1. El papel de este curso en el programa curricular de ingeniería electrónica

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1 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate. El papel de este curso en el programa curricular de ingeniería electrónica Quienes toman este curso (en la Universidad Distrital) inician su sexto semestre de ingeniería electrónica, por lo que merecen una gran felicitación pues acaban de superar la primera mitad de su carrera (en la Universidad Distrital la Ingeniería Electrónica toma semestres). Sin embargo, suele ocurrir que, cuando se les pregunta qué es la ingeniería electrónica?, casi nadie ofrece una definición precisa y clara de la profesión que escogió estudiar, a pesar de estar en un estado tan avanzado de sus estudios. Aun así, si se recogen varios de los elementos que los estudiantes aportan tentativa y tímidamente, se puede ir construyendo una aproximación a la definición de la ingeniería electrónica que, al final, suele ser parecida a la siguiente: La ingeniería electrónica es una profesión (esto es, un conjunto de conocimientos, habilidades y formas de enfrentar un tipo particular de problemas con el propósito de facilitar la vida de las personas) que aplica los principios físicos del electromagnetismo y la mecánica cuántica para el diseño, construcción, operación y mantenimiento de estructuras, máquinas, aparatos y procesos, de manera que se conozca su comportamiento bajo condiciones de operación específicas, con niveles de seguridad específicos y con costos mínimos. Hasta aquí, no se diferencia de la ingeniería eléctrica. Sin embargo, mientras la ingeniería eléctrica utiliza estos principios con el propósito de generar, convertir, distribuir y controlar energía, el ingeniero electrónico los utiliza con el propósito de capturar, almacenar, transmitir y procesar información. Una pregunta que los estudiantes sí responden con mayor entusiasmo y claridad es Cuál es el área de la ingeniería electrónica que les interesa y que los motivó a estudiar esta carrera profesional? Con las respuestas de los estudiantes se puede construir una lista: Telecomunicaciones, ingeniería de computadores, sistemas de control, instrumentación, componentes y microelectrónica, bio-ingeniería, telemática, conmutación, redes de comunicaciones, tecnología para música, video (cine, televisión, multimedios), etc. Es fácil reconocer que todas esas áreas de actuación de la ingeniería electrónica obedecen a la definición dada y que en todas ellas la información es el objeto principal, la cual se representa mediante señales electromagnéticas (corrientes, voltajes, campos), aunque sean transducciones de otros tipos de señales (presión, temperatura, intensidad de luz, etc.). Lo interesante es que apenas ahora, después de tres años de estudio, los estudiantes empiezan a estudiar esos temas que eran la motivación original para decidirse por esta carrera. Entonces, qué han estado estudiando hasta ahora? Nuevamente es posible hacer una lista con las respuestas de los estudiantes: Algunos cursos de circuitos y electrónica, bastantes cursos de física, algo de programación, inglés, humanidades y muchos cursos de matemáticas! Algebra lineal, cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo vectorial, variable compleja, ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier, probabilidades y estadística. Ante semejante formación que han tenido, se espera que les quede fácil resolver un problema sencillo (por ejemplo, de regla de tres inversa y compuesta). Pero suele suceder que muy pocos estudiantes logran resolverlo en un tiempo razonable. A qué se debe? De qué sirvió estudiar tanta matemática que los volvió muy buenos en calcular integrales muy complejas y en resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de orden superior y condiciones de frontera, pero los hizo olvidar cómo plantear un problema de regla de tres, lo cual ya sabían hacer en tercero de primaria? Cuán útil ha sido, entonces, lo que han aprendido en los

2 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate primeros cinco semestres? Han aprendido a pensar como ingenieros? Qué implicaciones tendrá en su actitud como estudiantes de ingeniería electrónica el descubrir que, después de cinco semestres, no sabían qué es la ingeniería electrónica y que los muchos cursos de matemáticas avanzadas para ingeniería sólo les han servido para olvidar cómo formular problemas de regla de tres? Notar que si el mismo problema se les propone en términos de resistencias y corrientes, todos lo hubieran resuelto correctamente en muy breve tiempo. Será que nos han formado demasiado tiempo en la solución de ejercicios matemáticos y no en la formulación matemática de problemas de ingeniería ( o de la vida cotidiana!)? Pues bien, este curso conecta todo lo que hemos visto hasta ahora en una teoría básica que se constituye en el fundamento de todas las áreas de especialidad de la ingeniería electrónica, para darle sentido a todo lo que hemos estudiado, no como maquinitas de resolver ecuaciones diferenciales, de calcular integrales o de invertir matrices, sino como ingenieros, con pensamiento crítico, capaces de relacionar nuestro conocimiento previo con cualquier nuevo conocimiento, mediante procesos lógicos de deducción, inferencia o inducción, y con capacidad argumentativa para describir nuestros procesos lógicos. Telemática Control Comunicaciones Bioingeniería Computadores Instrumentación Componentes Análisis de señales Algeabra lineal Cálculo vectorial Cálculo diferencial Fourier Ecuaciones diferenciales Cálculo integral Variable compleja Figura. El análisis de señales es la cintura del gran reloj de arena en la formación de un ingeniero electrónico Si bien en los cursos de matemáticas que hasta ahora hemos tomado se nos ha ejercitado en técnicas de solución de ecuaciones (derivación, integración, ecuaciones diferenciales, etc.), ahora debemos entrenarnos en formular los problemas de la ingeniería en lenguaje matemático mediante la construcción de modelos matemáticos que podamos analizar con las técnicas aprendidas para trasladar la solución del modelo al sistema real que se pretendía analizar o diseñar, como muestra la siguiente figura:

3 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 Sistema Físico real Telemática Control Comunicaciones Bioingeniería Computadores Instrumentación Componentes Modelamiento matemático de señales y sistemas Análisis de señales Técnicas de solución de modelos matemáticos Algeabra lineal Cálculo vectorial Cálculo diferencial Cálculo Fourier integral Ecuaciones diferenciales Variable compleja Conceptualización, Abstracción Figura. Proceso de la conceptualización matemática en ingeniería Para terminar esta clase, se ha de leer, analizar y discutir el syllabus del curso, que se encuentra en indicando que allí se dispondrá de las tareas y de otros recursos (como este documento).

4 Número de manchas Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4. Definición de señal En esta clase presentamos algunas señales para considerar qué es lo que vamos a estudiar durante el curso (Las señales están en La primera de ellas (Figura 3) corresponde al número de manchas en el sol, promediadas cada mes desde enero de 749 hasta julio de. Una mancha es una región del Sol con una temperatura más baja que sus alrededores debido a una intensa actividad magnética. En cada mancha, que puede alcanzar una extensión de hasta kilómetros, la temperatura es de cerca de 4K, bastante frío comparado con sus alrededores, donde la corona del sol alcanza cerca de 6K. En la figura se puede observar cierto tipo de periodicidad, pues aproximadamente cada años se presenta un pico en la actividad de las tormentas magnéticas del sol. 5 Manchas en el sol, cada mes, desde enero de 749 hasta julio de año Figura 3. Manchas en el sol desde enero de 749 hasta julio de ( La segunda señal (Figura 4) representa el pulso de eco-localización emitido por un murciélago (eptesicus fuscus). Los murciélagos usan un sonar biológico mediante el cual emiten un pulso de ultrasonido y escuchan los ecos devueltos por los objetos en su medio ambiente, logrando ubicar e identificar estos objetos en completa oscuridad. De esta manera, miles de murciélagos son capaces de navegar en cuevas oscuras sin chocar entre ellos ni con las paredes e, incluso, logran capturar insectos en el aire a partir de los ecos de sus propios pulsos. Nótese cómo la frecuencia de la señal emitida se va reduciendo desde cerca de 4 khz hasta cerca de KHz, en sólo.5 ms. La tercera señal (Figura 5) representa el sonido producido por un grupo de grillos en un atardecer. Este sonido lo producen los machos frotando los bordes de sus alas (no es cierto que sea frotando sus patas traseras), para llamar la atención de las hembras. Los grillos vecinos sincronizan sus sonidos para hacer un sonido más atractivo para las hembras, lo cual es muy sorprendente si se tiene en cuenta que, sin un director de orquesta, un grupo de seres humanos no se sincroniza fácilmente, a pesar del inmenso cerebro que posee cada individuo.

5 Amplitud Amplitud Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 Señal de ecolocalización de un murciélago tiempo en segundos x -3 Figura 4. Señal de ecolocalización de un murciélago ( Sonido de grillos tiempo en segundos Figura 5. Sonido de grillos ( La cuarta señal (Figura 6) muestra las amplitudes de los componentes en fase (I) y en cuadratura (Q) de la señal 6QAM recibida por un modem V.9. En el transmisor se usan 6 combinaciones lineales de dos portadoras, I (t)=acos( c t) y Q (t)=asen( c t), donde la segunda está en cuadratura de fase respecto a la primera (un desfase de / radianes). Cada combinación representa cuatro bits de información. Al graficar el coeficiente de I (t) en el eje horizontal y el coeficiente de Q (t) en el eje vertical, se tiene el diagrama de constelación de la técnica de modulación 6QAM. Sin embargo, al pasar por el canal, estas señales sufren distorsiones y se contaminan con ruido, de manera que en el modem receptor se obtiene un diagrama semejante al de la señal mostrada. A partir de ella, el modem receptor es capaz de inferir la secuencia de unos y ceros en el transmisor que dieron origen a dicha señal. La quinta señal (Figura 7) muestra un segmento de una señal electrocardiográfica. El latido cardíaco se debe a una actividad bio-eléctrica que permite la sucesión periódica y ordenada de contracciones para bombear la sangre. Esta actividad se puede capturar mediante sensores apropiados para determinar si el corazón funciona normalmente o sufre de alguna anomalía. Por ejemplo, en la señal

6 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 mostrada, se nota algunos latidos adicionales que contrastan con algunos latidos suprimidos, lo cual constituye una arritmia cardiaca. Muchos otros diagnósticos adicionales se pueden conseguir a partir de la misma forma de onda de los impulsos. Señal recibida por un modem V.9 a 96 bps.5 Parte imaginaria Parte real.5.5 Figura 6. Diagrama IQ de una señal V.9 Electrocardiograma de un adulto 5 Amplitud Tiempo, en segundos Figura 7. Electrocardiograma de un adulto (Erik Traasdahl, Institute of Medical Biology, University of Tromso, Norway) La sexta señal (Figura 8) es un fragmento de voz humana capturada desde un micrófono. La señal de voz es una variación presión en el aire que viaja como una onda longitudinal desde la boca del hablante hasta el oído de quien lo escucha. Lo más fascinante de esta señal de voz es que empieza con una idea o un pensamiento que el hablante quiere comunicar a alguien, para lo cual la convierte en una forma lingüística con estructuras gramaticales, sintácticas, semánticas y prosódicas específicas, a partir de las cuales el cerebro genera comandos motores a los diferentes músculos que intervienen en la generación de la onda de presión deseada (diafragma, cuerdas vocales, velo del paladar, quijada, lengua, labios ). La onda de presión hace vibrar el tímpano de quien escucha, vibración que es filtrada por los huesecillos (yunque, estribo y martillo) para hacer vibrar el caracol, donde más de diez mil células ciliares ejecutan un análisis espectral con más de diez mil bandas para producir impulsos eléctricos en el nervio auditivo. De esta secuencia de impulsos el cerebro extrae no sólo la idea que el hablante quiso extraer (tal vez conceptos tan importantes como

7 Tamaño en bytes logaritmo del Tamaño en bytes Amplitud Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 7 amistad, felicidad, amor o, simplemente, triángulo), sino mucha información adicional (sexo, edad, estado de ánimo, etc.). Voz femenina tiempo en segundos Figura 8. Voz femenina La séptima señal (Figura 9) representa la longitud en bytes de los archivos del disco duro de un computador personal. El rango dinámico de esta señal sugiere presentarla en escala logarítmica, pues va desde las unidades hasta los miles de millones. Nótense dos características interesantes: Si vemos con detalle una porción de la señal (por ejemplo, los archivos. a 4.) veremos una figura similar a la señal completa, excepto por las escalas en los ejes. Las señales que tienen esta propiedad se conocen como señales auto-similares. En particular, es fácil notar que, aunque la mayoría de archivos son pequeños, la mayor cantidad de espacio en el disco duro está ocupada por los poquitos archivos gigantescos y no por los muchos archivos pequeños. A este comportamiento de las señales auto-similares se le denomina Ley de Potencia x 8 Longitud de archivos en mi disco duro Logaritmo de la longitud de los archivos en mi disco duro Número de archivo x 5 Número de archivo x 5 Figura 9. Longitud de los archivos en un disco duro La octava señal (Figura ) es una imagen. Está compuesta por un arreglo de 55 elementos (pixels picture elements), cada uno de los cuales tiene un valor entero entre y 55. Si el valor de cada pixel se asocia con un tono de gris, donde significa negro y 55 significa blanco, se obtiene la representación mostrada. Se trata de una fotografía de Lena Söderberg, la playmate de noviembre de 97, foto que se ha convertido en una imagen estándar para comparar algoritmos de procesamiento digital de imágenes. En efecto, la imagen contiene una mezcla interesante de detalles como texturas, sombras, contrastes, regiones planas de baja frecuencia, regiones de alta frecuencia como las plumas del sombrero, reflexiones especulares de porciones de la imagen, etc. Estas propiedades se pueden apreciar con claridad si graficamos el valor de cada pixel en un tercer eje tridimensional, como muestra la Figura. Dos datos curiosos: () Lena fue invitada de honor a la

8 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 8 quincuagésima conferencia anual de la Sociedad de Ciencia de las Imágenes en 997 y () Playboy renuncio a reclamar sus derechos de copyright porque el número de noviembre de 97 ha sido el número más vendido en toda su historia, superando a los números donde aparecen grandes celebridades. Lena Figura. Imagen de Lena Figura. Otra forma de ver la imagen de Lena La novena señal (Figura ) muestra los intervalos entre disparos sucesivos de una neurona del nervio auditivo de un gato cuando escucha un tono de Hz. Como mencionamos al hablar de la señal de voz, las señales sensoriales llegan al cerebro como secuencias de disparos neuronales para su interpretación. Al igual que la longitud de los archivos en un disco duro de un PC (Figura 9), las señales econométricas como la que se representa en la Figura 3, o la longitud en bytes del buffer de un enrutador en internet, representada en la Figura 4, los disparos neuronales forman un señal auto-similar con leyes de potencia características.

