensión. Si al diagrama anterior lo multiplicamos por el módulo de la tensión, resultará: Evidentemente hemos construido un triángulo de potencias, según el cual: P = VIcosϕ P = Ia V = V I cosϕ, por lo tanto, podemos escribir, finalmente Q= VIsenϕ. Q= IrV = I V senϕ S= VI La hipotenusa del triángulo, representa también una potencia que recibe el nombre de potencia aparente (S). Por supuesto, se cumple la relación de Pitágoras, de manera que: S = P + Q. El nombre de potencia aparente deviene del hecho que el circuito "aparenta consumir" S, pero, en realidad sólo consume P, mientras que el resto corresponde a la potencia reactiva Q. Si bien las tres potencias tienen unidades de VA, se establecen las sig. diferencias: P = w( watt) Q = VAr( volt amper reactivo). S = VA( volt amper) El circuito reactivo tiene una potencia reactiva en atraso o negativa y el circuito capacitivo tendrá una potencia reactiva en adelanto o positiva. Por lo tanto, los triángulos de potencias serán: 4

5 φ P S Q 5 S Q φ P Circuito inductivo Circuito capacitivo. 3) Factor de potencia Cuando se trabaja con tensiones y corrientes senoidales puras,es útil introducir el concepto de "factor de potencia". Este indica cuánta cantidad de la potencia aparente se usa realmente, es decir, se convierte en activa. En el caso P presente, el factor de potencia coincide con el coseno del ángulo de fase, es decir: fp = = cosϕ. Si no se tratara S de tensiones y corrientes senoidales puras, el factor de potencia no coincide con el cosϕ. 4) Otras expresiones de las potencias Sabemos que P = VIcos ϕ ; V = IZ, entonces, P = IZ cosϕ, pero R cosϕ = P = IZ R P= IR, en forma semejante, P V I V I V V R V R = ( cos ϕ) = R = R =. Z Z R R Por su parte, Q= VIsenϕ = IZ = IZ X senϕ = Z IX, o Q V I V I V V X V X = ( sen ϕ) = X = X =, y, finalmente X X V R P S= VI= = IZ. El factor de potencia:fp = cosϕ = =. Z Z S segundo térm ino VIsen(fi) sen(wt) Serie tiem p o 5

6 prim er térm ino 6.5 Potencia activa.5 VIcos(fi)(+coswt) Serie tiem po 5) Conclusiones Como la potencia activa, potencia media, representa la potencia consumida por el circuito, un elemento reactivo puro, tendrá potencia activa nula. En un ciclo, absorberá potencia y en el sig la entregará al generador. Desde el punto de vista analítico, también podríamos ver a las potencias del sig. modo. Anteriormente dedujimos que la potencia instantánea puede escribirse p( t) = VIcosϕ + VIcos( ωt + ϕ), además conocemos la identidad trigonométrica cos( x+ y) = cosxcos y senxsen y,y, reemplazando, queda p( t) = VIcosϕ + VIcos( ωt ) cosϕ VIsen( ωt ) senϕ Gráficamente resulta la sig. fig., donde se observa el pt ( ) = VIcos ϕ( + cos ωt) VIsen( ωt) senϕ primer término, correspondiente a P, y el segundo a Q. 6) Potencia compleja Supongamos un circuito para el cual se conocen los fasores de tensión y de corriente. Si este circuito es inductivo, resultará V Ve j( α+ ϕ) =. Si hacemos el producto de la tensión por la conjugada de la corriente jα I = Ie j j j obtendremos la potencia aparente: S = VI * = Ve ( α+ ϕ ) α Ie = Vie ϕ, que expresada según la fórmula de Euler queda: S = VIcosϕ+ jvisen ϕ. De aquí surge que la potencia aparente tiene dos componentes, una real que es la 6

7 potencia activa y otra imaginaria que es la potencia reactiva. podemos escribir finalmente: S = P+ jq. vemos aquí una manera sencilla y sistemática del cálculo de las potencias en alterna, tomando P = Re( S ) Q= Im( S). 7 7) Mejoramiento del factor de potencia De acuerdo a lo visto anteriormente, queda claro que, cuando una carga posee elementos reactivos, para obtener una dada potencia útil (P), es necesario demandar del generador una potencia aparente (S), tal que S > P. Esto pone en evidencia que podríamos tener al generador trabajando a plena carga, mientras que la potencia útil obtenida de él es muy baja. También es necesario ver que a tensión constante, si aumenta la potencia aparente, aumentará la intensidad de la corriente. Como ella es transportada por líneas de transmisión y éstas tienen una resistencia eléctrica no nula, se perderá parte de la potencia en ellas, convirtiéndose en calor. Por todo lo anterior, resulta clara la conveniencia de bajar la potencia reactiva, de tal modo que el valor de la potencia aparente se aproxime más al de la activa. Además las empresas de distribución de energía, aplican tarifas preferenciales para los consumos industriales que presentan factores de potencia razonablemente altos. En general, el aumento del factor de potencia se hace en forma racional, es decir a través de un estudio técnico económico. Por ejemplo no sería razonable llevar al factor de potencia a la unidad, ya que el costo sería muy alto. En virtud del estudio técnico económico mencionado surge el valor del fp óptimo. La mayoría de las veces, el fp más económico se encuentra alrededor del valor.8. En general, las cargas industriasles son de índole inductiva, por lo tanto, para corregir el fp será necesario colocar capacitores (banco de capacitores). por lo común pueden ubicarse en los tableros principales, seccionales o a nivel de cada equipo. Este último caso es común en los tubos fluorescentes o cualquier lámpara de descarga. Luego de esta charla introductoria pasemos a la corrección propiamente dicha. El problema se plantea conociendo el fp que posee el consumo, al que llamaremos fp= cosϕ. también es necesario conocer el valor de la potencia activa consumida P. Esa potencia permanecerá inalterada cualquiera sea el valor del fp, pues es la potencia que realmente se está utilizando (potencia en el eje de un motor, luz de las lámparas, calor generado por un horno, etc.). Finalmente, en virtud del cálculo económico, teniendo en cuenta tarifas de energía, amortizaciones de las instalaciones necesarias, etc., surge el valor del fp corregido, al que llamaremosfp= cosϕ. Dibujemos el triángulo de potencias correspondiente a un circuito inductivo. Tomando la tensión como referencia, resulta: 7

8 Mejoramiento del factor de potencia 8 φ φ Q Datos P; fp; fp S S Q Qc La potencia reactiva para el primer factor de potencia será: Q = P. tgϕ. para el fp corregido, será: siendo: Q < Q Q = P. tgϕ Por lo tanto, la potencia reactiva capacitiva, necesaria para la compensación, será la diferencia entre ambas potencias reactivas, es decir, como la potencia reactiva del capacitor es contraria en signo a la inductiva, será necesario agregar los capacitores de valor adecuado, debiéndose cumplir: QC = Q Q. Por lo tanto, la potencia reactiva capacitiva será: QC = P( tgϕ tgϕ ). En general los capacitores para la corrección del fp, se especifican por la potencia reactiva que son capaces de manejar, sin embargo, podemos calcular la capacitancia necesaria del sig. modo: V C V C X C QC QC = XC = =, con lo que, finalmente queda: C =. Conviene destacar que el XC QC ωc QC ω V C capacitor deberá ser capaz de soportar la tensión V C. En general la potencia de los capacitores se expresa en kvar. El circuito quedará de la sig. forma: 8

9 Mejoramiento del factor de potencia 9 V C ZL 9