9 Valor de cierre Intervalo, en segundos Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 9.8 Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo Descarga x 4 Figura. Descargas neuronales (Teich, Johnson, Kumar, and Turcott, "Fractional power law behavior of single units in the lower auditory system", Hearing Res., 46: 4-5, May 99) Indice S&P durante los días no feriados de día Figura 3. Indicador económico Habiendo visto las anteriores once señales como ejemplos del tipo de objetos que estudiaremos en este curso, se puede notar que todas ellas corresponden a la gráfica de una magnitud con respecto a otra: Número de manchas en el sol graficada con respecto a cada uno de los meses de un período de 63 años, o la intensidad lumínica de un pixel con respecto a su posición en coordenadas (x,y), o el intervalo entre disparos de una neurona auditiva con respecto al número de disparo. Cómo podremos asociar con semejante disparidad de señales un único modelo matemático que nos sirva para construir una teoría unificada de señales y sistemas?

10 Numero de bytes en cola Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate x 6 Longitud de la cola en bytes Tiempo en segundos Figura 4. Número de bytes en la cola de un multiplexor en Internet A partir de estas señales de ejemplo, es posible poner a los estudiantes a discutir qué es una señal? de manera que, con las propuestas que se escuchan, se puede construir una definición como la siguiente: Una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto a cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones hay codificada una información. Esta definición se ajusta bien a cada una de las señales vistas anteriormente, lo cual habla del altísimo grado de abstracción que se logra con esta definición. Pero aún nos deja perplejos porque no imaginamos cómo estudiar una teoría que resulte común para un voltaje en un circuito, o para unos intervalos entre disparos sucesivos de una neurona auditiva, o para las variaciones de los precios en la bolsa de valores. Para ello necesitamos, por supuesto, como quedó claro en la primera clase, un modelo matemático que se ajuste igualmente bien a todas las señales anteriores: Una señal se representa mediante una función con un dominio y un rango específicos, x:dr. El dominio se refiere al conjunto de valores que puede tomar la magnitud independiente. Dicho dominio puede corresponder a la variable escalar tiempo, como en la señal de las manchas del sol o la señal de eco-localización del murciélago, aunque también puede tomar otros significados como el número de descarga neuronal o la posición horizontal y vertical de un pixel en una imagen. Las siguientes pueden ser algunas representaciones válidas de las señales vistas (Z es el conjunto de los enteros, R es el conjunto de los reales): a. Número de manchas en el sol, longitud de archivos, indicador económico S&P, x: Z Z

11 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate b. Señal de eco-localización de un murciélago, sonido de grillos, señal recibida por un módem V.9 a 96 bps, electrocardiograma de un adulto, voz femenina, x: R R c. Imagen de Lena, x: Z Z Z d. Intervalos entre descargas de una neurona que responde a un estímulo auditivo, x: Z R f. Número de paquetes en el buffer de un enrutador en cada instante de tiempo: x: R Z Las señales tendrán unidades de amplitud y el dominio podrá ser cualquier conjunto al que llamaremos tiempo, a pesar de que pueda representar cualquier otra cantidad (como en la imagen de Lena o en la señal de los impulsos neuronales). De otro lado, sólo consideraremos dominios continuos (contenidos en R) o discretos (contenidos en Z) y rangos continuos (contenidos en R o C, donde C es el conjunto de los números complejos) o discretos (contenidos en Z). En cada caso, las señales toman nombres particulares, como muestra la Tabla. Por ejemplo, la voz femenina es una señal análoga, el índice económico S&P es una señal muestreada, el número de manchas en el sol es una señal digital, y el número de paquetes en el buffer de un enrutador en una red de computadores es una señal cuantizada. El único tipo de señales que podemos procesar con un computador es el de las señales digitales: Son de tiempo discreto porque en cada posición de memoria podemos guardar una muestra de la señal, y son de amplitud discreta porque en cada posición de memoria sólo podemos guardar un número finito de posibles valores debido al tamaño en bits de la palabra almacenada. Cuando la amplitud se representa con 8 ó 6 bits, el fenómeno de la cuantización se hace apreciable. Pero cuando tenemos longitud de palabras de 64 bits, podríamos representar números tan pequeños como -63 (del orden del tamaño de las partículas fundamentales) y tan grandes como 63 (del orden de las distancias entre grupos de galaxias), dependiendo de cómo dividamos los bits para signo, mantisa y exponente, por lo que podemos imaginar que se trata de señales muestreadas o señales en tiempo discreto. Por eso la teoría que desarrollaremos en este curso se refiere, principalmente, a los dos tipos de señales con amplitud continua, a las que llamaremos señales en tiempo continuo (las señales análogas) y señales de tiempo discreto (las señales muestreadas). Hay un aspecto de notación que se puede volver importante para nosotros. Una señal la podemos describir como una función que a cada elemento del conjunto dominio le asigna un elemento (y sólo uno) del conjunto rango: x:dr Esto quiere decir, por ejemplo, que si td, existe un elemento x(t)r asociado con t, lo cual se suele representar así: x : t x( t ) Así pues, cuando hablamos de x(t) deberíamos tener claro que no nos referimos a la señal en general sino al valor que la señal toma para un elemento específico td (decimos que x(t) es el valor de la señal en el "instante" t cuando consideramos que D es el conjunto tiempo). Desafortunadamente, en la literatura se suele usar la misma notación x(t) para referirse tanto a la función x:dr (en cuyo caso t se interpreta como cualquier elemento genérico de D) como al valor instantáneo x(t)r para un valor específico td. Aunque seguramente cometeremos el mismo "error" en nuestras clases,

12 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate cuando el contexto pueda generar confusiones intentaremos distinguir los dos conceptos mediante la siguiente notación: x(t) Valor específico de la señal x en el instante t {x(t), td} Señal completa De hecho, cuando necesitemos ser específicos pero no sea necesario determinar el conjunto dominio, nos referiremos a la señal completa mediante la notación simplificada {x(t)} t para un dominio continuo y {x[n]} n para un dominio discreto. Tabla. Clasificación de señales según su dominio y su rango Amplitud continua Tiempo continuo Señal análoga Tiempo discreto Señal muestreada Amplitud discreta Señal cuantizada Señal digital Por ejemplo, considere la siguiente señal análoga: t si t xa ( t), t si t Podemos cuantizarla haciendo x ( t) k / 5 si x( t) [k, k ) /, k. También q podemos muestrearla haciendo x [ n] x( n /.5), n. Por último, podemos s digitalizarla si la muestreamos y la cuantizamos, x [ n] x ( n /.5). Los resultados se muestran en la siguiente figura. d q

13 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 Amplitud continua Amplitud discreta Tiempo continuo Señal análoga, x a (t) Señal cuantizada, x q (t) Tiempo discreto Señal muestreada, x s [n] Señal digital, x d [n] Figura 5. Procesos de muestreo y cuantización Nótese que las señales en tiempo discreto las hemos graficado con respecto a t n = n/.5 y no con respecto a n. Aunque normalmente se grafican con respecto al número de la muestra, n, hemos preferido este cambio en el eje del tiempo para poder superponer las cuatro señales y compararlas con mayor claridad: x a (t) x q (t) x s [n] x d [n] Figura 6. Una señal análoga, cuantizada, muestreada y digitalizada

14 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 3. Definición de sistema Veíamos que una señal es una cantidad física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto a cualquier otra cantidad física independiente, de manera que en sus variaciones hay codificada una información. También vimos que, como abstracción matemática de ese concepto, una señal se representa mediante una función con un dominio y un rango específicos, x:d R. Por simplicidad, a la variable que toma valores en el conjunto dominio le llamaremos tiempo y a la variable que toma valores en el conjunto rango le llamaremos amplitud. La primera clasificación de señales que vimos fue de acuerdo con la naturaleza continua o discreta del tiempo y la amplitud: Señales análogas, señales cuantizadas, señales muestreadas o señales digitales. Pero las señales, como cantidades físicas medibles, existen en un ambiente particular en el que se generan, se propagan, se almacenan, se transforman, etc. Ese ambiente que ejerce un proceso transformador en una señal se conoce como sistema. En efecto, probablemente se trata de un conjunto de elementos que interactúan entre ellos para formar un todo, como una resistencia y un condensador que forman un filtro, o un resorte y una masa que forman un oscilador, etc. En el primer sistema, las señales son el voltaje de la fuente, la corriente en la malla, el voltaje en cada componente, la potencia disipada en la resistencia, etc. En el segundo sistema, las señales son la posición, la velocidad y la aceleración de la masa, la fuerza ejercida por el resorte, la fuerza de fricción, etc. En cada caso, el sistema se expresa mediante unas leyes físicas, que constituyen unas relaciones matemáticas entre unas señales y otras. De hecho, conociendo algunas de esas señales, podemos especificar otras señales. Diríamos que el sistema lo podemos representar (y éste es otro modelo matemático) como una relación entre una señal de entrada y una señal de salida, que es otro tipo de función que en matemáticas se llama funcional, ya que su entrada es una señal (función) de un conjunto de posibles señales (funciones) de entrada, y su salida es otra señal de un conjunto de posibles señales de salida. Así como una función convierte un elemento del dominio en un elemento del rango, un funcional convierte una función de entrada en una función de salida. Figura 7. Dos sistemas que procesan señales naturalmente En este curso diremos que un sistema es una forma de representar un proceso físico que acepta una señal de entrada (o varias) y la procesa para generar una señal de salida (o varias).

15 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 {x(t)rango x, tdominio x } {y(t)rango y, tdominio y } Figura 8. Representación de un sistema como un funcional Pero Cómo es que podemos construir un modelo matemático válido para representar señales de presión y temperatura en sistemas como calderas que podamos utilizar para señales de radiación en sistemas como colisionadores de partículas? Consideremos los siguientes dos ejemplos: v i (t) i(t) v o (t) F(t) M v(t) - - v(t) d vi( t) v( t) vr( t) F( t) v( t) M v( t) dt vi ( t) v( t) R i( t) M d F( t) v( t) v( t) d dt vi( t) v( t) RC vo( t) dt Figura 9. Dos sistemas diferentes que conducen a una misma forma de abstracción matemática En cada caso conocemos leyes de la naturaleza formuladas matemáticamente que nos permiten expresar unas señales en términos de otras. Por ejemplo, sabemos que el voltaje de entrada es la suma del voltaje de salida más el voltaje en la resistencia, el cual es R veces la corriente, la cual es C veces la variación del voltaje de salida. Igualmente, sabemos que la fuerza total sobre el carro es igual a su masa por la aceleración (suponemos que el consumo de gasolina produce un cambio despreciable en la masa del carro). Ahora consideremos el siguiente modelo abstracto: x(t) / d x( t) y( t) y( t) y(t) dt _ d x( t) y( t) y( t) dt Figura. Abstracción matemática para los dos sistemas anteriores Nótese que si usamos v i (t) en vez de x(t), v o (t) en vez de y(t) y RC en vez de, el modelo abstracto podría ser una representación del circuito RC. Pero si usamos F(t)/ en vez de x(t), v(t) en vez de y(t) y M/ en vez de, el modelo abstracto podría ser una representación del sistema mecánico. De hecho, estas relaciones fueron las que motivaron el desarrollo del computador análogo a comienzos de los 8 s. En lo que a este curso respecta, entonces, {x(t)} t será simplemente una señal de entrada a un sistema que la procesa para obtener una señal de salida {y(t)} t, independientemente de que se trate de voltajes, corrientes, fuerzas o velocidades: Modelos matemáticos (funciones para las señales y funcionales para los sistemas), como un concepto abstracto que podría representar cualquier sistema físico apropiado.

16 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 La clasificación de señales según su dominio sea continuo o discreto y según su rango sea continuo o discreto también se aplicará a los sistemas según el tipo de señales que procesen. El primero de los siguientes dos sistemas es un sistema en tiempo continuo, mientras el segundo es un sistema en tiempo discreto: {x(t)r, tr} {y(t)r, tr} {x[n]r, nz} {y[n]r, nz} Figura. Sistemas en tiempo continuo y en tiempo discreto Aunque un sistema podría tener entradas en tiempo continuo y salidas en tiempo discreto (en cuyo caso dentro del sistema existirá al menos un muestreador ) o viceversa (en cuyo caso dentro del sistema existirá al menos un interpolador ). Como un ejemplo inicial, considérese el sistema anterior en tiempo continuo, el cual representa un sistema lineal de primer orden como el circuito RC o el automóvil: d x( t) y( t) y( t) dt Si consideramos un incremento de tiempo t en vez del diferencial dt, y consideramos sólo instantes de tiempo múltiplos de t, podríamos aproximar el anterior sistema mediante y( nt) y(( n ) t) x( nt) y( nt) t Que podemos interpretar como un sistema en tiempo discreto: x[ n] y[ n] y[ n ], donde t x[n] y[n] y[n-] Retardo Figura. Aproximación en tiempo discreto a los sistemas de la Figura 9 Como un ejemplo de sistemas ampliamente estudiados, consideremos un sistema de comunicaciones en el que una fuente de información genera un mensaje que debe ser representado en forma de señales físicas para poder transmitirlo a través de un canal, donde la señal transmitida puede sufrir distorsiones, interferencias y ruido. La intención es recuperar el mensaje original de la manera más oportuna y fidedigna posible. Si no el sistema entero, es claro que el transmisor, el canal y el receptor corresponden al modelo matemático que hemos estado considerando: Entra una señal de un conjunto de posibles señales de entrada, la cual se transforma en una señal de un

17 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 7 conjunto de posibles señales de salida. Como las señales correspondientes se pueden modelar como funciones del tiempo, cada subsistema resulta ser un funcional. Mensaje Señal de entrada Señal transmitida Señal recibida Señal de salida Mensaje Canal Receptor Fuente Transductor Transmisor Transductor Destino Ruido, interferencia y distorsión Figura 3. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de comunicaciones Otro ejemplo es un sistema de control realimentado, en el que se desea que un proceso particular (o planta ) produzca una respuesta satisfactoria de manera robusta, esto es, a pesar de cambios en el ambiente. Para esto, se considera que la planta obedece a señales de control para producir la señal de salida, esto es, el proceso a controlar es un sistema de procesamiento de señales. Entonces es posible tomar la señal de salida para producir una señal realimentada que se compara con una señal de referencia. Si son iguales, la planta está operando satisfactoriamente. Si no, un sistema adicional usará la señal de diferencia como entrada para producir como salida los cambios necesarios en la señal de control. Señal de referencia Comparación Señal de diferencia Elemento de control Señal de control Proceso a controlar Señal de salida Señal realimentada Lazo de realimentación Figura 4. Modelo matemático (abstracción conceptual) de un sistema de control Por último, es IMPORTANTE notar que cuando decidimos utilizar modelos matemáticos para representar de manera simplificada alguna realidad compleja, estamos construyendo una idealización que será válida sólo en la medida en que el modelo capture los aspectos más relevantes de la realidad, y en la medida en que la realidad se ajuste con suficiente precisión a las suposiciones del modelo. Esto implica, por ejemplo, que los valores de las señales se mantengan dentro de las escalas de validez del modelo, o que los parámetros que describen a los componentes se encuentren suficientemente cerca de los valores usados en el modelo. En general, una característica fundamental del ingeniero es su capacidad de determinar el alcance de la validez de los modelos que utiliza, asegurándose que en el proceso de análisis o diseño que adelanta siempre se cumplan las condiciones y suposiciones en las que se basó el desarrollo de su modelo matemático.

18 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 8 4. Potencia y energía. Transformaciones afines del tiempo. Señales periódicas. Señales simétricas Como en nuestro modelo conceptual abstracto las señales tienen unidades de amplitud arbitrarias, podemos definir otras cantidades de interés asociadas con una señal. Por ejemplo, la potencia instantánea en una resistencia de R ohmios a la que se aplica una señal de v(t) voltios es v(t) /R watios, proporcional al cuadrado del valor absoluto de la señal. Como las unidades no son de interés para nuestro modelo teórico, definiremos la potencia de una señal x(t) como x(t). En el caso de una señal de tiempo discreto, x[n], la potencia instantánea de la señal se definirá como x[n]. A partir de esta definición, podemos definir también la energía en un intervalo de tiempo, la potencia promedio en un intervalo, la energía total y la potencia promedio total: Tabla. Definiciones abstractas de potencia y energía Tiempo continuo Potencia instantánea P ( ) ( ) x t x t Energía en un intervalo t E ( t, t) x( s) ds Potencia promedio en un intervalo x P n t Tiempo discreto x x[ n] t Px ( t, t) x( s) ds t Ex[ n N, n] x[ k] n knn n Px [ n N, n] x[ k] N Energía total Ex x() t dt Ex x[ n] Potencia promedio total P T x lim ( ) T T x t dt T n knn N Px lim x[ n] N N Con estas definiciones podemos considerar una nueva clasificación de señales: Una señal x(t) o x[n] se conoce como señal de energía si su energía total es finita: < E x <. Una señal x(t) o x[n] se conoce como señal de potencia si su potencia promedio total es finita: < P x <. En otro caso, la señal no es ni una ni otra. Por supuesto, dadas las relaciones entre energía total y potencia promedio total, la condición E x < implica P x =, mientras que la condición P x > implica E x =. Es decir, la clasificación como señal de energía o señal de potencia es excluyente. Estas definiciones, aunque inspiradas en los conceptos físicos de potencia y energía, parecen arbitrarias para nuestro modelo abstracto, adimensional y puramente matemático. Sin embargo, notaremos cómo se van convirtiendo en definiciones fundamentales para especificar los tipos de procesos que podemos aplicar a cada tipo de señal. Para dar una indicación inicial, nótese que una señal periódica es una señal de potencia, mientras que una señal de soporte compacto, esto es, idénticamente igual a cero por fuera de un intervalo finito, es una señal de energía (siempre y cuando ambas sean diferentes de la señal idénticamente cero y acotadas). A la primera le aplicaremos la serie de Fourier y a la segunda le aplicaremos la transformada de Fourier. nn

19 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 9 A manera de ejemplo, nótese que la señal x[n] = 4 nz no es una señal de energía porque E x x[ n] 6, pero sí es una señal de potencia porque, como todas las muestras n n tienen una potencia instantánea 6, la potencia promedio por muestra en cualquier intervalo de tiempo es 6: N N N Px lim x[ n] lim 6 lim 6 6 N N N N N N nn nn La señal x(t) = t tr no es de potencia ni de energía pues es fácil ver que ambas cantidades son infinitas: P x t dt t dt t dt t T x T T T T 3 lim ( ) lim lim lim lim T T T T T T T T T 3T T 3 Claro, si P x es infinita, con mayor razón lo será E x. Por último, consideremos la señal x(t) = exp(- t ): t t t t Ex x( t) dt e dt e dt e e ( ) Por lo que se trata de una señal de energía. Claro, su potencia promedio es cero a pesar de que la señal toma un valor mayor que cero para cualquier instante de tiempo. De otro lado, una clase importante de transformaciones que puede sufrir una señal es la de aquellas en que se modifica la variable independiente (a la que hemos llamado, de manera genérica, tiempo ). En efecto, por un lado este tipo de transformaciones nos permitirá definir propiedades de las señales como la periodicidad o la simetría y, por otro lado, nos permitirán definir bloques fundamentales de procesamiento como los retardadores o los sub-muestreadores. Considere por ejemplo la señal x(t) mostrada en la Figura 5 junto con algunas transformaciones afines de su variable tiempo. Las primeras dos transformaciones, de x(t) a x(ts), representan desplazamientos en el tiempo. Si s es una cantidad positiva, la señal se adelanta s segundos pero, si s es una cantidad negativa, la señal se atrasa s segundos. Si observamos, por ejemplo, la señal de eco-localización del murciélago, notamos que el oído del murciélago percibe la superposición de la señal transmitida con una copia retardada de la misma, la cual le indica la distancia y la dirección del objeto que provocó la reflexión de la señal. La tercera transformación muestra una inversión en el tiempo, en la que la señal se refleja con respecto al eje t=. Un ejemplo ilustrador sería la reproducción de una cinta de audio al revés (en la dirección opuesta a aquella con la que se grabó). Las siguientes dos transformaciones se refieren a un cambio de la escala de tiempo, de x(t) a x(at). Si a es mayor que uno la señal se contrae, mientras que si a es menor que uno la señal se estira en el tiempo. Este efecto se consigue, en el ejemplo anterior, reproduciendo la cinta de audio a una velocidad diferente a aquella con la que se grabó (más rápidamente si a> y más lentamente si a<). Estas transformaciones se pueden combinar, como en las últimas tres transformaciones de la Figura 5.

20 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate x(t) x(t3) x(t-3) x(-t) x(t) x(t/) x(3-t) x(-3-t) x(6-t) Figura 5. Transformaciones del tiempo continuo Por supuesto, este tipo de transformaciones sobre la variable independiente se puede realizar también en señales de tiempo discreto, aunque en este caso las operaciones de escalamiento se deben considerar con más cuidado. Como acabamos de ver, cuando se cambia de escala en el tiempo continuo, la forma de la señal permanece intacta y completa, sólo que se estira o se comprime según el cambio de escala. Pero, cuando trabajamos en tiempo discreto, las cosas son diferentes. En efecto, al calcular x[n] estamos eliminando una de cada dos muestras, cuando cada una de ellas puede llevar información muy importante. Y al calcular x[n/], aunque no estamos perdiendo información, sí debemos inventar nuevas muestras que correspondan a los puntos intermedios entre las muestras originales de x[n]. En efecto, al hacer x [n] = x[n] sólo estamos adquiriendo las muestras pares de x[n]. Y al hacer x [n] = x[n/], estamos colocando las muestras originales de x[n] en las muestras pares de x [n], por lo que debemos rellenar las muestras impares con algún otro valor (lo acostumbrado es rellenar con ceros para interpolar después mediante un proceso de filtrado). x[n] x[n] x[n-] x[-n] x[n] x[n/] Figura 6. Transformaciones del tiempo discreto

21 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Como ejercicio en clase, pedirles a los estudiantes que encuentren x( 3t/) y x[3 n] cuando x(t) y x[n] son como se muestra en la siguiente figura Figura 7. Ejercicio en clase Las transformaciones que hemos hecho de la variable tiempo nos permiten hacer dos tipos de clasificación de señales que serán de gran importancia en el tratamiento que hagamos de las señales más adelante: Señales periódicas o aperiódicas, por un lado, y señales pares, impares o asimétricas, por otro. Una señal en tiempo continuo, x(t), es periódica con período TR si x(t) = x(tt) tr. Similarmente, una señal en tiempo discreto, x[n], es periódica con período NN si x[n] = x[nn] nz. Nótese que, si aplicamos recursivamente la definición, también se cumple que x(t) = x(tkt) tr, kn y que x[n] = x[nkn] nz, kn. Por eso, se le llama período fundamental de la señal al mínimo valor de T> ó de N> que satisface la definición. Señal periódica en tiempo continuo con período /3 Señal periódica en tiempo discreto con período Figura 8. Señales periódicas en tiempo continuo y en tiempo discreto Una señal en tiempo continuo, x(t), es simétrica con simetría par si x(t) = x( t) tr. Una señal en tiempo continuo, x(t), es simétrica con simetría impar si x(t) = x( t) tr. En otro caso, la señal es asimétrica. Aunque las anteriores definiciones de simetría se consideran con respecto al origen del tiempo, también se pueden considerar señales simétricas a aquellas que tienen simetría con respecto a otros instantes de tiempo (x(t t) = x(t t) tr en el caso par, o x(t t) = x(t t) tr en el caso impar). En el tiempo discreto aplican idénticas definiciones: Una señal en tiempo discreto, x[n], es simétrica con simetría par si x[n] = x[ n] nz. Una señal en tiempo discreto, x[n], es simétrica con simetría impar si x[n] = x[ n] nz. En otro caso, la señal es asimétrica. La simetría en tiempo discreto también se puede considerar con respecto a algún instante de tiempo diferente al origen (x[n n] = x[n n] nz en el caso par, o x[n n] = x[n n] nz en el caso impar). Ver Tabla 3. Nótese que para cualquier señal simétrica con simetría impar es necesario que

22 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate x() = (o que x[] = en el caso de tiempo discreto). En efecto, por definición, x() = x(), lo cual sólo se puede cumplir si x()=. En el caso de señales complejas se hace necesario redefinir la simetría ligeramente: Una señal {x[n]} n tiene simetría par si x[n]=x[-n]* nz, donde el asterisco indica el complejo conjugado. Una señal {x[n]} n tiene simetría impar si x[n]=-x[-n]* nz. La simetría de señales complejas en tiempo continuo se define análogamente. Tabla 3. Señales simétricas y asimétricas en tiempo continuo y discreto Asimétrica en tiempo continuo Simétrica con simetría par en tiempo continuo Simétrica con simetría impar en tiempo continuo Asimétrica en tiempo discreto Simétrica con simetría par en tiempo discreto Simétrica con simetría impar en tiempo discreto Hay un hecho muy útil con respecto a la simetría: cualquier señal se puede representar como la suma de una señal par y una señal impar. En efecto, a cualquier señal en tiempo continuo x(t), le podemos asociar una señal par x e (t) =(x(t) x( t))/ y una señal impar x o (t) =(x(t) x( t))/. Claramente, x(t) = x e (t) x o (t). La misma descomposición aplica para señales en tiempo discreto, como muestra la siguiente tabla. Tabla 4. Descomposición de una señal en sus partes par e impar Señal asimétrica x[n] Componente par, x e [n] Componente impar, x o [n]

23 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 Como ejercicio en clase, pedirles que encuentren las componentes par e impar de las señales usadas en el anterior ejercicio en clase (Figura 7). Antes de pasar a ver algunas señales particulares de importancia, sería interesante notar lo siguiente: Suponga una señal real en tiempo discreto de duración finita, con N muestras para algún NN, {x[n], n= N, N,,,,,, N, N } (para cualquier otro valor de n con n N, x[n]=). Por ser de duración finita, si sus amplitudes son acotadas, se trata de una señal de energía. Expresando la señal en términos de sus componentes par e impar, la energía total de {x[n]} es N N N N N x [ ] e[ ] o[ ] e[ ] e[ ] o[ ] o[ ] n N n N n N n N n N E x n x n x n x n x n x n x n El producto x e [n]x o [n] es una señal impar puesto que x e [ n]x o [ n] = (x e [n])( x o [n]) = x e [n]x o [n], por lo que la suma de sus muestras es cero, como verificamos enseguida: N x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [] x [] e o e o e o n N n N N n N N x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] x [ n] e o e o e o e o n n En consecuencia, la energía total de la señal es la suma de las energías de su componente par y su componente impar: N N N x [ ] e[ ] o[ ] xe xo n N n N n N E x n x n x n E E Este resultado, aparentemente trivial, tendrá un significado fundamental para nosotros. Si pensamos que cada una de las señales x[n], x e [n] y x o [n] son vectores de un espacio vectorial (N )- dimensional, donde cada muestra es un componente perpendicular, el cuadrado de la norma del vector sería la energía de la señal, lo cual se asocia perfectamente bien con el producto interno entre vectores. Por ejemplo, en el caso N=, la señal tiene tres componentes {,, x[-], x[], x[],, }, lo que se puede interpretar como la suma de tres señales perpendiculares {,, x[-],,,, }, {,,, x[],,, } y {,,,, x[],, } (el producto interno entre dos de ellas es cero). De esta manera, la definición de energía sería sólo una expresión del teorema de Pitágoras, como muestra la siguiente figura, pues la norma euclidiana del vector es la raíz cuadrada de su energía. n = x[] e o x[] n = x[-] n = - Figura 9. Interpretación de las señales de energía como vectores en un espacio vectorial abstracto

24 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 De acuerdo con esta interpretación, las señales de energía forman un espacio vectorial en el que cada vector (cada señal) se puede expresar como la combinación de dos vectores (señales) que pertenecen a sub-espacios ortogonales entre ellos: el de las señales pares y el de las señales impares. Estos dos sub-espacios son complementarios en el sentido en que su suma forma el espacio total de las señales de energía. Más adelante enfatizaremos esta interpretación, de manera que podremos notar, por ejemplo, que la transformada de Fourier es solamente un cambio de base para expresar el espacio vectorial de las señales de energía, o que la aproximación de una señal mediante otra tratando de minimizar el error cuadrado promedio, es solamente una proyección perpendicular de un vector sobre un sub-espacio vectorial. Espacio vectorial de todas las señales de energía Espacio vectorial de las señales de energía con simetría par Espacio vectorial de las señales de energía con simetría impar Figura 3. Las señales pares e impares de energía forman sub-espacios complementarios ortogonales del espacio vectorial de las señales de energía Por lo pronto, resultará interesante notar cómo el ambiente de programación Matlab, que se ha constituido en el estándar de computación científica para ingeniería, considera las señales desde esta perspectiva vectorial.

25 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 5. Introducción a Matlab Matlab es un programa de computación científica especialmente dirigido a aplicaciones de ingeniería. Los principales objetos con que se interactúa en matlab son las sentencias, las variables, las gráficas y los scripts. Como introducción a matlab, en esta clase veremos estos cuatro objetos rápidamente, reconociendo que, como todo, matlab sólo se llega a conocer después de trabajar intensamente con él. Al ejecutar matlab (por ejemplo, si se usa Windows de microsoft, haciendo doble click en el ícono correspondiente), aparece un ambiente de programación y ejecución con algunos menús descolgantes e íconos que también puede incluir una ventana con la lista del contenido del directorio de trabajo, una ventana con la lista de las variables en la memoria (o workspace -espacio de trabajo-), una ventana con la lista de los comandos recientes, etc. Pero la parte principal de la pantalla es una ventana donde se introducirán comandos interactivos, inmediatamente después del prompt >>. Directorio actual Contenido del directorio indicado Información de las variables en memoria Información del archivo seleccionado Ventana de comandos para interacción con Matlab Listado de los comandos introducidos en la ventana de comandos Botón de inicio Figura 3. Ambiente de interacción con Matlab Por ejemplo, una sentencia típica es la asignación de una matriz x a una variable de Matlab: >> A = [3 ; 7] A = 3 7 La matriz A que se acaba de crear aparece automáticamente después de oprimir ENTER, con lo que reporta el resultado de la operación. Si la sentencia se hubiera terminado con un punto-y-coma, (;), el despliegue de A se hubiera eliminado. Los nombres de las variables empiezan con una letra y pueden contener números, mayúsculas y minúsculas, y el símbolo _. Tenga en cuenta que Matlab

26 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 distingue entre mayúsculas y minúsculas, de manera que las variables a y A, por ejemplo, son variables diferentes: >> A = [3 ; 7]; >> a = 3; >> B = a*a B = En sentencias como las anteriores se pueden utilizar los operadores matemáticos usuales (, -, *, /), funciones ya predefinidas (por ejemplo sin(), cos(), tan(), asin(), acos(), atan(), abs(), sqrt(), imag(), real(), conj(), log(), log(), log(), exp(), etc), y algunos nombres de variables predefinidos como pi (= ), inf (= ), y j (= (-) ): >> t =.5; f = ; phi = pi/8; >> angulo = *pi*f*t phi; >> a = cos(angulo) j*sin(angulo) a = i Aunque hay una ventana que muestra las variables en el workspace, esta información también se puede obtener con la instrucción whos: >> whos Name Size Bytes Class Attributes A x 3 double B x 3 double a x 6 double complex angulo x 8 double f x 8 double phi x 8 double t x 8 double La instrucción clear borra todas las variables de la memoria: >> clear >> whos Una variable importante es ans (answer), que se refiere al último resultado obtenido: >> *pi ans = 6.83 >> sqrt(ans) ans =.566 La precisión con que se muestran los resultados es diferente a la precisión con que se almacenan, pues cada escalar se almacena con 64 bits: >> format long >> *pi ans = >> sqrt(ans) ans =

27 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 7 Por supuesto, el formato de salida no afecta los cálculos, que siempre se hacen con precisión double. El nombre de Matlab es una contracción de Matrix Laboratory pues, en efecto, la unidad computacional básica es la matriz. Nótese, por ejemplo, que en el anterior listado de variables en memoria, a, angulo, f, phi y t son matrices de en vez de escalares. Como se mostró en el primer ejemplo, una matriz se introduce entre paréntesis cuadrados [], separando las filas mediante punto-y-coma (;) y separando los elementos de cada fila mediante coma (,) o espacio. Por ejemplo, una manera de introducir la matriz log( ) sin( / 4) cos( / 6).8 A j 3 e arcsin(.) (,) Podría ser mediante la siguiente instrucción: >> A = [log(-) sin(pi/4) cos(pi/6); -j sqrt(3) exp(.8); asin(.), beta(,), ] A = 3.46i i Nótese que podemos usar múltiples líneas o no, y que podemos separar los elementos de una misma fila mediante coma o mediante espacio. Cuando operamos con matrices podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas, invertirlas, transponerlas, elevarlas a una potencia, etc. Claro, en estos casos necesitamos que las dimensiones de las matrices sean compatibles. En el siguiente ejemplo, A es 3 y B es 3, por lo que no se pueden sumar, pero la transpuesta de B sí se puede sumar con A (el apóstrofe se refiere a la transpuesta conjugada que, en este caso en que BR 3, resulta la misma transpuesta). >> A = [ 3; 4 5 6]; >> B = [ ; 3 4; 5 6]; >> AB??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree. >> AB' ans = Claro, A y B sí se pueden multiplicar: >> C=A*B C = Resultando una matriz cuadrada que se puede elevar al cuadrado: >> C^ ans =

28 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 8 Pero si queremos construir una matriz en donde cada uno de los elementos de C esté elevado al cuadrado, precedemos el operador con un punto indicando la naturaleza elemento a elemento de la operación: >> C.^ ans = Obsérvese cuán fácil es calcular el producto interno o el producto externo entre dos vectores: >> x = [; ; 3]; >> y = [4; 5; 6]; >> interno = x'*y interno = 3 >> externo = x*y' externo = Claro, el producto interno x'*y es la suma de los productos de los componentes de cada vector: >> sum(x.*y) ans = 3 Aprovechemos para verificar que el producto de dos matrices es la transpuesta del producto de las transpuestas: >> y*x' ans = Si tenemos un sistema lineal de ecuaciones, 3x y z = x y 3z = -x 4y z = 3 Se puede encontrar su solución de manera muy simple: >> inv([3 ; - 3; - 4 -])*[; ; 3] ans = donde inv(a) se refiere a la inversa de la matriz A. El resultado se puede verificar fácilmente: >> [3 ; - 3; - 4 -]*[ ;.48574; ] ans =.. 3. Los componentes individuales de un vector, una matriz o cualquier otro arreglo, se referencian con el nombre del arreglo sub-indicado con la posición del componente que nos interesa, teniendo en cuenta que el índice del primer elemento es (no cero como en muchos lenguajes de programación):

29 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 9 >> A = [3 ; 6 5 4] A = >> A(,) ans = 6 >> A(,3) ans = De hecho, podemos extraer toda una fila o una columna usando dos-puntos (:) para referirnos a todos los índices correspondientes: >> A(,:) ans = >> A(:,) ans = 5 Más aún, la notación dos-puntos (:) nos permite describir rangos de subíndices: >> A=[ ; 5 6; 7 8; 3 4 9] A = >> A(:3,:4) ans = 5 7 En estos casos, el subíndice end puede ser de gran utilidad, pues se refiere al último subíndice en la dimensión correspondiente: >> A(3:end,4:end) ans = 8 9 Una forma sencilla de introducir un vector fila es a través de esta misma notación basada en dospuntos (:) >> x = :.5:3 x = En general x = xi : dx : xf define un vector fila que empieza con x()=xi, y para el cual el elemento n es igual al elemento n incrementado en dx, x(n) = x(n)dx, para n=,,..., de manera que x(end) xf y x(end)dx > xf. Se leería como desde xi hasta xf en incrementos de dx. Si se omite el incremento, se asume que vale uno: >> n=-3:5 n =

30 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 A manera de ejemplo, suponga que queremos evaluar una señal en tiempo continuo, x t t e t 3t ( ) sin(8 ),, Claro, el intervalo unitario es imposible de almacenar en un computador con memoria finita (aún en un computador con memoria infinita!), por lo que conviene tomar un vector de muestras suficientemente densas en el tiempo: >> t=:.5:; >> x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t); Con lo que hemos evaluado x(t) en puntos del intervalo unitario. Nótese que, en la memoria de trabajo de matlab, x es una señal muestreada, no una señal en tiempo continuo. Sin embargo, como está densamente muestreada, podemos graficarla interpolando mediante líneas rectas entre las muestras, para lo cual usamos la instrucción plot, dándonos la sensación de continuidad: >> plot(t,x) Figura 3. Resultado de las instrucciones de matlab t=:.5:; x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t); plot(t,x) En el menú de íconos de la ventana de la gráfica hay una pequeña lupa con la que podemos ver con mayor detalle una porción de la figura para notar el tipo de interpolación que hace la instrucción plot:

31 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 Figura 33. Zoom de la Figura 3, donde se nota la interpolación hecha por la instrucción plot Por supuesto tratándose de señales muestreadas, es mejor utilizar una representación gráfica que facilite esta interpretación. Esto se consigue con la instrucción stem. Por ejemplo, ahora tomaremos 4 muestras de la señal anterior: >> n = :4; >> y=sin(8*pi*(n/4)).*exp(-3*(n/4)); >> stem(n,y) Figura 34. Gráfica de señales en tiempo discreto mediante stem Es posible comparar ambas gráficas ya que la instrucción hold on permite graficar sobre las figuras previamente creadas. Claro, la señal muestreada no se debe graficar con respecto al número de muestra sino con respecto al instante correspondiente de cada muestra: >> t=:.5:; >> x=sin(8*pi*t).*exp(-3*t); >> plot(t,x, r ) >> hold on >> n = :4; >> y=sin(8*pi*(n/4)).*exp(-3*(n/4)); >> stem(n/4,y) Nótese que, por claridad, trazamos la señal continua en color rojo mediante el parámetro adicional r del comando plot.

32 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Figura 35. Despliegue simultáneo de la señal en tiempo continuo y en tiempo discreto Claramente, una de las principales características de Matlab es su excelente capacidad gráfica y la facilidad con que se utiliza dicha capacidad. Como para darnos una breve idea de las muchas posibilidades, podemos usar el comando help, que despliega información de ayuda sobre otros comandos de matlab. Ejecute los siguientes comandos y disfrute viendo las instrucciones que matlab tiene para presentar gráficas de muchos tipos diferentes: >> help matlab\graphd >> help matlab\graph3d >> help matlab\specgraph Hasta ahora toda la interacción que hemos tenido con matlab ha sido a través de la ventana de comandos, pero este modo de interacción sólo permite sesiones cortas y no repetitivas. Afortunadamente, matlab permite editar, almacenar e invocar archivos de comandos donde se puede agrupar un gran número de sentencias relacionadas para ser utilizadas como una única sentencia en la ventana de comandos. Estos archivos son archivos tipo.m ya que su nombre tiene esta extensión. Existen dos tipos de archivos.m : Los archivos script (guión o libreto) son, simplemente, una secuencia de comandos que se almacenan desde un editor de texto para que matlab los ejecute como si fueran introducidos desde la ventana de comandos. Estos archivos pueden incluir llamadas a otros scripts, pero debe tenerse cuidado porque trabajan con las variables del workspace, lo cual puede ser muy conveniente para interactuar con ellos desde la ventana de comandos, pero también puede producir interacciones no intencionales a través de estas variables. El otro tipo de archivos.m son los archivos function (función), los cuales pueden aceptar variables de entrada y pueden producir variables de salida, aunque sus variables internas no hacen parte del workspace. Para terminar este tutorial utilizaremos solamente archivos script, y dejaremos al lector la consideración de los archivos function (use >> help function en la línea de comandos). Por ejemplo, si queremos hacer un archivo que grafique un segundo de una señal seno con frecuencia dada, podemos usar el editor de matlab así: >> edit FiguraSeno

33 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 33 Con lo que creamos el archivo FiguraSeno.m en el directorio de trabajo y entramos al editor de texto para digitarlo. En el editor simplemente escribimos los comandos a ejecutar (aunque no los va a ejecutar inmediatamente, pues no estamos en la ventana de comandos): Figura 36. Edición de un archivo script Después de guardar el archivo (usando el ícono del diskette o las opciones de menú File/Save, o la tecla rápida CTRL-S), podemos regresar a la ventana de comandos: >> help FiguraSeno FiguraSeno.m Script para dibujar la señal x(t) = sin(*pi*f*t) en el intervalo unitario [, ]. El valor de f debe existir en el espacio de trabajo antes de invocar este script. Como se puede apreciar, los comentarios iniciales de un script aparecen cuando se pide ayuda sobre el nuevo comando. En este caso, la ayuda es implacable: Habrá problemas si no definimos primero la variable f: >> FiguraSeno??? Undefined function or variable 'f'. Error in ==> FiguraSeno at 7 x = sin(*pi*f*t); Mejor seguir las instrucciones: >> f = ; FiguraSeno Nótese las etiquetas en la gráfica (xlabel, ylabel, title). Con ellas aprovechamos para ilustrar pasos básicos del manejo de cadenas de caracteres cómo, por ejemplo, la inclusión de un valor numérico dentro del arreglo de caracteres que conforman el título (mediante la función numstr que convierte un dato numérico en una cadena de caracteres).

34 Amplitud Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 34 x(t) = sin(*pi*f*t), f= Tiempo en segundos Figura 37. Resultado del script FiguraSeno fon f= Por último, veamos cómo sería un script para ayudar a resolver la primera tarea % Tarea.m % Resuelve el primer punto de la primera tarea % dt debe estar definida en el workspace antes de invocar este script % dt es el tiempo de muestreo para el sistema en tiempo discreto % % Toma suficientes muestras en el tiempo continuo de x(t) y de y(t) t = -.:.:.8; % Toma muestras cada us xt = (t>=).*(t<=.3); % Señal de entrada yt = xt.*(-exp(-*t)) (-exp(-3))*(t>.3).*exp(-(*t-3)); % Señal de salida plot(t,xt,'b-',t,yt,'r-') % Grafica la salida en tiempo continuo % Ahora toma las muestras para el sistema en tiempo discreto n = floor(-./dt):floor(.8/dt); % tiempo discreto a =.; % parámetro alpha b = a/dt; % parámetro beta r = b/(b); % parámetro ro n = floor(.3/dt); % instante en el que x[n] cambia de uno a cero yd = (n>=).*(n<=n).*(-r.^(n)) (n>n).*(r.^(n-n) - r.^(n)); hold on stem(n*dt,yd,'k.') xlabel('tiempo en segundos') ylabel('amplitud') title(['señales relacionadas con la tarea cuando dt = ' numstr(dt)]) % Breve extensión para calcular el error en el intervalo [.8] t = n*dt; yi = (t>=).*(t<=.3).*(-exp(-*t)) (-exp(-3))*(t>.3).*exp(-(*t-3)); I = find(n>=); N = length(i); MSE = sum((yi(i) - yd(i)).^)/n Nótese el uso de relaciones lógicas para definir rangos de validez de las expresiones. Por ejemplo, cuando hacemos xt = (t>=).*(t<=.3), estamos multiplicando punto a punto una señal que vale uno sólo cuando t es no negativa con otra señal que vale uno sólo cuando t es menor o igual a 3 ms. El producto es uno sólo cuando t.3, que era exactamente la definición de x(t) en la

35 Error cuadrado medio Amplitud Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 35 tarea. También nótese el uso de las funciones floor, find y sum (use help para ver sus descripciones). Señales relacionadas con la tarea cuando dt = tiempo en segundos Figura 38. Resultado del script Tarea.m con dt = ms El siguiente script, que invoca al anterior, nos permitiría calcular el error cuadrado medio en el intervalo [,.8] para diferentes valores de dt: for i=: dt = (49*i - 3)/9; % de. ms hasta 5 ms en pasos Tarea mse(i) = MSE; d(i) = dt; clear I MSE N a b dt n n r t x yd yi yt end close all semilogy(d,mse) xlabel('intervalo de muestreo en segundos') ylabel('error cuadrado medio') title('mse de la aproximación en el intervalo [,.8]') - MSE de la aproximación en el intervalo [,.8] Intervalo de muestreo en segundos x -3 Figura 39. Error al aproximar el sistema en tiempo continuo por el sistema en tiempo discreto de la tarea Nótese el uso de la instrucción clear para borrar algunas o todas las variables (algo que conviene hacer al iniciar un nuevo proceso en el workspace para evitar las interacciones insospechadas de las que hablamos anteriormente), la instrucción close para cerrar las ventanas gráficas que estén abiertas, y la instrucción semilogy para usar una escala logarítmica en el eje vertical (use help para conocer más sobre estas instrucciones).

36 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 36 Antes de terminar esta clase, es interesante hacer notar que el éxito de Matlab como herramienta de computación científica para ingeniería se debe, fundamentalmente, a su capacidad de trabajar fácilmente con matrices y vectores, que es el lenguaje natural de la ingeniería. Efectivamente, por un lado éste es el tipo de cálculos más comunes en ingeniería; pero, por otro lado, y más importante aún, los principales modelos matemáticos en ingeniería hacen referencia a vectores abstractos en espacios vectoriales abstractos, como tendremos oportunidad de ver más adelante en el caso de las señales y los sistemas. Esto implica un cambio de mentalidad respecto a la programación típica de computadores con otros lenguajes de propósito general, en los que se necesitan extensos lazos fornext para hacer operaciones sencillas entre vectores, por ejemplo. Como ilustración, nótese que para calcular la energía de una señal de duración finita en tiempo discreto basta con encontrar el producto interno de la señal con ella misma: >> x = randn(,); >> E = x'*x; pero un estudiante con mentalidad escalar no dudaría en cambiar la segunda línea por una iteración for/next : >> E = ; >> for i=:length(x) E = E x(i)*x(i); end lo cual implica una gran ineficiencia en comparación con la primera propuesta. Pero, como dijimos, no es sólo un asunto de eficiencia computacional sino, principalmente, un asunto de mentalidad vectorial. Por ejemplo, cuando ve una ecuación como la siguiente: y[ n] a x[ n k], n,..., un estudiante con mentalidad escalar pensará en la siguiente implementación: k for n=: y(n)=; for k=: if ((n-k>=) && (n-k<=)) y(n) = y(n) a(k)*x(n-k); end end end k con lo cual demuestra que interpreta la ecuación anterior como una definición para cada una de las muestras de la señal y[], lo cual no está mal. Sin embargo, un estudiante con mentalidad vectorial sabe que la ecuación anterior también se puede interpretar como si la señal completa {y[n], n=,,} fuera una combinación lineal de las once señales {x[n-k], n=,,} k=,,, por lo que su implementación sería así: y[ n], n,..., a x[ n k], n,..., k k

37 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 37 y = zeros(,); for k=: y = y a(k)*x; x = [; x(:)]; end Otro estudiante ligeramente más brillante notará que la ecuación anterior es una sola ecuación matricial y X a donde [y] es un vector columna con las muestras de la señal y[], [a] es un vector columna con los coeficientes {a k }, y [X] es una matriz obtenida de la señal x[]. Tal vez este estudiante preferiría la siguiente implementación, aunque ocupe más memoria: X = zeros(,); X(:,) = x; for k=: X(:,k) = [; X(:,k)]; end y = X*a; Es importante notar que las tres expresiones anteriores son fundamentalmente equivalentes: y[ n] ak x[ n k], n,..., y[ n], n,..., ak x[ n k], n,..., k y X a k Sin embargo, la primera enfatiza una forma de calcular cada uno de los componentes de la señal y[], la segunda enfatiza una relación vectorial en la que el vector de correspondiente a la señal y[] es una combinación lineal de los vectores correspondientes a los desplazamientos de la señal x[], y la tercera es una representación matricial de la transformación lineal que implica dicha combinación. La naturaleza matricial de Matlab enfatiza las dos últimas interpretaciones, lo cual ofrece muchas ventajas con respecto a la comprensión misma de la teoría de señales. Con la práctica, el estudiante alcanzará rápidamente la mentalidad vectorial y matricial que se requiere para sacar el máximo provecho de Matlab y el máximo provecho de este curso. Como conclusión de esta clase, nos hemos empezado a familiarizar con el programa de computación científica y visualización de datos más utilizado en docencia e investigación en ingeniería. La interactividad de Matlab y el muy alto nivel de sus instrucciones le permiten al usuario probar y depurar los programas enfocándose en los principios científicos que su programa evalúa y no en los detalles particulares de la programación misma (no se deben declarar los tipos de las variables ni los tamaños de los arreglos, se pueden construir complejas gráficas con unas pocas instrucciones, etc.). Por último, su orientación matricial no sólo simplifica la programación, sino que facilita un adecuado modelamiento matemático del problema que se trata.

38 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Señales exponenciales. Periodicidad en tiempo continuo y en tiempo discreto En la naturaleza son comunes los sistemas caracterizados por señales cuyas tasas de crecimiento son proporcionales a las señales mismas. Por ejemplo, en ausencia de predadores y abundancia de recursos, la tasa de crecimiento de la población de una especie es proporcional al número de individuos, d x ( t ) x ( t ) dt Considerando =, estamos ante una función que es idéntica a su derivada Cuál es esa función? Si aplicamos el método de la serie de potencias, x() t ant n n, obtenemos a a a a n n na nt ant n an an a, a, a3,..., an n n 3 n! Como queremos conservar la misma tasa de crecimiento en t=, necesitamos x()=a =, de donde obtenemos la función que es idéntica a su derivada (única, excepto por un factor constante): Por otro lado, nótese que n d t x( t) x( t) x( t) dt n! n t t d t r r r r lim lim r dt de manera que, si r lim, r t n es idéntica a su derivada, esto es, t t r. Evaluando en t=, n n! obtenemos el valor de r que satisface dicha relación. A ese número le llamamos e: e, n! n t El valor particular de e no es tan importante como la definición misma de la función e t, pues gracias a ella podemos calcular exponenciales donde el exponente es un número complejo, o donde el exponente es una matriz: n a b n j j c d a b e, e n n! n n! c d Esta última observación nos trae a otro número interesante, j, que se define mediante la relación j =- de manera que, por ejemplo, (-5) = [(5)(-)]=(5)(-)=5j. A los números que tienen a j como factor les decimos imaginarios, pero no es "uno" tan imaginario como j? Después de todo, el concepto mismo de número es una abstracción teórica de algo más real: la cardinalidad de los conjuntos. Podemos saber qué son tres vacas o qué son cinco asientos, pero qué es el "tres" ó qué es el "cinco"? Sin embargo, como el proceso de contar se refiere a establecer una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto y los números naturales, N, no parece apropiado decir que los números naturales sean imaginarios, pero lo cierto es que son el resultado de la imaginación del ser humano. De hecho, cuando se introdujo el número cero fue necesario hacer una mayor abstracción, un mayor esfuerzo de la imaginación. Y mayor esfuerzo aún se requirió al introducir los números

39 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 39 negativos. En efecto, dentro del sistema de los naturales no es posible encontrar un número que sumado a cinco dé tres, pero se puede extender el sistema a los números enteros para "darle existencia" a tal número, al cual llamamos "menos dos", aunque ya no quede fácil hablar de menos dos vacas o de menos dos asientos. De igual manera podemos ir extendiendo los sistemas numéricos: Cuál es el número que, al multiplicarlo por dos, da tres? Ese número no existe entre los naturales y tampoco existe entre los enteros, pero podemos inventar (imaginar) un sistema extendido que lo incluya: los números racionales. Y cuál es el número que multiplicado por si mismo da dos? Ese número no existe entre los naturales, ni entre los enteros, ni entre los racionales, pero podemos inventar (imaginar) un sistema extendido que lo incluya: los números reales. De los naturales a los enteros, de los enteros a los racionales, de los racionales a los reales, sólo hemos extendido la imaginación: Todos ellos son números "imaginarios" cuyas propiedades se asocian con el concepto primigenio de "contar". Ahora preguntamos Cuál es el número que multiplicado por sí mismo da "menos uno"? Ese número no existe en los naturales, ni en los enteros, ni en los racionales, ni en los reales, por lo que inventamos otro sistema numérico: Los imaginarios que son tan reales como los demás! O, mejor dicho, que son tan imaginarios como los demás. Por último, si nos preguntamos cuáles son las soluciones de la ecuación x x =, notaremos que esos números no están en los naturales, los enteros, los racionales, los reales o los imaginarios: Por eso imaginamos el sistema numérico de los complejos. Como de costumbre, de la misma manera que la abstracción teórica de las señales como funciones matemáticas nos permite modelar el concepto de señal (magnitud física medible que cambia con el tiempo), la abstracción teórica de los sistemas numéricos representa conceptos muy reales y muy concretos. En particular, el número irracional e y el número imaginario j juegan un papel fundamental en el modelamiento de las señales, como mencionaremos en breve. Con esta introducción a los números e y j, y habiendo definido señales, sistemas, potencia, energía, simetría y periodicidad, ahora revisaremos varias señales básicas en tiempo continuo y en tiempo discreto que nos servirán para construir muchas otras señales. t La primera de ellas es la señal exponencial, x( t) Ae, t, donde A y pueden ser, en general, números complejos. Consideremos primero el caso en que ambos parámetros son reales. En el origen la señal toma el valor x() = A. En otros instantes de tiempo, el comportamiento de la señal depende del signo del parámetro : x(t) crece con t si es positiva y decrece con t si es negativa, como se muestra en la siguiente figura. Por supuesto, si es igual a cero, la señal es una constante x(t)=a tr. Un caso más interesante para estudiar en este curso es cuando es un número puramente jt imaginario, =j, esto es, cuando x( t) Ae, t, donde A sigue siendo real. Una forma tradicional de representar está señal es como un punto sobre el círculo de radio A en el plano complejo, que gira a una velocidad de radianes por segundo. Esta interpretación cobra sentido cuando consideramos la relación de Euler: n n j n j n n j e n n! n ( n)! n (n )! e j cos( ) jsin( )

40 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 x(t)=ae t, A>, > x(t)=ae t, A>, < A t A t A t A t x(t)=ae t, A<, > x(t)=ae t, A<, < Figura 4. Señales exponenciales reales en tiempo continuo.5 N= N=4 N= N= N n Convergencia de la suma hacia cos( ) cuando ( n)! n N n Figura 4. Convergencia de la serie de la secuencia (-) n n /(n)! donde la convergencia de las series se aprecia en la Figura 4. Esto es, si interpretamos e j como un punto en el plano complejo sobre el círculo unitario que forma un ángulo con el eje horizontal, notamos que su componente real es la proyección del punto sobre el eje horizontal, cos(), y su componente imaginaria es la proyección del punto sobre el eje vertical, sin(), como muestra la Figura 4. Esta representación, conocida como el diagrama de Argand, explica la conversión entre las formas polar y rectangular de los números complejos: j b Me a jb M a b, tan a a M cos, b M sin Ahora podemos evaluar la exponencial compleja en un ángulo que se incrementa linealmente con el tiempo, de acuerdo con una constante adecuadamente llamada velocidad angular. Nótese en la Figura 43 cuán fácil es interpretar una frecuencia negativa: simplemente ocurre cuando el punto en el plano complejo da vueltas en el sentido de las manecillas del reloj, pues las frecuencias positivas lo hacen girar en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

41 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 Im e j sin( ) j e cos( ) j Ree Figura 4. Diagrama de Argand para la exponencial compleja t t t 3 t t t 3 jt Ae Acos( t) jasin( t) Figura 43. Partes real e imaginaria de la señal exponencial compleja De aquí la simetría par de la función coseno y la simetría impar de la función seno. En efecto, descomponiendo la exponencial compleja en sus partes par e impar, e jt = cos(t) j sin(t) e -jt = cos(t) j sin(t) jt jt jt jt cos( t) e e sin( t) e e j Estas expresiones se pueden interpretar como la suma (y diferencia) de dos puntos sobre el círculo unitario que se mueven en direcciones opuestas. j t e e jsin( t) j t e jt e jt e cos( t) jt e jt j t e Figura 44. La suma de dos puntos del plano complejo que se mueven en direcciones opuestas sobre el círculo unitario siempre cae sobre el eje real. La diferencia siempre cae sobre el eje imaginario

42 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 Para los matemáticos, las anteriores expresiones de seno y coseno son las definiciones mismas de dichas funciones, donde e j es sólo una serie de potencias: nada de catetos ni de hipotenusas! La relación de Euler, e j = cos() j sin(), es una de las relaciones más celebradas en las matemáticas. Richard Feynman (98-988), uno de los más grandes físicos del siglo XX, le decía a esta relación la joya de las matemáticas (The Feynman Lectures on Physics, vol. I, 977). De hecho, evaluándola en = se obtiene una relación muy simple entre los cinco números más importantes de las matemáticas: Figura 45. Relación simple entre los cinco números más importantes de las matemáticas Esta simple relación evoca un concepto estético: belleza. Si, como vimos, los sistemas de numeración son un producto de la creatividad humana, toda la matemática lo es, tanto como la música, la poesía o la pintura, donde es más fácil experimentar la belleza: Esa sensación de profundo placer que surge de una experiencia sensorial, en la que un maravilloso misterio por descubrir se revela en algo tan simple como una imagen o un sonido. Siendo así, la relación e j = no es más que un hermoso poema. Volviendo a nuestra señal x() t j t e, la principal propiedad de la exponencial compleja es su periodicidad. En efecto, recordando la definición de periodicidad ( x( t T) x( t) t ), jt jt T jt jt jt k e e e e t e, lo cual ocurre si T para cualquier k, en cuyo caso e j(tt) ocupa la misma posición de e jt en el círculo unitario, pero le ha dado k vueltas más. En consecuencia, el período fundamental de la exponencial compleja con frecuencia angular es T = /. Obsérvese que para cualquier R,, existe un T (=/)R y, si =, cualquier valor real de T es un período válido de la señal. Entonces, aunque parezca extraño hacer notar lo siguiente, la exponencial compleja en tiempo continuo siempre es periódica. Cuando veamos en un momento la exponencial compleja en tiempo discreto, se notará la relevancia de esta extraña observación. Si la variable t se refiere al tiempo medido en segundos, es la velocidad angular en radianes por segundos. Como cada radianes se completa un ciclo, se puede expresar como F, donde F es la frecuencia en ciclos por segundo. El período, entonces, T = / = /F, es el tiempo que toma un ciclo de la señal, en segundos. Nótese que, tratándose de una señal periódica, la energía de la exponencial compleja debe ser infinita. Pero es fácil ver que se trata de una señal de potencia: j t P x lim e dt lim dt lim Finalmente, consideremos el caso en que es una cantidad compleja, = j, mientras A sigue siendo un número real:

43 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 43 x() t Ae Ae Ae e t ( j ) t t j t Se puede notar que se trata del producto entre los dos casos anteriores: El primer término crece o decrece exponencialmente de acuerdo con el signo de, y el segundo término oscila a una velocidad de radianes por segundo. En consecuencia, de acuerdo con la relación de Euler, las partes real e imaginaria de x(t) se comportan como en la siguiente figura: Re xt ( ), Re xt ( ), t t Figura 46. Caso más general de la exponencial compleja Habiendo estudiado las señales exponenciales en tiempo continuo, se debe decir que con las exponenciales complejas en tiempo discreto todo es muy parecido, aunque existen dos diferencias fundamentales. Sea x[n]=ae n. Nuevamente, cuando A y son reales, tenemos los mismos casos que en el tiempo continuo: x[n]=ae n, A>, > x[n]=ae n, A>, < A A t t A A t t x[n]=ae n, A<, > x[n]=ar n, A>, r<- x[n]=ae n, A<, < x[n]=ar n, A>, -< r < A t A t Figura 47. Señales exponenciales reales en tiempo discreto

44 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 44 La figura anterior incluye una posible generalización que usa un escalar cualquiera r en vez de e, de manera que la señal tendría la forma x[n]=ar n. En este caso, cuando r <, tendríamos las dos formas adicionales mostradas en la parte inferior de dicha figura. Podemos ahora verificar la periodicidad de la exponencial en tiempo discreto cuando es un jn número puramente imaginario, =j, esto es, cuando x[ n] Ae, n. Por conveniencia, y sin perder generalidad, le asignaremos a la amplitud A el valor. Notemos que x[n] sigue siendo un punto del plano complejo que da vueltas al círculo unitario. La gran diferencia es que ahora lo hace en pasos discretos de radianes por muestra (la velocidad angular ya no está dada en radianes por segundo sino en radianes por muestra), lo cual hace válido preguntarnos si volverá a repetir los pasos por donde ya había pasado en la vuelta anterior, o en un número finito de vueltas. Para ver bajo qué condiciones ocurrirá algo así, revisemos nuevamente la definición de periodicidad: jn jnn jn jn jn k e e e e n e, lo cual ocurre si N para cualquier k Evidentemente, para que la exponencial compleja en tiempo discreto sea periódica se hace necesario que la velocidad angular sea un múltiplo racional de : k, kn, N Esta es una de las grandes diferencias con el caso del tiempo continuo, donde las exponenciales complejas son siempre periódicas con período bien definido para cualquier valor real de la velocidad angular (T=/, R). En el caso discreto, es necesario que la velocidad angular tenga un forma muy particular: debe ser un múltiplo racional de, =k/n, en cuyo caso (si k/n es una fracción simplificada, esto es, si k y N son primos relativos no tienen factores en común-) el período es N, que se cumple cuando el punto le ha dado k vueltas al círculo unitario. La explicación es simple: Como el punto en tiempo continuo pasa por todos los puntos del círculo unitario, siempre volverá al mismo punto, de manera indefectible y en una sola vuelta. Pero como el punto en tiempo discreto no necesariamente pasa por todos los puntos, es posible que deba dar varias vueltas antes de volver al punto original o, más aún, puede que nunca vuelva al punto original. La siguiente figura muestra las posiciones del punto en un período de 5 muestras para diferentes valores de k: x[ n] exp j n 5 x[ n] exp j n 5 3 x[ n] exp j n 5 4 x[ n] exp j n 5 n= n= n= n=3 n=4 n= n=3 n=4 n=,5 n=,5 n=,5 n=,5 n=3 n=4 n=4 n= n= n=3 n= n= El período 5 se cumple al darle una vuelta al círculo unitario El período 5 se cumple al darle dos vueltas al círculo unitario El período 5 se cumple al darle tres vueltas al círculo unitario El período 5 se cumple al darle cuatro vueltas al círculo unitario Figura 48. La frecuencia digital es un número racional: El denominador N es el período y el numerador k es el número de vueltas al círculo unitario en un período. En todos los casos el número de ciclos por muestra es /N La figura anterior nos lleva a identificar la segunda gran diferencia con la exponencial compleja en tiempo continuo. Mientras en el tiempo continuo todas las frecuencias eran distinguibles pues entre mayor era la velocidad angular mayor era el número de ciclos por segundo, en el caso del tiempo

45 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 45 discreto hay frecuencias que no se pueden distinguir entre ellas. Por ejemplo, nótese que la frecuencia -/5, en donde incrementamos /5 radianes por muestra en el sentido de las manecillas del reloj, resulta idéntica a la frecuencia 4/5, en la que aumentamos 8/5 en el sentido contrario a las manecillas del reloj con cada muestra. Más aún, después de 4/5, la siguiente frecuencia válida para que el período siga siendo 5 es 6/5, pero al observar el orden de los puntos que traza la señal, notamos que son los mismo y en el mismo orden que los puntos que traza cuando la frecuencia es /5. Esto es fácil de apreciar si consideramos que las velocidades angulares separadas por un número entero de son indistinguibles: j k n j n j kn j n e e e e k, n La Figura 49 muestra cómo las velocidades angulares -4/5 y 6/5 radianes por segundo son perfectamente distinguibles en tiempo continuo, pero las velocidades angulares -4/5 y 6/5 radianes por muestra no se pueden distinguir en tiempo discreto [ ] j n [ ] j n x n e x n e Figura 49. La frecuencia f = -/5 ciclos por muestra no se puede distinguir de la frecuenia f = 3/5 ciclos por muestra Para ver con mayor claridad las diferencias fundamentales en la periodicidad de las señales en tiempo continuo y en tiempo discreto, veamos muestras de las señales mostradas en la Figura 48 f = -7/5 f = -6/5 f = -5/5 f = -4/5.5-5 f = -3/5-5 f = -/5 5 f = -/5-5 f = /5.5-5 f = /5-5 f = /5-5 f = 3/5 5 f = 4/5-5 f = 5/5-5 f = 6/5-5 f = 7/5-5 f = 8/ Figura 5. Diferentes exponenciales complejas en tiempo discreto (parte real en rojo, parte imaginaria en azul)

46 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 46 Nótese que, en la figura anterior, cualquier frecuencia fuera del rango {-/5, -/5,, /5, /5}se puede confundir con una de las que se encuentran en este rango: -7/5, 3/5 y 8/5 se confunden con - /5; -6/5 y 4/5 se confunden con -/5; -5/5 y 5/5 se confunden con /5; -4/5 y 6/5 se confunden con /5; y -3/5 y 7/5 se confunden con /5. Esta indistinguibilidad entre diferentes frecuencias en tiempo discreto es lo que se conoce con el nombre de Alias: Cualquier frecuencia f con f >/ se puede confundir con alguna otra frecuencia f con f /. Más aún, nótese que la velocidad de las oscilaciones crece mientras f va de cero hasta ½ ciclo/muestra pero, una vez f supera ese valor, la velocidad de las oscilaciones empieza a decaer hasta que f llega a ciclo por muestra, cuando la señal vuelve a corresponder a un nivel dc, como cuando f valía cero. La oscilación más rápida posible se consigue con f = ½ (=), cuando x[n] = e jn = (-) n, como se muestra en la siguiente figura. Cualquier otra frecuencia produce una oscilación más lenta: f = 4/ f = 5/ f = 6/ Figura 5. e jfn para diferentes valores de f (parte real en rojo, parte imaginaria en azul) Resumiendo: Mientras en tiempo continuo las exponenciales complejas son siempre periódicas, en tiempo discreto se necesita que la velocidad angular sea un múltiplo racional de. Mientras en tiempo continuo todas las posibles frecuencias en los reales son distinguibles, en tiempo discreto diferentes frecuencias pueden generar las mismas señales en el tiempo (alias). Como la frecuencia más alta en tiempo discreto es medio período por muestra, se suele limitar el rango de frecuencias válidas en el intervalo [-½, ½] o, lo que es lo mismo, la velocidad angular se suele limitar al intervalo [-, ].

47 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Exponenciales complejas armónicas, impulsos, escalones Veíamos algunas propiedades interesantes de las exponenciales complejas en tiempo continuo y en tiempo discreto. Si quedó claro, los estudiantes podrán resolver algunos problemas: quiz: Sea x(t) la exponencial compleja en tiempo continuo, e jt/t. Considere la señal en tiempo discreto que se obtiene al tomar valores de x(t) cada t segundos, esto es, x[n] = x(nt). Encuentre la condición más general que debe satisfacer t para que x[n] sea una señal periódica. x[n] = e jnt/t = e jn, con = t/t. Como debe ser múltiplo racional de para que x[n] sea periódica, = t/t = (k/m), k y m N. Así pues, para que x[n] sea una señal periódica, es necesario que existan dos números enteros no negativos, k y m, primos relativos entre sí, tales que mt = kt, esto es, t debe ser un múltiplo racional de T para que la señal muestreada sea periódica. Si éste es el caso, el período de x[n] es m porque después de m muestras la señal x[n] le habrá dado k vueltas al círculo unitario y habrá regresado a (j). jt jt quiz: Cuál es el período de x() t e e? Nótese que, en t=, ambos términos de la suma se encuentran en, de manera que x()=. Cuándo volverá la señal a ese punto? Claramente, cada término de la suma deberá haber dado un número entero de vueltas al círculo unitario, esto es, en el tiempo que el primer término da k vueltas, el segundo término deberá haber dado k vueltas. Esto sólo es posible si y son múltiplos racionales entre sí. En efecto, el período de x(t) será T si j t T j t T j t j T j t j T x( t) x( t T) e e e e e e t lo cual ocurrirá solamente si se satisfacen simultáneamente las siguientes dos condiciones: T=k y T=k. De esta manera, en T segundos el primer término da k vueltas y el segundo término da k vueltas para volverse a encontrar en x(t) = x(), como habíamos considerado originalmente. Dividiendo la primera condición por T obtenemos la condición de periodicidad para x(t): / =k /k. Esto es, x(t) sólo será periódica si y son múltiplos racionales entre sí, en cuyo caso T=k / = k /. Por ejemplo, si =(/3) y =(/5), / =5/6 y T = 6/(/5) = 5. En efecto, después de 5 segundos, el primer término ha dado 5 vueltas al círculo unitario y el segundo término ha dado 6 vueltas, de manera que se vuelven a encontrar en x() = x(5) =. Pero si =(/4) y =(), mientras el primer término da una vuelta cada cuatro segundos, el segundo término nunca completará una vuelta en un número entero de segundos y, por consiguiente, nunca se volverán a encontrar en el punto de origen. quiz: A qué horas se encuentran el minutero y el horario? El minutero da una vuelta cada hora mientras el horario da una vuelta cada horas. En el instante ambos se encuentra en (j). Entonces la posición del minutero es m(t)=e -j(t ¾) y la del horario es h(t)=e -j(t/ ¾), donde el tiempo se da en horas. Se encontrarán cada vez que el minutero haya recorrido un número entero de vueltas más la fracción de vueltas que ya ha recorrido el horario: T k ¾ = T k / ¾ k T k = k/, k=,,,,

48 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 48 Entonces se encuentran cada / de hora, a las :: /, :5:7 3/, ::54 6/, 3:6: 9/, 4::49 /, 5:7:6 4/, 6:3:43 7/, 7:38: /, 8:43:38 /, 9:49:5 5/ y a las :54:3 8/. jt jt quiz: Cuál es el período de x() t e e,? En el primer quiz de hoy notamos que la suma dentro de las barras de valor absoluto puede no ser periódica si las velocidades angulares y no son múltiplos racionales entre sí. Aquí las cosas son distintas, ya que no nos interesa cuándo los dos términos de la suma se volverán a encontrar en el punto j del círculo unitario sino cuándo volverán a estar alineados para que la magnitud de la suma vuelva a ser dos. Independientemente de que alguna vez los dos sumandos vuelvan a pasar por el punto de origen o no, siempre volverán a pasar uno encima de otro, por lo que estamos hablando de una señal real que siempre será periódica. En efecto, j t j t j t j t x( t) e e e e cos t cos t Como el período de cos(t) es /, el período de cos(t) se reduce a / que, en nuestro caso, corresponde a /( - ): Los dos términos de la suma se encontrarán ( - )/ veces por segundo, cuando x(t) alcanza el valor. Claro, este problema ya lo habíamos resuelto en el quiz anterior: Los dos términos se encontrarán cada vez que el más rápido haya alcanzado al más lento después de dar una vuelta más. Si decimos, sin perder generalidad, que >, el período entre encuentros T debe satisfacer T = T, de manera que T = /( - ). En el caso del reloj, como las velocidades angulares del horario y el minutero son h = / radianes/hora y m = radianes/hora, respectivamente, la suma vectorial de las manecillas del reloj se repite cada /( m - h ) = / horas. El siguiente programa en Matlab les permitirá experimentar con los conceptos de periodicidad repasados en esta clase. % Marca las horas a las que el minutero y el horario se encuentran s = *(:)/; % Horas a las que se encuentran H = exp(-(j*pi/6)*(s 9)); % Ubicación de esas horas en el círculo unitario t=:(/9):; % Toma muestras cada cuatro segundos h = exp(-(j*pi/6)*( t 9)); % Posición del horario m = exp(-(j*pi/)*(4*t 3)); % Posición del minutero for i=:length(t) clf plot(h,'k') % Traza el círculo unitario hold on plot(h,'ro') % Dibuja los puntos de encuentro plot(*[ real(h(i))]/3,*[ imag(h(i))]/3,'b') % Horario plot([ real(m(i))],[ imag(m(i))],'r') % Minutero drawnow axis tight axis equal end A la luz de las discusiones planteadas por los cuatro quices anteriores, podemos estudiar las familias de exponenciales complejas armónicamente relacionadas:

49 Amplitud Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 49 k k j t j n T N k( t) e, t k[ n] e, n k k,,..., N En el caso del tiempo continuo, el período fundamental de la k-ésima exponencial, k (t), es T/k. Claro, como una señal que se repite cada segundos también se repite cada k segundos para cualquier kn, todas las señales de la familia comparten el período común T. Igualmente, nótese que para dos valores diferentes k y k, los períodos de las señales correspondientes son diferentes, T/k y T/k y, por lo tanto, cada una de las señales de la familia es perfectamente distinguible de todas las demás..5 Im[phi k (t)] = sin( pi k t / 5) k=- k=- k= k= k= tiempo Figura 5. Cinco elementos de la familia exponencial en tiempo continuo con período 5 En el caso del tiempo discreto, el período fundamental de la k-ésima exponencial, k [n], es N/gcd(k,N), de manera que las funciones k [n] y kmn [n] son indistinguibles. Por lo tanto, para evitar fenómenos de alias, en el caso de tiempo discreto la familia de exponenciales complejas armónicamente relacionadas se reduce a N señales básicas, típicamente correspondiente al rango de k entre y N-. De todas maneras, si N/gcd(k,N) es el período fundamental, N es otro período de la k-ésima señal y, por lo tanto, todas las señales en ese rango comparten un período en común N.

50 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k=3 Im(phi k [n]) = sin( pi k n / 5), k= Figura 53. Nueve elementos de la familia exponencial en tiempo discreto con período 5. Nótese que k=- no se distingue de k=3, k=- no se distingue de k=4, k= no se distingue de k=5 y k= no se distingue de k=6. Por eso, para N=5, sólo se usa el rango k{,,,3,4} Ahora bien, si todas las señales de una familia de exponenciales complejas armónicamente relacionadas tienen un período en común, cualquier combinación lineal de las mismas será una señal periódica con el mismo período: k j t N T T k N k k k k j n N x ( t) a e, t x [ n] b e, n Señal periódica en tiempo continuo con período T Señal periódica en tiempo discreto con período N Una pregunta interesante por hacerse es si todas las señales periódicas tienen una representación semejante. La respuesta la estudiaremos con cuidado más adelante, pero podemos decir que, bajo condiciones muy generales y aceptando diferentes formas de convergencia de señales, todas las señales periódicas se pueden representar como una combinación lineal de exponenciales complejas armónicamente relacionadas. También más adelante veremos que lo que hemos conseguido es expandir el subespacio vectorial de las señales periódicas de período dado en una base ortonormal particular, la base de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Esta es una interpretación fundamental de las señales que iremos introduciendo lentamente en este curso. Por ejemplo, consideremos un período de la señal en tiempo discreto: N k j n N x [ n] b e, n,,,.., N N k k y escribámoslo como una ecuación matricial, x N = Wb donde x N es un vector columna N-dimensional dado por las N muestras de un período de la señal {x N [n], n{,,,n-}}, b es un vector columna N-dimensional dado por los coeficientes de la combinación lineal, y W es la matriz NN con entradas W nk =e jkn/n. Esto muestra que la señal en el tiempo es una combinación de las columnas de W, las cuales forman una base que expande el

51 Amplitud Amplitud Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 espacio vectorial de las señales periódicas de período N. Más aún, estas exponenciales complejas armónicamente relacionadas forman una base ortogonal, como se puede verificar fácilmente calculando las proyecciones de unas sobre otras: (/N)WW H = I NN (la matriz identidad). Por ejemplo, todas las señales periódicas en tiempo discreto con período 4 se pueden expresar como combinaciones lineales de las columnas de la matriz j j W j j pues, para cualquier secuencia de números reales {x[], x[], x[], x[3]} existe la correspondiente secuencia de números complejos b=w - x N = [b =(x[]x[]x[]x[3])/4, b =(x[]-x[]-j(x[]- x[3]))/4, b =(x[]-x[]x[]-x[3])/4, b 3 =(x[]-x[]j(x[]-x[3]))/4] T, tal que x N = Wb. Más aún, nótese que la inversa de W es su transpuesta conjugada, W - = W H /4, de manera que (/4)WW H = I 44. Esto demuestra que los vectores k [n] y m [n] son perpendiculares, pues el producto punto entre ellos es cero si km y es 4 si k=m (la energía en un período es 4, indicando que la potencia promedio es ). Existe una gran cantidad de bases (ortonormales o no) sobre las cuales podemos expandir subespacios de señales más generales. A continuación veremos algunas de ellas. Tal vez la señal más simple en tiempo discreto es el impulso unitario: [n] n n n Tiempo, n Figura 54. Definición del impulso unitario en tiempo discreto Otra señal básica en tiempo discreto es el escalón unitario, u[n] n un n Tiempo, n Figura 55. Definición del escalón unitario en tiempo discreto

52 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 Entre estas dos señales existe una relación muy interesante: [n] = u[n] u[n-], nz u[n] u[n-] [n] = u[n]-u[n-] Despejando u[n] e iterando sobre n, Figura 56. El impulso unitario es la primera diferencia del escalón unitario u[ n] [ n] u[ n ] [ n] [ n ] u[ n ] [ n k], n Esta última relación nos da, para cada valor particular de n, el valor correspondiente de u[n]. Pero se puede interpretar también como una expresión de la señal entera {u[n], nz} en términos de la suma de un número infinito de señales {[n-k], nz}, k=,,,, como muestra la siguiente figura. u[ n], n [ n k], n k k [n] [n-] [n-] [n-3] [n-4] u[n] Figura 57. El escalón unitario es la suma de impulsos unitarios desplazados k unidades de tiempo, para k=,,,

53 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 53 Podemos expresar la anterior relación entre el escalón y el impulso unitarios de la siguiente manera: u[ n] u[ k] [ n k], n k pues, efectivamente, para valores negativos de k, u[k] es cero y, para valores no negativos de k, u[k] es uno. Es importante notar nuevamente que, aunque la anterior ecuación se puede referir a la forma de calcular la n-ésima muestra de u[n], en realidad la variable n recorre todo el rango del tiempo discreto mientras que la variable k es simplemente un índice que recorre las señales que estamos combinando y el respectivo coeficiente escalar. Preferiríamos escribirla de la siguiente manera u[ n], n u[ k] [ n k], n k para dejar bien explícito que la señal escalón unitario es una combinación lineal de las señales impulsos unitarios desplazados (véase la última parte de la clase 5). Es ésta la interpretación que queremos darle a la suma anterior, que ahora extenderems a cualquier señal en tiempo discreto. Considérese cualquier señal {x[n], nz} y su producto con el impulso unitario, {[n], nz}. Cuando n, [n] es cero y, por consiguiente, x[n][n] también es cero. Pero, para n=, [n] es uno y, por consiguiente, x[n][n] es x[]. En consecuencia, la señal {x[n][n], nz} es idéntica a x[] veces la señal {[n], nz}: o, en términos escalares, x[ n] [ n], n x[] [ n], n x[ n] [ n] x[] [ n], n De la misma manera podemos extraer cualquier muestra de la señal x[n] si la multiplicamos por un impulso desplazado, x[n][n-k]: Cuando nk, [n-k] es cero y, por consiguiente, x[n][n-k] también es cero. Pero, para n=k, [n-k] es uno y, por consiguiente, x[n][n-k] es x[k]. En consecuencia, la señal {x[n][n-k], nn} es idéntica a x[k] veces la señal {[n-k], nn}: x[ n] [ n k], n x[ k] [ n k], n La siguiente figura muestra la combinación lineal de todos estos impulsos desplazados, x[ n], n x[ k] [ n k], n k

54 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 54 x[-3][n3] x[-][n] x[-][n] x[][n] x[] [n-] x[] [n-] x[3] [n-3] x[4] [n-4] x[n] Figura 58. Cualquier señal x[n] se puede representar como combinación lineal de impulsos unitarios desplazados Recordemos que estamos enfatizando la notación orientada a la visión vectorial. En la mayoría de textos, estas expresiones se refieren a la manera de calcular la señal x[] en cada instante particular n: x[ n] x[ k] [ n k], n k Claro, una expansión semejante se puede hacer con base en el escalón unitario: x[ n] x[ k] [ n k] x[ k] u[ n k] u[ n k ] x[ k] u[ n k] x[ k ] u[ n k], n k k k k x[ n] x[ k] x[ k ] u[ n k], n k pues, en efecto, para un n dado la suma sólo considera valores de k menores o iguales a n, de manera que la expansión resulta n x[ n] x[ k] x[ k ] x[ n] x[ n ] x[ n ] x[ n ] x[ n ]... x[ n] k Si bien el impulso unitario en tiempo discreto cumple una función teórica fundamental como base ortogonal para la expansión del espacio vectorial de las señales en tiempo discreto, es importante notar que también es una señal muy concreta que podemos generar y utilizar fácilmente en el laboratorio. La contraparte en tiempo continuo, en cambio, tiene aplicaciones puramente teóricas, pues resulta imposible generarlo en el laboratorio. A continuación definimos el escalón y el impulso unitarios en tiempo continuo y mencionamos sus propiedades.

55 u(t) Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 55 Partiendo del resultado que obtuvimos para el tiempo discreto, n u[ n] [ n] u[ n] u[ n ] n n parece razonable definir sus contrapartes en tiempo continuo así: t d u( t) ( t) u( t) t t dt aunque dicha definición no está exenta de dificultades. Dado que u(t), el escalón unitario en tiempo continuo, es constante en todas partes excepto en su punto de discontinuidad t=, el impulso unitario en tiempo continuo es cero en todas partes excepto en el punto de discontinuidad. Formalmente, en ese punto el escalón no es derivable, así que tenemos un problema en la definición misma. Sin embargo, como de costumbre, lo que queremos hacer es una abstracción matemática simplificada de alguna realidad compleja: Sabemos que la inercia de los sistemas reales nunca permite respuestas con cambios que ocurren en instantes infinitesimales (períodos de tiempo de longitud cero). Por ejemplo, el escalón unitario es una idealización del efecto de un interruptor como el de la siguiente figura: - t= u(t) - Circuito lineal tiempo en ms Tiempo en s Figura 59. Respuestas ideal y real de un interruptor mecánico Si el interruptor es ideal y la impedancia de entrada del circuito es infinita, el voltaje de entrada se comportará exactamente como hemos definido el escalón unitario en tiempo continuo y como aparece en la línea roja punteada de la Figura 59. Pero si el interruptor rebota al accionarse y existen impedancias considerables a la salida de la fuente y a la entrada del circuito, la situación es más parecida a la línea azul continua de la Figura 59. Tal vez podamos cambiar el interruptor mecánico por un sofisticado mecanismo electrónico que produzca el siguiente voltaje a la entrada del circuito lineal: d u (t) ( t) u ( t) dt / real ideal t t = t = t = t = Figura 6. Forma ligeramente menos ideal del escalón unitario u (t) y de su derivada, el impulso unitario (t) t En cuyo caso el escalón y el impulso unitarios ideales se podrían definir como

56 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 56 u( t) lim u ( t) ( t) lim ( t) El límite de u (t) es muy claro: La duración del período de transición,, se va estrechando, haciendo que, en el límite, la transición se vuelva instantánea. El límite de (t), en cambio, necesita un poco más de reflexión. La siguiente figura muestra diferentes (t) para diferentes valores de. (t) 8 /8 (t) 4 /4 (t) / (t) (t) /8 /4 / t Figura 6. Algunas aproximaciones al impulso unitario en tiempo continuo Dos propiedades evidentes de la aproximación (t) son las siguientes: ( t), t, ( t) dt las cuales conducen, en el límite cuando, a la definición formal del impulso unitario en tiempo continuo: t t t dt El intervalo de tiempo en el que el impulso unitario es diferente de cero, {tr : (t) }, es el conjunto unitario {}; Sin embargo, el área debajo de la curva es uno. Claro, esto supone una amplitud infinita de (), por lo que el impulso unitario en tiempo continuo se suele representar como una flecha hacia el infinito, etiquetada con el área debajo de ella, como muestra la siguiente figura. Si el área debajo de (t) es uno, el área debajo de a(t) es a, tal como ocurre con a (t). (t) a(t-t ) a t t t= t= t=t Figura 6. Representación gráfica del impulso unitario en tiempo continuo

57 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 57 A semejanza del impulso unitario en tiempo discreto, el impulso unitario en tiempo continuo resulta muy útil como abstracción teórica para desarrollar modelos muy interesantes de señales. Sin embargo, a diferencia del impulso unitario en tiempo discreto, el impulso unitario en tiempo continuo no se puede construir en la realidad. Mientras el primero es una señal muy concreta que podemos generar y manipular en el laboratorio (esto es, en el computador digital), el segundo es solamente una idealización teórica de la que no se puede disponer en el laboratorio. Pero, considerando (t) como el límite de (t), podemos encontrar muchas de sus propiedades. Por ejemplo, cómo es la señal x(t)(t)? La siguiente figura, basada en aproximaciones (t), nos sugiere la respuesta: Se trata de un impulso para el cual el área debajo de la curva es x(): {x(t)(t), tr} = x(){(t), tr} x(t) (t) 8 /8 (t) x(t)8 4 /4 (t) x(t)4 / (t) (t) /8 /4 / x(t) x(t) t Figura 63. Construcción para notar que x(t)(t) es igual a x()(t) Claro, la figura anterior también nos permite imaginar el efecto de un desplazamiento en el tiempo: {x(t)(t-t ), tr} = x(t ){(t-t ), tr} que es la misma propiedad de selección que habíamos encontrado para el impulso unitario en tiempo discreto, x[ n] [ n k], n x[ k] [ n k], n Esta propiedad sugiere la posibilidad de combinar linealmente (en el tiempo continuo) una secuencia de impulsos unitarios. En efecto, volviendo a la versión no idealizada, nótese que como muestra la siguiente figura. x( t), t x( k ) ( t k ), t k

58 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 58 k xt ( ) x( k) ( t k) / ( tk) x( k) ( t k) ( t k) x(k) k (k) Figura 64. Construcción para notar que x(t) es una combinación lineal (continua) de impulsos unitarios A medida que se vaya haciendo más pequeña, la aproximación se va haciendo más exacta hasta que, en el límite, obtenemos la igualdad: ( ), ( ) ( ), x t t x t t d en analogía con la representación que habíamos encontrado para las señales en tiempo discreto, x[ n], n x[ k] [ n k], n k Recordemos que estamos enfatizando la notación orientada a la visión vectorial. En la mayoría de textos, estas expresiones se refieren a la manera de calcular las señales x() ó x[] en cada instante particular de tiempo: x( t) x( ) ( t ) d, t x[ n] x[ k] [ n k], n k La transición infinitamente rápida del escalón unitario en tiempo continuo y la duración infinitesimal del impulso unitario en tiempo continuo son fenómenos que en matemáticas se llaman "singularidades": Puntos en los que hay discontinuidades, falta de diferenciabilidad o valores infinitos, los cuales motivan toda un área de las matemáticas denominada "Teoría de la singularidad". Aunque parecen abstracciones teóricas para nuestra experiencia cotidiana, en el universo existen puntos de singularidad gravitacional (agujeros negros) o posibles instantes de singularidad (como el big-bang). Para nuestro propósito "terrenal" del análisis de señales, una manera pragmática de tratar las singularidades es considerando la aproximación de intervalos de longitud que se van haciendo cada vez más pequeños. Por ejemplo, considérese la siguiente señal y su derivada: t

59 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 59 x(t) x (t) t t Figura 65. Señal con discontinuidades y su derivada 5 6 En los intervalos en los que x(t) permanece constante la derivada es cero. Igualmente, en los intervalos en que x(t) crece o decrece a una tasa constante, la derivada toma el valor de la tasa de crecimiento. Pero lo más interesante es ver qué pasa en los puntos de discontinuidad. Como x(t) está acumulando el área debajo de la curva de su derivada, dicha derivada debe tener instantes con área apropiada para justificar el cambio instantáneo del área acumulada. Esto sólo se puede explicar mediante los impulsos (t-), -3(t-3) y (t-5), que se ubican en los puntos de discontinuidad de x(t). Para terminar, y volviendo al tema de la expresión de una señal en bases ortogonales, nótese cómo se ve una señal periódica de período N en la base ortogonal canónica de los impulsos unitarios y en la base ortogonal de las exponenciales complejas armónicamente relacionadas: N x[ n] x[ k] [ n k] x[ k] [ n k mn], n k k m N j ( k / N ) n [ ] k, k x n b e n Más adelante llamaremos "análisis de Fourier" al proceso simple de cambiar entre estas dos bases para expresar un mismo vector.

60 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 8. Sistemas de procesamiento de señales Como mencionamos en la tercera clase, las señales son cantidades físicas medibles que existen en un ambiente particular en el que se generan, se propagan, se almacenan y se transforman. Ese ambiente que ejerce un proceso transformador en una señal se conoce como sistema. En efecto, seguramente se trata de un conjunto de dispositivos o un conjunto de procesos que interactúan entre ellos para formar un todo (un sistema). En esa clase veíamos, a manera de ejemplo, un circuito formado por una resistencia y un condensador que constituyen un filtro pasabajos de primer orden, un sistema mecánico formado por un resorte y una masa que forman un oscilador y un automóvil que se acelera bajo la acción de la fuerza producida por el motor. También mencionamos brevemente las estructuras generales de un sistema de comunicaciones y de un sistema de control. Todos ellos son sistemas en los que se puede identificar señales de entrada, señales de salida, y procesos para generar las segundas a partir de las primeras. La representación matemática del sistema, entonces, es la de un funcional que acepta como entrada una de un conjunto de posibles señales de entrada y genera una de un conjunto de posibles señales de salida: T:XY Donde X es el conjunto de las posibles señales de entrada y Y es el conjunto de posibles señales de salida. Esto es, un sistema es un subconjunto del producto cartesiano XY. Es importante distinguir entre la función (el modelo matemático de la señal) y el funcional (el modelo matemático del sistema). Por ejemplo, en tiempo continuo, se podría representar la señal x(t) como una función que a cada valor de la variable independiente tr le asigna un valor de la variable dependiente xr. De la misma manera, un sistema en tiempo continuo se puede representar como un funcional que asigna una señal de salida {y(t), tr} a cada señal de entrada {x(t), tr}, como muestra la Figura 66: tr Señal : Función que asigna a cada valor de entrada tr un correspondiente valor de salida x(t) xr {x(t)r, tr}x Sistema : Funcional que asigna a cada señal de entrada {x(t)r, tr} una correspondiente señal de salida {y(t)r, tr} {y(t)r, tr}y Figura 66. Concepto de Señal como función y sistema como funcional Desafortunadamente, la notación gráfica que se usa típicamente en la literatura para los sistemas es la que se muestra en la Figura 67, la cual podría conducir a confusiones: No se trata de que, para cada instante de tiempo t, el valor específico y(t) dependa del valor específico x(t); se trata de que la señal entera {y(t), tr} depende de la señal entera {x(t), tr}, de manera que el valor específico y(t) puede depender de muchos valores {x(), TR}. Como veremos, las posibilidades incluyen que, para un valor de t dado, el valor específico y(t ) sólo dependa de x(t ), en cuyo caso se dice que el sistema no tiene memoria y la Figura 67 cobraría sentido; o puede ser que y(t ) dependa de

61 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 todos los valores de x en instantes no superiores a t, {x(t), tt }, en cuyo caso se dice que el sistema es causal. Como en la mayoría de la literatura, en el resto de este curso el contexto dirá si la expresión x(t) se refiere al valor particular de la señal {x(), R} en el instante t, o si se refiere de manera genérica a toda la señal {x(t), tr}. Cuando, por alguna razón, en el segundo caso necesitemos ser específicos, nos referiremos a la señal completa como {x(t), tr} o como {x(t)} t, y al valor particular como x(t). Y para referirnos a la transformación que hace un sistema en la señal de entrada {x(t)} t X, para producir una señal de salida {y(t)} t Y, hablaremos de la transformación {y(t)} t = T({x(t)} t ) o, a veces, hablaremos del par entrada/salida ({x(t)} t, {y(t)} t ). x(t) y(t) Figura 67. Notación típica para un sistema en tiempo continuo. Tiende a hacer perder de vista que se trata de un funcional y no de una función Como habíamos clasificado las señales en cuatro tipos según el dominio (el tiempo) fuera continuo o discreto y según el rango (la amplitud) fuera continuo o discreto, existirían 6 tipos de sistemas según la clase de señales de entrada que acepte y la clase de señales de salida que genere. Sin embargo, excepto por el tipo de sistemas que incluyan conversores AD y DA, en este curso consideraremos sólo dos tipos de sistemas: Sistemas en tiempo continuo (aceptan, procesan y generan señales en tiempo continuo) y sistemas en tiempo discreto (aceptan, procesan y generan señales en tiempo discreto), como se muestra en la Figura 68. {x(t)r, tr}x Sistema en tiempo continuo {y(t)r, tr}y {x[n]r, nz}x Sistema en tiempo discreto {y[n]r, nz}y Figura 68. Los dos tipos de sistemas que se consideran en este curso (a excepción de los sistemas con conversores AD y DA) Nótese que hemos descrito los sistemas mediante la relación que existe entre la señal de entrada y la señal de salida, con lo cual ignoramos los detalles internos del sistema. En otros contextos puede ser posible conocer algunos aspectos de la construcción interna del sistema y reconocer que existen otras señales que describen el estado del sistema en cada instante, de manera que la descripción del sistema incluye la relación que existe entre la señal de entrada y el estado interno del sistema (ecuaciones de estado) y la relación que existe entre la señal de salida y las señales de estado interno y de entrada (ecuaciones de salida). La diferencia entre la descripción de los sistemas en el espacio de estados y la descripción como relación entrada/salida es una diferencia conceptual: En el primer caso conocemos la estructura interna del sistema (modelo de "caja blanca") y en el segundo caso la desconocemos o decidimos ignorarla (modelo de "caja negra"). En este curso enfatizaremos el modelo de caja negra, aunque en el momento en que hagamos diseño de sistemas de procesamiento

62 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 6 de señales deberemos conocer perfectamente bien su estructura interna ( es nuestro diseño!) y usaremos modelos de caja blanca (aunque tal vez no seremos explícitos en mencionarlo). Ahora veremos 6 propiedades particulares de los sistemas en general que nos permitirán clasificarlos y escoger algunos tipos de sistemas de mayor interés para su análisis detallado: () sistemas con y sin memoria (o dinámicos y estáticos), () sistemas invertibles y no invertibles, (3) sistemas causales y no causales, (4) sistemas bibo-estables y bibo-inestables, (5) sistemas invariantes y variantes en el tiempo y (6) sistemas lineales y no lineales. Como las seis propiedades resultan completamente análogas entre sistemas en tiempo discreto y sistemas en tiempo continuo, usaremos indistintamente uno u otro tipo de señales para la definición y para los ejemplos. Si usamos el tiempo continuo, el estudiante podrá redefinir los conceptos en el tiempo discreto y viceversa. () Un sistema carece de memoria (o es un sistema estático) si el valor de la señal de salida en cada instante sólo depende del valor de la señal de entrada en ese mismo instante. Por ejemplo, en una resistencia ideal de R ohmios en la que la señal de entrada es el voltaje que se aplica a sus terminales, x(t), y la señal de salida es la corriente que circula a través de la resistencia, y(t), tenemos la siguiente relación entre la señal de salida y la señal de entrada: x(t) - y(t) R y(t)=x(t)/r Figura 69. Ejemplo de un sistema sin memoria Como el valor instantáneo de la corriente sólo depende del valor del voltaje en ese mismo instante y no depende de valores pasados (ni futuros) del voltaje, el sistema no tiene memoria (es estático). Los sistemas sin memoria se pueden modelar como una función y=f(x), no necesariamente como un funcional {y(t), tr}=t({x(t), tr}). Claro, como la entrada es una señal, la salida es una función del tiempo, y(t) = (f x)(t) = f(x(t)), por lo que en realidad se trata de un funcional "degenerado". En un sistema con memoria, o dinámico, la señal de salida en un instante particular de tiempo depende de los valores de la entrada (o de salida) en diferentes instantes de tiempo. Es decir, el sistema debe "recordar" algunos valores anteriores (o futuros!) de la señal de entrada y/o de la señal de salida. Por ejemplo, en una bobina ideal de L henrios en la que la señal de entrada es el voltaje que se aplica a sus terminales, {x(t), tr}, y la señal de salida es la corriente que circula a través de la resistencia, {x(t), tr}, tenemos la siguiente relación entre la señal de salida y la señal de entrada:

63 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 63 x(t) - y(t) L y( t) x( t ) d L Figura 7. Ejemplo de un sistema con memoria Como el valor instantáneo de la corriente no sólo depende del valor del voltaje en ese mismo instante sino de todos los valores anteriores del voltaje, se dice que el sistema tiene memoria. En un sistema con memoria se requiere de un dispositivo que almacene información anterior. Por ejemplo, un condensador recuerda el voltaje infinitesimalmente anterior, una bobina recuerda la corriente infinitesimalmente anterior y un flip-flop tipo D recuerda el bit de entrada que había en el pulso de reloj inmediatamente anterior. En efecto, una versión de tiempo discreto de la bobina anterior sería el de un sistema acumulador: y[ n] x[ n k] k que parece necesitar una memoria infinita pues para calcular y[n] se necesitan todas las muestras anteriores de la señal de entrada desde x[-] hasta x[n]. Pero en realidad la bobina almacena toda la señal de voltaje de entrada en su memoria? No. No hace falta. Por ejemplo, el acumulador sólo debe almacenar el último acumulado: y[ n] x[ n k] x[ n] x[ n k] x[ n] x[( n ) k] x[ n] y[ n ] k k k x[n] y[n] y[n-] Retardo Figura 7. Acumulador: Otro ejemplo de un sistema con memoria De la misma manera que el acumulador sólo debe recordar la salida inmediatamente anterior, x[n] = y[n] y[n-], la bobina sólo debe recordar la corriente inmediatamente anterior d x( t) L y( t) dt A veces un sistema con memoria debe "recordar" el futuro. Por ejemplo, en procesamiento de imágenes existen procesos en los que el nuevo valor de un pixel particular se determina al compararlo con los valores de los pixeles vecinos, donde la selección del vecindario (elemento estructurante) determina el efecto final de la operación. Por ejemplo, la operación y(i,j) = máx{x(i-,j), x(i,j), x(i,j), x(i,j-), x(i,j)} - mín{x(i-,j), x(i,j), x(i,j), x(i,j-), x(i,j)} no sólo usa el presente (x(i,j)) sino que tiene memoria del "pasado" (x(i-,j), x(i,j-)) y también del "futuro" (x(i,j), x(i,j)). Los efectos de dicha operación son muy interesantes: El operador máximo aplicado al elemento estructurante dilata los círculos blancos; el operador mínimo los erosiona; la diferencia entre los dos, en consecuencia, detecta los bordes de los círculos (Figura 7).

64 Universidad Distrital Francisco José de Caldas - Análisis de Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 64 Señal de entrada x:{,,,5} {,,,6} {,} Señal de salida y(i,j) = máx{x(i-,j), x(i,j), x(i,j), x(i,j-), x(i,j)} - mín{x(i-,j), x(i,j), x(i,j), x(i,j-), x(i,j)} Figura 7. Resultado de un proceso con memoria del pasado y del futuro La presencia o ausencia de memoria se puede determinar por inspección: Ver si en la expresión que relaciona la señal de salida en un instante t con la señal de entrada o salida en instantes anteriores. Por ejemplo, y[n] = x[n] (n-) es un sistema sin memoria a pesar del término (n-), pues dicho término no implica la necesidad de conocer ningún dato anterior. Otra cosa ocurre con el sistema y[n] = x[n-] (n), pues ahora el término (n-) sí está indicando la necesidad de recordar el valor de la señal de entrada en el instante inmediatamente anterior. () Un sistema es invertible si para cada señal de salida se puede identificar unívocamente la señal de entrada que la generó. Siendo así, podríamos construir (al menos en principio) un sistema inverso que recupere la señal de entrada a partir de la señal de salida: Si {y(t)} t = T({x(t)} t ) es un sistema invertible, existe un sistema T - tal que {x(t)} t = T - ({y(t)} t ). Por ejemplo, como acabamos de ver, el acumulador es invertible y su sistema inverso, el diferenciador, es muy fácil de construir: x[n] - y[n] Retardo x[n-] Figura 73. El diferenciador es el sistema inverso del acumulador Efectivamente, si ponemos el acumulador de la figura 6 en serie con el diferenciador de la figura 6, el resultado final será el sistema identidad: La entrada es idéntica a la salida. En cambio, el sistema de la siguiente figura no es invertible pues diferentes señales de entrada pueden producir la misma señal de salida. x(t) y(t) Figura 74. Sistema no invertible: Diferentes señales de entrada producen la misma señal de salida Determinar la invertibilidad de un sistema consiste en encontrar el sistema inverso (si el sistema es invertible) o en demostrar que no existe un sistema inverso (por ejemplo, encontrando dos señales de entrada que produzcan la misma salida). Por ejemplo, consideremos los siguientes dos sistemas: {y(t)} tr = {x(t)} tr y {y[n]} nz = {x[n]} nz. En el primero, el sistema inverso es fácil de encontrar: x(t) = y(t/), lo cual nos da exactamente la señal de entrada que originó y(t). En el